Guillaume Quintin, Morgan Barbier, Christophe Chabot, Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique [Palaiseau] (LIX), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École polytechnique (X), Geometry, arithmetic, algorithms, codes and encryption (GRACE), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École polytechnique (X)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École polytechnique (X)-Inria Saclay - Ile de France, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Equipe AMACC - Laboratoire GREYC - UMR6072, Groupe de Recherche en Informatique, Image et Instrumentation de Caen (GREYC), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École Nationale Supérieure d'Ingénieurs de Caen (ENSICAEN), Normandie Université (NU)-Normandie Université (NU)-Université de Caen Normandie (UNICAEN), Normandie Université (NU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École Nationale Supérieure d'Ingénieurs de Caen (ENSICAEN), Normandie Université (NU), Calculs Algébriques et Systèmes Dynamiques (CASYS), Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), École polytechnique (X)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), École polytechnique (X)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École polytechnique (X)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Saclay - Ile de France, Université de Caen Normandie (UNICAEN), Normandie Université (NU)-Normandie Université (NU)-École Nationale Supérieure d'Ingénieurs de Caen (ENSICAEN), Normandie Université (NU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Caen Normandie (UNICAEN), and Normandie Université (NU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)
International audience; In this paper we study generalized Reed-Solomon codes (GRS codes) over commutative, noncommutative rings, show that the classical Welch-Berlekamp and Guruswami-Sudan decoding algorithms still hold in this context and we investigate their complexities. Under some hypothesis, the study of noncommutative generalized Reed-Solomon codes over finite rings leads to the fact that GRS code over commutative rings have better parameters than their noncommutative counterparts. Also GRS codes over finite fields have better parameters than their commutative rings counterparts. But we also show that given a unique decoding algorithm for a GRS code over a finite field, there exists a unique decoding algorithm for a GRS code over a truncated power series ring with a better asymptotic complexity. Moreover we generalize a lifting decoding scheme to obtain new unique and list decoding algorithms designed to work when the base ring is for example a Galois ring or a truncated power series ring or the ring of square matrices over the latter ring.; Dans cet article on étudie les codes de Reed-Solomon généralisés (codes GRS) sur des anneaux commutatifs, non commutatifs, on montre que les algorithmes classiques de décodage Welch-Berlekamp et Guruswami-Sudan restent valides dans ce contexte et on donne leurs complexités. Sous certaines hypothèses, l'étude des codes de Reed-Solomon généralisés sur les anneaux finis montre que les codes GRS sur les anneaux commutatifs ont des meilleurs paramètres que leurs équivalents non commutatifs. De même, les codes GRS sur les corps finis ont de meilleurs paramètres que leurs équivalents sur les anneaux commutatifs. Mais on montre aussi qu'étant donné un algorithme de décodage unique pour un code GRS sur un corps fini, il existe un algorithme de décodage unique pour un code GRS sur l'anneaux des séries tronquées avec une meilleure complexité asymptotique. De plus on généralise un schéma de remontée pour obtenir de nouveau algorithmes de décodage unique et en liste pour les codes GRS sur certains anneaux tels que les anneaux de Galois ou les anneaux de séries tronquées ou les anneaux de matrices sur ces derniers.