Search

Niz Pellovih brojeva zadan je početnim uvjetima \(P_1=1, P_2=2\), te rekurzivnom relacijom \(P_n=2P_{n-1}+P_{n-2}, n \geq 3\). Uz definiciju Pellovih brojeva, u radu su definirani i Pell–Lucasovi brojevi koji su s njima usko povezani. Navedena su različita svojstva i identiteti s Pellovim i Pell–Lucasovima brojevima, kao i najvažniji dokazi istih. Pellovi brojevi vežu se i uz Pellovu jednad žbu \(x^2-2y^2=1\) te uz racionalne aproksimacije \(\sqrt{2}\). U radu su opisane i neke trokutaste sheme s Pellovim brojevima te njihova veza s Pitagorinim trojkama i poligonalnim brojevima. The Pell numbers sequence is defined with initial conditions: \(P_1=1, P_2=2\) and by the recurrence relation \(P_n=2P_{n-1}+P_{n-2}, n \geq 3\). Since they are closely related to Pell numbers, Pell-Lucas numbers are defined in this thesis. We showed the properties and identities of both Pell and Pell-Lucas numbers as proofs of the most important ones. Pell numbers are in close relation with Pell’s equation \(x^2-2y^2=1\), and we stated the relation between Pell numbers and approximation of \(\sqrt{2}\). We described some triangular schemes with Pell’s numbers and stated the relation between Pell numbers, Pythagorean triplets, and polygonal numbers.

Mnogokutni brojevi su prirodni brojevi koji se mogu geometrijski prikazati rasporedom odgovarajućeg broja točaka u pravilne mnogokute. U prvom poglavlju ovog rada opisano je prvih nekoliko mnogokutnih brojeva, izvedene su opće formule za \(n-\)ti \(k-\)mnogokutni broj i veze između različitih mnogokutnih brojeva. U drugom poglavlju opisani su centralni mnogokutni brojevi i spomenuti su zvjezdasti brojevi, njihova posebna skupina. U trećem poglavlju dan je opis pravokutnih i trapeznih brojeva, te su izvedene njihove veze s ostalim mnogokutnim brojevima. U sva tri poglavlja dani su geometrijski prikazi navedenih brojeva, izvedenih formula i veza. Ukoliko točke pravilno rasporedimo u prostoru, u trodimenzionalna tijela, nastaju trodimenzionalni mnogokutni brojevi, opisani u četvrtom poglavlju. Peto poglavlje sastoji se od aktivnosti primjerenih izvođenju na nastavi. Prve dvije aktivnosti tiču se algebarskih veza kod mnogokutnih brojeva i njihovog geometrijskog prikaza. Treća aktivnost predviđena je za izvođenje pomoću didaktičkog materijala (Cuisenaireovih štapića). Polygonal numbers are natural numbers that can be geometrically represented by arranging the corresponding number of points into regular polygons. In the first chapter of this thesis we describe the first few polygonal numbers, then derive formulas for the \(n-\)th \(k-\)gonal number and finally describe many properties of polygonal numbers. In the second chapter centered polygonal numbers are described, in particular their special subgroup, star numbers. In the third chapter we define and analyse rectangular and trapezoidal numbers and their relations to other polygonal numbers. Geometrical representations of different polygonal numbers visualizing their properties are given in all three chapters. When putting points in a special order in space, instead of plane, one obtains space polygonal numbers, which are described in the fourth chapter. The fifth chapter consists of activities that are appropiate for teaching in school. The first two activities are concerned with algebraic connections of polygonal numbers and their geometrical representation. The third activity is intended to be performed using didactic material (Cuisenaire rods).