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We treat the existence of reproductive solution (weak periodic solution) of a second-grade fluid system in two dimensions, by using the Galerkin approximation method and compactness arguments. Fondo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico Dirección General de Investigación (Ministerio de Educación y Ciencia)

En esta charla analizamos la aproximación numérica con elementos finitos en espacio y diferencias finitas en tiempo de un modelo de cristales líquidos nemáticos (de tipo Eriksen-Leslie) y de un modelo penalizado de tipo Ginzburg-Landau. Después de describir los principales antecedentes del tema, se propone un esquema lineal totalmente acoplado y condicionalmente estable. La convergente (respecto de los parámetros de discretización y del parámetro de penalización) hacia una solución débil del problema de Eriksen-Leslie queda como problema abierto.

En este trabajo estudiamos el comportamiento asintótico en tiempo infinito y la estabilidad de soluciones de un sistema de Cristales Líquidos Nemáticos con condiciones de contorno Dirichlet, homogéneas para u (velocidad) y no homogéneas para d (vector director). La dificultad radica en que, a diferencia de [6], el dato de contorno para d es dependiente del tiempo. Suponiendo que d(t) sobre la frontera es igual a un dato estacionario más una perturbación evolutiva pequeña en normas adecuadas, conseguimos demostrar resultados de estabilidad y estabilidad asintótica cuando el tiempo va a infinito.

En este trabajo estudiamos la regularidad de las Ecuaciones Primitivas (EP) del Océano, con condición de contorno sobre ∂zv en el fondo, siendo v la velocidad horizontal y z la variable de espacio vertical. Dicha condición no es estándar cuando el fondo no es plano, ya que entonces ∂zv no coincide con la derivada normal asociada al operador de segundo orden de (EP) que es de tipo Laplaciano. En primer lugar demostramos que, para determinadas configuraciones del fondo del dominio, hay existencia de solución débil global en tiempo. En segundo lugar, reformulando el problema con las nuevas incógnitas ∂zv y v¯ (siendo v¯ la media vertical de v), demostramos de manera simultánea que ∂zv y v¯ poseen regularidad H2 en espacio para datos pequeños. Finalmente, analizamos la regularidad de orden superior para ambas velocidades, obteniendo que (∂zv, v¯) poseen regularidad de tipo H3 en espacio, lo que a nuestro conocimiento son los primeros resultados de regularidad superior a H2 para (EP).

En esta comunicación proponemos y analizamos un esquema numérico totalmente discreto con elementos finitos en espacio y diferencias finitas en tiempo para aproximar un modelo de cristales líquidos nemáticos (de tipo Eriksen-Leslie) por medio de un modelo penalizado de tipo Ginzburg-Landau. Se muestra la estabilidad y convergencia de dicho esquema hacia una solución débil del problema continuo, respecto de los parámetros de discretización y del parámetro de penalización.

En este trabajo exponemos, y comentamos brevemente, los resultados obtenidos en la Tesis Doctoral de M. A. Rodríguez Bellido, dirigida por F. Guillén González, [15], sobre existencia, unicidad, regularidad y comportamiento asintótico en tiempo para las Ecuaciones Primitivas del Océano con condición de Dirichlet homogénea en el fondo, así como la obtención (a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes), regularidad y unicidad de un nuevo modelo de Ecuaciones Primitivas con nuevas condiciones de contorno. Previamente se expone el marco físico y matemático en el que se encuadran dichas ecuaciones, así como los resultados que con anterioridad se conocían sobre este tema, prestando especial interés en la mejora que suponen los nuevos resultados de [15] sobre los ya existentes.

In this work, the phenomenon of chemotaxis is modeled, mainly by focusing on the Keller-Segel model, as well as other variants of it. Furthermore, we carry out approximations of finite differences in time and different schemes in space, such as: finite differences (FD), finite elements (FE) and finite volumes (FV). Subsequently, the schemes are particularized to a one-dimensional spatial domain and numerical simulations are performed. Analyzing the results, spurious oscillations are observed in the centered approximations and upwind schemes are proposed in each of the approximations in space: FD, FE and FV. It is proved that the three upwind schemes are equivalent in 1D and they correct the numerical oscillations of the centered schemes. In addition, the upwind scheme is proven to be solvable, and preserves the properties of conservation of total cell number, and non-negativity of cells and chemical substance, these properties are corroborated with numerical simulations. Finally, the discretization techniques developed in this work are applied to other models with chemotaxis. En este Trabajo de Fin de Grado se modeliza el fenómeno de la quimiotaxis principalmente centrándonos en el modelo de Keller-Segel, además de otras variantes del mismo. A su vez, realizamos aproximaciones numéricas del tipo diferencias finitas en tiempo y distintos esquemas en espacio, tales como: diferencias finitas (DF), elementos finitos (EF) y volúmenes finitos (VF). Posteriormente, se particularizan los esquemas a un dominio espacial unidimensional y se realizan simulaciones numéricas. Analizando los resultados, se observan oscilaciones espúreas en las aproximaciones centradas, y se proponen esquemas descentrados en cada una de las aproximaciones en espacio: DF, EF y VF. Se prueba que los tres esquemas descentrados son equivalentes en 1D y corrigen las oscilaciones numéricas de los esquemas centrados. Además, se prueba que el esquema descentrado tiene solución, y preserva las propiedades de conservación de la cantidad total de células y de no negatividad de células y química, estas propiedades se corroboran con las simulaciones numéricas. Finalmente se aplican las técnicas de discretización desarrolladas en este trabajo a otros modelos con quimiotaxis. Universidad de Sevilla. Doble Grado en Física y Matemáticas

Mathematical modelling and numerical optimization are applications of Mathematics with a huge potencial, being able to help a lot of disciplines appart from Mathematics. In this work, the model of Chemotaxis will be studied, which is related with the movement and pattern formation of cells and bacterias. In particular, our base will be the Keller-Segel model. After a breaf theorical study of this model, the fundamental purpose of this work will be making numerical simulations using Matlab software and studying the possibility of controlate this system. For getting numerical simulations, numerical schemes used will be based on the discretization of one of the independependent variables of our problem (space and time), and the other one will be solved by previously defined Matlab functions. To make the different controls showed in this work (space, time, and space-time controls) two different techniques will be proposed: the first one is calculating the minimum of the functional directly by a numerical optimization algorithm, and the second one is solving an optimality system. Finally, the results obtained will be analyzed and compared. La modelización matemática y la optimización numérica son aplicaciones de las Matemáticas con un gran potencial, siendo capaces de ayudar e impulsar muchas disciplinas aparte de las mismas Matemáticas. En este trabajo se estudiará el modelo de la Quimiotaxis, que está relacionado con el movimiento y la formación de patrones de células y bacterias. En particular, nuestra base será el modelo de Keller-Segel. Después de un breve estudio teórico de dicho modelo, el propósito de este trabajo será hacer simulaciones numéricas usando el software Matlab y estudiar la posibilidad de controlar este sistema. Para realizar las simulaciones numéricas, se usarán esquemas numéricos que se basarán en la discretización en una de las dos variables independientes de nuestro problema (espacio y tiempo), y en la otra se utilizarán funciones que están previamente definidas con Matlab. Para realizar los distintos tipos de controles que se mostrarán en este trabajo (control en tiempo, control en espacio, y control en espacio y en tiempo) se propondrán dos técnicas diferentes: la primera será calcular directamente el mínimo del funcional con el que se esté trabajando a través de un algoritmo de optimización numérica, y la segunda será resolviendo un sistema de optimalidad. Finalmente, los resultados obtenidos serán analizados y comparados entre sí. Universidad de Sevilla. Doble Grado en Física y Matemáticas

El objetivo básico de esta Memoria es aportar nuevos resultados teóricos de existencia, unicidad y dependencia continua de soluciones para algunos sistemas de ecuaciones en derivadas parciales que describen el comportamiento de ciertas clases de fluidos no Newtonianos. En concreto ... , consideramos fluidos de Bingham, pseudoplásticos y dilatantes con densidad variable y fluidos viscoelásticos de tipo Oldroyd.En el Capítulo 1, introducimos, en la Sección 1.1, el problema (FVPD). En la Sección 1.2, enunciamos y demostramos un resultado de existencia de solución muy débil global en tiempo para (FVPD). También presentamos un resultado que, además de justificar la introducción del concepto de solución muy débil, da condiciones suficientes para que éstas sean de hecho soluciones débiles. En la Sección 1.3, damos la definición de solución medida-valuada para (FVPD) y probamos existencia de tal solución (global en tiempo) para todo r>1. En la sección 1.4, probamos existencia de solución débil global en tiempo para (FVPD) cuando r≥12/5 ( y para todos los fluidos dilatantes cuando ΩR2).En el Capítulo 2, en la Sección 2.1, estudiamos la cuestión de la unicidad de solución para (FVPD). Aunque éste sea un problema abierto, logramos obtener resultados parciales, a costa de imponer a la solución determinadas propiedades de regularidad. En la sección 2.2, consideramos el caso en el que los coeficientes v y ∞ son variables (más precisamente, dependen continuamente de p). Tras introducir las nuevas ecuaciones a resolver, puesto que la ecuación de movimiento ha de ser modificada, presentamos resultados de existencia de solución muy débil y medida-valuada, además de comentar la cuestión de la unicidad en este caso.En el Capítulo 3, Introducimos en la Sección 3.1 el problema (FVE)ev. En la Sección 3.2, enunciamos y probamos dos resultados para (FVE)ev: existencia de solución fuerte local en tiempo para datos arbitrarios y existencia de solución fuerte global en tiempo para datos pequeños. Estos resultados son establecidos fuera del marco Hilbertiano. En la Sección 3.3, presentamos un resultado de unicidad de solución (FVE)ev (que es análogo al resultados de unicidad de solución regular del problema de Navier-Stokes) y un resultado de dependencia continua para las soluciones locales (FVE)ev. En la Sección 3.4, hacemos referencia a posibles extensiones de nuestros resultados a otros modelos de fluidos no Newtonianos. En la Sección 3.5, discutimos sobre una importantes cuestión abierta para (FVE)ev: la Existencia de solución débil global en tiempo para datos arbitrarios.En el Capítulo 4, en primer lugar, en la Sección 4.1, presentamos el problema (FVE)est. A continuación en la Sección 4.2, enunciamos y probamos los siguientes resultados: existencia, unicidad y dependencia continua de solución fuerte "pequeña" para (FVE)est cuando el dato f es suficientemente pequeño. Como en el caso evolutivo, este resultado también es establecido fuera del marco Hilbertiano.En el Capítulo 5, en la Sección 5.1, presentamos las ecuacions (0.13)-(0.14) en coordenadas cilíndricas y el razonamiento que nos conduce al problema (FVE)fP. En la sección 5.2, enunciamos y demostramos los siguientes resultados: existencia, unicidad y dependencia continua de solución semi-fuerte (y fuerte) global en tiempo (FVE)fP. En la sección 5.3 comentamos sobre otras cuestiones relacionadas con este problema.Por último, mencionemos que versiones abreviadas de los principales resultados de los Capítulos 1, 2 y 3 han sido publicados en [21] y [22]. Posteriormente, los resultados obtenidos en la Parte I por un lado y en la Parte II por otro, constituyeron los objetivos de estos trabajos de próxima aparición, [23] y [24], respectivamente.