Tran, Vu Duc, Applications of interacting particle systems to statistics ( ASPI ), Institut de Recherche Mathématique de Rennes ( IRMAR ), Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -AGROCAMPUS OUEST-École normale supérieure - Rennes ( ENS Rennes ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université de Rennes 2 ( UR2 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ), Laboratoire des sciences et techniques de l'information, de la communication et de la connaissance (UMR 3192) ( Lab-STICC ), Université européenne de Bretagne ( UEB ) -Université de Bretagne Sud ( UBS ) -Université de Brest ( UBO ) -Institut Brestois du Numérique et des Mathématiques ( IBNM ), Université de Brest ( UBO ) -Télécom Bretagne-Institut Mines-Télécom [Paris]-Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Université de Bretagne Sud, Valérie Monbet(monbet@univ-ubs.fr), Applications of interacting particle systems to statistics (ASPI), Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-INSTITUT AGRO Agrocampus Ouest, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Laboratoire des sciences et techniques de l'information, de la communication et de la connaissance (UMR 3192) (Lab-STICC), Université européenne de Bretagne - European University of Brittany (UEB)-Université de Bretagne Sud (UBS)-Université de Brest (UBO)-Télécom Bretagne-Institut Brestois du Numérique et des Mathématiques (IBNM), Université de Brest (UBO)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), AGROCAMPUS OUEST, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes 2 (UR2), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-AGROCAMPUS OUEST, Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Université européenne de Bretagne - European University of Brittany (UEB)-Université de Bretagne Sud (UBS)-Université de Brest (UBO)-Institut Brestois du Numérique et des Mathématiques (IBNM), Université de Brest (UBO)-Télécom Bretagne-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), and Tran, Vu Duc
This thesis is concerned with the data assimilation methods which combine the dynamical model with the observations. We present the well-known methods: statistical interpolation, variational data assimilation methods and sequential data assimilation methods. We are particularly interested in the Ensemble Kalman Filter (EnKF) which is more and more used in the oceanographic applications. The Ensemble Kalman Filter has been initially proposed as approximation of the Kalman filter in the case of linear Gaussian model of huge dimension, it has been then extended for the non linear Gaussian models. Very little is known about its asymptotic behaviour, whereas the particle filters have a well understood convergence to the Bayesian filter. We prove the convergence of the EnKF, as the number of ensemble elements increases to infinity. In the linear case, the limit of the empirical distribution of the ensemble elements is the usual (Gaussian distribution associated with the) Kalman filter. In the more general case where the state equation is locally Lipschitz continuous with at most polynomial growth at infinity, this limit differs from the usual Bayesian filter. We present the simulation results on a simple linear Gaussian model and on the Lorenz model, where we compare the performance of the EnKF and the particle filter, as the number of ensemble elements is small and as it increases to infinity., Cette thèse porte sur les méthodes d'assimilation de données, qui consistent à combiner des informations provenant d'un modèle dynamique avec des observations. Nous présentons des méthodes d'assimilation les plus connues: l'interpolation statistique, les méthodes variationnelles d'assimilation de données et les méthodes séquentielles d'assimilation de données. Nous nous intéressons particulièrement au filtre de Kalman d'ensemble qui est de plus en plus utilisé dans les applications océanographiques. Le filtre de Kalman d'ensemble a été proposé initialement comme une approximation du filtre de Kalman pour les modèles linéaires gaussiens de grande dimension, il a ensuite été étendu au cas du modèle non linéaire gaussien. Il existe très peu de résultats théoriques sur les propriétés asymptotiques du filtre de Kalman d'ensemble, alors qu'il est connu que le filtre particulaire converge vers le filtre bayésien optimal quand le nombre de particules tend vers l'infini. Nous démontrons dans cette thèse que, quand le nombre d'éléments tend vers l'infini, dans le cas où la fonction du modèle dynamique est continue et localement lipschitzienne avec un accroissement au plus polynomial à l'infini, les éléments du filtre de Kalman d'ensemble convergent vers les éléments indépendants et identiquement distribués selon une loi qui diffère de la loi a posteriori du filtre bayésien optimal dans le cas général. Dans le cas du modèle linéaire gaussien, cette loi asymptotique n'est autre que la loi a posteriori du filtre de Kalman. Nous présentons aussi des résultats de simulations du filtre de Kalman d'ensemble et du filtre particulaire sur un modèle linéaire gaussien simple et sur le modèle de Lorenz afin de comparer la performance des deux filtres à l'asymptotique et aussi dans le cas où le nombre d'éléments d'ensemble est faible.