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This thesis deals with the study of competition models of several species of microorganisms on two complementary nutrients in a chemostat. We present different models of competition which lead to a very classical result in the mathematical theory of the chemostat known as: the competitive exclusion principle. This result is corroborated experimentally but contradicted by the natural environment where several species are able to coexist in the long term. Several approaches have been proposed to explain this phenomenon of coexistence. Among these, we are interested in that of multi-nutrient for interspecific competition models with direct interaction and for the density-dependent models. The difficulty in the study of the global asymptotic stability in these models is the construction of a Lyapunov function. The Lyapunov functions available in the literature concern only competition models on a single nutrient. The objective of this thesis is the analysis of these models in terms of survival of microorganisms, namely: the permanence property. The approach used in this thesis is entirely theoretical and studied models can be applied in practice., Cette thèse porte sur l’étude des modèles de compétition de plusieurs espèces de micro-organismes sur deux substrats complémentaires dans un chemostat. Nous présentons les différents modèles de compétition qui ont abouti à un résultat classique très connu en théorie mathématique du chemostat : le principe d’exclusion compétitive. Ce principe est corroboré expérimentalement mais contredit par l’environnement naturel où plusieurs espèces sont capables de coexister à long terme. Plusieurs approches ont été proposées pour expliquer ce phénomène de coexistence. Parmi ces approches, nous nous sommes intéressés à celle des multi-substrats pour les modèles de compétition avec interaction interspécifique directe et pour les modèles densité-dépendants. La difficulté rencontrée dans l’étude de la stabilité asymptotique globale dans ces modèles réside dans la construction d’une fonction de Lyapunov. Les fonctions de Lyapunov disponibles dans la littérature concernent seulement les modèles de compétition à un seul substrat. L’objectif de cette thèse est l’analyse dans ces modèles de la survie des micro-organismes : la propriété de permanence. L’approche utilisée dans cette thèse est entièrement théorique et les modèles étudiés peuvent être appliqués dans la pratique.

This thesis presents new results in the field of state estimation based on the theory of positive systems. It is composed of two separate parts. The first one studies the problem of positive observer design for positive systems. The second one which deals with robust state estimation through the design of interval observers, is at the core of our work.We begin our thesis by proposing the design of a nonlinear positive observer for discrete-time positive time-varying linear systems based on the use of generalized polar coordinates in the positive orthant. For positive systems, a natural requirement is that the observers should provide state estimates that are also non-negative so they can be given a physical meaning at all times. The idea underlying the method is that first, the direction of the true state is correctly estimated in the projective space thanks to the Hilbert metric and then very mild assumptions on the output map allow to reconstruct the norm of the state. The convergence rate can be controlled.Later, the thesis is continued by studying the so-called interval observers for different families of dynamic systems in continuous-time, in discrete-time and also in a context "continuous-discrete" (i.e. a class of continuous-time systems with discrete-time measurements). Interval observers are dynamic extensions giving estimates of the solution of a system in the presence of various type of disturbances through two outputs giving an upper and a lower bound for the solution. Thanks to interval observers, one can construct control laws which stabilize the considered systems.; Cette thèse est construite autour de deux types d'estimation de l'état d'un système, traités séparément. Le premier problème abordé concerne la construction d'observateurs positifs basés sur la métrique de Hilbert. Le second traite de la synthèse d'observateurs par intervalles pour différentes familles de systèmes dynamiques et la construction de lois de commande robustes qui stabilisent ces systèmes.Un système positif est un système dont les variables d'état sont toujours positives ou nulles lorsque celles-ci ont des conditions initiales qui le sont. Les systèmes positifs apparaissent souvent de façon naturelle dans des applications pratiques où les variables d'état représentent des quantités qui n'ont pas de signification si elles ont des valeurs négatives. Dans ce contexte, il parait naturel de rechercher des observateurs fournissant des estimées elles aussi positives ou nulles. Dans un premier temps, notre contribution réside dans la mise au point d'une nouvelle méthode de construction d'observateurs positifs sur l'orthant positif. L'analyse de convergence est basée sur la métrique de Hilbert. L'avantage concurrentiel de notre méthode est que la vitesse de convergence peut être contrôlée.Notre étude concernant la synthèse d'observateurs par intervalles est basée sur la théorie des systèmes dynamiques positifs. Les observateurs par intervalles constituent un type d'observateurs très particuliers. Ce sont des outils développés depuis moins de 15 ans seulement : ils trouvent leur origine dans les travaux de Gouzé et al. en 2000 et se développent très rapidement dans de nombreuses directions. Un observateur par intervalles consiste en un système dynamique auxiliaire fournissant un intervalle dans lequel se trouve l'état, en considérant que l'on connait des bornes pour la condition initiale et pour les quantités incertaines. Les observateurs par intervalles donnent la possibilité de considérer le cas où des perturbations importantes sont présentes et fournissent certaines informations à tout instant.

This thesis presents new results in the field of state estimation based on the theory of positive systems. It is composed of two separate parts. The first one studies the problem of positive observer design for positive systems. The second one which deals with robust state estimation through the design of interval observers, is at the core of our work.We begin our thesis by proposing the design of a nonlinear positive observer for discrete-time positive time-varying linear systems based on the use of generalized polar coordinates in the positive orthant. For positive systems, a natural requirement is that the observers should provide state estimates that are also non-negative so they can be given a physical meaning at all times. The idea underlying the method is that first, the direction of the true state is correctly estimated in the projective space thanks to the Hilbert metric and then very mild assumptions on the output map allow to reconstruct the norm of the state. The convergence rate can be controlled.Later, the thesis is continued by studying the so-called interval observers for different families of dynamic systems in continuous-time, in discrete-time and also in a context "continuous-discrete" (i.e. a class of continuous-time systems with discrete-time measurements). Interval observers are dynamic extensions giving estimates of the solution of a system in the presence of various type of disturbances through two outputs giving an upper and a lower bound for the solution. Thanks to interval observers, one can construct control laws which stabilize the considered systems.; Cette thèse est construite autour de deux types d'estimation de l'état d'un système, traités séparément. Le premier problème abordé concerne la construction d'observateurs positifs basés sur la métrique de Hilbert. Le second traite de la synthèse d'observateurs par intervalles pour différentes familles de systèmes dynamiques et la construction de lois de commande robustes qui stabilisent ces systèmes.Un système positif est un système dont les variables d'état sont toujours positives ou nulles lorsque celles-ci ont des conditions initiales qui le sont. Les systèmes positifs apparaissent souvent de façon naturelle dans des applications pratiques où les variables d'état représentent des quantités qui n'ont pas de signification si elles ont des valeurs négatives. Dans ce contexte, il parait naturel de rechercher des observateurs fournissant des estimées elles aussi positives ou nulles. Dans un premier temps, notre contribution réside dans la mise au point d'une nouvelle méthode de construction d'observateurs positifs sur l'orthant positif. L'analyse de convergence est basée sur la métrique de Hilbert. L'avantage concurrentiel de notre méthode est que la vitesse de convergence peut être contrôlée.Notre étude concernant la synthèse d'observateurs par intervalles est basée sur la théorie des systèmes dynamiques positifs. Les observateurs par intervalles constituent un type d'observateurs très particuliers. Ce sont des outils développés depuis moins de 15 ans seulement : ils trouvent leur origine dans les travaux de Gouzé et al. en 2000 et se développent très rapidement dans de nombreuses directions. Un observateur par intervalles consiste en un système dynamique auxiliaire fournissant un intervalle dans lequel se trouve l'état, en considérant que l'on connait des bornes pour la condition initiale et pour les quantités incertaines. Les observateurs par intervalles donnent la possibilité de considérer le cas où des perturbations importantes sont présentes et fournissent certaines informations à tout instant.

This report investigates the long-time asymptotic behaviour of viscous bidimensional fluids, either homogeneous or weakly-inhomogeneous. Regarding homogeneous fluids, Thierry Gallay and C. Eugene Wayne have shown the major role of a family of self-similar solutions, the Oseen vortices, which attracts any solution of the Navier-Stokes equation with a finite measure as initial vorticity and non-zero circulation. Their result is non-explicit and the first task of this report is to make it explicit, getting this way a bound for the time-life of bidimensional turbulence. Then is shown the asymptotic stability of the Oseen vortices as density-dependent fluids, which also enables one to recover the result of Gallay and Wayne for slow weakly-inhomogeneous incompressible fluids. At last, it is proved that slow weakly-inhomogeneous compressible fluids, with zero circulation, behave asymptotically mainly as homogeneous fluids., Ce mémoire se propose d'examiner le comportement asymptotique en temps long des fluides visqueux bidimensionnels, homogènes ou faiblement inhomogènes. On y examine souvent la dynamique des écoulements en fonction de l'évolution de la densité et, plutôt que de la vitesse, du vecteur de rotation instantanée appelé tourbillon ou vorticité. Les travaux de Thierry Gallay et C. Eugene Wayne ont mis en relief le rôle primordial d'une famille de solutions auto-similaires --- les tourbillons d'Oseen ou vortex --- pour décrire l'asymptotique des écoulements à densité constante. Toute solution de l'équation de Navier-Stokes, ayant une mesure finie comme tourbillon initial et de circulation non nulle, est asymptotique en temps long à un tourbillon d'Oseen. Le résultat de Gallay et Wayne ne présente que l'inconvénient de ne pas être explicite, la première tâche de ce mémoire est de l'expliciter, ce qui fournit ainsi une borne sur le temps de vie de la turbulence bidimensionnelle. On montre ensuite que les tourbillons d'Oseen sont asymptotiquement stables en tant que fluides à densité variable, retrouvant également, par là-même, le résultat de Gallay et Wayne pour des écoulements incompressibles faiblement inhomogènes et lents. Quant aux fluides compressibles faiblement inhomogènes, on établit qu'ils se comportent essentiellement comme des fluides à densité constante dès lors que l'on considère des écoulements lents et de circulation nulle.

This thesis is devoted to the study ofthe stability of small stationary solutions of a nonlinear timedependent equation coming from relativistic quantum mechanics: thenonlinear Dirac equation.In this study, non linear equations are viewed as small nonlinearperturbations of linear systems. A part of this thesis is hencedevoted to the study of linear problems. We prove that for a Diracoperator, with no resonance at thresholds nor eigenvalue atthresholds, the propagator satisfies propagation and dispersiveestimates. We also deduce smoothness estimates in the sense of Katoand Strichartz estimates.With some ad hoc assumptions on the discrete spectrum of aDirac operator, we build small manifolds of stationary states. Thenwith small variations on these assumptions, we can highlight somestabilization process and orbital instability phenomena for somestationary states.; Cette thèse est consacrée à l'étude de lastabilité de petits états stationnaires d'une équation d'évolutionnon linéaire issue de la mécanique quantique relativiste :l'équation de Dirac non linéaire.Tout le long de notre étude, les équations non linéaires sont vuescomme des petites perturbations non linéaires de systèmes linéaires.Une partie de cette thèse est donc consacrée à l'étude de problèmeslinéaires. Nous montrons que, pour un opérateur de Dirac n'ayant pasde résonance aux seuils ni de valeur propre aux seuils, lepropagateur vérifie des estimations de propagation et de dispersion.Nous en déduisons également des estimations de régularité au sens deKato et des estimations de Strichartz.En faisant des hypothèses ad hoc sur le spectre discret d'unopérateur de Dirac, nous construisons des petites variétés forméesd'états stationnaires. Puis en faisant varier ces hypothèses, nousfaisons apparaître des phénomènes de stabilisation et d'instabilitéorbitale pour certains de ces états.

This thesis is devoted to the study ofthe stability of small stationary solutions of a nonlinear timedependent equation coming from relativistic quantum mechanics: thenonlinear Dirac equation.In this study, non linear equations are viewed as small nonlinearperturbations of linear systems. A part of this thesis is hencedevoted to the study of linear problems. We prove that for a Diracoperator, with no resonance at thresholds nor eigenvalue atthresholds, the propagator satisfies propagation and dispersiveestimates. We also deduce smoothness estimates in the sense of Katoand Strichartz estimates.With some ad hoc assumptions on the discrete spectrum of aDirac operator, we build small manifolds of stationary states. Thenwith small variations on these assumptions, we can highlight somestabilization process and orbital instability phenomena for somestationary states.; Cette thèse est consacrée à l'étude de lastabilité de petits états stationnaires d'une équation d'évolutionnon linéaire issue de la mécanique quantique relativiste :l'équation de Dirac non linéaire.Tout le long de notre étude, les équations non linéaires sont vuescomme des petites perturbations non linéaires de systèmes linéaires.Une partie de cette thèse est donc consacrée à l'étude de problèmeslinéaires. Nous montrons que, pour un opérateur de Dirac n'ayant pasde résonance aux seuils ni de valeur propre aux seuils, lepropagateur vérifie des estimations de propagation et de dispersion.Nous en déduisons également des estimations de régularité au sens deKato et des estimations de Strichartz.En faisant des hypothèses ad hoc sur le spectre discret d'unopérateur de Dirac, nous construisons des petites variétés forméesd'états stationnaires. Puis en faisant varier ces hypothèses, nousfaisons apparaître des phénomènes de stabilisation et d'instabilitéorbitale pour certains de ces états.

Président du jury : M. Michel Langlais (Professeur, Université Bordeaux II). Examinateurs : M. Mostafa Adimy (MCF HDR, Université de Pau), M. Mohamed Amara (Professeur, Université de Pau), M. Jacques Henry (Directeur de recherches INRIA, Université Bordeaux I), M. Benoît Perthame (Professeur, Ecole Normale Supérieure Paris), M. Vitaly Volpert (Directeur de recherches CNRS, Université Lyon 1). Rapporteurs : M. Benoît Perthame (Professeur, Ecole Normale Supérieure Paris), M. Vitaly Volpert (Directeur de recherches CNRS, Université Lyon 1), M. Glenn Webb (Professeur, Vanderbilt University, Nashville, USA).; The events allowing production and continuous renewal of blood cells represent a series of complex processes, called haematopoiesis, taking place in the bone marrow. Haematopoiesis is based on a pool of haematopoietic stem cells, having unique capacities of differentiation (capacity to generate all blood cells types) and self renewal (capacity to generate a daugther cell identical to the mother cell). We performed a mathematical study of haematopoiesis based on nonlinear age and maturity structured models. It allowed to highlight the influence of hematopoietic stem cells on the entire blood cell population, these cells actively acting on the population stability. Through the study of models without maturity structure, reduced by integration to a system of differential equations with distributed delay, we obtained the existence of oscillating solutions and, throughout the study of a Hopf bifurcation, of periodic solutions with very long periods compared to the cell cycle duration. These oscillations are characteristic of some blood diseases, called periodic, such as chronic myelogenous leukaemia, one of the most widespread forms of leukaemia. Our work represents a contribution to the study of this disease. Lastly, we considered a haematopoiesis model taking into account the action of some factors, external to the bone marrow, acting on stem cells differentiation. We proved the existence of oscillating solutions which may describe some periodic hematological diseases.; L'ensemble des événements permettant la fabrication et le renouvellement continu des cellules du sang représente une série de processus complexes, appelée hématopoïèse, ayant lieu dans la moelle osseuse. L'hématopoïèse repose sur une réserve de cellules souches, dites hématopoïétiques, possédant des capacités uniques de différenciation (capacité à générer l'ensemble des cellules du sang) et d'auto-renouvellement (capacité à générer une cellule fille identique à la cellule mère). Nous avons réalisé une étude mathématique de l'hématopoïèse à l'aide de modèles non-linéaires structurés en âge et maturité. Elle a permis de mettre en évidence l'influence des cellules souches hématopoïétiques sur la population totale de cellules du sang, ces cellules agissant activement sur la stabilité de la population. Par l'étude de modèles non structurés en maturité, réduits par intégration à un système d'équations différentielles avec retard distribué, nous avons mis en évidence l'existence de solutions oscillantes et, à travers l'étude d'une bifurcation de Hopf, de solutions périodiques, avec de très longues périodes en comparaison de la durée du cycle cellulaire. Ces oscillations sont caractéristiques de maladies du sang dites cycliques, dont la leucémie myéloïde chronique, une forme très répandue de leucémie. Notre travail représente une contribution à l'étude de cette maladie. Enfin, nous nous sommes intéressés à un modèle d'hématopoïèse prenant en compte l'action de facteurs extérieurs à la moelle osseuse qui agissent sur la différenciation des cellules souches. Nous avons établi l'existence de solutions oscillantes pouvant décrire certaines maladies hématologiques cycliques.

We investigate macroscopic models of PDE for ionised reactive gasmixtures and we perform some mathematical studies and numericalsimulations. We obtain the macroscopic equations just like expressions for transport fluxes by using the Enskog expansion of a generalized Boltzmann equation. We then investigate symmetry properties given by the entropy for the coupled system composed with the fluid equations and the Maxwell's equations and we prove local existence and uniqueness of a bounded smooth solution for the Cauchy problem. We next investigate a system modeling ambipolar plasmas where the electron mass is considerd as a parameter. We establish the continuous dependence of global solutions with respect to vanishing electron mass. We finally compute plane and strained ionised flames for hydrogen-air mixture et we obtain classical structures with weak impact of ionisation., Nous élaborons des modèles macroscopiques d'EDP pour les mélanges gazeux réactifs ionisés et nous effectuons diverses études mathématiques puis quelques simulations numériques. On détermine les équations macroscopiques ainsi que des expressions des flux detransport à partir d'un modèle de type Boltzmann par un développement de Enskog. Nous étudions alors les propriétés de symétrie apportées par l'entropie de ces équations couplées avec celles de Maxwell pour obtenir un théorème d'existence locale en temps d'une solution bornée et régulière pour le problème de Cauchy. Nous étudions ensuite un modèle de plasma ambipolaire en considérant la masse de l'électron comme un paramètre. Nous démontrons que la solution globale dépend continument de la masse de l'électron lorsque celle-ci s'annule. Nous calculons enfin des flammes ionisées planes et étirées d'un mélange hydrogène-air et obtenons des structures de flammes typiques avec un faible impact de l'ionisation.

We investigate macroscopic models of PDE for ionised reactive gasmixtures and we perform some mathematical studies and numericalsimulations. We obtain the macroscopic equations just like expressions for transport fluxes by using the Enskog expansion of a generalized Boltzmann equation. We then investigate symmetry properties given by the entropy for the coupled system composed with the fluid equations and the Maxwell's equations and we prove local existence and uniqueness of a bounded smooth solution for the Cauchy problem. We next investigate a system modeling ambipolar plasmas where the electron mass is considerd as a parameter. We establish the continuous dependence of global solutions with respect to vanishing electron mass. We finally compute plane and strained ionised flames for hydrogen-air mixture et we obtain classical structures with weak impact of ionisation.; Nous élaborons des modèles macroscopiques d'EDP pour les mélanges gazeux réactifs ionisés et nous effectuons diverses études mathématiques puis quelques simulations numériques. On détermine les équations macroscopiques ainsi que des expressions des flux detransport à partir d'un modèle de type Boltzmann par un développement de Enskog. Nous étudions alors les propriétés de symétrie apportées par l'entropie de ces équations couplées avec celles de Maxwell pour obtenir un théorème d'existence locale en temps d'une solution bornée et régulière pour le problème de Cauchy. Nous étudions ensuite un modèle de plasma ambipolaire en considérant la masse de l'électron comme un paramètre. Nous démontrons que la solution globale dépend continument de la masse de l'électron lorsque celle-ci s'annule. Nous calculons enfin des flammes ionisées planes et étirées d'un mélange hydrogène-air et obtenons des structures de flammes typiques avec un faible impact de l'ionisation.