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In this paper, we prove that the large scale properties of a number of two-dimensional lattice models are rotationally invariant. More precisely, we prove that the random-cluster model on the square lattice with cluster-weight $1\le q\le 4$ exhibits rotational invariance at large scales. This covers the case of Bernoulli percolation on the square lattice as an important example. We deduce from this result that the correlations of the Potts models with $q\in\{2,3,4\}$ colors and of the six-vertex height function with $\Delta\in[-1,-1/2]$ are rotationally invariant at large scales., Comment: 92 pages, 29 pictures

This work is an historical and historiographical recognition of some central themes developed by Ludwig Boltzmann in statistical thermodynamics upon which, in the context of the new quantum theory that was coming, some outcomes of other authors (among whom are Albert Einstein, Wolfgang Pauli, Paul Ehrenfest and Max Born) have put in, and which have then allowed to achieve further contributions in regard to the emerging quantum electrodynamics and scattering theory, Questo lavoro è una ricognizione storica e storiografica di alcune tematiche aperte da Ludwig Boltzmann in termodinamica statistica sulle quali, nel contesto della nuova teoria quantistica, si sono poi innestati i lavori di altri autori, fra cui Albert Einstein, Wolfgang Pauli, Paul Ehrenfest e Max Born, i quali hanno permesso il conseguimento di ulteriori contributi nell'ambito dei primi elementi della elettrodinamica quantistica e della teoria dello scattering

Dans cette thèse, nous avons essayé d'unir autant que possible la théorie du contrôle optimal pour les systèmes décrits par les équations différentielles ordinaires avec la théorie des systèmes distribués, c'est-à-dire pour les systèmes décrits par les champs. Le contrôle d'un système signifie agir sur celui-ci au moyen d'impulsions externes appliquées à différents points du système. En manipulant correctement ces impulsions, un certain comportement est obtenu à partir du système. Si ce comportement répond bien, on dira que le comportement et le contrôle optimaux sont optimaux pour le contrôle qui cause ce comportement. Nous allons commencer par cette thèse en parlant de systèmes décrits par des équations ordinaires. Il est essentiel pour ces systèmes, le principe de Pontryagin. Ce principe n'est rien d'autre qu'une condition nécessaire à la satisfaction du meilleur contrôle. Le principe est 1956. La décennie suivante est la théorie de Butkovsky et de Wang sur le contrôle optimal des systèmes distribués. Butkovskij consacre une attention particulière à l'étude des équations intégrales, tandis que Wang étudie les équations d'équations partielles mais limite les équations avec des conditions de limites homogènes seulement, sans aborder le problème de contrôle sur le contour. En 1968, la contribution de Brogan à l'étude du contrôle optimal. Brogan introduit une définition étendue de l'opérateur par laquelle des conditions aux limites peuvent être introduites dans l'équation de dérivation partielle. Avec Brogan, vous pouvez également étudier le problème avec des conditions homogènes inégales; mais sa théorie ne s'applique que dans le cas linéaire. Dans ce rapport, la large définition de l'opérateur était justifiée même dans un cas non linéaire. En outre, le principe de Pontryagin a été développé pour certains systèmes distribués. Avec ces systèmes, on peut opérer dans un mouvement similaire à celui utilisé en théorie pour les systèmes décrits par des équations différentielles ordinaires. De cette façon, les points communs des deux théories sont plus évidents. Enfin, certaines applications ont été illustrées par la théorie du contrôle optimal. L'équation de Fourier de conduction thermique a été étudiée et l'équation ordinaire obtenue lorsque la conductivité thermique du système tend à l'infini. Pour ces systèmes, les contrôles de l'énergie zéro dans des conditions d'état stationnaire ont été étudiés, où l'état stationnaire est la périodicité par rapport au temps., In questa tesi si è cercato di unificare il più possibile la teoria del controllo ottimale per i sistemi descritti da equazioni differenziali ordinarie con la teoria per i sistemi distribuiti, ossia per i sistemi descritti da campi. Controllare un sistema vuol dire agire su di esso mediante degli impulsi esterni applicati in vari punti del sistema. Manovrando opportunamente questi impulsi, si ottiene dal sistema un dato comportamento. Se questo comportamento risponde a dei canoni di bontà, si parlerà allora di comportamento ottimale e di controllo ottimale per il controllo che provoca questo comportamento. Inizieremo in questa tesi col parlare dei sistemi descritti da equazioni ordinarie. E’ fondamentale per questi sistemi, il principio di Pontryagin. Questo principio non è altro che una condizione necessaria a cui deve soddisfare il controllo ottimale. Il principio è del 1956. Del decennio successivo sono le teorie di Butkovskij e di Wang sul controllo ottimale per i sistemi distribuiti. Butkovskij si dedica particolarmente allo studio delle equazioni integrali , mentre Wang studia le equazioni alle derivate parziali ma si limita al solo caso i equazioni con condizioni al contorno omogenee, senza trattare quindi il problema del controllo sul contorno. Del 1968 è un contributo di Brogan allo studio del controllo ottimale. Brogan introduce la definizione estesa di operatore mediante il quale si possono introdurre le condizioni al contorno nell’equazione alle derivate parziali. Con Brogan quindi si può studiare anche il problema con condizioni al contorno non omogenee; ma la sua teoria vale solamente nel caso lineare. In questa relazione si è giustificata la definizione estesa di operatore anche nel caso non lineare. Inoltre si è ricavato il principio di Pontryagin per alcuni sistemi distribuiti. Con questi sistemi si può operare in maniera moto simile a quella con cui si opera nella teoria per i sistemi descritti da equazioni differenziali ordinarie. In questa maniera sono più evidenti i punti in comune delle due teorie. Infine si sono esemplificate alcune applicazioni che si possono avere della teoria del controllo ottimale. Si è studiata particolarmente l’equazione di Fourier di conduzione del calore e l’equazione ordinaria che si ricava se la conduzione termica del sistema tende all’infinito. Per questi sistemi si sono studiati in particolare i controlli a zero energia in regime stazionario, dove con regime stazionario si intende la periodicità rispetto al tempo.