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This thesis gives a general framework for Laplaciansdefined in terms of the combinatorial structure of asimplicial complex. More precisely, we introduce thenotion of orientated triangle face in a connected,orientated and locally finite graph. This structure of a2-simplicial complex allows to define our discreteLaplacian which acts on the triplets of functions,1-forms and 2-forms. In this context, we are interestedin studying the essential self-adjointness of ourLaplacian. Thus, we introduce the geometricalhypothesis of x-completeness on triangulations toensure the essential self-adjointness of theGauß-Bonnet operator. This thesis deals also withquestions of specral theory of finite triangulations onour Laplacian. We find an estimate for the upperLaplacian spectral gap in a triangulation of a completegraph for which we generalize the definition of theCheeger constant which gives us an upper bound.Moreover, we obtain a lower bound of this estimate bythe first non-zero eigenvalue of the discrete Laplaciandefined on the space of functions on the vertices.; Cette thèse donne un cadre général pour lesLaplaciens définis en termes de structurecombinatoire d’un complexe simplicial. Plusprécisément, nous introduisons la notion de facetriangle orientée dans un graphe connexe, orienté etlocalement fini. Cette structure de 2-complexesimplicial permet de définir notre Laplacien discret quiagit sur les triplets de fonctions, 1-formes et 2-formes.Dans ce contexte, nous nous intéressons à l’étude ducaractère essentiellement auto-adjoint de notreLaplacien. Pour cela, on introduit l’hypothèsegéométrique de x-complétude sur les tiangulationspour garantir le caractère essentiellement auto-adjointà l’opérateur de Gauß-Bonnet. Cette thèse traiteégalement de questions de théorie spectrale destriangulations finies portant sur notre Laplacien. Noustrouvons une estimation pour le trou spectral duLaplacien supérieur dans une triangulation d’ungraphe complet pour lequel nous généralisons ladéfinition de la constante de Cheeger qui nous donneune majoration explicite. En outre, nous obtenons uneminoration de cette estimation par la première valeurpropre non nulle du Laplacien discret défini surl’espace des fonctions sur les sommets.

This phD report describes a model enabling to learn the topology of a variety underlying in a sample. The problem was conceptualized first, then a model was proposed to solve it: the Generative Simplicial Complex. Partly geometrical and partly statistical, this model provides a statistics formalism to geometrical problem. The main interest lies in the possibility of choosing the right model through an objective statistical criterion. The main idea is to build an initial Delaunay complex from well positioned points in relation to the data. Then, we optimize the parameters (weight and variance) by maximizing likelihood through the EM algorithm and we simplify this complex, keeping only the relevant components (those whose weight is not zero). The number of peaks used is selected using the BIC criterion, which empirically gives a model that matches the Betti numbers of the varieties underlying the data.; Dans cette thèse, nous nous sommes attachés à décrire un modèle permettant d'apprendre la topologie d'une variété sous-jacente à un échantillon. Il a fallu dans un premier temps formaliser ce problème, puis proposer un modèle capable de le résoudre : le Complexe Simplicial Génératif. En partie géométrique et en partie statistique, il permet de donner un formalisme statistique à une problématique essentiellement géométrique. Le principal intérêt réside dans la possibilité de choisir le modèle adéquat grâce à un critère statistique objectif. L'idée principale consiste à construire un complexe de Delaunay initial à partir de points "bien" positionnés par rapport aux données. Ensuite, on optimise les paramètres (poids et variance) par maximisation de la vraisemblance grâce à l'algorithme EM et on élague ce complexe, en ne gardant que les composantes pertinentes (celles dont le poids est non nul). Le nombre de sommets utilisés est choisi grâce au critère BIC, qui donne, empiriquement, un modèle qui correspond aux nombres de Betti des variétés sous-jacentes aux données.Nous montrons deux applications du Complexe Simplicial Génératif :- Il permet de retrouver la topologie de variétés sous-jacentes à un jeu de données. Nous montrons sur des données simulées que le CSG donne une topologie correcte pour un critère BIC optimal. Sur des données réelles comme les images COIL, leCSG permet de comprendre le processus qui a généré les données, et de classifier les objets selon leur invariance par rotation.- Les méthodes de projection et de réduction de dimension ont deux problèmes majeurs : les recollements, et les déchirures. Les premiers peuvent créer des cycles dans les données, alors que les seconds vont au contraire les faire disparaître. Le CSG peut permettre de mesurer ces diérences de structures entre données dans l'espace initial et données projetées par une caractérisation topologique, autrement que par une mesure de distorsion géométrique plus classique.La validation du modèle du CSG est essentiellement expérimentale:- Optimum du critère BIC et topologie correcte- Parcimonie de la dimension intrinsèque du modèle- Établir un lien avec la persistance homologique

RésuméCes notes ont pour but de démontrer que tout foncteur exact à droite entre catégories de Waldhausen raisonnables, induisant une équivalence au niveau des catégories homotopiques, définit une équivalence d'homotopie entre les spectres deK-théorie correspondants. Cela généralise un résultat bien connu de Thomason et Trobaugh. Les ingrédients de démonstration sont une généralisation du théorème d'approximation de Waldhausen et une caractérisation combinatoire simple des équivalences dérivées. On étudie par ailleurs la localisation simpliciale des catégories de Waldhausen. On démontre qu'un foncteur (homotopiquement) exact à droite induit une équivalence de catégories homotopiques si et seulement s'il induit une équivalence au niveau des localisations simpliciales. Cela permet de faire le lien avec laK-théorie des catégories simpliciales introduite par Toën et Vezzosi.

Consider a smooth point O of a complex analytic surface S. A constellation based at O is a set of infinitely near points of O, centers of a sequence of blow-ups above O. Finite constellations are usually encoded in two ways: either using an Enriques diagram, or using the dual graph of the divisor obtained by blowing-up the points of the constellation. Both are decorated trees which encode completely the combinatorics of the constellation. Algorithms of passage from one to the other are known, but they do not allow to get a geometrical picture of their relation. We associate to a constellation a geometrical simplicial complex of dimension two, called its kite, endowed with an affine structure, and we prove that it contains canonically both the Enriques diagram and the dual graph. Moreover, the decorations of the two trees may be read very easily on the affine geometry of the kite. This allows to understand geometrically the relations between the graphs, as well as their relation with the valuative tree of Favre and Jonsson, which may be interpreted as the dual graph of the constellation of all the points infinitely near O. In fact, the kites of finite constellations get glued into an infinite kite endowed with a 1-dimensional foliation, whose space of leaves is the valuative tree. The transition towards the computations with continued fractions is ensured by partial embeddings of the kites into a simplicial complex canonically associated to a base of a lattice, called its lotus. This last notion is briefly explored in any dimension., 34 pages, 23 figures. In French