Search

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2022, Director: Teresa Crespo Vicente, [en] Abstract It's one of the first results a maths undergraduate hears about. The function $e^{-x^{2}}$ does not have an antiderivative, the value of its integral on any given interval where it can be calculated can only be approximated via numerical methods. But what does it mean for a real function to not have an antiderivative, a function that expresses its integral in simple terms? When do we even consider a real or complex function to be expressible in simple terms? These questions are the focus of this project. Using modern results in mathematics, mainly differential algebra, we aim to introduce a theoretical frame where these questions can be posed rigorously, one where we can prove the theorem that answers them: Liouville's theorem about antiderivatives.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2022, Director: Santiago Zarzuela, [en] In this work, we study some of the correspondences between commutative algebra and graph theory. We start with an introduction on edge and cover ideals that lead into introducing the algebra basic tools that lets us state Fröberg’s Theorem on linear resolutions of edge ideals and chordal graphs. The work ends with a proof of Fröberg’s Theorem given by Adam Van Tuyl, based on monomial splittings and some properties of chordal graphs.

Aquest és un treball d'Àlgebra Commutativa. S'assumeixen des del principi coneixements d'àlgebra molt bàsics. S'introdueixen primer els conceptes d'anell i d'ideal i es desenvolupen fins a arribar als dos primers resultats del treball: el Lema d'evitació de primers i el Teorema xinès del residu. Després es desenvolupa la part més important del treball introduint els anells noetherians i arribant al resultat clau del treball, el Teorema de la base de Hilbert. Finalment s'introdueixen els conceptes de mòdul i mòdul quocient i s'arriba a l'últim resultat, el Lema de Nakayama.. El treball és una introducció a l'Àlgebra Commutativa a través d'alguns teoremes ja clàssics, com són el Teorema de la base de Hilbert, el Teorema dels zeros de Hilbert, el Lema de normalització de Noether, el Lema d'Artin-Rees.