Search

La present tesi doctoral s'emmarca en l'estudi dels problemes de centre i ciclicitat, així com d'isocronia i criticalitat, en el context de la teoria qualitativa d'equacions diferencials. Aquesta memòria està organitzada en tres capítols. El primer capítol tracta els problemes de centre i ciclicitat. Comencem donant una descripció més profunda i exhaustiva dels problemes de centre i ciclicitat, juntament amb una breu introducció a les principals eines sobre ideals polinomials i algunes tècniques clàssiques per classificar centres, com ara les simetries o la Teoria de Integrabilitat de Darboux. Després procedim a una anàlisi més detallada de les constants de Lyapunov, mostrant mètodes per calcular-les i com aquests càlculs es poden implementar computacionalment, emfatitzant la importància de la paral·lelització en les tècniques utilitzades. Posteriorment, tractem els problemes de centre i ciclicitat per algunes famílies d'equacions diferencials en el pla. També recopilem una sèrie d'avenços en el càlcul de les constants de Lyapunov i la determinació de la seva estructura. En l'última secció del Capítol 1 estudiem la bifurcació de Hopf en camps vectorials polinomials tridimensionals, amb l'objectiu de trobar el major nombre possible de cicles límit per a diferents graus. Les tècniques emprades han permès trobar 11 cicles límit per a sistemes quadràtics, 31 per a sistemes cúbics, 54 per a sistemes quàrtics i 92 per a sistemes quíntics, que segons coneixem són els nombres més alts trobats fins al moment. El segon capítol està dedicat a l'estudi de la isocronia i la criticalitat. Comencem per definir els dos conceptes amb més detall, treballant en les nocions de funció de període i períodes crítics. A continuació, s'introdueix l'equivalència entre isocronia i linealitzabilitat, juntament amb altres eines per a l'estudi de la isocronia que són el claudàtor de Lie i els sistemes transversals que commuten, així com el càlcul de constants de període. La següent secció de l'C, La presente tesis doctoral se enmarca en el estudio de los problemas de centro y ciclicidad, así como de isocronía y criticalidad, en el contexto de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales. Esta memoria está organizada en tres capítulos. El primer capítulo trata los problemas del centro y la ciclicidad. Comenzamos dando una descripción más profunda y exhaustiva de los problemas de centro y ciclicidad, junto con una breve introducción a las principales herramientas sobre ideales polinomiales y algunas técnicas clásicas para clasificar centros, como las simetrías o la Teoría de Integrabilidad de Darboux. Luego procedemos a un análisis más detallado de las constantes de Lyapunov, mostrando métodos para calcularlas y cómo estos cálculos pueden implementarse computacionalmente, enfatizando la importancia de la paralelización en las técnicas utilizadas. Posteriormente, tratamos los problemas de centro y ciclicidad para algunas familias de ecuaciones diferenciales en el plano. También recopilamos una serie de avances en el cálculo de las constantes de Lyapunov y la determinación de su estructura. En la última sección del Capítulo 1 estudiamos la bifurcación de Hopf en campos vectoriales polinomiales tridimensionales, con el objetivo de encontrar el mayor número posible de ciclos límite para diferentes grados. Las técnicas empleadas han permitido encontrar 11 ciclos límite para sistemas cuadráticos, 31 para sistemas cúbicos, 54 para sistemas cuárticos y 92 para sistemas quínticos, que a nuestro saber son los números más altos encontrados hasta el momento. El segundo capítulo está dedicado al estudio de la isocronía y la criticalidad. Comenzamos por definir ambos conceptos con más detalle, trabajando en las nociones de función de período y períodos críticos. A continuación, se introduce la equivalencia entre isocronía y linealizabilidad, junto con otras herramientas para el estudio de la isocronía que son el corchete de Lie y los sistemas transversales que conmutan, The present doctoral thesis is framed in the study of the center and cyclicity problems, as well as isochronicity and criticality, in the context of the qualitative theory of differential equations. This memory is organized in three chapters. The first chapter deals with the center and cyclicity problems. We start by giving a deeper and more exhaustive description of the center and cyclicity problems, together with a brief introduction to the main tools about polynomial ideals and some classical techniques for classifying centers, such as symmetries or Darboux Integrability Theory. We proceed then to a more detailed analysis on Lyapunov constants, by showing methods to compute them and how these calculations can be computationally implemented, stressing the importance of parallelization in the used techniques. Later, we deal with the center and cyclicity problems for some families of differential equations in the plane. We also collect a series of advances in the computation of Lyapunov constants and the determination of their structure. In the last section of Chapter 1 we study the Hopf-bifurcation in 3-dimensional polynomial vector fields, with the objective to find the highest possible number of limit cycles for different degrees. The used techniques have enabled to find 11 limit cycles for quadratic systems, 31 for cubic systems, 54 for quartic systems, and 92 for quintic systems, which to the best of our knowledge are the highest numbers found so far. The second chapter is devoted to the study of isochronicity and criticality. We start by defining both concepts in more detail, working on the notions of period function and critical periods. Then, the equivalence between isochronicity and linearizability is introduced, together with other tools to study isochronicity which are the Lie bracket and commuting transversal systems as well as the computation of period constants. The next section in Chapter 2 aims to find the maximum number of critical periods which unf, Universitat Autònoma de Barcelona. Programa de Doctorat en Matemàtiques