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An example of Cornalba and Shiffman from 1972 disproves in dimension two or higher a classical prediction that the count of zeros of holomorphic self-mappings of the complex linear space should be controlled by the maximum modulus function. We prove that such a bound holds for a modified coarse count based on the theory of persistence modules originating in topological data analysis., Comment: 30 pages, 6 figures

We use generating function techniques developed by Givental, Théret and ourselves to deduce a proof in CPd of the homological generalization of Franks theorem due to Shelukhin. This result proves in particular the Hofer-Zehnder conjecture in the non-degenerate case: every Hamiltonian diffeomorphism of CPd that has at least d+2 non-degenerate periodic points has infinitely many periodic points. Our proof does not appeal to Floer homology or the theory of J-holomorphic curves. An appendix written by Shelukhin contains a new proof of the Smith-type inequality for barcodes of Hamiltonian diffeomorphisms that arise from Floer theory, which lends itself to adaptation to the setting of generating functions.; Au moyen de techniques utilisant les fonctions génératrices développées par Givental, Théret et nous-même, nous donnons une preuve sur CPd de la généralisation homologique de Shelukhin du théorème de Franks. Ce résultat démontre, en particulier, la conjecture de Hofer-Zehnder dans le cas non-dégénéré : tout difféomorphisme hamiltonien de CPd ayant au moins d+2 points périodiques non-dégénérés possède une infinité de points périodiques. Notre preuve ne fait pas appel à l'homologie de Floer ou à la théorie des courbes J-holomorphes. Un appendice écrit par Shelukhin propose une nouvelle preuve de l'inégalité de type Smith pour les codes-barres de difféomorphismes hamiltoniens issus de la théorie de Floer se prêtant à l'adaptation au cadre des fonctions génératrices.

We study configurations of disjoint Lagrangian submanifolds in certain low-dimensional symplectic manifolds from the perspective of the geometry of Hamiltonian maps. We detect infinite-dimensional flats in the Hamiltonian group of the two-sphere equipped with Hofer's metric, prove constraints on Lagrangian packing, find instances of Lagrangian Poincar\'{e} recurrence, and present a new hierarchy of normal subgroups of area-preserving homeomorphisms of the two-sphere. The technology involves Lagrangian spectral invariants with Hamiltonian term in symmetric product orbifolds., Comment: 47 pages; moderate revision, added Corollary 1, Definition 11, and Proposition 13

In this note we prove that for each positive integer $m$ there exists a bi-Lipschitz embedding $Z^m\to Ham(S^2)$, where $Ham(S^2)$ is equipped with the entropy metric. In particular, the same result holds when the entropy metric is substituted with the autonomous metric., 7 pages

Symplectic flux measures the areas of cylinders swept in the process of a Lagrangian isotopy. We study flux via a numerical invariant of a Lagrangian submanifold that we define using its Fukaya algebra. The main geometric feature of the invariant is its concavity over isotopies with linear flux. We derive constraints on flux, Weinstein neighbourhood embeddings and holomorphic disk potentials for Gelfand-Cetlin fibres of Fano varieties in terms of their polytopes. We show that Calabi-Yau SYZ fibres have unobstructed Floer theory under a general assumption. We also describe the space of fibres of almost toric fibrations on the complex projective plane up to Hamiltonian isotopy, and provide other applications., 53 pages, 15 figures; various minor improvements

We give an alternative proof of a theorem of Gambaudo-Ghys and Fathi on the interpretation of the Calabi homomorphism for the standard symplectic disc as an average rotation number. This proof uses only basic complex analysis., Comment: 4 pages

In this paper, we prove the main conjecture on $g$-areas that was announced by the first author in 2004. It states that the $g$-area of any Hamiltonian diffeomorphism $\phi$ is equal to the positive Hofer distance between $\phi$ and the subspace of Hamiltonian diffeomorphisms that can be expressed as a product of at most $g$ commutators., Comment: 9 pages; Submitted

Ce mémoire de maîtrise porte sur les billards mathématiques et la distribution des points de réflexion des trajectoires périodiques d’une table de billard strictement convexe. Un billard mathématique est un système dynamique généré par le mouvement libre d’une particule à l’intérieur d’un domaine dont la frontière est parfaitement réfléchissante. Une question d’intérêt particulier dans l’étude des billards mathématiques est celle de ses trajectoires périodiques. Nous considérons le cas des billards planaires strictement convexes. Il est connu que les points de réflexion des trajectoires périodiques de période n faisant un tour de table sont équidistribués par rapport à une mesure naturelle sur la frontière. Nous montrons ce résultat par une méthode nouvelle et relativement élémentaire utilisant la théorie de Lazuktin [12]. Dans le premier chapitre, nous donnons une description précise de la dynamique des billards et une brève introduction à la théorie de Lazuktin, aux applications de torsion et aux caustiques. Dans les chapitres 2 à 4, nous développons chacun des concepts précédents et expliquons comment ceux-ci sont liés aux billards. Le chapitre 5 est consacré à la preuve de notre résultat principal, divisée en deux parties. Nous concluons en donnant une annexe sur la théorie de la mesure., This master’s thesis is concerned with mathematical billiards and distribution of reflection points of periodic trajectories of a strictly convex billiard table. A mathematical billiard is a dynamical system generated by the free motion of a particle inside of a domain with a perfectly reflecting boundary. A question of particular interest in the study of mathematical billiards is that of its periodic trajectories. We consider the case of planar strictly convex billiards. It is known that the reflection points of periodic trajectories of period n making one turn around the table are equidistributed with respect to a natural measure on the boundary. We show this result by a new and relatively elementary method using Lazuktin’s theory [12]. In the first chapter, we give a precise description of billiard dynamics and a brief introduction of Lazuktin’s theory, twist mappings and caustics. In Chapter 2 to 4, we elaborate each of the previous concepts and explain how they are related to billiards. Chapter 5 is dedicated to the proof of our main result, divided into two parts. We conclude by giving an appendix about measure theory.

En employant des méthodes de la théorie de Chern-Weil, Reznikov produit une condition suffisante qui assure la non-trivialité de la projectivisation \( \mathbb{P}(E) \) d'un fibré vectoriel complexe en tant que fibré Hamiltonien. Dans le contexte de la quantification géométrique, Savelyev et Shelukhin introduisent un nouvel invariant des fibrés Hamiltoniens avec valeurs dans la K-théorie et étendent le résultat de Reznikov. Cet invariant est donné par l'indice d'Atiyah-Singer d'une famille d'opérateurs \( \text{Spin}^{c} \) de Dirac. Dans ce mémoire, on s'intéresse à des fibrés Hamiltoniens résultant d'un produit fibré et d'un produit cartésien d'une collection de fibrés projectifs complexes \( \mathbb{P}(E_1), \cdots, \mathbb{P}(E_r) \). En usant des mêmes méthodes que Shelukhin et Savelyev, on définit une famille d'opérateurs \( \text{Spin}^{c} \) de Dirac qui agissent sur les sections d'un fibré de Dirac canonique à valeurs dans un fibré pré-quantique. L'indice de famille produit un invariant de fibrés Hamiltoniens avec fibres données par un produit d'espaces projectifs complexes et permet de construire des exemples de fibrés Hamiltoniens non-triviaux., Using methods of Chern-Weil Theory, Reznikov provides a sufficient condition for the non-triviality of the projectivization \( \mathbb{P}(E) \) of a complex vector bundle \( E \) as a Hamiltonian fibration. In the setting of geometric quantization, Savelyev and Shelukhin introduce a new invariant of Hamiltonian fibrations and a K-theoretic lift of Reznikov's result. This invariant is given by the Atiyah-Singer index of a family of \( \text{Spin}^{c} \)-Dirac operators. In this thesis, we consider Hamiltonian fibrations given by the Cartesian product and the fiber product of a collection of complex projective bundles \( \mathbb{P}(E_1), \cdots, \mathbb{P}(E_r) \). Using the same methods as Savelyev and Shelukhin, we define a family of \( \text{Spin}^{c} \)-Dirac operators acting on sections of a canonical Dirac bundle with values in a suitable prequantum fibration. The family index gives then an invariant of Hamiltonian fibrations with fibers given by a product of complex projective spaces and allows to construct examples of non-trivial Hamiltonian fibrations.