Search

Chapters 2-12 are based on published or submitted works - see the corresponding links in the metadata. Some of them are joint work with Laure Marêché, Fabio Martinelli, Tamás Mezei, Robert Morris, Réka Szabó and Cristina Toninelli; We study two tightly related classes of statistical mechanics models on the two-dimensional square lattice—kinetically constrained models and bootstrap percolation. The former arose as models of the dynamics of supercooled liquids close to the glass transition, while the latter are used to model a number of settings including magnets and social phenomena. We consider both kinetically constrained models and bootstrap percolation from a rigorous probabilistic perspective. We are interested in their behaviour as their parameter approaches its (possibly degenerate) critical value. More specifically, we investigate the rate of divergence of certain characteristic time scales, such as the infection time of a fixed site and the relaxation time.Among the highlights of the thesis is determining the universality classes of kinetically constrained models together with their characteristic equilibrium time scales at low temperature. That is, we establish a partition of all possible models into groups with similar behaviour and provide a recipe for determining the behaviour from the definition of the model. Contributions are made to the full spectrum of universality classes of kinetically constrained models, but in some cases also to the simpler and better understood bootstrap percolation. In addition to universal results, we provide sharp asymptotics in both bootstrap percolation and kinetically constrained models for the most classical, 2-neighbour, model, as well as advances on the 1-neighbour kinetically constrained model known as the Fredrickson–Andersen 1-spin facilitated model.The thesis consists of three main parts based on techniques from different domains. The first one relates to dynamics of interacting particle systems. The second one relies on combinatorial arguments. The third and final part takes a percolation viewpoint.; On étudie deux classes de modèles étroitement liées de physique statistique sur le réseau carré bidimensionnel – les modèles cinétiquement contraints et la percolation bootstrap. Les premiers sont apparus pour modéliser la dynamique des liquides surfondus près de leur transition vitreuse, tandis que la percolation bootstrap modélise de nombreux cadres tels que certains aimants ou encore des phénomènes sociaux. Nous considérons les modèles cinétiquement contraints et la percolation bootstrap d’un point de vue rigoureux probabiliste. On s’intéresse à leur comportement lorsque leur paramètre tend vers sa valeur critique (possiblement dégénérée). Plus concrètement, nous étudions le taux de divergence de certains temps caractéristiques tels que le temps d’infection d’un site fixé et le temps de relaxation.Parmi les résultats les plus conséquents de la thèse est la détermination des classes d’universalité de modèles cinétiquement contraints ainsi que leurs échelles de temps caractéristiques à l’équilibre en basse température. C’est-à-dire, on établit une partition de tous les modèles possibles en groupes à comportement similaire et fournit une recette pour déterminer ce comportement à partir de la définition du modèle. Des contributions sont apportées à tout le spectre de classes d’universalité de modèles cinétiquement contraints, mais dans certains cas aussi à la percolation bootstrap plus simple et mieux comprise. En supplément des résultats universels, nous donnons des asymptotiques exactes à la fois en percolation bootstrap et en modèle cinétiquement contraint pour le modèle le plus classique à deux voisins. De plus, nous marquons des progrès sur le modèle cinétiquement contraint à un voisin appelé modèle de Fredrickson–Andersen 1-spin facilité.La thèse est constituée de trois parties principales, basées sur des techniques provenant de domaines différents. La première relève de la dynamique de systèmes de particules en interaction. La deuxième emploie des arguments de combinatoire. La troisième et dernière partie prend un point de vue de percolation.

The purpose of this Ph.D. thesis is to study precise large and moderate deviation asymptotics for products of independent and identically distributed random matrices. In the first part, we establish Bahadur-Rao type and Petrov type exact asymptotics of large deviation probabilities for the norm cocycle «dollard»\log|G_nx|»dollard», where «dollard»G_n = g_n\ldots g_1»dollard» is the product of independent and identically distributed random «dollard»d\times d»dollard» matrices «dollard»g_i»dollard», «dollard»x»dollard» is a unit vector in «dollard»\mathbb R^d»dollard». The second part is devoted to establishing Bahadur-Rao type and Petrov type large deviations for the «dollard»(i,j)»dollard»-th entries «dollard»G_n^{i,j}»dollard» of «dollard»G_n»dollard». In particular, our result improves significantly the large deviation bounds established recently. In the third part, we investigate the Berry-Esseen bound and Cramér type moderate deviation expansion for the norm cocycle of products of random matrices. These results are proved by elaborating a new approach based on a smoothing inequality in the complex plane and on the saddle point method. The fourth part is devoted to studying Berry-Esseen bounds and Cramér type moderate deviation expansions for the operator norm «dollard»\|G_n\|»dollard», the entries «dollard»G_n^{i,j}»dollard» and the spectral radius «dollard»\rho(G_n)»dollard», for positive matrices. In the fifth part, we study the Berry-Esseen type bounds and moderate deviation principles for the operator norm «dollard»\|G_n\|»dollard» and the spectral radius «dollard»\rho(G_n)»dollard», for invertible matrices. We also prove the moderate deviation expansions in the normal range «dollard»[0, o(n^{1/6})]»dollard». The sixth part is devoted to the Cramér type moderate deviation expansion for the entries «dollard»G_n^{i,j}»dollard» of products of invertible matrices., L'objet de cette thèse est d'étudier les asymptotiques précises de grandes déviations et de déviations modérées pour les produits de matrices aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Dans la première partie, nous établissons des asymptotiques exactes de types Bahadur-Rao et Petrov pour les probabilités de grandes déviations pour le cocycle de la norme, «dollard»\log|G_nx|»dollard», où «dollard»G_n=g_n\ldots g_1»dollard» est le produit des matrices aléatoires «dollard»g_i»dollard», de type «dollard»d \times d»dollard», indépendantes et identiquement distribuées, «dollard»x»dollard» est un vecteur unitaire de «dollard»\mathbb R^d»dollard». La deuxième partie est consacrée à l'établissement des résultats de grandes déviations de types Bahadur- Rao et Petrov pour les entrées «dollard»(i,j)»dollard»-ème «dollard»G_n^{i,j}»dollard» de «dollard»G_n»dollard». En particulier, notre résultat améliore de manière significative les bornes de grandes déviations établies récemment dans la littérature. Dans la troisième partie, nous obtenons la borne de Berry-Esseen et le développement asymptotique de déviations modérées de type Cramér pour le cocycle de la norme des produits de matrices aléatoires. Ces résultats sont prouvés en élaborant une nouvelle approche basée sur une inégalité de lissage dans le plan complexe et sur la méthode du point-selle. La quatrième partie est consacrée à l'étude des bornes de type Berry-Esseen et au développement asymptotique de déviations modérées de type Cramér pour la norme d'opérateur «dollard»\|G_n\|»dollard», pour les entrées «dollard»G_n^{i,j}»dollard» et le rayon spectral «dollard»\rho(G_n)»dollard» des produits de matrices aléatoires positives. Dans la cinquième partie, nous étudions les bornes de type Berry-Esseen et les principes de déviations modérées pour la norme d'opérateur «dollard»\|G_n\|»dollard» et le rayon spectral «dollard»\rho(G_n)»dollard», pour les matrices inversibles. Nous prouvons également des développements asymptotiques de déviations modérées dans la zone normale «dollard»[0, o (n^{1/6})]»dollard». La sixième partie est consacrée au développement asymptotique de déviation modérée de type Cramér pour les entrées «dollard»G_n^{i,j} «dollard» des produits de matrices aléatoires inversibles.

This thesis is divided in two parts in which the invariant probability measures on solenoids play a major role. The solenoids (that is a compact finite dimensional connected abelian group) are a natural generalization of the usual torus. In the first part, we will study the action of groups on a solenoid by affine transformation; we obtain a necessary and sufficient condition for the action of such a group to have the spectral gap property when the solenoid is provided with the Haar measure. In the second part we will study the trace and characters of algebraic groups over the field of rational numbers. The trace of a countable group are function of positive type on the group which are invariant under conjugation. The characters (that are the indecomposable traces in a certain way) are generalization of the usual characters of finite dimensional representations and intervene in the theory of operator algebra and in the study of invariant random subgroups. We begin with the classification of this characters in the case of unipotent groups. Then we extend this classification to general algebraic groups, using the study of the unipotent case et the establishment of the invariant measure on adelic solenoids., Cette thèse comporte deux parties dans lesquelles les mesures de probabilités invariantes sur les solénoïdes jouent un rôle majeur. Les solénoïdes (c’est-à-dire les groupes abéliens compacts connexes de dimension topologique finie) sont des généralisations naturelles des tores usuels. Dans la première partie, nous étudions les groupes de transformations affines de solénoïdes ; nous obtenons une condition nécessaire et suffisante pour que l’action d’un tel groupe possède un trou spectral quand le solénoïde est muni de la mesure de Haar. Dans la deuxième partie nous étudions les traces et caractères des groupes algébriques sur le corps des nombres rationnels. Les traces d’un groupe dénombrable sont des fonctions de type positif sur le groupe qui sont invariantes par conjugaison. Les caractères (c’est-à-dire les traces qui sont indécomposables dans un certain sens) sont des généralisations des caractères usuels des représentations de dimension finie et interviennent en théorie des algèbres d’opérateurs ainsi que dans l’étude des sous-groupes distingués aléatoires. Nous commençons par classifier ces caractères dans le cas des groupes unipotents. Puis nous étendons cette classification au cas des groupes algébriques généraux, à l’aide de l’étude du cas unipotent et de la détermination des mesures invariantes sur les solénoïdes adéliques.

This thesis is dedicated to the study of the Fokker-Planck kinetic equation in the presence of an external and strong magnetic field.First, we show the exponential return to equilibrium of the solutions of this equation in $ L^p $-type spaces and Sobolev spaces with non-classical polynomial weights.Secondly, we are interested in a maximal-type estimate on the associated operator. This estimate makes it possible to give a better characterization of the domain of the closure of the operator considered.Finally, we study the quadratic Fokker-Planck electromagnetic operator. We explicitly compute the norm of the semi-group associated to the considered operator. We show an explicit and precise estimates of this norm in small and long time as well as uniform-in-time estimates when the magnetic parameter tends to infinity.; Cette thèse est dédiée à l'étude de l'équation cinétique de Fokker-Planck en présence d'un champ magnétique externe et fort. Premièrement, nous montrons le retour exponentiel à l'équilibre des solutions de cette équation dans des espaces de type $L^p$ et des espaces de Sobolev à poids polynomial non-classique.Deuxièmement, nous nous intéressons à une estimation de type maximal sur l'opérateur associé. Cette estimation permet de donner une meilleure caractérisation du domaine de la fermeture de l'opérateur considéré.Finalement, nous étudions l'opérateur quadratique de Fokker-Planck électro-magnétique. Nous calculons explicitement la norme du semi-groupe associé à l'opérateur considéré. Nous montrons des estimations explicites et précises de cette norme en temps petit et long ainsi que des estimations uniformes en temps lorsque le paramètre magnétique tend vers l'infini.

The subject of this thesis is the introduction, the study and the applications of multidimensional complex cones. First, we study the grassmannian of Banach space. We define a notion of right decomposition for p-dimensional spaces and we prove the equivalence between theHausdorff distance on the grassmannian and the distance given by a norm on the exterior algebra.Then, we define p-dimensional complex cones and a gauge on the subspaces of dimension p of these cones. We show a contraction principle for thisgauge. This allows us to prove, for an operator contracting such a cone, the existence of a spectral gap which isolate the p leading eigenvaluesfrom the rest of the spectrum. We use this theory to prove a theorem of analytic regularity for Lyapunov exponents of a random product ofoperators contracting a cone. We also give a comparison between the Hausdorff distance for vector spaces and our gauge.Finally, we introduce a notion of dual cone for p-dimensional cones. In this setting, we prove that the topological properties of a cone translateinto topological properties for its dual and conversely. We complete the previous regularity theorem by proving the existence and the regularity ofa dominated splitting of the space into a "fast space" and a "slow space".; L'objet de cette thèse est l'introduction, l'étude et l'utilisation des cônes complexes multidimensionnels. Dans un premier temps, nous étudions la grassmannienne des espaces de Banach. Nous définissons une notion de bonne décomposition pour les espaces de dimension p et nous démontronsl'équivalence entre la distance de Hausdorff sur la grassmannienne et la distance fournie par une norme sur l'algèbre extérieure.Dans un deuxième temps, nous définissons les cônes complexes p-dimensionnels ainsi qu'une jauge sur les sous-espaces de dimension p de ces cônes. Nous montrons alors un principe de contraction pour cette jauge. Cela nous permet de prouver, pour un opérateur contractant un tel cône, l'existence d'un trou spectral séparant les p valeurs propres dominantes du reste du spectre. Nous utilisons cette théorie pourdémontrer un théorème de régularité analytique pour les exposants de Lyapunov d'un produit aléatoire d'opérateurs contractant un même cône.Nous donnons également une comparaison entre la distance de Hausdorff entre espaces vectoriels et notre jauge.Enfin, nous introduisons une notion de cône dual pour les cônes p-dimensionnels. Dans ce cadre, nous prouvons que les propriétéstopologiques d'un cône se traduisent en propriétés topologiques sur son dual, et réciproquement. Nous complétons le théorème de régularitéprécédent en démontrant l'existence et la régularité d'une décomposition de l'espace en "espace lent" et "espace rapide".

The subject of this thesis is the introduction, the study and the applications of multidimensional complex cones. First, we study the grassmannian of Banach space. We define a notion of right decomposition for p-dimensional spaces and we prove the equivalence between theHausdorff distance on the grassmannian and the distance given by a norm on the exterior algebra.Then, we define p-dimensional complex cones and a gauge on the subspaces of dimension p of these cones. We show a contraction principle for thisgauge. This allows us to prove, for an operator contracting such a cone, the existence of a spectral gap which isolate the p leading eigenvaluesfrom the rest of the spectrum. We use this theory to prove a theorem of analytic regularity for Lyapunov exponents of a random product ofoperators contracting a cone. We also give a comparison between the Hausdorff distance for vector spaces and our gauge.Finally, we introduce a notion of dual cone for p-dimensional cones. In this setting, we prove that the topological properties of a cone translateinto topological properties for its dual and conversely. We complete the previous regularity theorem by proving the existence and the regularity ofa dominated splitting of the space into a "fast space" and a "slow space"., L'objet de cette thèse est l'introduction, l'étude et l'utilisation des cônes complexes multidimensionnels. Dans un premier temps, nous étudions la grassmannienne des espaces de Banach. Nous définissons une notion de bonne décomposition pour les espaces de dimension p et nous démontronsl'équivalence entre la distance de Hausdorff sur la grassmannienne et la distance fournie par une norme sur l'algèbre extérieure.Dans un deuxième temps, nous définissons les cônes complexes p-dimensionnels ainsi qu'une jauge sur les sous-espaces de dimension p de ces cônes. Nous montrons alors un principe de contraction pour cette jauge. Cela nous permet de prouver, pour un opérateur contractant un tel cône, l'existence d'un trou spectral séparant les p valeurs propres dominantes du reste du spectre. Nous utilisons cette théorie pourdémontrer un théorème de régularité analytique pour les exposants de Lyapunov d'un produit aléatoire d'opérateurs contractant un même cône.Nous donnons également une comparaison entre la distance de Hausdorff entre espaces vectoriels et notre jauge.Enfin, nous introduisons une notion de cône dual pour les cônes p-dimensionnels. Dans ce cadre, nous prouvons que les propriétéstopologiques d'un cône se traduisent en propriétés topologiques sur son dual, et réciproquement. Nous complétons le théorème de régularitéprécédent en démontrant l'existence et la régularité d'une décomposition de l'espace en "espace lent" et "espace rapide".

In this dissertation, I study several rigidity properties of von Neumann algebras. In Chapter 1, we prove the relative solidity of Bernoulli crossed products of arbitrary type. This result is based on Popa's deformation/rigidity and generalizes a theorem of Chifan and Ioana in the tracial case. As a consequence, when the acting group is non-amenable, the crossed product is prime (cannot be decomposed nontrivially as a tensor product of two factors) and the associated equivalence relation is solid.In Chapter 2, we study full factors in relation with the spectral gap property. The main result is a spectral gap characterization of full type III factors which is similar to Connes' characterization in the tracial case. This allows us to better understand the structure of these factors and their automorphism group. We generalize a theorem of Jones by giving a sufficient condition for a crossed product to be full. This condition is necessary when the group is abelian. In particular, we obtain a complete characterization of the type III_1 whose core is full. In a joint work with C. Houdayer and P. Verraedt, we show that a tensor product of two full factors is also full and we compute its Connes invariants. We also prove a unique McDuff decomposition theorem that generalizes a result of Popa in the II_1 case. In Chapter 3, we study McDuff factors, i.e. those factors that can absorb tensorially the hyperfinite factor, as well as their counterpart in ergodic theory, the so-called stable equivalence relations. We obtain a new "spectral gap like" characterization of these properties, based on a maximality argument. With this refined characterization, we are able to prove the following rigidity result: a direct product of two stable equivalence relations is stable if and only if one of them is already stable. The analoguous problem on McDuff factors remains open, but we do give some partial results.; Dans cette thèse, je m'intéresse à diverses propriétés de rigidité des algèbres de von Neumann. Dans le Chapitre 1, je démontre la solidité relative des produits croisés issus d'actions Bernoulli de type quelconque. Ce résultat repose sur la théorie de la déformation/rigidité de Popa et généralise un théorème de Chifan et Ioana en type II. Comme conséquence, dès que le groupe qui agit est non-moyennable, ces produits croisés sont premiers (n'admettent pas de décomposition non triviale en produit tensoriel de deux facteurs) et la relation d'équivalence associée est solide. Le Chapitre 2 a pour thème les facteurs pleins et les phénomènes de trous spectraux. Je montre notamment que tout facteur plein de type III vérifie une propriété de trou spectral similaire à celle obtenue par Connes dans le cas II_1. Le trou spectral permet d'analyser plus finement la structure de ces facteurs et de leur groupe d'automorphismes. Je généralise ainsi un théorème de Jones en donnant une condition suffisante pour qu'un produit croisé soit plein. Cette condition est de plus nécessaire dans le cas où le groupe qui agit est abélien. Ceci permet de caractériser complètement les facteurs de type III_1 dont le cœur est plein. Dans un travail en collaboration avec C. Houdayer et P. Verraedt, nous montrons aussi qu'un produit tensoriel de deux facteurs pleins est encore plein et nous calculons ses invariants de Connes. Nous obtenons aussi un théorème d'unique décomposition McDuff qui généralise un résultat de Popa dans le cas II_1.Dans le Chapitre 3, je m'intéresse aux facteurs McDuff, i.e. qui ont la propriété d'absorber tensoriellement le facteur hyperfini, ainsi qu'à leur analogue en théorie ergodique, les relations d'équivalences stables. Je donne notamment une nouvelle caractérisation de cette propriété de stabilité qui repose sur un argument de maximalité. Cette caractérisation de type "trou spectral", plus fine que celle connue jusqu'alors, permet de démontrer le résultat de rigidité suivant: un produit direct de deux relations d'équivalences est stable si et seulement si l'une des deux est stable. Le problème similaire pour les facteurs McDuff reste ouvert, mais je donne quelques résultats partiels.

We study the properties of stationary states associated with nonequilibrium dynamics from a theoretical and a numerical point of view. These dynamics are obtained by perturbing equilibrium dynamics with mechanical and / or thermal forcings. In the theoretical approach, the system considered evolves according to a Langevin dynamics perturbed by a torque. In this framework, we study the convergence of the law of dynamics to the stationary measure, giving quantitative estimates of the exponential rate, both in the Hamiltonian and `` overdamped '' regimes.By a numerical approach, we consider a chain of rotors subjected to both forcings and a chain of Toda oscillators subject to a thermal forcing and a stochastic perturbation. We study the features of the stationary state and analyze its transport properties. In particular, in the case of the rotor chain, contrary to what is naively expected, we observe that the average energy current is in some cases increased by an opposite temperature gradient.; Nous étudions les propriétés des états stationnaires et de dynamiques hors-équilibre, d’un point de vue théorique et numérique. Ces dynamiques sont obtenues en perturbant la dynamique d’équilibre par forçage mécanique et/ou thermique. Dans l’approche théorique, le système considéré évolue selon une dynamique de Langevin à laquelle on ajoute une force extérieure. Nous étudions la convergence de la loi de la dynamique vers la mesure stationnaire, en donnant des estimations quantitatives du taux, dans les régimes Hamiltonien et sur amorties. Dans l’approche numérique, nous considérons une chaîne de rotateurs soumise aux deux forçages et une chaîne d’oscillateurs de Toda soumise à un forçage thermique et à une perturbation stochastique. Nous étudions les caractéristiques de l’état stationnaire et les propriétés de transport. Dans le cas de la chaîne de rotateurs nous observons en particulier que le courant d’énergie moyen est dans certains cas accru par un gradient de température opposé.

We study the properties of stationary states associated with nonequilibrium dynamics from a theoretical and a numerical point of view. These dynamics are obtained by perturbing equilibrium dynamics with mechanical and / or thermal forcings. In the theoretical approach, the system considered evolves according to a Langevin dynamics perturbed by a torque. In this framework, we study the convergence of the law of dynamics to the stationary measure, giving quantitative estimates of the exponential rate, both in the Hamiltonian and `` overdamped '' regimes.By a numerical approach, we consider a chain of rotors subjected to both forcings and a chain of Toda oscillators subject to a thermal forcing and a stochastic perturbation. We study the features of the stationary state and analyze its transport properties. In particular, in the case of the rotor chain, contrary to what is naively expected, we observe that the average energy current is in some cases increased by an opposite temperature gradient.; Nous étudions les propriétés des états stationnaires et de dynamiques hors-équilibre, d’un point de vue théorique et numérique. Ces dynamiques sont obtenues en perturbant la dynamique d’équilibre par forçage mécanique et/ou thermique. Dans l’approche théorique, le système considéré évolue selon une dynamique de Langevin à laquelle on ajoute une force extérieure. Nous étudions la convergence de la loi de la dynamique vers la mesure stationnaire, en donnant des estimations quantitatives du taux, dans les régimes Hamiltonien et sur amorties. Dans l’approche numérique, nous considérons une chaîne de rotateurs soumise aux deux forçages et une chaîne d’oscillateurs de Toda soumise à un forçage thermique et à une perturbation stochastique. Nous étudions les caractéristiques de l’état stationnaire et les propriétés de transport. Dans le cas de la chaîne de rotateurs nous observons en particulier que le courant d’énergie moyen est dans certains cas accru par un gradient de température opposé.

In application, we would like to generate random numbers with a precise law MCMC (Markov Chaine Monte Carlo). The method consists in finding a diffusion which has the desired invariant law and in showing the convergence of this diffusion towards its equilibrium with an exponential rate. The exponent of this convergence is the spectral gap of the generator. It was shown by C.-R. Hwang, S.-Y. Hwang-Ma and S.-J. Sheu that the spectral gap can grow up by adding a non-symmetric term to the self-adjoint generator.This corresponds to passing from a reversible diffusion to a non-reversible diffusion. A means of constructing a non-reversible diffusion with the same invariant measure is to add an incompressible flow to the dynamics of the reversible diffusion.In this thesis, we study the behavior of diffusion when the flow is accelerated by multiplying the field of the vectors which describes it by a large constant. In 2008, P. Constantin, A. Kisekev, L. Ryzhik and A. Zlatoˇs have shown that if the flow was weakly mixing then the acceleration of the flow was sufficient to converge the diffusion towards its equilibrium after finite time. In this work, the speed of this phenomenon is explained under a condition of correlation of the flow. The article by B. Franke, C.-R.Hwang, H.-M. Pai and S.-J.Sheu (2010) gives the asymptotic expression of the spectral gap when the large constant goes to infinity. Here we are also interested in the speed with which the phenomenon manifests itself. First, we study the special case of an Ornstein-Uhlenbeck diffusion which is perturbed by a flow preserving the Gaussian measure. In this case, thanks to a result of G. Metafune, D. Pallara and E. Priola (2002), we can reduce the study of the generator spectrum to eigenvalues of a family of matrices. We study this problem with methods of limited development of eigenvalues. This problem is solved explicitly in this thesis and we also give a boundary for the convergence radius of the development. We then generalize this method in the case of a general diffusion in a formal way. These results may be useful to have a first idea on the speeds of convergence of the spectral gap described in the article by Franke et al. (2010)., En application, on souhaite générer des nombres aléatoires avec une loi précise (méthode de Monte Carlo par chaines de Markov - MCMC (Markov Chaine Monte Carlo)). La méthode consiste à trouver une diffusion qui a la loi invariante souhaitée et à montrer la convergence de cette diffusion vers son équilibre avec une vitesse exponentielle. L’exposant de cette convergence est le trou spectral du générateur. Il a été montré par Chii-Ruey Hwang, Shu-Yin Hwang-Ma, et Shuenn-Jyi Sheu qu’on peut agrandir le trou spectral, en rajoutant un terme non-symétrique au générateur auto-adjoint (souvent utilisé en MCMC). Ceci correspond à passer d’une diffusion réversible (en detailed balance) à une diffusion non réversible. Un moyen de construire une diffusion non-réversible avec la même mesure invariante est de rajouter un flot incompressible à la dynamique de la diffusion réversible.Dans cette thèse, nous étudions le comportement de la diffusion lorsqu’on accélère le flot sous-jacent en multipliant le champ des vecteurs qui le décrit par une grande constante. P. Constantin, A.Kisekev, L.Ryzhik et A.Zlatoš (2008) ont montré que si le flot était faiblement mélangeant alors l’accélération du flot suffisait pour faire converger la diffusion vers son équilibre en un temps fini. Dans ce travail, on explicite la vitesse de ce phénomène sous une condition de corrélation du flot. L’article de B. Franke, C.-R.Hwang, H.-M. Pai et S.-J. Sheu (2010) donne l’expression asymptotique du trou spectral lorsque le flot sous-jacent est accéléré vers l’infini. Ici aussi, on s’intéresse à la vitesse avec laquelle le phénomène se manifeste. Dans un premier temps, nous étudions le cas particulier d’une diffusion du type Ornstein-Uhlenbeck qui est perturbée par un flot préservant la mesure gaussienne. Dans ce cas, grâce à un résultat de G. Metafune, D. Pallara et E. Priola (2002), nous pouvons réduire l’étude du spectre du générateur à des valeurs propres d’une famille de matrices. Nous étudions ce problème avec des méthodes de développement limité des valeurs propres. Ce problème est résolu explicitement dans cette thèse et nous donnons aussi une borne pour le rayon de convergence du développement. Nous généralisons ensuite cette méthode dans le cas d’une diffusion générale de façon formelle. Ces résultats peuvent être utiles pour avoir une première idée sur les vitesses de convergence du trou spectral décrites dans l’article de Franke et al. (2010).

The topic of this thesis is the study of models coming from kinetic theory. In all the problems that are addressed, the associated linear or linearized problem is analyzed from a spectral point of view and from the point of view of semigroups. Tothat, we add the study of the nonlinear stability when the equation is nonlinear. More precisely, to begin with, we treat the problem of trend to equilibrium for the fractional Fokker-Planck and Boltzmann without cut-off equations, proving an exponential decay to equilibrium in spaces of type L1 with polynomial weights. Concerning the inhomogeneous Landau equation, we develop a Cauchy theory of perturbative solutions in spaces of type L2 with various weights such as polynomial and exponential weights and we also prove the exponential stability of these solutions. Then, we prove similar results for the inhomogeneous inelastic diffusively driven Boltzmann equation in a small inelasticity regime in L1 spaces with polynomial weights. Finally, we study in the same and uniform framework from the spectral analysis point of view with a semigroup approach several Fokker-Planck equations which converge towards the classical one.; Cette thèse est centrée sur l’étude d’équations issues de la théorie cinétique des gaz. Dans tous les problèmes qui y sont explorés, une analyse des problèmes linéaires ou linéarisés associés est réalisée d’un point de vue spectral et du point de vue des semi-groupes. A cela s’ajoute une analyse de la stabilité non linéaire lorsque le modèle est non linéaire. Plus précisément, dans une première partie, nous nous intéressons aux équations de Fokker-Planck fractionnaire et Boltzmann sans cut-off homogène en espace et nous prouvons un retour vers l’équilibre des solutions de ces équations avec un taux exponentiel dans des espaces de type L1 à poids polynomial. Concernant l’équation de Landau inhomogène en espace, nous développons une théorie de Cauchy de solutions perturbatives dans des espaces de type L2 avec différents poids (polynomiaux ou exponentiels) et nous prouvons également la stabilité exponentielle de ces solutions.Nous démontrons ensuite pour l’équation de Boltzmann inélastique inhomogène avec terme diffusif le même type de résultat dans des espaces L1 à poids polynomial dans un régime de faible inélasticité. Pour finir, nous étudions dans un cadre général et uniforme des modèles qui convergent vers l’équation de Fokker-Planck du point de vue de l’analyse spectrale et des semi-groupes.

This thesis is concerned with kinetic theory and many-particle systems in the setting of Boltzmann and Landau equations. Firstly, we study the derivation of kinetic equation as mean field limits of many-particle systems, using the concept of propagation of chaos. More precisely, we study chaotic probabilities on the phase space of such particle systems : the Boltzmann's sphere, which corresponds to the phase space of a many-particle system undergoing a dynamics that conserves momentum and energy ; and the Kac's sphere, which corresponds to the energy conservation only. Then we are concerned with the propagation of chaos, with quantitative and uniform in time estimates, for Boltzmann and Landau equations. Secondly, we study the long-time behaviour of solutions to the Landau equation.; Nous nous intéressons dans cette thèse à la théorie cinétique et aux systèmes de particules dans le cadre des équations de Boltzmann et Landau. Premièrement, nous étudions la dérivation des équations cinétiques comme des limites de champ moyen des systèmes de particules, en utilisant le concept de propagation du chaos. Plus précisément, nous étudions les probabilités chaotiques sur l'espace de phase de ces systèmes de particules : la sphère de Boltzmann, qui correspond à l'espace de phase d'un système de particules qui évolue conservant le moment et l'énergie ; et la sphère de Kac, correspondant à un système de particules qui conserve seulement l'énergie. Ensuite, nous nous intéressons à la propagation du chaos, avec des estimations quantitatives et uniforme en temps, pour les équations de Boltzmann et Landau. Deuxièmement, nous étudions le comportement asymptotique en temps grand des solutions de l'équation de Landau.

This thesis is concerned with kinetic theory and many-particle systems in the setting of Boltzmann and Landau equations. Firstly, we study the derivation of kinetic equation as mean field limits of many-particle systems, using the concept of propagation of chaos. More precisely, we study chaotic probabilities on the phase space of such particle systems : the Boltzmann's sphere, which corresponds to the phase space of a many-particle system undergoing a dynamics that conserves momentum and energy ; and the Kac's sphere, which corresponds to the energy conservation only. Then we are concerned with the propagation of chaos, with quantitative and uniform in time estimates, for Boltzmann and Landau equations. Secondly, we study the long-time behaviour of solutions to the Landau equation.; Nous nous intéressons dans cette thèse à la théorie cinétique et aux systèmes de particules dans le cadre des équations de Boltzmann et Landau. Premièrement, nous étudions la dérivation des équations cinétiques comme des limites de champ moyen des systèmes de particules, en utilisant le concept de propagation du chaos. Plus précisément, nous étudions les probabilités chaotiques sur l'espace de phase de ces systèmes de particules : la sphère de Boltzmann, qui correspond à l'espace de phase d'un système de particules qui évolue conservant le moment et l'énergie ; et la sphère de Kac, correspondant à un système de particules qui conserve seulement l'énergie. Ensuite, nous nous intéressons à la propagation du chaos, avec des estimations quantitatives et uniforme en temps, pour les équations de Boltzmann et Landau. Deuxièmement, nous étudions le comportement asymptotique en temps grand des solutions de l'équation de Landau.

In this thesis we study the set of solutions of partial differential equations arising from models in astrophysics and biology. We answer the questions of existence but also we try to describe the behavior of some families of solutions when parameters vary. First we study two problems concerned with astrophysics, where we show the existence of particular sets of solutions depending on a parameter using the Lyapunov-Schmidt reduction method. Afterwards a perturbation argument and Banach's Fixed Point Theorem reduce the original problem to a finite-dimensional one, which can be solved, usually, by variational techniques. The rest of the thesis is de-voted to the study of the Keller-Segel model, which describes the motion of unicellular amoebae. In its simpler version, the Keller-Segel model is a parabolic-elliptic system which shares with some gravitational models the property that interaction is computed through an attractive Poisson / Newton equation. A major difference is the fact that it is set in a two-dimensional setting, which experimentally makes sense, while gravitational models are ordinarily three-dimensional. For this problem the existence issues are well known, but the behaviour of the solutions during the time evolution is still an active area of research. Here we extend properties already known in particular regimes to a broader range of the mass parameter, and we give a precise estimate of the convergence rate of the solution to a known profile as time goes to infinity. This result is achieved using various tools such as symmetrization techniques and optimal functional inequalities. The last chapters deal with numerical results and formal computations related to the Keller-Segel model; Dans cette thèse, nous étudions l'ensemble des solutions d'équations aux dérivées partielles résultant de modèles d'astrophysique et de biologie. Nous répondons aux questions de l'existence, mais aussi nous essayons de décrire le comportement de certaines familles de solutions lorsque les paramètres varient. Tout d'abord, nous étudions deux problèmes issus de l'astrophysique, pour lesquels nous montrons l'existence d'ensembles particuliers de solutions dépendant d'un paramètre à l'aide de la méthode de réduction de Lyapunov-Schmidt. Ensuite un argument de perturbation et le théorème du Point xe de Banach réduisent le problème original à un problème de dimension finie, et qui peut être résolu, habituellement, par des techniques variationnelles. Le reste de la thèse est consacré à l'étude du modèle Keller-Segel, qui décrit le mouvement d'amibes unicellulaires. Dans sa version plus simple, le modèle de Keller-Segel est un système parabolique-elliptique qui partage avec certains modèles gravitationnels la propriété que l'interaction est calculée au moyen d'une équation de Poisson / Newton attractive. Une différence majeure réside dans le fait que le modèle est défini dans un espace bidimensionnel, qui est expérimentalement consistant, tandis que les modèles de gravitationnels sont ordinairement posés en trois dimensions. Pour ce problème, les questions de l'existence sont bien connues, mais le comportement des solutions au cours de l'évolution dans le temps est encore un domaine actif de recherche. Ici nous étendre les propriétés déjà connues dans des régimes particuliers à un intervalle plus large du paramètre de masse, et nous donnons une estimation précise de la vitesse de convergence de la solution vers un profil donné quand le temps tend vers l'infini. Ce résultat est obtenu à l'aide de divers outils tels que des techniques de symétrisation et des inégalités fonctionnelles optimales. Les derniers chapitres traitent de résultats numériques et de calculs formels liés au modèle Keller-Segel

In this thesis we study the set of solutions of partial differential equations arising from models in astrophysics and biology. We answer the questions of existence but also we try to describe the behavior of some families of solutions when parameters vary. First we study two problems concerned with astrophysics, where we show the existence of particular sets of solutions depending on a parameter using the Lyapunov-Schmidt reduction method. Afterwards a perturbation argument and Banach's Fixed Point Theorem reduce the original problem to a finite-dimensional one, which can be solved, usually, by variational techniques. The rest of the thesis is de-voted to the study of the Keller-Segel model, which describes the motion of unicellular amoebae. In its simpler version, the Keller-Segel model is a parabolic-elliptic system which shares with some gravitational models the property that interaction is computed through an attractive Poisson / Newton equation. A major difference is the fact that it is set in a two-dimensional setting, which experimentally makes sense, while gravitational models are ordinarily three-dimensional. For this problem the existence issues are well known, but the behaviour of the solutions during the time evolution is still an active area of research. Here we extend properties already known in particular regimes to a broader range of the mass parameter, and we give a precise estimate of the convergence rate of the solution to a known profile as time goes to infinity. This result is achieved using various tools such as symmetrization techniques and optimal functional inequalities. The last chapters deal with numerical results and formal computations related to the Keller-Segel model; Dans cette thèse, nous étudions l'ensemble des solutions d'équations aux dérivées partielles résultant de modèles d'astrophysique et de biologie. Nous répondons aux questions de l'existence, mais aussi nous essayons de décrire le comportement de certaines familles de solutions lorsque les paramètres varient. Tout d'abord, nous étudions deux problèmes issus de l'astrophysique, pour lesquels nous montrons l'existence d'ensembles particuliers de solutions dépendant d'un paramètre à l'aide de la méthode de réduction de Lyapunov-Schmidt. Ensuite un argument de perturbation et le théorème du Point xe de Banach réduisent le problème original à un problème de dimension finie, et qui peut être résolu, habituellement, par des techniques variationnelles. Le reste de la thèse est consacré à l'étude du modèle Keller-Segel, qui décrit le mouvement d'amibes unicellulaires. Dans sa version plus simple, le modèle de Keller-Segel est un système parabolique-elliptique qui partage avec certains modèles gravitationnels la propriété que l'interaction est calculée au moyen d'une équation de Poisson / Newton attractive. Une différence majeure réside dans le fait que le modèle est défini dans un espace bidimensionnel, qui est expérimentalement consistant, tandis que les modèles de gravitationnels sont ordinairement posés en trois dimensions. Pour ce problème, les questions de l'existence sont bien connues, mais le comportement des solutions au cours de l'évolution dans le temps est encore un domaine actif de recherche. Ici nous étendre les propriétés déjà connues dans des régimes particuliers à un intervalle plus large du paramètre de masse, et nous donnons une estimation précise de la vitesse de convergence de la solution vers un profil donné quand le temps tend vers l'infini. Ce résultat est obtenu à l'aide de divers outils tels que des techniques de symétrisation et des inégalités fonctionnelles optimales. Les derniers chapitres traitent de résultats numériques et de calculs formels liés au modèle Keller-Segel

The coarse Ricci curvature of a Markov process on a Polish space is defined as a local contraction rate of the W1 Wasserstein distance between the laws of the process starting at two different points. The first part of this thesis deals with results holding in the case of general Polish spaces. The simplest of them is that the infimum of the coarse Ricci curvature is a global contraction rate of the semigroup of the process for the W1 distance between probability measures. Though intuitive, this result is diffucult to prove in continuous time. The proof of this result, and the following consequences for the spectral gap of the generator are the subject of Chapter 1. Another interesting result, using the values of the coarse Ricci curvature at different points, and not only its infimum, is a concentration result for the equilibrium measures, only holding in a discrete time framework. That will be the topic of Chapter 2. The second part of this thesis deals with the particular case of diffusions on Riemannian manifolds. A formula is given, allowing to get the coarse Ricci curvature from the generator of the diffusion. In the case when the metric is adapted to the diffusion, we show the existence of a coupling between the paths starting at two different points, such that the coarse Ricci curvature is exactly the decreasing rate of the distance between these paths. We can then show that the spectral gap of the generator is at least the harmonic mean of the Ricci curvature. This result can be generalized when the metric is not the one induced by the generator, but it needs a very restricting hypothesis, and the curvature we have to choose is smaller., La courbure de Ricci grossière d’un processus markovien sur un espace polonais est définie comme un taux de contraction local de la distance de Wasserstein W1 entre les lois du processus partant de deux points distincts. La première partie de cette thèse traite de résultats valables dans le cas d’espaces polonais quelconques. On montre que l’infimum de la courbure de Ricci grossière est un taux de contraction global du semigroupe du processus pour la distance W1. Quoiqu’intuitif, ce résultat est difficile à démontrer en temps continu. La preuve de ce résultat, ses conséquences sur le trou spectral du générateur font l’objet du chapitre 1. Un autre résultat intéressant, faisant intervenir les valeurs de la courbure de Ricci grossière en différents points, et pas seulement son infimum, est un résultat de concentration des mesures d’équilibre, valable uniquement en temps discret. Il sera traité dans le chapitre 2. La seconde partie de cette thèse traite du cas particulier des diffusions sur les variétés riemanniennes. Une formule est donnée permettant d’obtenir la courbure de Ricci grossière à partir du générateur. Dans le cas où la métrique est adaptée à la diffusion, nous montrons l’existence d’un couplage entre les trajectoires tel que la courbure de Ricci grossière est exactement le taux de décroissance de la distance entre ces trajectoires. Le trou spectral du générateur de la diffusion est alors plus grand que la moyenne harmonique de la courbure de Ricci. Ce résultat peut être généralisé lorsque la métrique n’est pas celle induite par le générateur, mais il nécessite une hypothèse contraignante, et la courbure que l'on doit considérer est plus faible.

A stochastic recurrent sequences (SRS) driven by a sequence of random matrices is a sequence of random variables whose element of order n+1 is the product of the element of order n by the n-th matrix. This thesis investigates the asymptotic behaviour of such sequences. In the first part, matrices are invertible and we give a separation criterion for Lyapunov exponents when the sequence of matrices obeys to a Gibbs measure on a finite type subshift. In the second part, the products are in the max-plus algebra. We show that the first order behaviour of the SRS essentially depends on the behaviour of diagonal blocks and that the memory loss property, which ensures the stability of the SRS, is generic. Using the spectral gap method, we show that if the sequence of random matrices (or topical applications) is i.i.d. and has the memory loss property, then the SRS driven by this sequence satisfy classical limit theorems., On appelle suite récurrente stochastique (SRS) dirigée par une suite de matrices aléatoires une suite de variables aléatoires telles que le terme de rang n+1 est obtenu en multipliant celui de rang n par la enième matrice. Cette thèse porte sur le comportement asymptotique de telles suites. Dans la première partie, les matrices sont inversibles et on donne un critère de séparation des exposants de Lyapunov quand la suite de matrices suit une mesure de Gibbs sur un sous-shift de type fini. Dans la seconde partie, les produits se font au sens max-plus. On montre que le comportement des SRS au premier ordre est essentiellement déterminé par celui de certains blocs diagonaux et que la propriété de perte de mémoire, qui assure la stabilité des SRS, est générique. Si une suite de matrices (ou d'applications topicales) aléatoires est i.i.d. et a la propriété de perte de mémoire, alors les SRS qu'elle dirige vérifient des théorèmes limites. Ce résultat est obtenu par la méthode du trou spectral.

Benoît Desjardins, Examinateur, CEA/DAM Bruno Després, Rapporteur, CEA/DAM & Univ. Paris 6 Laurent Desvillettes, Directeur de Thèse, ENS CachanJean-Michel Ghidaglia, Président du jury, ENS CachanThierry Goudon, Rapporteur, Université Lille 1; This thesis deals with the study of complex fluids in Fluid Mechanics, and particularly of sprays (i.e. particles in suspension in a surrounding fluid).The physical quantities are solutions of partial differential equations (PDE). The continuous phase (surrounding fluid) is described by Euler or Navier-Stokes type equations. The dispersed phase is described by a kinetic equation.The first part is devoted to a mathematical study of a coupling between a Vlasov equation, and the isentropic Euler equations, which appears in the modelling of thin sprays. We establish the existence for small time of a regular solution for the Vlasov-isentropic Euler system.Next, we write down the precise kernels corresponding to the complex phenomena of oscillations, breakup and collisions/coalescences.Then, we describe the numerical simulation of a kinetic-fluid coupling in an industrial code (Commissariat à l'Énergie atomique); we especially study the implementation of collisions in the code.A second model of breakup is also presented. This model is more adapted when droplets interact with a pressure wave and have an high Weber number.Finally, we give explicit estimates for the spectral gap of the linearized Boltzmann and Landau operators with hard potentials.; Dans ce travail, nous nous intéressons à des problèmes issus de la Mécanique des Fluides et plus particulièrement au cas des aérosols (ou sprays, c'est-à-dire un ensemble de particules en suspension dans un fluide environnant). Les phénomènes physiques mis en jeu sont modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP). La phase continue (fluide environnant) est décrite par des équations issues de la mécanique des milieux continus de type Navier-Stokes ou Euler. La phase dispersée est décrite par une équation cinétique de type Boltzmann.Le premier résultat que nous présentons est consacré à l'étude mathématique d'un couplage entre une équation cinétique de type Vlasov et les équations d'Euler isentropiques. Ces équations modélisent un spray fin. Nous démontrons l'existence en temps petit d'une solution régulière pour le couplage Vlasov-Euler isentropique.Ensuite, nous présentons les équations précises relatives à la modélisation des collisions, coalescences et fragmentations dans un spray.Nous décrivons par la suite la simulation numérique du couplage fluide-cinétique dans un code industriel (Commissariat à l'Énergie Atomique), en particulier l'ajout des phénomènes de collisions.Un deuxième modèle de fragmentation est également présenté. Ce modèle est plus pertinent dans les cas où les particules de la phase dispersée ont un grand nombre de Weber.Enfin, nous présentons un résultat concernant une estimation explicite de trou spectral pour l'opérateur de Boltzmann avec potentiels durs linéarisé, et pour l'opérateur de Landau avec potentiels durs linéarisé.

This thesis deals with the study of complex fluids in Fluid Mechanics, and particularly of sprays (i.e. particles in suspension in a surrounding fluid).The physical quantities are solutions of partial differential equations (PDE). The continuous phase (surrounding fluid) is described by Euler or Navier-Stokes type equations. The dispersed phase is described by a kinetic equation.The first part is devoted to a mathematical study of a coupling between a Vlasov equation, and the isentropic Euler equations, which appears in the modelling of thin sprays. We establish the existence for small time of a regular solution for the Vlasov-isentropic Euler system.Next, we write down the precise kernels corresponding to the complex phenomena of oscillations, breakup and collisions/coalescences.Then, we describe the numerical simulation of a kinetic-fluid coupling in an industrial code (Commissariat à l'Énergie atomique); we especially study the implementation of collisions in the code.A second model of breakup is also presented. This model is more adapted when droplets interact with a pressure wave and have an high Weber number.Finally, we give explicit estimates for the spectral gap of the linearized Boltzmann and Landau operators with hard potentials., Dans ce travail, nous nous intéressons à des problèmes issus de la Mécanique des Fluides et plus particulièrement au cas des aérosols (ou sprays, c'est-à-dire un ensemble de particules en suspension dans un fluide environnant). Les phénomènes physiques mis en jeu sont modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP). La phase continue (fluide environnant) est décrite par des équations issues de la mécanique des milieux continus de type Navier-Stokes ou Euler. La phase dispersée est décrite par une équation cinétique de type Boltzmann.Le premier résultat que nous présentons est consacré à l'étude mathématique d'un couplage entre une équation cinétique de type Vlasov et les équations d'Euler isentropiques. Ces équations modélisent un spray fin. Nous démontrons l'existence en temps petit d'une solution régulière pour le couplage Vlasov-Euler isentropique.Ensuite, nous présentons les équations précises relatives à la modélisation des collisions, coalescences et fragmentations dans un spray.Nous décrivons par la suite la simulation numérique du couplage fluide-cinétique dans un code industriel (Commissariat à l'Énergie Atomique), en particulier l'ajout des phénomènes de collisions.Un deuxième modèle de fragmentation est également présenté. Ce modèle est plus pertinent dans les cas où les particules de la phase dispersée ont un grand nombre de Weber.Enfin, nous présentons un résultat concernant une estimation explicite de trou spectral pour l'opérateur de Boltzmann avec potentiels durs linéarisé, et pour l'opérateur de Landau avec potentiels durs linéarisé.

Suppose that Fourier transform of a function f is zero on the interval [-a,a]. We prove that the lower density of sign changes of f is at least a/pi, provided that f is a locally integrable temperate distribution in the sense of Beurling, with non-quasianalytic weight. We construct an example showing that the last condition cannot be omitted., 1 Figure

In this dissertation, I study several rigidity properties of von Neumann algebras. In Chapter 1, we prove the relative solidity of Bernoulli crossed products of arbitrary type. This result is based on Popa's deformation/rigidity and generalizes a theorem of Chifan and Ioana in the tracial case. As a consequence, when the acting group is non-amenable, the crossed product is prime (cannot be decomposed nontrivially as a tensor product of two factors) and the associated equivalence relation is solid.In Chapter 2, we study full factors in relation with the spectral gap property. The main result is a spectral gap characterization of full type III factors which is similar to Connes' characterization in the tracial case. This allows us to better understand the structure of these factors and their automorphism group. We generalize a theorem of Jones by giving a sufficient condition for a crossed product to be full. This condition is necessary when the group is abelian. In particular, we obtain a complete characterization of the type III_1 whose core is full. In a joint work with C. Houdayer and P. Verraedt, we show that a tensor product of two full factors is also full and we compute its Connes invariants. We also prove a unique McDuff decomposition theorem that generalizes a result of Popa in the II_1 case. In Chapter 3, we study McDuff factors, i.e. those factors that can absorb tensorially the hyperfinite factor, as well as their counterpart in ergodic theory, the so-called stable equivalence relations. We obtain a new "spectral gap like" characterization of these properties, based on a maximality argument. With this refined characterization, we are able to prove the following rigidity result: a direct product of two stable equivalence relations is stable if and only if one of them is already stable. The analoguous problem on McDuff factors remains open, but we do give some partial results.; Dans cette thèse, je m'intéresse à diverses propriétés de rigidité des algèbres de von Neumann. Dans le Chapitre 1, je démontre la solidité relative des produits croisés issus d'actions Bernoulli de type quelconque. Ce résultat repose sur la théorie de la déformation/rigidité de Popa et généralise un théorème de Chifan et Ioana en type II. Comme conséquence, dès que le groupe qui agit est non-moyennable, ces produits croisés sont premiers (n'admettent pas de décomposition non triviale en produit tensoriel de deux facteurs) et la relation d'équivalence associée est solide. Le Chapitre 2 a pour thème les facteurs pleins et les phénomènes de trous spectraux. Je montre notamment que tout facteur plein de type III vérifie une propriété de trou spectral similaire à celle obtenue par Connes dans le cas II_1. Le trou spectral permet d'analyser plus finement la structure de ces facteurs et de leur groupe d'automorphismes. Je généralise ainsi un théorème de Jones en donnant une condition suffisante pour qu'un produit croisé soit plein. Cette condition est de plus nécessaire dans le cas où le groupe qui agit est abélien. Ceci permet de caractériser complètement les facteurs de type III_1 dont le cœur est plein. Dans un travail en collaboration avec C. Houdayer et P. Verraedt, nous montrons aussi qu'un produit tensoriel de deux facteurs pleins est encore plein et nous calculons ses invariants de Connes. Nous obtenons aussi un théorème d'unique décomposition McDuff qui généralise un résultat de Popa dans le cas II_1.Dans le Chapitre 3, je m'intéresse aux facteurs McDuff, i.e. qui ont la propriété d'absorber tensoriellement le facteur hyperfini, ainsi qu'à leur analogue en théorie ergodique, les relations d'équivalences stables. Je donne notamment une nouvelle caractérisation de cette propriété de stabilité qui repose sur un argument de maximalité. Cette caractérisation de type "trou spectral", plus fine que celle connue jusqu'alors, permet de démontrer le résultat de rigidité suivant: un produit direct de deux relations d'équivalences est stable si et seulement si l'une des deux est stable. Le problème similaire pour les facteurs McDuff reste ouvert, mais je donne quelques résultats partiels.