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Orientador: Simone Marchesi Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O objetivo deste trabalho é o estudo das propriedades de fibrados vetoriais de posto baixo sobre $\mathbf{Q}_{2l+1}\subset \mathbb{P}^{2l+2}$, a hipersuperfície quádrica suave de dimensão ímpar. Estes fibrados são dados pela cohomologia associada a uma mônada da forma $$ \mathcal{M}=\mathcal{O}^{c}_{\mathbf{Q}_{2l+1}}(-k) \rightarrow \mathcal{O}^{2l+2c}_{\mathbf{Q}_{2l+1}}\rightarrow\mathcal{O}^{c}_{\mathbf{Q}_{2l+1}}(k), $$ onde $k\geq1$ e $c\geq1$, e serão denominados $(k,c)$-fibrados. Mostra-se a simplicidade e semi-estabilidade de $(k,c)$-fibrados. A estabilidade é provada sobre $\mathbf{Q}_{3}$, $\mathbf{Q}_{5}$ e no caso simplético especial. Analisa-se a regularidade de $(k,c)$-fibrados, de acordo com a generalização de regularidade de Castelnuovo¿Mumford, dada por Costa e Miró-Roig. Em seguida, são apresentadas varias caracterizações de tipo cohomológico. A primeira caracterização cohomológica para fibrados lineares, isto é, quando $k=1$, foi considerada por Costa e Miró-Roig, em 2009. Tal caracterização é estendida a $(k,c)$-fibrados quando $1\leq k\leq l$, utilizando o Teorema da sequência espectral de Beilinson para variedades projetivas com uma coleção geométrica. Posteriormente, Jardim e Martins, em 2010, exibem outra caracterização cohomológica de fibrados lineares, que é estendida para $(k,c)$-fibrados quando $l>1$, utilizando propriedades das mônadas Horrocks sobre variedades ACM. Mais recentemente, Macias e Soares, em 2014, mostraram mais uma caracterização dos fibrados lineares; utiliza-se hélices para estender esta a $(k,c)$-fibrados quando $1\leq k\leq l$. Por último, considera-se o espaço de módulos $M_{\mathbf{Q}_{2l+1}}[k,c]$ dentro do esquema de Maruyama parametrizando $(k,c)$-fibrados, com o objetivo de estimar a dimensão do espaço tangente, sobre um ponto que parametriza um $(k,c)$-fibrado especial simplético, e mostrar a singularidade do espaço de módulos se $k\geq1$, $l>1$ e $c>1$ Abstract: The goal of this work is to study properties of low rank vector bundles on $\mathbf{Q}_{2l+1}\subset \mathbb{P}^{2l+2}$, an odd dimensional smooth quadric hypersurface. These bundles are realized as the cohomology of a monad $$ \mathcal{M}=\mathcal{O}^{c}_{\mathbf{Q}_{2l+1}}(-k) \rightarrow \mathcal{O}^{2l+2c}_{\mathbf{Q}_{2l+1}}\rightarrow\mathcal{O}^{c}_{\mathbf{Q}_{2l+1}}(k), $$ where $k\geq1$ and $c\geq1$ and will be called $(k,c)$-bundles. First, we will show that $(k,c)$-bundles are simples and semi-stables. Stability is proved on $\mathbf{Q}_{3}$, $\mathbf{Q}_{5}$ and in the special symplectic case. We will analyze regularity of $(k,c)$-bundles, according to a generalization of Castelnuovo¿Mumford regularity, given by Costa and Miró-Roig. Then, various cohomological characterizations will be exposed. The first cohomological characterization of linear bundles, that is, when $k=1$, was introduzed by Costa and Mir\'o-Roig, in 2009. We will extend this result for $(k,c)$-bundles when $1\leq k\leq l$, using Beilinson spectral sequence Theorem for projective varieties with a geometric collection. Later Jardim and Martins, in 2010, showed an alternative cohomological characterization of linear bundles, and we extend this characterization for $(k,c)$-bundles when $l>1$, using a generalization of Horrocks monads on varieties ACM. Finally, Macias and Soares, in 2004, showed another characterization of linear bundles. Using helixes we extend this characterization for $(k,c)$-bundles when $1\leq k\leq l$. Finally, we will consider the locus $M_{\mathbf{Q}_{2l+1}}[k,c]$, in the Maruyama scheme, parameterizing $(k,c)$-bundles on $\mathbf{Q}_{2l+1}$. Our goal is to study the dimension of its tangent space, at a point parameterizing a special symplectic $(k,c)$-bundle, and to show that for any $k\geq1$, $l>1$ and $c>1$ the moduli space is singular Doutorado Matemática Doutora em Matemática CNPQ 140337/2015-6 CAPES

Orientador: Rafael de Freitas Leão Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Dada uma conexão sobre um fibrado vetorial podemos usá-la para construir o transporte paralelo de elementos do fibrado ao longo de curvas da variedade base. Esta operação nos fornece isomorfismos lineares entre as fibras do fibrado em questão, mas quando consideramos laços na variedade base o ponto de partida é igual ao ponto de chegada, desta forma obtemos um isomorfismo da fibra sobre este ponto nela mesma. O conjunto de isomorfismos obtidos por esta construção formam um grupo chamado Grupo de Holonomia. Quando consideramos o fibrado tangente de uma variedade riemanniana com a conexão Levi-Civita o grupo de holonomia está intrinsecamente relacionado com a geometria da variedade. Esta foi explorada por Marcel Berger para classificar quais grupos podem aparecer como holonomia de uma variedade riemanniana. O objetivo desta dissertação é fornecer uma demonstração geométrica, obtida por Carlos Olmos, deste resultado Abstract: Given a connection over a vector bundle we can use it to build the parallel transport of elements in the bundle along curves of the base manifold. This function provides us with linear isomorphisms between the fibers of the bundle in question, but when we consider loops in the base manifold starting point is equal to the arrival point, this way we obtain an isomorphism of the fiber over this point in itself. The set of isomorphism obtained by this construction form a group called Holonomy Group. When we consider the tangent bundle of a Riemannian manifold with Levi-Civita connection the holonomy group is intrinsically related to the geometry of the array. This was explored by Marcel Berger to classify which groups can appear as holonomy of a Riemannian manifold. The objective of this dissertation is to provide a geometric demonstration, obtained by Carlos Olmos, this result Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior In this word, we did a detailed study of the Baum-Bott s theorem in two situations. To do this, we examine this theorem in [2] and its proof given by S. S. Chern using methods of differential geometry, in which case the non-degenerated singularities for one-dimensional holomorphic foliation.Then use the article [31] of M. Soares, where he retraces the Chern s proof with a slight change, thus eliminating the possibility of non-degenerated. The result of great importance because it is applied to meromorphic vector fields, which are abundant and generate one-dimensional singular holomorphic foliations in compact manifolds. As a way to apply this result, we deal with the problem of Poincare in [28] to limit the degree of an invariant curve depending on the degree of the foliation. This problem was motivated by the work of Darboux with respect to algebraic integrability foliations in [13]. We gathered the results of Cerveau and Lins Neto in [12] and also M.Carnicer in [9] about the problem of Poincare, that were introduced about 100 years later the work of Poincaré. Finally we also explored the contribution of M. Soares to this problem in [32]. Fizemos, neste trabalho, um estudo detalhado do teorema de Baum-Bott em duas situações. Para tal feito, analisamos esse teorema em [2] e a sua prova dada por S. S. Chern através de métodos de geometria diferencial, no caso em que as singularidades da folheação holomorfa de dimensão 1 são do tipo não-degeneradas. Depois usamos o artigo [31] de M. Soares, onde ele refaz essa prova de Chern com uma ligeira mudança, retirando assim a hipótese de não-degeneregência. Resultado esse de grande importância pelo fato de ser aplicado a campos de vetores meromorfos, que são abundantes e que geram folheações holomorfas singulares de dimensão 1 em variedade compactas. Como maneira de aplicar tal resultado, lidamos com o problema de Poincaré em [28], que trata de limitar o grau de uma curva invariante em função do grau da folheação. Esse problema foi motivado pelo trabalho de Darboux com respeito á integrabilidade algébrica de folheações em [13]. Reunimos os resultados de Cerveau e Lins neto em [12] e também de M. Carnicer em [9] a respeito do problema de Poincaré, que foram apresentados cerca de 100 anos depois do trabalho de Poincaré. E por fim exploramos a contribuição de M. Soares para esse problema em [32].

Orientadores: Alcibiades Rigas, Carlos Eduardo Duran Fernandez Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Nesse trabalho estudaremos a geometria e a topologia de algumas variedades homeomorfas, porém não difeomorfas, à esfera padrão Sn, chamadas esferas exóticas. Realizaremos duas dessas variedades como quocientes isométricos de fibrados principais com métricas de conexão sobre esferas de curvatura constante. Através disso, apresentaremos simetrias desses espaços e exemplos explícitos de difeomorfismos não isotópicos a identidade, usando-os para o cálculo de grupos de homotopia equivariante. Como mais uma aplicação dessa construção, provaremos que, se uma esfera homotópica de dimensão 15 é realizável como um fibrado linear sobre S8, então a mesma esfera é realizável como um fibrado linear sobre a esfera exótica de dimensão 8 com as mesmas funções de transição. No ultimo capítulo lidaremos com a geometria de fibrados induzidos, deduzindo uma condição necessária sobre a função indutora para que a métrica da conexão induzida tenha curvatura seccional não-negativa Abstract: In this work we study the geometry and topology of manifolds homemorphic, but not diffeomorphic, to the standard sphere Sn, the so called exotic spheres. We realize two of these manifolds as isometric quotients of principal bundles with connection metrics over the constant curved sphere. Through this, we present symmetries in these spaces and explicit examples of diffeomorphisms not isotopic to the identity, using them for the calculation of equivariant homotopy groups. As another application, we prove that, if a homotopy 15-sphere is realizeble as the total space of a linear bundle over the standard 8-sphere, then, it is realizeble as the total space of a linear bundle over the exotic 8-sphere with the same transition maps. In the last chapter we deal with the geometry of pull-back bundles, deducing a necessary condition on the pull-back map for nonnegative curvature of the induced connection metric Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador: Plamen Emilov Kochloukov Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta tese estudamos a álgebra genérica de M1;1 em dois geradores sobre um corpo infinito de característica diferente de 2. Descrevemos o centro desta álgebra e provamos que este é a soma direta do corpo com um ideal nilpotente da álgebra. Como consequência mostramos que este centro contém elementos não escalares, respondendo a uma pergunta feita por Berele. Em característica zero, estudamos também as identidades polinomiais de tal álgebra genérica e exibimos uma base finita para seu T-ideal, utilizando a descrição do seu centro e os resultados de Popov sobre as identidades de M1;1 em característica zero. Segue que tal base é formada pelos polin^omios [x1; x2][x3; x4][x5; x6], [[x1; x2][x3; x4]; x5] e s4, a identidade polinomial standard de grau 4. Por fim, utilizando ideias e resultados de Nikolaev sobre as identidades em duas variáveis de M2(K) em característica zero, mostramos que todas as identidades polinomiais em duas variáveis de M1;1 são consequências das identidades [[x1; x2]2; x1] e [x1; x2]³ Abstract: In this thesis, we study the generic algebra of M1;1 in two generators over an infinite field of characteristic different from 2. We describe the centre of this algebra and prove that this centre is a direct sum of the field and a nilpotent ideal of the algebra. As a consequence, we show that such centre contains nonscalar elements and thus we answer a question posed by Berele. In characteristic zero we also study the identities of this generic algebra and find a finite basis for its ideal of identities using the description of its centre and the results of Popov, about the identities of M1;1 in characteristic zero. It follows that such a basis is formed by the polynomials [x1; x2][x3; x4][x5; x6], [[x1; x2][x3; x4]; x5] and by s4, the standard identity of degree four. Finally, using ideas and results of Nikolaev about the identities in two variables of M2(K) in characteristic zero, we show that the polynomial identities in two variables of M1;1 follow from [[x1; x2]2; x1] and [x1; x2]³ Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientadores: Adriano Adrega de Moura, Marcos Benevenuto Jardim Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Apresentaremos resultados relacionando a álgebra de distribuições de grupos de Chevalley com as chamadas hiperálgebras. Estas últimas são álgebras de Hopf construídas por redução módulo p da forma integral de Kostant para álgebras de Lie simples. Em seguida, tentamos, a partir de uma certa classe de álgebras de Hopf, a saber, álgebras de Hopf que são álgebras de distribuições de grupos algébricos, reconstruir esses grupos algébricos. Abstract: We present some results which relate the algebra of distributions of a Chevalley group and the so called hyperalgebras. The latter are Hopf algebras obtained by reduction modulo p of the Kostant integral form of a simple Lie algebra. Then we try to rebuild algebraic groups from Hopf algebras which are their algebras of distribution. Mestrado Álgebra Mestre em Matemática

Orientador: Marcos Benevenuto Jardim Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumot: A presente tese está dividida em duas partes. Na primeira parte apresentamos as principais idéias e ferramentas da Teoria Geométrica dos lnvariantes, que tem como objetivo definir precisamente e resolver o seguinte problema: Em que circunstâncias é possível dar uma estrutura de variedade algébrica ao quociente de uma variedade algébrica pela ação de um grupo (também algébrico)? Um dos resultados mais importantes diz que é possível construir um quociente se nos restringirmos a um aberto denso (dos chamados pontos semiestáveis) da variedade original. E o principal motivo pelo qual esse é um bom resultado é que há um critério numérico (de Hilbert-Mumford) que nos permite verificar se um dado ponto é ou não (semi- )estável. A Teoria Geométrica dos lnvariantes tem aplicações amplas em muitas áreas, principalmente nos problemas de moduli. A segunda parte desta tese trata justamente de uma tal aplicação: a construção e estudo dos espaços de moduli de representações de quivers. Quivers são nada mais que grafos orientados, e uma representação consiste em associar a cada vértice um espaço vetorial e a cada flecha um mapa linear. Este assunto é interessante tanto por ser uma generalização direta de problemas clássicos de álgebra linear quanto pela ligação com a teoria de módulos sobre álgebras associativas de dimensão finita sobre um corpo Abstract: This thesis is divided into two parts. ln the first part we present the main ideas and tools of Geometric lnvariant Theory, which is concerned with the following problem: ls it possible to give an algebraic structure to the quotient of an algebraic variety by the action of an algebraic group? Qne of the most important results says that an algebraic quotient exists if we restrict the space to a dense open subset of the original variety (the so-called semi-stable points). The main reason why this is a good result is that there is a numerical criterion (due to Hilbert and Mumford) to decide whether a given point is (semi- )stable. Geometric lnvariant Theory has applications to many areas, especially to moduli problems. The second part of this thesis shows one such application: we construct the moduli space of representations of a quiver. Quivers are just directed graphs, and a representation consists of associating to each vertex a vector space and to each arrow a linear map between the spaces associated to the initial and final vertices of that arrow. There are two reasons why this is an interesting subject: it is a natural generalization of classical linear algebra problems; and it is connected to the study of modules over a finite dimensional algebra over a field Mestrado Álgebra Mestre em Matemática

Orientador: Alcibiades Rigas, Tomas Edson Barros Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Esta tese consiste do estudo das OCHAs (Open-Closed Homotopy Algebras) sob os pontos de vista algébrico e geométrico. São demonstrados essencialmente dois resultados novos. O primeiro refere-se à definição de OCHA através de coderivações. Mais especificamente, provamos que qualquer coderivação D E Coderl (sc'Hc 0 TC'Ho) de grau 1 satisfazendo D2 = O define uma estrutura de OCHA em 'H = 'Hcffi'Ho. Onde 'Hc e 'Ho são os espaços de estados da teoria de campo de corda para cordas fechadas ("dosed strings") e cordas abertas ("open strings"), respectivamente. Até então, sabia-se que as OCHAs eram dadas por coderivações [14], mas o fato de que qualquer coderivação define uma OCHA, é novo. O segundo resultado envolve a relação entre OCHA e a versão real da compactificação de Fulton MacPherson do espaço de configurações de pontos no semi-plano superior fechado. Este resultado mostra a estreita relação entre OCHAs e a operada do "Queijo Suíço" introduzida por Voronov [41], tal relação foi de fato sugeri da na introdução de [14]. O capítulo 1 contém uma discussão sobre a definição de OCHA usando coálgebras e a conseqüente caracterização das coderivações mencionada acima. Mostramos também que a estrutura de OCHA pode ser obtida a partir de certas álgebras A(X) de forma inteiramente análoga ao modo como álgebras de Lie podem ser obtidas a partir de álgebras associativas. Em seguida, o capítulo 2 traz a abordagem das OCHAs através de operadas. O capítulo 3 traz uma discussão detalhada do espaço C(p, q) (a compactificação de Fulton;.MacPherson do espaço de configurações de p + q pontos no semi-plano superior fechado com p pontos no interior e q pontos no bordo) e no capítulo 4 mostramos que a parte essencial da operada que descreve as OCHAs aparece na primeira linha do termo E1 da seqüência espectral induzida por aquele espaço. O resultado mencionado acima significa que a estrutura algébrica das OCHAs está codificada na estratificação do bordo da variedade C(p, q), visto que esta última tem uma estrutura de variedade com córneres. No capítulo final discutimos o significado dos dois resultados obtidos procurando fazer um paralelo entre as abordagens geométrica e algébrica e mencionamos alguns problemas interessantes, como continuação deste trabalho, que podem ser considerados por estudantes interessados em Álgebras Homotópicas e temas relacionados Abstract: This thesis consists of the study of OCHA (Open-Closed Homotopy Algebras) from both the algebraic and geometric viewpoint. It essentially contains the proof of two new results. The first one is related to the definition of OCHA through coderivations. More specifically, it is shown that any degree one coderivation D E Caderl(Sc7íc 0 TC7ío) such that D2 = O defines an OCHA structure on 7í = 7íc E9 7ío. Where 7íc and 7ío are respectively the state spaces of Closed String Field Theory and apen String Field Theory. It was cIear since its definition in 2004 that OCHAs can be defined in terms of coderivations. Nevertheless, the fact that any such coderivation is of the OCHA form is new. The second result involves the relation between OCHA and the real version of the Fulton MacPherson compactification of the configuration space of points on the cIosed upper half-plane. That result shows the cIose relation between OCHAs and the Swiss-Cheese operad introduced by Voronov [411. Such relation was in fact suggested in the introductian of [141. Chapter 1 contains a discussion about the coalgebraic definition of OCHA and the above mentioned characterization of alI coderivations. It is also shown that OCHA can be obtained from certain A8 algebras, similarly to way in which Lie algebras are obtained fro_ associative algebras. Chapter 2 then shows how to approach OCHA using aperads. The space C(p, q) (the FuIton-MacPherson compactification of the configuration space of p + q points on the upper half-plane with p interior points and q boundary points) is discussed on chapter 3 and on chapter 4 it is shown that the essential part of the operad describing OCHA appears on the first line Of the spectral sequence induced by that space. In other words, we could say that the algebraic structure of OCHA is encoded in the stratification of C(p, q), since this space has the structure of a manifold with corners. The final chapter is a discussion about the meaning of the two mais results of this thesis. After that, some problems which could be explored by the student interested on homotopy algebras and related subjects are mentioned. Doutorado Geometria Topologia Doutor em Matemática