Search

This thesis is devoted to the study of traveling waves of the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with nonzero conditions at infinity. The Gross-Pitaevskii equation is a Hamiltonian equation and arises in several areas of quantum physics such as nonlinear optics, superfluidity and Bose-Einstein condensation. There have been extensive studies concerning the traveling waves, particularly in the local case, since the Jones-Roberts programme in 1982. In order to describe more realistic physical interactions, we consider the nonlocal Gross-Pitaevskii equation. The first chapter is devoted to the numerical and theoretical aspects of the nonzero conditions at infinity, in the case of the linear Schrödinger equation. We show that the solution of the linear equation shows a quasi-universal behaviour and we illustrate it with numerical simulations. Then, we provide conditions on the nonlocal interaction such that there exists a branch of nontrivial traveling waves. We also show that this branch is orbitally stable. Our results generalize the local case and rely on a minimisation under constraints approach, the study of the minimizing curve and a concentration-compactness argument. Moreover, we generalize the properties of the minimizing curve in dimension N. Finally, we propose and implement a gradient method in dimension 1 and a penalty method in dimension 2 to numerically compute the traveling waves and the energy curve for nonlocal potentials. In each method, the nonlocal term is treated by the Fast Fourier Transform.; Cette thèse est consacrée à l’étude des ondes progressives de l’équation Gross–Pitaevskii non localeavec des conditions non nulles à l’infini. L’équation de Gross–Pitaevskii est une équation hamiltonienneapparaissant dans divers domaines de la physique tels que l’optique non linéaire, la superfluidité ou lacondensation de Bose-Einstein. L’étude des ondes progressives pour l’équation de Gross–Pitaevskii faitl’objet de nombreux travaux depuis les résultats de Jones et Roberts en 1982, principalement dans lecas local. Afin de modéliser des interactions plus réalistes, il est intéressant de considérer l’équation deGross–Pitaevskii non locale. Avant de traiter la question des ondes progressives, on consacre le premierchapitre à l’étude des conditions non nulles à l’infini d’un point de vue numérique et théorique, dans lecas de l’équation de Schrödinger linéaire. Nous montrons que la solution de l’équation linéaire présenteun comportement asymptotique quasi-universel dans ce cas, ce que l’on illustre numériquement. Ensuite,nous montrons que, pour une famille d’interaction non locales, il existe une branche d’ondes progressivesnon triviales, orbitalement stable, en dimension 1. Notre résultat généralise le cas local et la preuveest basée sur un argument de minimisation sous contraintes, l’étude de la courbe minimisante et leprincipe de concentration compacité. En outre, on généralise les propriétés de la courbe minimisanteen dimension N, dans le cas non local. Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons une méthodede gradient avec projection en dimension 1 et une méthode de pénalisation en dimension 2 afin decalculer numériquement les ondes progressives et la courbe d’énergie pour certains noyaux. Dans cesdeux méthodes, l’utilisation de la transformée de Fourier rapide est cruciale afin de traiter l’interactionnon locale. more...

In this thesis, we study the nonlinear orbital stability of steady states of "Hamiltonian mean-field" models, called HMF models. First, this study is being done theoretically by using variational methods. It is then carried out numerically by building numerical schemes wich exactly preserve steady states. Chapter 2 presents a theoretical study of the orbital stability of steady states which are solutions to the HMF Poisson system. More specifically, the orbital stability of a large class of steady states which are solutions to the HMF system with Poisson potential is proved. These steady states are obtained as minimizers of an energy functional under one, two or infinitely many constraints. The proof relies on a variational approach. However the boundedness of the space domain prevents us from using usal technics based on scale invariance. Therefore, we introduce new methods which, although specific to our context, remain somehow in the same spirit of rearrangements tools introduced for the Vlasov-Poisson system. In particular, these methods allow for the incorporation of an arbitrary number of constraints, and yield a stability result for a large class of steady states. In Chapter 3, numerical schemes exactly preserving given steady states are built. These schemes model the orbital stability property better than the classic ones. Then, a more general scheme is introduced by building a scheme wich preserves all steady states of HMF models. Lastly, by means of these schemes, we conduct a numerical study of stability of steady states solutions to HMF Poisson system. This completes the theoretical study in Chapter 2., Dans cette thèse, on étudie la stabilité orbitale d’états stationnaires de modèles mathématiques de type "Hamiltonian mean-field", dits modèles HMF. Cette étude est d’abord menée d’un point de vue théorique en utilisant des méthodes variationnelles. Puis, elle est menée d’un point de vue numérique en commençant par l’élaboration de schémas conservant exactement des états stationnaires. Le Chapitre 2 présente une étude théorique de la stabilité orbitale des états stationnaires du modèle HMF Poisson. Plus précisément, on prouve la stabilité orbitale d’une grande classe d’états stationnaires solutions du système HMF avec potentiel de Poisson. Ces états stationnaires sont des minimiseurs d’un problème à une, deux ou une infinité de contraintes d’une certaine fonctionnelle. La preuve s’appuie sur une approche variationnelle. Cependant le caractère borné du domaine empêche l’utilisation des techniques usuelles basées sur des invariances d’échelles. On introduit alors de nouvelles méthodes, spécifiques à ce problème, mais demeurant dans l’esprit des outils de réarrangements introduits pour le système de Vlasov-Poisson. En particulier, ces méthodes permettent de considérer un nombre arbitraire de contraintes et aboutissent à un résultat de stabilité pour une grande classe d’états stationnaires. Dans le Chapitre 3, on construit des schémas numériques conservant exactement des états stationnaires donnés. Ces schémas modélisent mieux la propriété de stabilité orbitale que les schémas classiques. Puis, on propose un schéma plus général en construisant un schéma qui conserve tous les états stationnaires des modèles HMF. Pour finir, à l’aide de ces schémas, est menée une étude numérique de la stabilité des états stationnaires du système de HMF Poisson qui vient compléter l’étude théorique du Chapitre 2. more...

45 pages, in french.; This paper reviews the recent mathematical progresses made on the study of the orbital stability properties for the gravitational Vlasov-Poisson system. We present in details the paper of Lemou, Méhats and Raphaël (Inventiones 2011) and we review also the previous works by Dolbeault, Guo, Hadzic, Lin, Rein, Sánchez, Soler, Wan, Wolansky. We also include a discussion of the history of this topic and the pioneering works by physicists like Antonov, Lynden-Bell and Aly. This is the text of a Bourbaki seminar given in november 2011 more...

This thesis is devoted to the study of standing waves for nonlinear dispersive equations, in particular the Schrödinger equation but also the Klein-Gordon equation. The works are organized around two main issues : existence and orbital stability of standing waves.The existence is essentially studied by the way of variational methods. We exhibit various variational characterizations of standing waves, for example as critical points of some functional at the mountain pass level or at the least energy level, or as minimizers of a functional under various constraints.Depending on the strength of the nonlinearity and on the space dependency, we prove that stability or instability holds for the standing waves. When instability holds, we show that, in some situations, instability occurs by blow up, whereas in other cases the solutions are globally well-posed. In addition to the variational characterization of waves, the study of stability leads us to derive spectral informations. In the first part of this thesis, we show a nondegenerescence result for the linearized operator associated with a limit problem. In the second part, we localize the second eigenvalue of the linearized by the mean of a combinaison of perturbation and continuation arguments.; Cette thèse porte sur l'étude des ondes stationnaires d'équations dispersives non linéaires, en particulier l'équation de Schrödinger, mais aussi celle de Klein-Gordon. Les travaux présentés s'articulent autour de deux questions principales : l'existence et la stabilité orbitale de ces ondes stationnaires. L'existence est étudiée par des méthodes essentiellement variationnelles. En plus de la simple existence, on met en évidence différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, par exemple en tant que points critiques d'une certaine fonctionnelle au niveau du col ou au niveau de moindre énergie, ou encore en tant que minimiseurs d'une fonctionnelle sur différentes contraintes.Selon la puissance de la non-linéarité et la forme de la dépendance en espace, on démontre que les ondes stationnaires sont stables ou instables. Lorsqu'elles sont instables, on met en évidence que dans certaines situations l'instabilité se manifeste par explosion, tandis que dans d'autres les solutions sont globalement bien posées. En plus des différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, les preuves des résultats de stabilité et d'instabilité nécessitent de dériver des informations de nature spectrale. En particulier, dans la première partie de cette thèse, on prouve un résultat de non-dégénérescence du linéarisé pour un problème limite. Dans la deuxième partie, on localise la deuxième valeur propre du linéarisé par la combinaison d'une méthode perturbative et d'arguments de continuation. more...

This thesis is devoted to the study of standing waves for nonlinear dispersive equations, in particular the Schrödinger equation but also the Klein-Gordon equation. The works are organized around two main issues : existence and orbital stability of standing waves.The existence is essentially studied by the way of variational methods. We exhibit various variational characterizations of standing waves, for example as critical points of some functional at the mountain pass level or at the least energy level, or as minimizers of a functional under various constraints.Depending on the strength of the nonlinearity and on the space dependency, we prove that stability or instability holds for the standing waves. When instability holds, we show that, in some situations, instability occurs by blow up, whereas in other cases the solutions are globally well-posed. In addition to the variational characterization of waves, the study of stability leads us to derive spectral informations. In the first part of this thesis, we show a nondegenerescence result for the linearized operator associated with a limit problem. In the second part, we localize the second eigenvalue of the linearized by the mean of a combinaison of perturbation and continuation arguments.; Cette thèse porte sur l'étude des ondes stationnaires d'équations dispersives non linéaires, en particulier l'équation de Schrödinger, mais aussi celle de Klein-Gordon. Les travaux présentés s'articulent autour de deux questions principales : l'existence et la stabilité orbitale de ces ondes stationnaires. L'existence est étudiée par des méthodes essentiellement variationnelles. En plus de la simple existence, on met en évidence différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, par exemple en tant que points critiques d'une certaine fonctionnelle au niveau du col ou au niveau de moindre énergie, ou encore en tant que minimiseurs d'une fonctionnelle sur différentes contraintes.Selon la puissance de la non-linéarité et la forme de la dépendance en espace, on démontre que les ondes stationnaires sont stables ou instables. Lorsqu'elles sont instables, on met en évidence que dans certaines situations l'instabilité se manifeste par explosion, tandis que dans d'autres les solutions sont globalement bien posées. En plus des différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, les preuves des résultats de stabilité et d'instabilité nécessitent de dériver des informations de nature spectrale. En particulier, dans la première partie de cette thèse, on prouve un résultat de non-dégénérescence du linéarisé pour un problème limite. Dans la deuxième partie, on localise la deuxième valeur propre du linéarisé par la combinaison d'une méthode perturbative et d'arguments de continuation. more...

This thesis is devoted to the study ofthe stability of small stationary solutions of a nonlinear timedependent equation coming from relativistic quantum mechanics: thenonlinear Dirac equation.In this study, non linear equations are viewed as small nonlinearperturbations of linear systems. A part of this thesis is hencedevoted to the study of linear problems. We prove that for a Diracoperator, with no resonance at thresholds nor eigenvalue atthresholds, the propagator satisfies propagation and dispersiveestimates. We also deduce smoothness estimates in the sense of Katoand Strichartz estimates.With some ad hoc assumptions on the discrete spectrum of aDirac operator, we build small manifolds of stationary states. Thenwith small variations on these assumptions, we can highlight somestabilization process and orbital instability phenomena for somestationary states.; Cette thèse est consacrée à l'étude de lastabilité de petits états stationnaires d'une équation d'évolutionnon linéaire issue de la mécanique quantique relativiste :l'équation de Dirac non linéaire.Tout le long de notre étude, les équations non linéaires sont vuescomme des petites perturbations non linéaires de systèmes linéaires.Une partie de cette thèse est donc consacrée à l'étude de problèmeslinéaires. Nous montrons que, pour un opérateur de Dirac n'ayant pasde résonance aux seuils ni de valeur propre aux seuils, lepropagateur vérifie des estimations de propagation et de dispersion.Nous en déduisons également des estimations de régularité au sens deKato et des estimations de Strichartz.En faisant des hypothèses ad hoc sur le spectre discret d'unopérateur de Dirac, nous construisons des petites variétés forméesd'états stationnaires. Puis en faisant varier ces hypothèses, nousfaisons apparaître des phénomènes de stabilisation et d'instabilitéorbitale pour certains de ces états. more...

This thesis is devoted to the study ofthe stability of small stationary solutions of a nonlinear timedependent equation coming from relativistic quantum mechanics: thenonlinear Dirac equation.In this study, non linear equations are viewed as small nonlinearperturbations of linear systems. A part of this thesis is hencedevoted to the study of linear problems. We prove that for a Diracoperator, with no resonance at thresholds nor eigenvalue atthresholds, the propagator satisfies propagation and dispersiveestimates. We also deduce smoothness estimates in the sense of Katoand Strichartz estimates.With some ad hoc assumptions on the discrete spectrum of aDirac operator, we build small manifolds of stationary states. Thenwith small variations on these assumptions, we can highlight somestabilization process and orbital instability phenomena for somestationary states.; Cette thèse est consacrée à l'étude de lastabilité de petits états stationnaires d'une équation d'évolutionnon linéaire issue de la mécanique quantique relativiste :l'équation de Dirac non linéaire.Tout le long de notre étude, les équations non linéaires sont vuescomme des petites perturbations non linéaires de systèmes linéaires.Une partie de cette thèse est donc consacrée à l'étude de problèmeslinéaires. Nous montrons que, pour un opérateur de Dirac n'ayant pasde résonance aux seuils ni de valeur propre aux seuils, lepropagateur vérifie des estimations de propagation et de dispersion.Nous en déduisons également des estimations de régularité au sens deKato et des estimations de Strichartz.En faisant des hypothèses ad hoc sur le spectre discret d'unopérateur de Dirac, nous construisons des petites variétés forméesd'états stationnaires. Puis en faisant varier ces hypothèses, nousfaisons apparaître des phénomènes de stabilisation et d'instabilitéorbitale pour certains de ces états. more...

The nonlinear Schrödinger equation i∂tw + Δw +V(x)|w|p-1w = 0 w = w(t,x) : Ι × RN → C, N ≥ 2, (1) is studied, with p > 1, V : RN \ {0} → R and Ι ⊂ R an interval. The coefficient V is subject to various hypotheses. In particular, it is always assumed that V (x) → 0 as |x| → ∞. Situations where V is unbounded at the origin are considered. A special attention is paid to the radial case. Seeking solutions of (1) as standing waves w(t,x) = eiλtu(x) leads naturally to the semilinear elliptic equation Δu - λu + V(x)|u|p-1u = 0 u : RN → R, N ≥ 2. (2) The main goals of the thesis are to establish existence and bifurcation results for (2), to discuss the orbital stability of the standing waves of (1) corresponding to the solutions found in (A). First, in Chapter 1, in the case where V is radial, a variational approach shows the existence of ground states for (2). A non-degeneracy property of these solutions is proved, which plays a crucial role in the continuation arguments of Chapter 2. The first part of Chapter 2 establishes local existence and bifurcation results for (2), without any symmetry assumption on V . Under certain hypotheses on the power p and the coefficient V , two branches of solutions are obtained, in a neighborhood of λ = 0 and in a neighborhood of λ = +∞. The branches are of class Cr if V ∈ Cr(RN \ {0},R), for r = 0, 1. These independent results are proved by requiring respectively that lim|x|→∞ V (x)|x|b = B > 0 with b ∈ (0, 2) and that limx→0 V (x)|x|a = A > 0 with a ∈ (0, 2). The asymptotic behaviour along the branches is discussed in detail and depends on the value of p. The second part of Chapter 2 proves the existence of a global branch of solutions of (2), in the case where V is radial. Under appropriate hypotheses, in particular if a ∈ (0, b], the global branch "sticks together" the two local branches obtained in the first part. Chapter 3 is concerned with the orbital stability of the standing waves of (1) corresponding to the solutions of (2) found in the first part of Chapter 2. It is explained in detail how to apply the general theory of orbital stability to (1). Local stability/instability results are proved, in a neighborhood of λ = 0 and in a neighborhood of λ = +∞. more...