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En el presente documento se pretende estudiar con cierto grado de profundidad la transformada de Laplace en el campo de los complejos como método para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con condiciones iniciales y de frontera, aunque solo se estudiarán los casos lineales. Se demostrará la analiticidad de la transformada de Laplace, las propiedades más importantes de este operador integral y se listan las transfromadas de algunas funciones elementales; seguidamente se estudia la transformada inversa, se mencionan algunos métodos para calcularla con ayuda de la teoría de la variable compleja basada en los residuos y el Teorema de Cauchy, luego, se aplican todos los resultados dados para resolver problemas modelados con la ecuación de onda y la ecuación calor. Resumen III Abstract IV Introducción 1 1. Preliminares 3 1.1. Teoremas de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4 1.3. Diferenciabilidad compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. Integración compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5. Teoría de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6.1. Función delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6.2. Función de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6.3. La función Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. La transformada de Laplace 10 2.1. Definición de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3. Teoremas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4. Teoremas de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5. Analiticidad de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6. Teorema de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7. Transformada de Laplace de algunas funciones elementales . . . . . . . . . . . 20 3. Transformada inversa de Laplace 21 3.1. Relación con la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. Fórmula de inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3. Unicidad de la transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4. Inversión de fracciones polinómicas mediante fracciones parciales . . . . . . . 25 3.5. Teorema de los residuos para encontrar transformadas inversas de cociente de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.6. Transformada inversa de Laplace de funciones con puntos de ramificación . . . 29 3.7. Transformada inversa de Laplace para funciones con infinitos polos . . . . . . . 34 4. Aplicaciones a problemas con ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 37 4.1. La ecuación de onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2. La ecuación del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3. La transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Bibliografía 46 Pregrado Matemático(a) Monografías

Este trabajo realizado a manera de estudio de caso, utilizando metodología cualitativa, nace como una necesidad de mejorar aspectos de tipo conceptual y procedimental en las matemáticas, específicamente en factorización de polinomios, para ello se realizó el diseño y aplicación de una estrategia lúdica de enseñanza-aprendizaje, que permitió mejorar el conocimiento en estudiantes del grado undécimo del colegio José Antonio Galán, ubicado en la ciudad de Manizales. Inicialmente se planteó el desarrollo de guías, en las cuales se procuró utilizar un lenguaje cotidiano, lo que despertó mayor interés y disposición hacia temas relacionados con la factorización de polinomios; en segundo lugar, se realizó el diseño de un juego de mesa tipo “Baraja” por ser éste un juego muy utilizado por los estudiantes, el cual generó un mejor acercamiento y buena actitud para resolver los ejercicios propuestos, y a través de la diversión, la motivación y la sana competencia propias del juego, mejoraron sus capacidades y competencias matemáticas Abstract : This dissertation, which was undertaken as a case study, using qualitative methodology, Arose from the necessity to improve conceptual and procedural aspects in mathematics, specifically in the factoring of polynomials, to do so, the design and application of a teaching learning game strategy was used, which allowed the improvement in knowledge of the student in eleventh grade of the Jose Antonio Galan senior school in Manizales. Initially, the use of manuals was suggested in which an effort was made to use everyday language, which stimulated greater interest and disposition towards the subjects related to factoring of polynomials. Secondly, they designed a card game, a game that is often used by the students, which created a close relationship and good attitude to resolve the exercises proposed and, through amusement, the motivation and healthy competition in game, improved capacities and mathematical competence Maestría