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Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt darin Methoden vorzustellen, um Differentialgleichungen entweder analytisch zu lösen oder Näherungen davon zu berechnen Es werden grundlegende Konzepte aus der Analysis, wie etwa Potenzreihen und Taylorentwicklungen verwendet und mithilfe dieser Werkzeuge unterschiedliche Methoden entwickelt. Diese Verfahren erlauben es, zumindest Ausdrücke für Lösungen hinzuschreiben.Diese werden dann bei Modellierungen in der Quantenmechanik eingesetzt., The aim is to present methods which allow to compute analytic solutions or approximations of such solutions for differential equations. Fundamental concepts were used, such as power and Taylor series, to develop such methods These techniques enable to write the solution as a series. We chose to illustrate the tools we devised along some of the fundamental equations in quantum mechanics.

Die Populationsdynamik untersucht die Ver��nderungen der Gr����e und Zusammensetzung von Populationen ��ber die Zeit. Dabei sind gew��hnliche Differentialgleichungen sowohl zur Modellierung der Ver��nderung einer Spezies als auch von mehreren Spezies gut geeignet. Die vorliegende Arbeit gibt einen ��berblick der bekanntesten mathematischen Populationsmodelle. Es wird mit den einfachsten eindimensionalen Modellen begonnen und zun��chst in zweidimensionale Systeme ��bergegangen. Die grundlegenden Arten der biologischen Wechselwirkungen werden analysiert: R��uber-Beute, Konkurrenz und Mutualismus. Jedes Modell wird durch eine mathematische Analyse erg��nzt, wodurch das Verhalten beziehungsweise das Langzeitverhalten der L��sungen erkl��rt sowie in Grafiken visualisiert und biologische Interpretationen gegeben werden. Abschlie��end geht die Arbeit auf Modelle mit n verschiedenen Populationen ein und gibt einen Ausblick auf allgemeinere Modelle., Population dynamics studies changes in the size and composition of populations over time. Ordinary differential equations are well suited for modelling both the change of one species and of several species. The present work gives an overview of the most popular mathematical population models. It starts with the simplest one-dimensional models and initially goes into two-dimensional systems. The basic types of biological interactions are analyzed: predator-prey, competition and mutualism. Each model is complemented by a mathematical analysis, which explains the behavior respectively the long-term behavior of the solutions as well as visualizing them in graphics and giving biological interpretations. Finally, the paper discusses models with n different populations and gives an outlook on more general models.