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Instituto de Física y Matemáticas. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Unidad Morelia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Programa Conjunto de Maestría en Matemáticas In chapter one, we introduce the notion of infinitesimal deformation and infinitesimal rigidity of a regular surface in R 3 and using the integral formula of Blaschke, equation (1.9), we demonstrate the infinitesimal rigidity of the convex surfaces. This result is indispensable to study the Weyl problem because it solves the linearized Weyl problem (equation (4.2) that appears in the continuity method). In chapter two, we present the proof of the Cohn-Vossen Theorem (Theorem 2.3), which talks about the uniqueness of isometric laces in Weyl's problem. The proof of Theorem of Cohn-Vossen which we present here is given by Herglotz as a consequence of its integral formula. In chapter three we explain the method used by Nirenberg to solve the Weyl problem, which is a continuity method similar to that of Weyl. This method is reformulated the problem of equality between Banach spaces (equality (3.1)). We present here the test of the first part of the continuity method, which is due to Weyl, where it is strongly used the Uniformization Theorem of Complex Analysis. In chapter four we present the second part of the continuity method that translates to a theorem of existence (Theorem 4.2) for a linear differential equation (equation (4.2)) which is precisely the non-homogeneous case of the equations studied in the infinitesimal deformations and give the test given by Nirenberg using theory of elliptical operators on the sphere S 2. In Chapter Five, using the a priori estimation C 2 of Weyl (equation (5.1)) and the estimate a priori C 2 + ? of Nirenberg (equation (5.2)) of a fit, we conclude the method of continuity and completes the test of the existence of the isometric fit. En el capítulo uno, introducimos la noción de deformación infinitesimal y de rigidez infinitesimal de una superficie regular en R 3 y usando la formula integral de Blaschke, ecuación (1.9), demostramos la rigidez infinitesimal de las superficies convexas. Este resultado es indispensable para estudiar el problema de Weyl pues permite resolver el problema de Weyl linealizado (ecuación (4.2) que aparece en el método de continuidad). En el capítulo dos, presentamos la prueba del Teorema de Cohn-Vossen (Teorema 2.3), el cual habla de la unicidad de los encajes isométricos en el problema de Weyl. La demostración del Teorema de Cohn-Vossen que presentamos aquí es la dada por Herglotz como consecuencia de su fórmula integral. En el capítulo tres explicamos el método usado por Nirenberg para la solución del problema de Weyl, el cual es un método de continuidad parecido al que us ?o Weyl. En este método se reformula el problema a una igualdad entre espacios de Banach (igualdad (3.1)). Presentamos aquí la prueba de la primera parte del método de continuidad, la cual se debe a Weyl, donde se usa fuertemente el Teorema de Uniformización del análisis complejo. En el capítulo cuatro presentamos la segunda parte del método de continuidad que se traduce a un teorema de existencia (Teorema 4.2) para una ecuación diferencial lineal (ecuación (4.2)) que es precisamente el caso no homogéneo de las ecuaciones estudiadas en las deformaciones infinitesimales de superficies y damos la prueba dada por Nirenberg usando teoría de operadores elípticos sobre la esfera S 2 . En el capítulo cinco, usando la estimación a priori C 2 de Weyl (ecuación (5.1)) y la estimación a priori C 2+? de Nirenberg (ecuación (5.2)) de un encaje, damos la conclusión del método de continuidad y se completa la prueba de la existencia del encaje isométrico.

Instituto de Física y Matemáticas. Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Unidad Morelia del Instituto de Matemáticas de la UNAM. Programa Conjunto de Maestría en Matemáticas One of our objectives is that this text is self-contained, so we dedicate the first chapters to the bases of the Lagrangian theory and minimizing measures. In the first chapter we introduce the definition of Tonelli's Lagrangians, autonomous and newspapers; then we define the action of a differentiable curve with respect to a Lagrangian and from this we see that Lagrangian is associated with a flow, which corresponds to the equation of Euler-Lagrange. We also give some illustrative examples of Tonelli's Lagrangians, such as are: Mechanical Lagrangian, Lagrangian embedded and Lagrangian magnetic. Chapter two is dedicated to defining some sets of measures with characteristics minimizing measures, which are defined on the basis of measures with respect to a Lagrangian. In addition we see that there is a connection between the set of measurements M (L) and the first real homology group. Then we define the special functions introduced by Mather (Mather's beta and Mather's alpha), which are convex functions and are useful to see if a set of measures contains ergodic elements and only ergodic, among other dynamic properties of the measures. We have also defined Aubry's set, since in chapter four we will have some result referring to this one. In chapter three, we consider a specific case of Lagrangians of Tonelli: Lagrangians newspapers on the circle, which are our main object of study. We see that in this particular case some special properties are fulfilled. Finally in chapter four we define the term of generic Lagrangian by Mañé, and we obtain more general results when applying his techniques to Lagrangians on the circle. Regarding the appendix, we consider it important to mention, without proof, some results important ergodic theory, circle homeomorphisms and convex functions. Uno de nuestros objetivos es que este texto sea autocontenido, por lo que dedicamos los primeros capítulos a las bases de la teoría sobre Lagrangianos y medidas minimizantes. En el primer capítulo introducimos la definición de Lagrangianos de Tonelli, autónomos y periódicos; luego definimos la acción de una curva diferenciable respecto a un Lagrangiano y a partir de esto vemos que a un Lagrangiano se le asocia un flujo, el cual corresponde a la ecuación de Euler-Lagrange. Además damos algunos ejemplos ilustrativos de Lagrangianos de Tonelli, como son: Lagrangiano mecánico, Lagrangianos encajados y el Lagrangiano magnético. El capítulo dos lo dedicamos a definir algunos conjuntos de medidas con características específicas, entre ellas las medidas minimizantes, las cuales se definen a partir de la acción sobre medidas respecto a un Lagrangiano. Además vemos que hay una conexión entre el conjunto de medidas M (L) y el primer grupo de homología real. Luego definimos las funciones especiales introducidas por Mather (beta de Mather y alfa de Mather), las cuales son funciones convexas y son útiles para ver si un conjunto de medidas contiene elementos ergódicos y únicamente ergódicos, entre otras propiedades dinámicas de las medidas. También definimos el conjunto de Aubry, pues en el capítulo cuatro tendremos algún resultado referente a este. En el capítulo tres, consideramos un caso específico de Lagrangianos de Tonelli: Lagrangianos periódicos sobre el círculo, los cuales son nuestro objeto principal de estudio. Vemos que en este caso particular se cumplen algunas propiedades especiales. Por ultimo en el capítulo cuatro definimos el término de Lagrangiano genérico, introducido por Mañé , y obtenemos resultados más generales al aplicar sus técnicas a Lagrangianos sobre el circulo. En cuanto al apéndice, consideramos importante mencionar, sin prueba, algunos resultados importantes de teoría ergódica, homeomorfismos del círculo y funciones convexas.