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Se concibe una función convexa f : R3 - R para la cual el conjunto de nivel f-1 ([0, r]) es un tronco de cono elíptico δ , macizo y cerrado, para un cierto número real r > 0. Se calcula su volumen, y en particular, cuando δ es circular, los radios de sus bases. También, dado un tronco de esta naturaleza, se construye una representación cartesiana suya. Al trascender la geometría del sólido δ, se establece un criterio de concurrencia cónica: cuándo dos elipses paralelas en R3 son secciones de corte de una hoja cónica, demás de otros resultados afines.

Dados un paraboloide de revolución P y un plano H normal a su eje de rotación, se demuestra que todo rectángulo, todo polígono regular y toda circunferencia en H es la sombra ortogonal de un paralelogramo, de un polígono regular afín y de una elipse inscritos en P, respectivamente. Recíprocamente, la intersección (condicionada) de un plano con P es una elipse cuya sombra ortogonal sobre H es una circunferencia. Por ende se obtiene que todo teselado regular o semirregular en H es la proyección ortogonal de una superficie poliédrica no acotada de polígonos regulares afines inscritos en P. Estas composiciones de figuras, así como otras armoniosas combinaciones con elipses inscritas en P, ponen de manifiesto las implicaciones de las mencionadas propiedades de P en el diseño de formas geométricas novedosas en el arte y la arquitectura.

Se concibe la geometría del ángulo plano y diedro en términos de matrices reales simétricas. Se acuñan así campos escalares sobre R2 y R3, siendo dichas figuras justamente sus conjuntos de nivel, respectivamente. Además se construyen campos vectoriales F : R -→ Rn y f : R2 -→ R3, tales que F(R) es un ángulo plano y f(R2) un ángulo diedro, con representaciones vectoriales unificadas.

Se introduce un algoritmo algebraico para construir en R3 un zonágono sobre un plano prefijado. También en R2 se obtiene para dicho polígono una representación cartesiana. Ambos resultados son necesarios y conducentes al estudio de la hoja cónica zonagonal. Para esta superficie poliédrica reglada se aportan representaciones paramétricas y cartesianas que unifican y describen la geometría de la hoja cónica. Palabras y frases claves: Zonágono, hoja cónica zonagonal, superficie reglada poliédrica.

Dada una elipse £ en R2 de centro G, con el origen 0 ≠G en su región interior, se estudia la geometría de la unión conv{-£) U conv(£), donde conv{£) denota la envolvente convexa de £. El modelo matemático que la describe y unifica involucra una función no convexa ¥: R2 ^ 1 en cuya representación está implicada una matriz simétrica no singular de orden dos, como también una matriz simétrica positivamente definida del mismo orden. En particular se investiga el caso cuando £ es una circunferencia.

Se introduce un enfoque novedoso del dicono truncado elíptico D centralmente simétrico en el origen. Estratégicamente se considera a D como una esfera topológica respecto a una norma φ sobre R3, lo que permite un análisis unificador, riguroso y elaborado de D. Al margen se halla una representación integral de la norma euclídea en R2.

Se introduce una función convexa sobre R3 cuyos conjuntos de nivel son tetraedros. Además de su representación cartesiana, se describen analíticamente los principales elementos del sólido, y en particular cuando es un α3. Al caracterizar el polar de cualquier poliedro convexo se halla explícitamente el tetraedro polar de un tetraedro dado. Se halla cuándo el polar α3 coincide con su recíproco para obtener así la stella octangula de Kepler. Al acuñar la noción de circuito positivo en R3 se descubre un invariante para el tetraedro en términos de determinantes.

Norms Ф are constructed on R3 so that their closed spheres are affine rhombic dodecahedrons D (images of rhombic dodecahedron under an affine automorphism of R3). Conversely, each closed solid D is a unitary sphere with respect to a norm Ф on R3. In both cases Ф is the maximun of six absolute values. This norm yields, in addition to a unified representation, a characterization of the points of the rhombic dodecahedron in terms of the diagonals of the cuboctahedron through its center.

A class Rn of central n-dimensional 2n-topes named Bn and norms F are coined so that the closed spheres with respect to F are polytopes Bn. Conversely, each Bn is* closed unitary sphere with respect to a norm F on Rn. In both cases F is the sum of n absolute values, so that F is a generalization of the norm inducing the taxi-cab metric. Particulary the cross polytope Bn belongs to Bn and B3 is just the family of the centrally symmetric solid octahedra. Bn is defined and characterized as a locus whose points satisfy a metric condition.