Search

Elektromagnetski problemi kao što je raspršenje elektromagnetskog vala, osim u slučajevima visoke simetrije, zadaju se na složenim geometrijama i nisu analitički rješivi. Numeričke metode savladavaju navedene probleme, a sa složenim geometrijama najbolje se nosi metoda konačnih elemenata. Zbog vektorske prirode problema, standardni konačni elementi nisu dobri te numerička rješenja dobivena standardnim, po dijelovima neprekinutim polinomijalnim elementima, ne konvergiraju prema stvarnom rješenju problema. Za dobivanje stabilnog numeričkog rješenja potrebno je koristiti rubne konačne elemente. Nedelecovi konačni elementi su primjer rubnih konačnih elemenata pogodnih za rješavanje vektorskih problema koji u sebi sadrže vektorski operator rotacije. U okviru ovog rada dan je pregled metode konačnih elemenata primijenjene na problem raspršenja elektromagnetskog vala. Izvedena je slaba formulacija problema i dana je referentna implementacija Nedelecovih konačnih elemenata. U radu su opisane optimizacije u vidu smanjenja broja operacija s pomičnim zarezom. U konačnici je postavljanje sustava vremenski uspoređeno s programskom bibliotekom FEniCS. Za matricu sa 60 004 000 elemenata koji nisu nula, sustav jednadžbi je generiran dvostruko brže koristeći referentnu implementaciju opisanu u okviru ovog rada. Electromagnetic problems such as scattering of electromagnetic waves can not be solved analytically except for highly symmetric cases in linear materials. Modern ways of dealing with that problem are by solving it numerically. Complex geometries are best dealt with using finite element method. Because of vector nature of the problem, standard piecewise polynomial finite elements can yield spurious solutions. On the other hand, edge elements provide numerically stable solutions. Example of such elements are Nedelec finite elements which are found to be appropriate to handle curl operator. In this thesis, a brief introduction to the finite element method is given on the example of scattering of electromagnetic waves. Weak formulation of the problem is derived and reference implementation of Nedelec finite elements is given. Optimization techniques in terms of reducing the floating-point operation count are given. Matrix assembly was benchmarked against well-known finite element framework, FEniCS. Reference implementation presented in this thesis assembles the finite element matrix with 60 004 000 non-zero entries twice as fast as the FEniCS framework.