Search

Στη διατριβή αυτή σκοπός μας είναι να μελετήσουμε την ύπαρξη λύσης προβλημάτων συνοριακών τιμών, αλλά όχι και την επίλυσή τους. Θέλουμε να εξασφαλίσουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ή τουλάχιστον ένας αριθμός μη αρνητικών λύσεων. Υπάρχουν προβλήματα συνοριακών τιμών για τα οποία μπορούμε να βρούμε λύση και άλλα που δεν μπορούν να επιλυθούν και για τα οποία εφαρμόζουμε προσεγγιστι-κές μεθόδους. Για τα προβλήματα συνοριακών τιμών που δεν μπορούν να επιλυθούν, προκειμένου να εφαρμοστούν οι προσεγγιστικές μέθοδοι, πρέπει πρώτα να έχουμε εξασφαλίσει την ύπαρξη λύσης. Στην παρούσα διατριβή, περιγράφουμε τις τεχνικές που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έτσι ώστε με τη χρήση θεωρημάτων σταθερού σημείου να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη μη αρνητικών, και κατά περίπτωση θετικών, λύσεων προβλημάτων συνοριακών τιμών. Η διατριβή αποτελείται από πέντε κεφάλαια και τη βιβλιογραφία. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρουμε έννοιες από τη Συναρτησιακή Ανάλυση τις οποίες χρειαζόμαστε στη συνέχεια. Επίσης αναφέρονται τα τέσσερα θεωρήματα σταθερού σημείου που επιλέγουμε να εφαρμόσουμε καθώς και οι μεθοδολογίες συνοπτικά, τις οποίες αναπτύσσουμε αναλυτικά σε καθένα από τα επόμενα κεφάλαια. Τέλος παρουσιάζουμε εφαρμογές σε φυσικά προβλήματα. Το καθένα από τα επόμενα κεφάλαια αναφέρεται αντίστοιχα στο Θεώρημα Σταθερού Σημείου του Schauder, στο Θεώρημα Σταθερού Σημείου του Krasnoselskii, στο Θεώρημα Σταθερού Σημείου των Avery-Henderson και στο Θεώρημα Σταθερού Σημείου των Leggett-Williams. Σε κάθε ένα κεφάλαιο αναπτύσσεται αναλυτικά η μεθοδολογία που χρησιμοποιούμε για την εφαρμογή του συγκεκριμένου θεωρήματος και δίνονται συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα που εξασφαλίζουν την εφαρ-μοσιμότητα των θεωρητικών συμπερασμάτων. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην παρουσίαση των συμπερασμάτων με ενιαίο τρόπο σε όλα τα κεφάλαια και στη μεταξύ τους διασύνδεση. Τέλος παραθέτουμε έναν εκτενή κατάλογο εργασιών και βιβλίων σχετικών με το αντικείμενο της διατριβής, από όπου έχουμε αντλήσει τα συμπεράσματα που παρουσιάζονται εδώ. In this thesis, our goal is to study the existence of solutions for boundary value problems. It should be noted that we are not interested in finding solutions, only in studying their existence. We want to ensure that there is at least one or at least a number of solutions. There are boundary value problems which can be solved and others which can not be solved, for which we can apply approximation techniques. For those boundary value problems which can not be solved, we must first ensure the existence of solutions. In this thesis, we describe the techniques which can be used in order to ensure the existence of non–negative, and in certain cases positive, solutions for boundary value problems, using fixed point theorems. The thesis consists of five chapters and the bibliography. In the first chapter, we mention some concepts in Functional Analysis which we need in the process. We also mention the four fixed point theorems we chose to apply and the methodologies used in the next chapters. Finally, we present some applications of the results in Natural Sciences. Each one of the remaining chapters, refers respectively to the fixed point theorem of Schauder, the fixed point theorem of Krasnoselskii, the fixed point theorem of Avery–Henderson and the fixed point theorem of Leggett–Williams. In each chapter we present in detail the methodology used in order to apply the specific fixed point theorem and we provide specific numerical applications of the theoretical results. Special attention is paid to presenting the results in a unified way throughout the whole thesis and pointing out the relations between them. Finally we present a detailed list of the papers and books we used in this thesis. 89 σ.