Search

U ovom diplomskom radu proučavali smo konstrukciju Pascalovog trokuta i njegova svojstva. U prvom smo poglavlju dali povijesni prikaz nastanka i tijeka proučavanja Pascalovog trokuta. U drugom poglavlju definirali smo Pascalovu operaciju pomoću koje smo prikazali dvije najpoznatije primjene Pascalovog trokuta: binomne koeficijente i kombinacije. Nakon toga, u trećem smo poglavlju opisali i dokazali razna zanimljiva svojstva Pascalovog trokuta. Svojstva smo podijelili u nekoliko skupina. Prva skupina su osnovna, lako uočljiva, svojstva Pascalovog trokuta. Drugoj skupini pripadaju zanimljivi brojevi i poznati iracionalni brojevi koje nalazimo proučavajući elemente Pascalovog trokuta. Treća skupina predstavlja svojstva povezana s geometrijom. Naposljetku, zadnjoj skupini pripadaju netrivijalna svojstva Pascalovog trokuta. U zadnjem smo poglavlju pokazali kako se Pascalova operacija može koristiti pri rješavanju problemskih zadataka na primjeru zadatka s matematičke olimpijade. In this thesis, we studied the construction of the Pascal triangle and its properties. In the first chapter, we give a historical overview of the origin and course of the study of the Pascal triangle. In the second chapter, we defined Pascal’s operation by which we presented the two most famous applications of the Pascal triangle: binomial coefficients and combinations. After that, in the third chapter, we described and proved various interesting properties of the Pascal triangle. We divided the properties into several groups. The first group are the basic, easily noticeable, properties of the Pascal triangle. The second group includes interesting numbers and well-known irrational numbers that we find by studying the elements of Pascal’s triangle. The third group represents properties related to geometry. Finally, the nontrivial properties of the Pascal triangle belong to the latter group. In the last chapter, we showed how Pascal’s operation can be used to solve problem tasks on the example of a task from the Mathematical Olympiad.

U matematici postoji mnogo istaknutih nizova brojeva, poput parnih i neparnih brojeva, prostih brojeva, kvadrata i kubova brojeva, Fibonaccijevih brojeva itd. U ovom radu proučavamo neke brojeve specifične za područje kombinatorike, i to binomne koeficijente, \(q\)-binomne koeficijente (Gaussove koeficijente), Stirlingove brojeve, \(q\)-Stirlingove brojeve te Bellove brojeve. Binomni koeficijenti \(\binom{n}{k}\) brojevi su koji prebrojavaju \(k\)-člane podskupove konačnog \(n\)-članog skupa. Njihovi \(q\)-analogoni, Gaussovi koeficijenti \({n \brack k}_q\) prebrojavaju \(k\)-dimenzionalne potprostore \(n\)-dimenzionalog vektorskog prostora nad konačnim poljem reda \(q\). Stirlingovi brojevi druge vrste \({n \brace k}\) prebrojavaju \(k\)-particije \(n\)-članog skupa, odnosno na koliko načina možemo podijeliti \(n\)-člani skup u \(k\) nepraznih podskupova. Bellov broj \(B_n\) je ukupan broj svih particija nekog \(n\)-članog skupa. \(q\)-Stirlingov broj \({n \brace k}_q\) definira se kao težina skupa svih \(k\)-particija nekog \(n\)-članog skupa. U diplomskom radu navodimo razne identitete i relacije koje vrijede za spomenute kombinatoričke brojeve. Naglašavamo sličnosti i razlike između brojeva koji prebrojavaju konačne skupove i njihovih analogona nad konačnim poljima. In mathematics there are many interesting number sequences, such as odd and even numbers, prime numbers, square and cube numbers, Fibonacci numbers etc. This thesis studies certain numbers which are specific for the area of combinatorics, in particular binomial coefficients, \(q\)-binomial coefficients (Gaussian coefficients), Stirling numbers and \(q\)-Stirling numbers, along with brief mention of Bell numbers. The binomial coefficient \(\binom {n}{k}\) is the number of \(k\)-element subsets of a set of \(n\) elements. The \(q\)-analogue of the binomial coefficient, also called a Gaussian coefficient \({n \brack b}_q\), counts the number of \(k\)-dimensional subspaces of an \(n\)-dimensional vector space over the finite field of order \(q\). The Stirling number of the second kind \({n \brace k}\) counts \(k\)-partitions of an \(n\)-element set, in other words the ways to divide a set of \(n\) elements into \(k\) nonempty subsets. Bell number \(B_n\) counts the number of all partitions of an \(n\)-element set. The \(q\)-Stirling number \({n \brace k}_q\) is defined as a weight of the set of all \(k\)-partitions of an \(n\)-element set. In the thesis we give various identities and relations valid for the aforementioned combinatorial numbers. We emphasise similarities and differences between numbers enumerating finite sets and their analogues over finite fields.

U matematici postoji mnogo specifičnih brojeva kao što su na primjer Fibonaccijevi brojevi, Mersenneovi brojevi, Catalanovi brojevi, Bernoullijevi brojevi i slično. Mnogi od tih brojeva su detaljno proučeni i postoje radovi koji se bave njihovim svojstvima. Takvi su i Stirlingovi brojevi koje možemo kroz ovaj članak pobliže upoznati. Definirat ćemo Stirlingove brojeve prve i druge vrste, objasniti kako se oni mogu računati te pokazati neke od relacija koje za njih vrijede., There are many specific numbers in mathematics, i.e. Fibonacci numbers, Mersenne numbers, Catalan numbers, Bernoulli numbers and so on. Many of these numbers are studied in detail and there are many papers about their properties. Stirling numbers are an example of that kind of numbers. We are going to say something about them in this article. We will define Stirling numbers of first and second kind and explain how we can calculate with them. We will also show some relations which hold for them.