Search

In a tutorial article directed to serve researchers, university teachers and students, we study Boltzmann kinetic equation (BKE), which in its application to nanoelectronics serves to solve the same problems as the generalized Landauer-Datta-Lundstrom (LDL) transport model does. For some problems BKE formalism is preferable, for the other – LDL model is. Under correct performance of calculations the two approaches leads to similar results. In this article we answer the following questions: how to compose the equation for distribution function f (r, k, t) as a solution of BKE beyond equilibrium, how to solve this equation for the linear response regime, how to compare the obtained results with those, which can be obtained within LDL model for diffusive transport regime, how to take into consideration the external magnetic field and its effect on electron transport.We formulate BKE in the approximation of relaxation time (RT) and search for its solution in the dynamic equilibrium regime. Than we calculate the transport coefficients. We consider the calculation of the surface concentration of electrons in 2D resistor as an example. The solution for BKE in quasi-equilibrium regime within RT approximation is the expression, well known for LDL model. We also demonstrate that BKE within RT approximation leads to the same expressions for Seebeck coefficient and electron thermo-conductivity, as LDL transport model does. The LDL model advantage is its physical transparency and the fact that it enables to consider quasi-ballistic and ballistic transport regimes as simply, as the diffusive one. On the other hand, BKE formalism should be used for studies of the anisotropic transport., В методической статье, рассчитанной на исследователей, преподавателей и студентов высшей школы, мы рассматриваем кинетическое уравнение Больцмана (КУБ), которое в применении к наноэлектронике решает те же самые задачи, что и обобщенная транспортная модель Ландауэра – Датты – Лундстрома (ЛДЛ). Для одних задач лучше пользоваться КУБ, а для других – моделью ЛДЛ. При правильной постановке вычислений оба подхода приводят к одним и тем же результатам. В нашей статье рассматриваются следующие вопросы: как составить уравнение для функции распределения f (r, k, t) как решения КУБ за пределами равновесия, как решить это уравнение в режиме линейного отклика, как увязать полученные таким образом результаты с теми, которые получаются в модели ЛДЛ в диффузионном режиме транспорта, как учесть внешнее магнитное поле и его влияние на электронный транспорт., У методичній статті, розрахованій на науковців, викладачів та студентів вищої школи, розглядається кінетичне рівняння Больцмана (КРБ), яке в застосуванні до наноелектроніки розв’язує ті ж завдання, що й узагальнена транспортна модель Ландауера – Датта – Лундстрома (ЛДЛ). Для одних задач краще використовувати КРБ, а для других – модель ЛДЛ. За правильного виконання обчислювальних процедур обидва підходи дають однин і той самий результат. У цій статті дано відповідь на такі питання: як скласти рівняння для функції розподілу f (r, k, t) як розв’язку КРБ за межами рівноваги, як розв’язати це рівняння в режимі лінійного відгуку, як зіставити отримані таким чином результати з тими, які можна отримати в моделі ЛДЛ в дифузійному режимі транспорту, як врахувати зовнішнє магнітне поле і його вплив на електронний транспорт.Ми формулюємо КРБ в наближенні часу релаксації (ЧР) й шукаємо його розв’язок у режимі динамічної рівноваги. Потім розраховуємо транспортні коефіцієнти. Як приклад розглядаємо обчислення поверхневої концентрації електронів у 2D провіднику. Результатом розв’язування КРБ в квазірівноважному режимі в наближенні ЧР, або, що те саме, в дифузійному наближенні, для поверхневої провідності стає звичайний для моделі ЛДЛ вираз. Показано також, що КРБ у наближенні ЧР дає ті ж самі вирази для коефіцієнта Зеєбека й для електронної теплопровідності, що й транспортна модель ЛДЛ. Перевага моделі ЛДЛ в її фізичній прозорості, а також у тому, що вона дозволяє розглядати квазібалістичний і балістичний режими транспорту так само просто, як і дифузійний режим. З другого боку, без КРБ не можна обійтися при вивченні анізотропного транспорту.

У методичній статті, розрахованій на науковців, викладачів та студентів вищої школи, обговорено експериментальні методи вимірювання опору в узагальненій моделі транспорту електронів Ландауера – Датта – Лундстрома (ЛДЛ), зокрема, в умовах прикладання зовнішнього магнітного поля: метод змінної довжини провідника, чотириточкову схему вимірювань, класичний метод вимірювання ефекту Холла й різні варіанти методу ван дер Пау, а також температурні вимірювання й урахування артефактів (ефект Нерста), вимірювання в сильних магнітних полях (ефект Шубнікова – де Гааза).Показано, що холлівська лінійка і вимірювальні геометрії ван дер Пау дозволяють виміряти як опір, так і холлівську концентрацію й холлівську рухливість. За бажання можна оцінити й холлівський фактор, що дозволить точніше визначити поверхневу концентрацію електронів і їхню справжню рухливість. Однак, на практиці зазвичай наводять холлівську концентрацію та холлівську рухливість. Температурні вимірювання допомагають ідентифікувати домінуючий механізм розсіяння. Холлівські вимірювання потребують особливої ретельності з метою уникнути виявів гальвано- і термомагнітних ефектів, таких, як ефект Нернста. Суттєво нову інформацію можуть вимірювання в сильних магнітних полях, однак для таких експериментів потрібні матеріали з достатньо високою рухливістю електронів., В методической статье, рассчитанной на исследователей, преподавателей и студентов высшей школы, обсуждаются экспериментальные методы измерения сопротивления в рамках обобщенной модели транспорта электронов Ландауэра – Датта – Лундстрома (ЛДЛ), в том числе в условиях внешнего приложенного магнитного поля: метод переменной длины проводника, четырехточечная схема измерений, классический метод измерения эффекта Холла и различные варианты метода ван дер Пау, а также температурные измерения и учет артефактов (эффект Нернста), измерения в сильных магнитных полях (эффект Шубникова –де Гааза)., In a tutorial article directed to serve researchers, university teachers and students, we discuss experimental methods for measuring the resistance in the frame of the generalized transport Landauer – Datta – Lundstrom (LDL) model, including measurements under applied external magnetic field, namely: method of variable resistor length, four-point measurement scheme, the classical method of the Hall effect measurement and different variants of the van der Pauw method, temperature measurements and accounting for artifacts (Nernst effect), measurements in strong magnetic fields(Shubnikov–de Haas effect).Hall effect setup and van der Pauw measuring geometry enables to measure both the resistance and Hall concentration / Hall mobility. We also can estimate Hall factor, which enables to determine surface concentration of electrons and their real mobility more preciously. Temperature measurements permit to identify the dominant scattering mechanism. Hall measurements need special accuracy in order to avoid the influence of galvanic and thermomagnetic effects, such as Nernst effect. Measurements in strong magnetic fields can supply with essentially new information, however, they need materials with rather high mobility of electrons.

У методичній статті, розрахованій на науковців, викладачів та студентів вищої школи, з позицій концепції «знизу – вгору» узагальненої транспортної моделі Ландауера – Датта – Лундстрома (ЛДЛ) показано: при описі транспорту електронів у провіднику в дифузійному режимі важливу роль відіграє середня довжина вільного пробігу , яка визначає коефіцієнт проходження . На прикладі 1D провідника виводиться базове співвідношення між Т і . Встановлюється зв'язок між і часом релаксації імпульсу для провідників різної вимірності. Наводиться методика оцінки усередненого значення довжини вільного пробігу з експериментальних даних через коефіцієнт дифузії і встановлюється зв'язок довжини вільного пробігу з рухливістю. Як приклад аналізуються експериментальні дані для польового транзистора Si MOSFET в різних наближеннях., In a tutorial article directed to serve researchers, university teachers and students, from the positions of generalized Landauer – Datta – Lundstrom (LDL) model we demonstrate that the average mean free path λ , which determines the transmission coefficient T , plays an important role in description of transport of electrons through a conductor in a diffusion regime. The basic correlation between T and λ is obtained for 1D resistor as the most simple example. A connection is established between λ and a time m τ of momentum relaxation for conductors of different dimensions. We get estimation for the averaged values for the mean free path λ from experimental measurements using the diffusion coefficient and the correlation between the mean free path and mobility is established. As an example, the experimental data for Si MOSFET in different approximations are analyzed, В методической статье, расчитанной на исследователей, преподавателей, студентов высшей школы с позиций концепции «снизу – вверх» транспортной модели Ландауэра – Датты – Лундстрома (ЛДЛ) показано, что при описании транспорта электронов по проводнику в диффузионном режиме важную роль играет средняя длина свободного обратного рассеяния λ , которая определяет коэффициент прохождения T . На примере 1D проводника выводится базовое соотношение между коэффициентом прохождения T и средней длиной свободного пробега λ . Устанавливается связь между λ и временем релаксации импульса m τ для проводников разной размерности. Дается оценка усредненного значения длины свободного пробега из эксперимен- тальных измерений через коэффициент диффузии и устанавливается связь длины свободного пробега с подвижностью. В качестве примера анализируются экспериментальные данные для полевого транзистора Si MOSFET в разных приближениях.

On the basis of the «bottom – up» approach of Landauer – Datta – Lundstrom transport model the basic equations of thermoelectricity with the corresponding transport coefficients (conductivity, Seebeck and Peltier coefficients, Soret thermal diffusion coefficient, and electronic thermal conductivity for short-circuit case) for 1D conductors in the ballistic regime and 3D conductors in the diffusion regime with an arbitrary dispersion and for any size were strictly derived in the tutorial article for researchers, university teachers, and students.The examination was carried for n-semiconductors, the method how to generalize results for p-semiconductors case is also presented. The bipolar conductivity, Wiedemann – Franz law, and Mott correlation were discussed as well. The electron scattering processes were considered phenomenologically: the mean free pass was approximetaed by power law. In Appendix the thermoelectric coefficients for 1D, 2D, and 3D semiconductors with parabolic dispersion are presented., У методичній статті, розрахованій на науковців, викладачів та студентів вищої школи, з позицій концепції «знизу – вгору» узагальненої транспортної моделі Ландауера – Датта – Лундстрома послідовно виведені основні рівняння термоелектрики з відповідними транспортними коефіцієнтами (провідність, коефіцієнти Зеєбека і Пельт’є, коефіцієнт термодифузії Соре й електронна теплопровідність для короткозамкнутого кола) для 1D провідників у балістичному режимі провідності й для 3D провідників у дифузійному режимі для довільного закону дисперсії й для будь-якого масштабу напівпровідника. Розрахунки здійснено для n-напівпровідників, але водночас показано, як розповсюдити результати також і на р-напівпровідники. Окремо розглянуто біполярну провідність, закон Відемана – Франца, співвідношення Мотта. При цьому процеси розсіювання електронів враховано феноменологічно: середню довжину вільного пробігу апроксимовано степеневим законом. У Додатку наведено вирази для термоелектричних коефіцієнтів для 1D, 2D і 3D напівпровідників з параболічним законом дисперсії., В методической статье, расчитанной на исследователей, преподавателей, студентов высшей школы с позиций концепции «снизу – вверх» транспортной модели Ландауэра – Датты – Лундстрома строго выведены основные уравнения термоэлектричества с соответствующими транспортными коэффициентами (проводимость, коэффициенты Зеебека и Пельтье, коэффициент термической диффузии Соре, коэффициент элекронной теплопроводности для короткозамкнутой цепи) для 1D проводников в баллистическом режиме и для 3D проводников в диффузионном режиме с произвольной дисперсией и любого масштаба. Расчеты произведены для n-полупроводников, в то же время показано, как распространить результаты на р-полупроводники. Отдельно рассмотрены биполярная проводимость,закон Видемана-Франца Приведены термоэлектрические коэффициенты для 1D, 2D и 3D проводников с параболической дисперсией в баллистическом и диффузионном режимах.

Generalized model of electron transport in the linear response regime developed by R. Landauer, S. Datta, and M. Lundstrom with application to the resistors of any dimension, any size and arbitrary dispersion working in ballistic, quasi-ballistic or diffusion regime is summarized in a tutorial article for the reseachers, university teachers and students. The LDL transport model is used to calculate conductivity of resistors of any dimension and scale and of an arbitrary dispersion working in the ballistic or diffusion regime as near 0º K and at higher temperatures. The concept of electron mobility, as well as the dissipation of heat and the voltage drop in the ballistic resistors are also under consideration., В методической статье, рассчитанной на исследователей, преподавателей и студентов высшей школы, излагается обобщенная модель транспорта электронов в режиме линейного отклика, развитая Р. Ландауэром, С. Датта и М. Лундстромом применительно к проводникам любой размерности, любого масштаба и произвольной дисперсии, работающих в баллистическом, квази-баллистическом или диффузионном режиме. В рамках транспортной модели ЛДЛ рассматривается вычисление проводимости резисторов любой размерности, любого масштаба и произвольной дисперсии, работающих в баллистическом либо диффузионном режиме как вблизи 0º K, так и при более высоких температурах. Обсуждаются понятие подвижности электронов, а также диссипация тепла и падение напряжения в баллистических резисторах., У методичній статті, розрахованій на науковців, викладачів та студентів вищої школи, викладено узагальнену модель транспорту електронів у режимі лінійного відгуку, яку було розвинуто Р.Ландауером, С.Датта та М.Лундстромом (модель ЛДЛ). Цю модель може бути застосовано до провідника будь-якої розмірності, будь-якого масштабу і з довільним законом дисперсії, а також для опису транспорту в балістичному, квазі-балістичному або дифузійному режимі. У рамках моделі ЛДЛ обчислено провідність резисторів будь-якої розмірності, будь-якого масштабу і за довільного закону дисперсії, що працюють у балістичному або дифузійному режимі як поблизу 0º K, так і при вищих температурах. Також обговорюються поняття рухливості електронів, дисипація тепла і падіння напруги в балістичних резисторах.

У черговій із серії оглядово-навчальних статей у рамках концепції «знизу – вгору» наноелектроніки розглядається дифузійно-дрейфова модель струму на основі транспортного рівняння Больцмана, роль зовнішнього електричного поля при виході за межі режиму лінійного відгуку, польовий транзистор і струм насичення, роль заряджання провідника, точкова і розширена моделі провідника, роль контактів, моделі p–n переходів, генерація струму в провіднику з асиметричними контактами., В очередной из серии обзорно-учебных статей в рамках концепции «снизу – вверх» наноэлектроники рассматривается диффузионно-дрейфовая модель тока на основе транспортного уравнения Больцмана, роль внешнего электрического поля при выходе за пределы режима линейного отклика, полевой транзистор и ток насыщения, роль заряжания проводника, точечная и расширенная модели проводника, роль контактов, модели p – n переходов, генерация тока в проводнике с асимметричными контактами, Within the following in the series of the review and tutorial articles next topics are discussed in the frame of the «bottom – up» approach of modern nanoelectronics: the diffusion-drift model of a current on the basis of the Boltzmann transport equation, the role of the external electric field beyond the linear response regime, field-effect transistor and saturation current, the role of conductor charging, the point and extended models of a conductor, the role of contacts, the model of p – n junctions, the generation of a current in a conductor with asymmetric contacts.

На продовження попередніх навчально-оглядових статей авторів у рамках концепції «знизу – вгору» сучасної наноелектроніки розглядається спіновий транспорт у моделі нерівноважних функцій Гріна (НРФГ) у спінорному зображенні. Описано, зокрема, спіновий вентиль, обертання магнітних контактів, прецесію спіну і обертання спінів, спінові гамільтоніани Зеємана і Рашби, квантовий спіновий ефект Холла, обчислення спінового потенціалу, чотирьохкомпонентний формат опису транспорту., В продолжение предыдущих учебно-обзорных статей авторов в рамках концепции «снизу – вверх» наноэлектроники рассматривается спиновый транспорт в формализме метода неравновесных функций Грина (НРФГ) в спинорном представлении, в частности, обсуждаются спиновый вентиль, вращение магнитных контактов, прецессия спина и вращение спинов, роль спиновых гамильтонианов Зеемана и Рашбы, квантовый спиновый эффект Холла, вычисление спинового потенциала, четырехкомпонентный формат описания транспорта., Spin transport within the Non-Еquilibrium Green's Functions (NEGF) method in the spinor representation, in particular, spin valve, rotating magnetic contacts, spin precession and rotating spins, Zeeman and Rashba spin Hamiltonians, quantum spin Hall effect, calculation of the spin potential, and four-component description of transport are discussed in the frame of the «bottom – up» approach of modern nanoelectronics in continuation to the previous tutorial review articles of the authors.

В рамках концепції «знизу – вгору» наноелектроніки формулюється метод нерівноважних функцій Гріна в матричному зображенні з подальшім застосуванням його до транспортних задач, В рамках концепции «снизу – вверх» наноэлектроники рассматривается метод неравновесных функций Грина в матричном представлении с целью дальнейшего применения его к модельным транспортным задачам., Non-equilibrium Green's functions method in matrix form is presented with further application to modeling of transport problems in the frame of the «bottom–up» approach of nanoelectronics.