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More and less recent studies pinpoint a need for the probabilistic community to understand processes indexed by spaces that are more general that N or R_+.This thesis focuses on processes {X_t}_t indexed by a very general set T endowed with an order relation that represents a kind of time flow.Classes of manifolds and continuous trees of interest are amongst the great variety of examples, without forgetting about more algebraic-flavored ones.The order structure allows to seamlessly identify each process {X_t}_t to a process {X_A}_A indexed by a collection of sets, making a bridge with the set-indexed theory developed by Ivanoff and Merzbach.Under some assumptions, the latter may be extended to a stochastic measure, leading to the construction of a linear map corresponding to the integral with respect to X.The case when X has independent increments is well understood since the work of Rajput and Rosiński. However, the case when the increments are stationary or exchangeable has been mainly limited to R_+ so far.New notions of stationarity fit to this general setting are developed and corresponding representation theorems for X and its extensions are proven.At last, those representations are refined to obtain sample path properties of X: in which functional space does it live? what about its Hölder regularity?..., De plus et moins récentes études révèlent un besoin par la communauté probabiliste de comprendre des processus indexés par des espaces plus généraux que N ou R_+.Sont donc étudiés dans cette thèse les processus {X_t}_t indexés par un ensemble T très général muni d'une relation d'ordre représentant une forme d'écoulement temporel.Les situations concernées sont très variées et englobent certaines classes de variétés différentielles et d'arbres continus, sans négliger certains espaces ayant des saveurs plus algébriques.La structure d'ordre permet d'identifier naturellement chaque processus {X_t}_t à un processus {X_A}_A indexé par une certaine collection d'ensembles, créant un pont avec la théorie des processus indexés par des ensembles développée par Ivanoff et Merzbach.Sous certaines conditions, ce dernier peut être étendu à une mesure stochastique, menant à la construction d'une application linéaire correspondant à l'intégrale par rapport à X.Si le cas où X a des accroissements indépendants est bien compris depuis les travaux de Rajput et Rosiński, celui des accroissements stationnaires ou échangeables était principalement resté cantonné à R_+.On développe ici des notions de stationnarité adaptées à ce cadre général et en déduisons sous ces hypothèses des représentations pour le processus X et ses extensions.Dans une dernière partie, ces représentations sont peaufinées pour obtenir des propriétés trajectorielles sur X : dans quel espace fonctionnel vit-il ? régularité hölderienne ?...

L’objectif principal de mémoire est la modélisation des données temporelles non stationnaires. Bien que les modèles statistiques classiques tentent de corriger les données non stationnaires en différenciant et en ajustant pour la tendance, je tente de créer des grappes localisées de données de séries temporelles stationnaires grâce à l’algorithme du « self-organizing map ». Bien que de nombreuses techniques aient été développées pour les séries chronologiques à l’aide du « self- organizing map », je tente de construire un cadre mathématique qui justifie son utilisation dans la prévision des séries chronologiques financières. De plus, je compare les méthodes de prévision existantes à l’aide du SOM avec celles pour lesquelles un cadre mathématique a été développé et qui n’ont pas été appliquées dans un contexte de prévision. Je compare ces méthodes avec la méthode ARIMA bien connue pour la prévision des séries chronologiques. Le deuxième objectif de mémoire est de démontrer la capacité du « self-organizing map » à regrouper des données vectorielles, puisqu’elle a été développée à l’origine comme un réseau neuronal avec l’objectif de regroupement. Plus précisément, je démontrerai ses capacités de regroupement sur les données du « limit order book » et présenterai diverses méthodes de visualisation de ses sorties., The main objective of this Master’s thesis is in the modelling of non-stationary time series data. While classical statistical models attempt to correct non- stationary data through differencing and de-trending, I attempt to create localized clusters of stationary time series data through the use of the self-organizing map algorithm. While numerous techniques have been developed that model time series using the self-organizing map, I attempt to build a mathematical framework that justifies its use in the forecasting of financial times series. Additionally, I compare existing forecasting methods using the SOM with those for which a framework has been developed and which have not been applied in a forecasting context. I then compare these methods with the well known ARIMA method of time series forecasting. The second objective of this thesis is to demonstrate the self-organizing map’s ability to cluster data vectors as it was originally developed as a neural network approach to clustering. Specifically I will demonstrate its clustering abilities on limit order book data and present various visualization methods of its output.

This document contributes to high-dimensional statistics for multivariate GARCH processes. First, the author proposes a new dynamic called vine-GARCH for correlation processes parameterized by an undirected graph called vine. The proposed approach directly specifies positive definite matrices and fosters parsimony. The author provides results for the existence and uniqueness of stationary solution of the vine-GARCH model and studies its asymptotic properties. He then proposes a general framework for penalized M-estimators with dependent processes and focuses on the asymptotic properties of the adaptive Sparse Group Lasso regularizer. The high-dimensionality setting is studied when considering a diverging number of parameters with the sample size. The asymptotic properties are illustrated through simulation experiments. Finally, the author proposes to foster sparsity for multivariate variance covariance matrix processes within the latter framework. To do so, the multivariate ARCH family is considered and the corresponding parameterizations are estimated thanks to penalized ordinary least square procedures.; Ce document traite du problème de la grande dimension dans des processus GARCH multivariés. L'auteur propose une nouvelle dynamique vine-GARCH pour des processus de corrélation paramétrisés par un graphe non dirigé appelé "vine". Cette approche génère directement des matrices définies-positives et encourage la parcimonie. Après avoir établi des résultats d'existence et d'unicité pour les solutions stationnaires du modèle vine-GARCH, l'auteur analyse les propriétés asymptotiques du modèle. Il propose ensuite un cadre général de M-estimateurs pénalisés pour des processus dépendants et se concentre sur les propriétés asymptotiques de l'estimateur "adaptive Sparse Group Lasso". La grande dimension est traitée en considérant le cas où le nombre de paramètres diverge avec la taille de l'échantillon. Les résultats asymptotiques sont illustrés par des expériences simulées. Enfin dans ce cadre l'auteur propose de générer la sparsité pour des dynamiques de matrices de variance covariance. Pour ce faire, la classe des modèles ARCH multivariés est utilisée et les processus correspondants à celle-ci sont estimés par moindres carrés ordinaires pénalisés.

Interdisciplinary frameworks for studying natural hazards and their temporal trends have an important potential in data generation for risk assessment, land use planning, and therefore the sustainable management of resources. This paper focuses on the adjustments required because of the wide variety of scientific fields involved in the reconstruction and characterisation of flood events for the past 1000 years. The aim of this paper is to describe various methodological aspects of the study of flood events in their historical dimension, including the critical evaluation of old documentary and instrumental sources, flood-event classification and hydraulic modelling, and homogeneity and quality control tests. Standardized criteria for flood classification have been defined and applied to the Isère and Drac floods in France, from 1600 to 1950, and to the Ter, the Llobregat and the Segre floods, in Spain, from 1300 to 1980. The analysis on the Drac and Isère data series from 1600 to the present day showed that extraordinary and catastrophic floods were not distributed uniformly in time. However, the largest floods (general catastrophic floods) were homogeneously distributed in time within the period 1600-1900. No major flood occurred during the 20th century in these rivers. From 1300 to the present day, no homogeneous behaviour was observed for extraordinary floods in the Spanish rivers. The largest floods were uniformly distributed in time within the period 1300-1900, for the Segre and Ter rivers., Une approche interdisciplinaire sur l`étude des phénomènes climatiques et de leur variabilité temporelle présente un intérêt certain pour l`analyse des risques naturels, de l`aménagement du territoire et de la gestion durable des ressources en eau. Cet article traite des aspects méthodologiques liés à la reconstitution et l`analyse d`événements de crue sur le dernier millénaire. Il aborde les questions de la critique des sources documentaires historiques, de la classification des crues et de la modélisation hydraulique des crues anciennes, des tests statistiques sur l`homogénéité des valeurs. Une échelle standardisée de classification des crues a été définie et appliquée aux crues de l`Isère et du Drac en France, de 1600 à 1950, et du Ter, du Llobregat et du Segre en Espagne, de 1300 à 1980.L`analyse des séries chronologiques du Drac et de l`Isère, de 1600 à aujourd`hui, montre que les crues fortes à exceptionnelles ne sont pas réparties de façon homogène dans le temps. Aucune tendance n`est décelable pour les crues exceptionnelles de 1600 à 1900. Aucune crue majeure de ce type n`a été observé sur ces deux rivières au cours du XXe siècle. En Espagne, de 1300 à aujourd`hui, l`occurrence des crues n`est pas stationnaire pour les crues fortes à exceptionnelles. Les crues exceptionnelles, de 1300 à 1900, sont par contre réparties de façon homogène pour le Segre et le Ter.

This thesis is centered on the problem of the identification of time series models with the meeting of two fields of the Statistics, Time Series Analysis and Data Analysis with its descriptive methods. The first stage of our work is to extend to several discrete time series the Jenkins' principal component study developed in the Seventies. Our approach adapts "classic" Principal Component Analysis (PCA) to time series while taking as a starting point the technique Singular Spectrum Analysis (SSA). A principle is deduced and applied to the multidimensional process generating series. A Toeplitz bloc covariance matrix is built around lagged random vectors: it exploits the chronology, the stationarity and the double dimension of the process. Using two corollaries based on the tensorial product of matrices and established by Friedman B. in the Fifties, like the covariance properties of a circular process, we approach the eigenvalues and the eigenvectors of the covariance matrix. The general shape of the principal components of several time series is deduced. In the case of the "independent" processes, a scores property is established and the principal components become moving averages of time series. From the obtained results, we propose a methodology allowing to build reference factorial models on "independent" vector ARMA. The objective is then to project a new series in one of the graphic models for its identification and a first estimate of its parameters. We work within a theoretical framework, then within an experimental framework by simulating samples of stationary, "independent" with symmetrical coefficients AR(1) and MA(1) processes. Based on simulated temporal matrices, several PCA produce good qualities of processes representation, with significant groupings and oppositions preserving the scores property and the eigenvalues symetric behavior. But above all, these factorial models reflect the variability of simulated white noises. Directly based on autocorrelation matrices, PCA give better results whatever the samples except for some processes said "weak". A first reference graphic model ensues with identification and estimation. Description and measure of possible structural changes lead us to introduce oscillators, frequencies and measures of entropy. This is the structural approach. To establish non-linearity between the numerous criteria and to increase the discriminative ability between the series, classifications on MCA are built over measures of entropy and produce outstanding quality of classes' characterization. A second reference graphic model ensues with the class of "weak" processes. This work also makes it possible to deduce a method of time series analysis which combines the usual approach by autocorrelations and a structural approach, less usual, by analysis of oscillators and theory of information, through visualization by factorial methods. The method is applied to simulated AR(2) and MA(2) processes and provides two more reference factorial models., Cette thèse est axée sur le problème de l'identification de modèles factoriels de séries temporelles et est à la rencontre des deux domaines de la Statistique, l'analyse des séries temporelles et l'analyse des données avec ses méthodes descriptives. La première étape de notre travail a pour but d'étendre à plusieurs séries temporelles discrètes, l'étude des composantes principales de Jenkins développée dans les années 70. Notre approche adapte l'analyse en composantes principales "classique" (ou ACP) aux séries temporelles en s'inspirant de la technique Singular Spectrum Analysis (ou SSA). Un principe est déduit et est appliqué au processus multidimensionnel générateur des séries. Une matrice de covariance à structure "remarquable" est construite autour de vecteurs al9;atoires décalés: elle exploite la chronologie, la stationnarité et la double dimension du processus. A l'aide de deux corollaires établis par Friedman B. dans les années 50 basés sur le produit tensoriel de matrices, et de propriétés de covariance des processus circulaires, nous approchons les éléments propres de la matrice de covariance. La forme générale des composantes principales de plusieurs séries temporelles est déduite. Dans le cas des processus "indépendants", une propriété des scores est établie et les composantes principales sont des moyennes mobiles des séries temporelles. A partir des résultats obtenus, une méthodologie est présentée permettant de construire des modèles factoriels de référence sur des ARMA vectoriels "indépendants". L'objectif est alors de projeter une nouvelle série dans un des modèles graphiques pour son identification et une première estimation de ses paramètres. Le travail s'effectue dans un cadre théorique, puis dans un cadre expérimental en simulant des échantillons de trajectoires AR(1) et MA(1) stationnaires, "indépendantes" et à coefficients symétriques. Plusieurs ACP, construites sur la matrice temporelle issue de la simulation, produisent de bonnes qualités de représentation des processus qui se regroupent ou s'opposent selon leur type en préservant la propriété des scores et la symétrie dans le comportement des valeurs propres. Mais, ces modèles factoriels reflètent avant tout la variabilité des bruits de la simulation. Directement basées sur les autocorrélations, de nouvelles ACP donnent de meilleurs résultats quels que soient les échantillons. Un premier modèle factoriel de référence est retenu pour des séries à forts coefficients. La description et la mesure d'éventuels changements structurels conduisent à introduire des oscillateurs, des fréquences et des mesures entropiques. C'est l'approche structurelle. Pour établir une possible non-linéarité entre les nombreux critères et pour augmenter la discrimination entre les séries, une analyse des correspondances multiples suivie d'une classification est élaborée sur les entropies et produit un deuxième modèle de référence avec trois classes de processus dont celle des processus à faibles coefficients. Ce travail permet également d'en déduire une méthode d'analyse de séries temporelles qui combine à la fois, l'approche par les autocorrélations et l'approche par les entropies, avec une visualisation par des méthodes factorielles. La méthode est appliquée à des trajectoires AR(2) et MA(2) simulées et fournit deux autres modèles factoriels de référence.

Statistical analysis of extremes currently assumes that data arise from a stationary process, although such an hypothesis is not easily assessable and should therefore be considered as an uncertainty. The aim of this paper is to describe a Bayesian framework for this purpose, considering several probabilistic models (stationary, step-change and linear trend models) and four extreme values distributions (exponential, generalized Pareto, Gumbel and GEV). Prior distributions are specified by using regional prior knowledge about quantiles. Posterior distributions are used to estimate parameters, quantify the probability of models and derive a realistic frequency analysis, which takes into account estimation, distribution and stationarity uncertainties. MCMC methods are needed for this purpose, and are described in the article. Finally, an application to a POT discharge series is presented, with an analysis of both occurrence process and peak distribution.

La modélisation de processus spatiaux sur des réseaux hydrographiques vus comme des réseaux arborescents impose une révision des concepts de base de la géostatistique pour ce changement de support. En particulier, la stationnarité du processus ne peut être assurée que pour certaines hypothèses de modélisation. Nous présenterons les modèles proposés dans la littérature et explorerons les résultats de ces modèles sur un cas d'étude.

Time series modeling and analysis is central to most financial and econometric data modeling. With increased globalization in trade, commerce and finance, national variables like gross domestic productivity (GDP) and unemployment rate, market variables like indices and stock prices and global variables like commodity prices are more tightly coupled than ever before. This translates to the use of multivariate or vector time series models and algorithms in analyzing and understanding the relationships that these variables share with each other. Autocorrelation is one of the fundamental aspects of time series modeling. However, traditional linear models, that arise from a strong observed autocorrelation in many financial and econometric time series data, are at times unable to capture the rather nonlinear relationship that characterizes many time series data. This necessitates the study of nonlinear models in analyzing such time series. The class of bilinear models is one of the simplest nonlinear models. These models are able to capture temporary erratic fluctuations that are common in many financial returns series and thus, are of tremendous interest in financial time series analysis. Another aspect of time series analysis is homoscedasticity versus heteroscedasticity. Many time series data, even after differencing, exhibit heteroscedasticity. Thus, it becomes important to incorporate this feature in the associated models. The class of conditional heteroscedastic autoregressive (ARCH) models and its variants form the primary backbone of conditional heteroscedastic time series models. Robustness is a highly underrated feature of most time series applications and models that are presently in use in the industry. With an ever increasing amount of information available for modeling, it is not uncommon for the data to have some aberrations within itself in terms of level shifts and the occasional large fluctuations. Conventional methods like the maximum likelihood and least squares are well known to be highly sensitive to such contaminations. Hence, it becomes important to use robust methods, especially in this age with high amounts of computing power readily available, to take into account such aberrations. While robustness and time series modeling have been vastly researched individually in the past, application of robust methods to estimate time series models is still quite open. The central goal of this thesis is the study of robust parameter estimation of some simple vector and nonlinear time series models. More precisely, we will briefly study some prominent linear and nonlinear models in the time series literature and apply the robust S-estimator in estimating parameters of some simple models like the vector autoregressive (VAR) model, the (0, 0, 1, 1) bilinear model and a simple conditional heteroscedastic bilinear model. In each case, we will look at the important aspect of stationarity of the model and analyze the asymptotic behavior of the S-estimator.