Search

Studiran je poopceni Calogerov model u jednoj i vise dimenzija.

Opis kvantne gravitacije zahtijeva ujedinjenje postulata opće teorije relativnosti i Heisenbergovog principa neodređenosti, što vodi na neodređenosti u samom mjerenju koordinata položaja. Slijedi da moramo olabaviti pretpostavku o prostor-vremenu kao glatkoj mnogostrukosti i početi shvaćati prostorvrijeme kao diskretiziranu mnogostrukost, prirodno opisanu kao nekomutativni prostor. Pri tome opisu koriste se novi matematički alati te se uvodi pojam poopćenih simetrija opisanih Hopfovim algebrama. Posebno je interestantan tzv. κ-Minkowskijev prostor, koji je Lie algebarska deformacija uobičajenog prostora Minkowskog. Cilj je proučavati dinamiku čestica na takvom prostoru koristeći generalizaciju "Feynmanovog pristupa". Pošto fizika crnih rupa igra važnu ulogu u istraživanju kvantnih aspekata gravitacije, zanimljivo je istražiti njene nekomutativne doprinose. Pokazuje se da nekomutativne inačice različitih crnih rupa (BTZ, Kerr) su u potunosti opisane κ-deformiranim algebrama, što upućuje na određenu univerzalnost κ-deformacija kao kandidata za opis kvantnih efekata gravitacije. The quantum description of gravity demands unification of general relativity and Heisenberg uncertainty principle, which leads to the uncertainty of measurement of position itself. This means that we have to change our assumption that space-time is a smooth manifold and start to realize it as some discretized manifold, naturally described as non-commutative space. Within this description new mathematical methods are used and the notions of generalized symmetries, described with Hopf algebras are introduced. The most interesting type of non-commutative space is κ-Minkowski space, which is a Lie type deformation of usual Minkowski space. The main goal is to investigate the particle dynamics in such non-commutative space using the generalization of "Feynman approach". Since black hole physics plays an important role in investigation of quantum aspects of gravity, it is of significant interest to study its non-commutative generalizations. It was shown that non-commutative versions of different black holes (BTZ, Kerr) are completely described by κ-deformed algebras, which indicates a certain universality of κ-deformations as a candidate for describing quantum gravity effects.

Organizacija izlaganja je slijedeća. Započinje se sa kratkim opisom običnog racionalnog Calogerovog modela i predočuju se njegova rješenja unutar algebarskog pristupa. Algebarski pristup omogućava elegantno nalaženje spektra, kao i mogućnost da se valne funkcije zapišu u kompaktnom obliku. U trećem poglavlju razmatraju se višefamilijarna poopćenja osnovnog modela, najprije u jednoj, a potom i u proizvoljnom broju dimenzija. Četvrto poglavlje posvećeno je proučavanju općih svojstava svih sistema sa realiziranom komfornom simetrijom. Tu se iznosi i opća metoda (BargmannFockova metoda) za integraciju svih takvih modela, a potom se taj pristup primjenjuje na neke konkretne fizikalne modela. Iako ta metoda, u principu daje sva rješenja danog komfornog modela, u praksi je vrlo teško provediva. Ipak, ovdje ćemo predočiti nekoliko modela koje je moguće potpuno 3 Poglavlje 1. Uvod 4 riješiti primjenom Bargmann-Fockove metode. Zadnji dio četvrtog poglavlja posvećen je modelima sa prisutnim svojstvom invarijantnosti oblika (tzv. SIP). Modeli s tim svojstvom analiziraju se pomoću metoda supersimetrične kvantne mehanike. U petom poglavlju razmatramo uvjete pod kojima je Hamiltonijan promatranog sistema hermitski operator. Odgovor na to pitanje daje von Neumann-ov teorem. Taj teorem također daje uvjete pod kojima je moguće proširiti domenu promatranog operatora kako bi on na toj proširenoj domeni bio hermitski ukoliko već nije hermitski na polaznoj domeni. To je pitanje posebno važno stoga što Hamiltonijan promatranog sistema mora biti hermitičan kako bi imao realan spektar. Korištenjem von Neumann-ove metode moguće je dobiti nova rješenja poznatih modela te egzaktna rješenja, kao i spektre za neke do sada još neriješene fizikalne modele. U slučajevima kada se radi o novim rješenjima poznatih modela, ona u sebi sadrže poznata rješenja kao specijalni slučaj. Općenito je hermitsko proširenje Hamiltonijana sistema moguće provesti samo u jednom ograničenom sektoru parametarskog prostora. Šesto poglavlje bavi se korespondencijom između Calogerovog modela u većem broju prostornih dimenzija i klasične gravitacije u pozadini koju definira deformirana AdS metrika. Tu će se pokazati da je unutar sistema sa vezujućim harmonijskim potencijalom moguće neposredno realizirati konformnu simetriju deformacijom AdS metrike. Posljednja tri poglavlja odnose se na supersimetrična poopćenja racionalnog Calogerovog modela. Slično kao što je bio slučaju u prethodnim poglavljima, i u kontekstu supersimetričnih modela će se ideja o ekvivalentnosti sa skupom slobodnih oscilatora pokazati vrlo plodonosnom. U sedmom poglavlju koristi se spomenuta ekvivalentnost kako bi se konstruiralo supersimetrično poopćenje Calogerovog modela temeljeno na SU(1, 1|1) supersimetriji. Ta konstrukcija vodi na dva supersimetrična modela, od kojih je jedan identičan Freedman-Mende-ovom modelu. U posljednja dva poglavlja pokazat ćemo da je široka klasa supersimetričnih modela u kojima je realizirana OSp(2|2) supersimetrija ekvivalentna skupu nemeđudjelujućih superoscilatora. Spomenuta supersimetrija poslužit će nam za algebarsku konstrukciju svojstvenih stanja promatranog modela. Kao primjeri različitih supersimetričnih poopćenja Calogerovog modela, posebno će se istražiti svojstva supersimetričnog poopćenja Calogerovog modela AN+1 i BCN+1 tipa, te superkonformno poopćenje Calogero-Marchioro modela, kao primjera modela u većem broju dimenzija.