Search

This thesis focuses on the study of noncubic Dirac operators within the framework of representation theory of Lie groups. After recalling basic notions of Lie theory and Clifford algebras, we present the main properties of cubic Dirac operators D introduced by Kostant in 1999. These results quickly aroused great interest. In particular, in the late 1990’s, Vogan introduced a cohomology defined by Kostant operator D and suggested a cohomological classification of representations. Dirac cohomology was computed for various families of representations, such as the discrete series, Aq(>) modules or finite dimensional representations. It turns out that for finite dimensional modules, Dirac cohomology coincides with the kernel of D. It appears that Kostant’s Dirac operator is an algebraic version of a specific member of a continuous family of geometric Dirac operators introduced by Slebarski in the mid 1980’s in the context of bundles over homogeneous spaces G/H of compact groups. What distinguishes the cubic Dirac operator is that it is the only member of this family whose square, generalizing Parthasarathy’s formula, differs from the Casimir operator up to a scalar. This property has important applications in representation theory of Lie groups. The square of the noncubic Dirac operators, i.e. of the other members of Slebarski’s family, was calculated by Agricola who also established precise links between these noncubic operators and string theory in physics. Actually, noncubic Dirac operators are invariant differential operators, and therefore their kernels define (finite-dimensional) representations of compact groups. In this thesis we study the kernel of noncubic Dirac operators, and we show that, under certain conditions on the homogeneous spaces G/H, the kernel contains the kernel of the cubic Dirac operator. We obtain an explicit formula for the kernel which we apply to the case of classical Lie algebras and of exceptional Lie algebras. We remark that some properties of noncubic operators are analogous to those of Kostant cubic Dirac operator, such as the index. We also deduce some observations on noncubic geometric Dirac operators., Cette thèse porte sur l’étude des opérateurs de Dirac non-cubiques dans le cadre de la théorie des représentations des groupes de Lie. Après avoir présenté des notions de la théorie de Lie et des algèbres de Clifford, nous rappelons les propriétés principales des opérateurs de Dirac cubiques D introduits par Kostant en 1999. Ces résultats ont rapidement suscité un vif intérêt. En particulier, à la fin des années 2000, Vogan introduit une cohomologie définie par l’opérateur de Kostant et suggère une classification cohomologique des représentations. La cohomologie de Dirac a été calculée pour diverses familles de représentations, telles que les séries discrètes, les modules Aq(>) ou les modules de dimension finie. Pour les modules de dimension finie, la cohomologie de Dirac coïncide avec le noyau de D. Il apparait que l’opérateur de Dirac de Kostant est une version algébrique d’un opérateur différentiel issu d’une famille continue d’opérateurs de Dirac géométriques introduits par Slebarski dans les années 1980 dans le cadre de fibrés au- dessus d’espaces homogènes G/H de groupes compacts. Ce qui distingue l’opérateur de Dirac de Kostant est qu’il est le seul membre de cette famille dont le carré, généralisant une formule de Parthasarathy, diffère de l’opérateur de Casimir à un scalaire près. Cette propriété a des applications importantes en théorie des représentations des groupes de Lie. Le carré des opérateurs de Dirac non-cubiques, i.e des autres membres de la famille d’opérateurs de Slebarski, a été calculé par Agricola qui a également établit des liens précis entre ces opérateurs non-cubiques et la théorie des cordes en physique. Par ailleurs, les opérateurs de Dirac non-cubiques sont des opérateurs différentiels invariants, et donc leur noyau est le siège de représentations (de dimension finie) de groupes compacts. Dans cette thèse nous étudions le noyau des opérateurs de Dirac non-cubiques, et nous montrons, sous certaines conditions sur les espaces homogènes G/H, que ce noyau contient le noyau de l’opérateur de Dirac cubique. Nous obtenons en fait une formule explicite pour le noyau que nous appliquons aux cas des algèbres de Lie classiques et des algèbres de Lie exceptionnelles. Nous constatons que certaines propriétés des opérateurs non-cubiques sont analogues à celles de l’opérateur de Dirac de Kostant, tel que l’indice. Nous déduisons également quelques observations sur les opérateurs de Dirac géométrique non-cubiques.

Let k be a Lie algebra, and Y(k)=S(k)^k the algebra of invariants of S(k) for the adjoint representation of k. In invariant theory, one of long-standing questions is to know whether Y(k) is polynomial or not. Some positive results exist (if k is reductive, thanks to Chevalley). Negative results also exist (counterexamples if k is the centraliser of a nilpotent element in a reductive Lie algebra, by Yakimova in type E_8 and by Charbonnel and Moreau in type D_7).Define then the algebra of semi-invariants Sy(k) as the algebra generated by the elements of S(k) for which the adjoint representation acts homothetically. In the same way as before, the question of the polynomiality of Sy(k) arises. For the moment, this question has few answers (Fauquant-Millet and Joseph proved Sy(k) is polynomial if k is a biparabolic Lie subalgebra in type A or C).Another case is when k=q is a parabolic contraction, that is a contraction of a reductive Lie subalgebra g by a parabolic Lie subalgebra p. If g is simple of type A or C, or if p is a Borel subalgebra, or in certain cases of parabolic contractions with g of type B, Panyushev and Yakimova have shown that Y(k) is polynomial. Yakimova has also shown that Sy(q) is polynomial when p is a Borel subalgebra.In my thesis, I study the polynomiality of Sy(q) when q is a parabolic contraction in type A or C. Using Panyushev and Yakimova's results, I prove the polynomiality of Sy(q) in type A in some cases in type C, but I prove that Sy(q) is not polynomial in type C in general., Soit k une algèbre de Lie, et Y(k)=S(k)^k l'algèbre des invariants de S(k) pour la représentation adjointe de k. En théorie des invariants, une des interrogations de longue date est de savoir si Y(k) est polynomiale ou non. Des résultats positifs existent (si k est réductif, grâce à Chevalley). Des résultats négatifs existent aussi (des contre-exemples si k est le centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie réductive, par Yakimova en type E_8 et par Charbonnel et Moreau en type D_7).On définit alors l'algèbre des semi-invariants Sy(k) comme l'algèbre engendrée par les éléments de S(k) pour lesquels la représentation adjointe agit de manière homothétique. De la même manière se pose la question de la polynomialité de Sy(k). Cette question a pour l'instant peu de réponses (Fauquant-Millet et Joseph ont obtenu la polynomialité si k est une sous-algèbre biparabolique en type A ou C).Un autre cas est celui où k=q est une contraction parabolique, c'est-à-dire une contraction d'une sous-algèbre de Lie réductive g par une sous-algèbre de Lie parabolique p. Dans les cas où g est simple de type A ou C, ou bien si p est une sous-algèbre de Borel, ainsi que dans certains cas de contractions paraboliques avec g de type B, Panyushev et Yakimova ont montré que Y(k) est polynomiale. Yakimova a également montré la polynomialité de Sy(q) lorsque p est une sous-algèbre de Borel.Dans ma thèse, j'étudie la polynomialité de Sy(q) lorsque q est une contraction parabolique en type A ou C. En utilisant les résultats de Panyushev et Yakimova, j'obtiens la polynomialité de Sy(q) en type A et dans certains cas en type C, mais conclus à la non-polynomialité en type C en général.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2017, Director: Laura Costa Farràs, [en] The present document is a first introduction to the Theory of Lie Groups and Lie Algebras and their representations. Lie Groups verify the characteristics of both a group and a smooth manifold structure. They arise from the need to study continuous symmetries, which is exactly what is needed for some branches of modern Theoretical Physics and in particular for quantum mechanics. The main objectives of this work are the following. First of all, to introduce the notion of a matrix Lie Group and see some examples, which will lead us to the general notion of Lie Group. From there, we will define the exponential map, which is the link to the notion of Lie Algebras. Every matrix Lie Group comes attached somehow to its Lie Algebra. Next we will introduce some notions of Representation Theory. Using the detailed examples of SU(2) and SU(3), we will study how the irreducible representations of certain types of Lie Groups are constructed through their Lie Algebras. Finally, we will state a general classification for the irreducible representations of the complex semisimple Lie Algebras.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2016, Director: Ricardo García López, Lie groups and Lie algebras are the basic objects of study of this work. Lie studied them as continuous transformations of partial differential equations, emulating Galois work with polynomial equations. The theory went much further thanks to Killing, Cartan and Weyl and now the wealth of properties of Lie groups makes them a central topic in modern mathematics. This richness comes from the merging of two initially unrelated mathematical structures such as the group structure and the smooth structure of a manifold, which turns out to impose many restrictions. For instance, a closed subgroup of a Lie group is automatically an embedded submanifold of the Lie group. Symmetries are related to groups, in particular continuous symmetries are related to Lie groups and whence, by Noether’s theorem, its importance in modern physics. In this work, we focus on the Lie group - Lie algebra relationship and on the representation theory of Lie groups through the representations of Lie algebras. Especially, we analyze the complex representations of Lie algebras related to compact simply connected Lie groups. With this purpose, we first study the theory of covering spaces and differential forms on Lie groups. Finally, an application to particle physics is presented which shows the role played by the representation theory of SU(3) on flavour symmetry and the theory of quarks.

If M is a symplectic manifold then the space of smooth loops C(S^1,M) inherits of a quasi-symplectic form. We will focus in this thesis on an algebraic analogue of that result.In their article, Kapranov and Vasserot introduced and studied the formal loop space of a scheme X. It is an algebraic version of the space of smooth loops in a differentiable manifold.We generalize their construction to higher dimensional loops. To any scheme X -- not necessarily smooth -- we associate L^d(X), the space of loops of dimension d. We prove it has a structure of (derived) Tate scheme -- ie its tangent is a Tate module: it is infinite dimensional but behaves nicely enough regarding duality.We also define the bubble space B^d(X), a variation of the loop space.We prove that B^d(X) is endowed with a natural symplectic form as soon as X has one.To prove our results, we develop a theory of Tate objects in a stable infinity category C. We also prove that the non-connective K-theory of Tate(C) is the suspension of that of C, giving an infinity categorical version of a result of Saito.The last chapter is aimed at a different problem: we prove there the existence of a Lie structure on the tangent of a derived Artin stack X. Moreover, any quasi-coherent module E on X is endowed with an action of this tangent Lie algebra through the Atiyah class of E. This in particular applies to not necessarily smooth schemes X.; L'espace des lacets lisses C(S^1,M) associé à une variété symplectique M se voit doté d'une structure (quasi-)symplectique induite par celle de M.Nous traiterons dans cette thèse d'un analogue algébrique de cet énoncé.Dans leur article, Kapranov et Vasserot ont introduit l'espace des lacets formels associé à un schéma. Il s'agit d'un analogue algébrique à l'espace des lacets lisses.Nous generalisons ici leur construction à des lacets de dimension supérieure. Nous associons à tout schéma X -- pas forcément lisse -- l'espace L^d(X) de ses lacets formels de dimension d.Nous démontrerons que ce dernier admet une structure de schéma (dérivé) de Tate : son espace tangent est de Tate, c'est-à-dire de dimension infinie mais suffisamment structuré pour se soumettre à la dualité.Nous définirons également l'espace B^d(X) des bulles de X, une variante de l'espace des lacets, et nous montrerons que le cas échéant, il hérite de la structure symplectique de X. Notons que ces résultats sont toujours valides dans des cas plus généraux : X peut être un champs d'Artin dérivé.Pour démontrer nos résultats, nous définirons ce que sont les objets de Tate dans une infinie-catégorie C stable et complète par idempotence.Nous prouverons au passage que le spectre de K-théorie non-connective de Tate(C) est équivalent à la suspension de celui de C, donnant une version infini-catégorique d'un résultat de Saito.Dans le dernier chapitre, nous traiterons d'un problème différent. Nous démontrerons l'existence d'une structure d'algèbre de Lie sur le tangent décalé de n'importe quel champ d'Artin dérivé X. Qui plus est, ce tangent agit sur tout quasi-cohérent E, l'action étant donnée par la classe d'Atiyah de E.Ces résultats sont par exemple valides dans le cas d'un schéma X sans hypothèse de lissité.

Résumé anglais: This thesis consists of an introductory text followed by two separate parts which may be read independently of each other. In Part I we analyze certain hyperbolic structures arising when studying gravity in the vicinity of spacelike singularities (the BKL-limit). In this limit, spatial points decouple and the dynamics exhibits ultralocal behaviour which may be mapped to an auxiliary problem given in terms of a (possibly chaotic) hyperbolic billiard. In all supergravities arising as low-energy limits of string theory or M-theory, the billiard dynamics takes place within the fundamental Weyl chambers of certain hyperbolic Kac-Moody algebras, suggesting that these algebras generate hidden infinite-dimensional symmetries of gravity. We investigate the modification of the billiard dynamics when the original gravitational theory is formulated on a compact spatial manifold of arbitrary topology, revealing fascinating mathematical structures known as galleries. We further use the conjectured hyperbolic symmetry E10 to generate and classify certain cosmological (S-brane) solutions in eleven-dimensional supergravity. Finally, we show in detail that eleven-dimensional supergravity and massive type IIA supergravity are dynamically unified within the framework of a geodesic sigma model for a particle moving on the infinite-dimensional coset space E10/K(E10). Part II of the thesis is devoted to a study of how (U-)dualities in string theory provide powerful constraints on perturbative and non-perturbative quantum corrections. These dualities are typically given by certain arithmetic groups G(Z) which are conjectured to be preserved in the effective action. The exact couplings are given by moduli-dependent functions which are manifestly invariant under G(Z), known as automorphic forms. We discuss in detail various methods of constructing automorphic forms, with particular emphasis on a special class of functions known as (non-holomorphic) Eisenstein series. We provide detailed examples for the physically relevant cases of SL(2,Z) and SL(3,Z), for which we construct their respective Eisenstein series and compute their (non-abelian) Fourier expansions. We also discuss the possibility that certain generalized Eisenstein series, which are covariant under the maximal compact subgroup K(G), could play a role in determining the exact effective action for toroidally compactified higher derivative corrections. Finally, we propose that in the case of rigid Calabi-Yau compactifications in type IIA string theory, the exact universal hypermultiplet moduli space exhibits a quantum duality group given by the emph{Picard modular group} SU(2,1;Z[i]). To verify this proposal we construct an SU(2,1;Z[i])-invariant Eisenstein series, and we present preliminary results for its Fourier expansion which reveals the expected contributions from D2-brane and NS5-brane instantons. /Résumé francais: Cette thèse est composée d'une introduction suivie de deux parties qui peuvent être lues indépendemment. Dans la première partie, nous analysons des structures hyperboliques apparaissant dans l'étude de la gravité au voisinage d'une singularité de type espace (la limite BKL). Dans cette limite, les points spatiaux se découplent et la dynamique suit un comportement ultralocal qui peut être reformulé en termes d'un billiard hyperbolique (qui peut être chaotique). Dans toutes les supergravités qui sont des limites de basse énergie de théories de cordes ou de la théorie M, la dynamique du billiard prend place à l'intérieur des chambres de Weyl fondamentales de certaines algèbres de Kac-Moody hyperboliques, ce qui suggère que ces algèbres correspondent à des symétries cachées de dimension infinie de la gravité. Nous examinons comment la dynamique du billard est modifiée quand la théorie de gravité originale est formulée sur une variété spatiale compacte de topologie arbitraire, révélant ainsi de fascinantes structures mathématiques appelées galleries. De plus, dans le cadre de la supergravité à onze dimensions, nous utilisons la symétrie hyperbolique conjecturée E10 pour engendrer et classifier certaines solutions cosmologiques (S-branes). Finalement, nous montrons en détail que la supergravité à onze dimensions et la supergravité de type IIA massive sont dynamiquement unifiées dans le contexte d'un modèle sigma géodesique pour une particule se déplaçant sur l'espace quotient de dimension infinie E10/K(E10).La deuxième partie de cette thèse est consacrée à étudier comment les dualités U en théorie des cordes fournissent des contraintes puissantes sur les corrections quantiques perturbatives et non perturbatives. Ces dualités sont typiquement données par des groupes arithmétiques G(Z) dont il est conjecturé qu'ils préservent l'action effective. Les couplages exacts sont donnés par des fonctions des moduli qui sont manifestement invariantes sous G(Z), et qu'on appelle des formes automorphiques. Nous discutons en détail différentes méthodes de construction de ces formes automorphiques, en insistant particulièrement sur une classe spéciale de fonctions appelées séries d'Eisenstein (non holomorphiques). Nous présentons comme exemples les cas de SL(2,Z) et SL(3,Z), qui sont physiquement pertinents. Nous construisons les séries d'Eisenstein correspondantes et leurs expansions de Fourier (non abéliennes). Nous discutons également la possibilité que certaines séries d'Eisenstein généralisées, qui sont covariantes sous le sous-groupe compact maximal, pourraient jouer un rôle dans la détermination des actions effectives exactes pour les théories incluant des corrections de dérivées supérieures compactifiées sur des tores., Doctorat en Sciences, info:eu-repo/semantics/nonPublished

Through an imaginary change of coordinates, the ordinary Poincare algebra is shown to be a subalgebra of the Galilei one in four space dimensions. Through a subsequent contraction the remaining Lie generators are eliminated in a natural way. An application of these results to connect Galilean and relativistic field equations is discussed.