Search

В статье исследуется динамические режимы дробной системы Селькова с переменной наследственностью (памятью). Эффект переменной наследственности означает, что наследственность изменяется во времени, т.е. зависимость текущего состояния системы от предыдущих также зависит от времени. Переменная наследственность в дробной системе Селькова с точки зрения математики описываеься с помощью производных дробных переменных порядков типа Герасимова-Капуто. Дробная динамическая система Селькова исследуется с помощью численного метода Адамса-Башфорта-Мултона из семейства предиктор-корректор. С помощью численного алгоритма строятся различные бифуркационные диаграммы — зависимости полученного численного решения от различных значений параметров модельных уравнений. Численный алгоритм Адамса-Башфорта-Мултона и построение бифуркационных диаграмм были реализованы на языке Python в среде PyCharm 2024.1. Исследование бифуркационных диаграмм показало наличие не только регулярных режимов: предельных циклов и затухающих колебаний и хаотических колебаний, но и выявило сингулярность — неограниченный рост решения при изменении значений порядков дробных производных в модельном уравнении. Биффуркационные диаграммы могут содержат участки кривой со всплесками и без. Всплески могут указывать на релаксационные колебания или хаотические режимы, отсутствие всплесков соответвует затухающим колебаниям или апериодическим режимам.

В работе исследуется хаотические и регулярные режимы дробной динамической системы Селькова с переменной памятью. Сначала проводится численный анализ с помощью метода Адамса-Башфорта-Мултона. Далее над полученным решением проводится предварительная обработка (модификация), которая заключается в отборе из данных значений, соответствующих локальным экстремумам. Далее прореженный таким образом набор значений поступает на вход алгоритма Тест 0-1. Основная идея алгоритма Тест 0-1 заключается в вычислении статистических характеристик дискретного временного ряда: стандартного среднеквадратического отклонения, а также его асимптотической скорости роста через корреляцию (ковариацию и вариацию) между соответствующими векторами. В итоге после многократного вычисления коэффициента корреляции выбирается ее медианное значение, которое является основным критерием выбора сценария динамического режима. Если медианное значение достаточно близко к единице, то мы имеем дело с хаотическим режимом, а если к нулю, то с регулярным режимом. Численный алгоритм Адамса-Башфорта-Мултона и модифицированный алгоритм Тест 0-1 были реализованы в системе компьютерной математики MATLAB, а также была проведена визуализация результатов моделирования с помощью бифуркационных диаграмм. В работе было показано с помощью модифицированного алгоритма Тест 0-1, что дробная динамическая система с переменной памятью может обладать хаотическими режимами. Это очень важно знать в силу того, что дробная динамическая система Селькова описывает автоколебательный режим, который, например, можно использовать для описания взаимодействия микросейсм. В этом случае хаотические режимы необходимо исключить путем выбора соответствующих значений параметров системы.

Предложена дробная нелинейная динамическая система Селькова, для описания микросейсмических явлений. Эта система известна наличием автоколебательных режимов и применяется в биологии для описания гликолитических колебаний субстрата и продукта. Динамическая система Селькова также может по аналогии описать взаимодействие двух видов трещин в упруго-хрупкой среде. Первый вид – затравочные трещины с меньшей энергией, которые не регистрируются сейсмической аппаратурой, а второй тип – крупные трещины, которые порождают микросейсмы. Первый вид трещин является триггерами для трещин второго вида. Однако возможен и обратной переход. Например, когда крупные трещины теряют свою энергию и частично становятся затравочными. Далее после увеличения их концентрации процесс повторяется, обеспечивая автоколебательный характер источников микросейсм. Дробная динамическая система Селькова учитывает эффект наследственности (эредитарности) и описывается с помощью производных дробных порядков. Эредитарность колебательных систем исследуется в рамках наследственной механики и указывает на то, что динамическая система может некоторое время, оказан- ное на нее воздействие, что характерно для вязкоупругих и пластичных сред. Порядки дробных производных связаны с эредитарностью системы и отвеча- ют за интенсивность диссипации энергии, испускаемую трещинами первого и второго видов. В работе исследуется дробная динамическая модель Селькова с помощью численного метода Адамса-Башфорта-Моултона, построены осциллограммы и фазовые траектории, исследованы точки покоя. Показано, что дробная динамическая модель может обладать релаксационными и затухающими колебаниями, а также хаотическими режимами.

In this paper, we study the chaotic regimes of the fractional Duffing oscillator. To do this, using the Wolf algorithm with Gram-Schmidt orthogonalization, we calculated the spectra of maximum Lyapunov exponents depending on the values of the control parameters, on the basis of which bifurcation diagrams were constructed. Bifurcation diagrams made it possible to determine areas in which a chaotic oscillatory regime exists. Phase trajectories were also constructed, which confirmed the research results.

The approach to definition of «sensitivity» of dependence approximation of lateral with-drawal forces on example of the «magic» formula and its polynom bifurcation diagrams approach on the basis of construction is offered.