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ilustraciones, diagramas, tablas Los modelos de Lotka Volterra son ecuaciones diferenciales no lineales que estudian la dinámica de poblaciones de individuos sometidos a interacciones de depredación, mutualismo, cooperación o mezclas de estas. En el caso determinista existe una amplia literatura al respecto, pero en la contraparte estocástica aún hay muchos interrogantes y preguntas abiertas. En este trabajo se hace un estudio de la existencia de la solución y de la distribución invariante de algunas ecuaciones diferenciales estocásticas de tipo Lotka Volterra siguiendo la línea del trabajo desarrollado por Mao. Finalmente, se establece una conexión entre las ecuaciones y los grafos y a partir de ahí se hace una extensión para un caso particular en el que el grafo de ecosistemas involucrados induce una forma de árbol. Lotka Volterra models are nonlinear differential equations which main objective is to study the dynamics between populations of individuals subjected to interactions as predation, mutualism, cooperation or some kind of mix between them. In deterministic case there exists a large literature about, but in the stochastic counterpart some questions and problems remains open. In this work a study is made about the existence of the solution and invariant distribution of some Lotka Volterra stochastic differential equations following the work of Mao. Finally, a connection between graphs and these equations is established and from there an extension to a particular case of tree graphs ecosystems is made. Maestría Magíster en Ciencias - Matemáticas Área Curricular en Matemáticas

ilustraciones, graficas Actualmente se conoce que la diabetes es una de las enfermedades con mayor número de pacientes en el mundo y su prevalencia va en aumento. Entre las complicaciones que puede provocar encontramos que es una causa importante de ceguera, amputación e insuficiencia renal; por consiguiente, se considera una enfermedad de alto costo y un problema de salud pública. Con el propósito de entender la dinámica insulina-glucosa, se propone un modelo de Ecuaciones Diferenciales Estocásticas a partir del método de compartimentos y sus probabilidades de transición, en el cual se consideran perturbaciones aleatorias que representan la variación en los niveles de producción de insulina secretada desde el páncreas o una fuente externa, la ingesta de alimentos y otros factores fisiológicos. La solución del sistema es obtenida mediante el método numérico de Euler Maruyama y los resultados indican que el promedio de las trayectorias estocásticas se aproxima a la solución determinística, donde los parámetros de interacción, producción de insulina y la función alimento muestran una sensibilidad importante en la variación de las trayectorias, con lo cual se plantearon diversos escenarios para la simulación de la diabetes controlada y no controlada. Las probabilidades estimadas para un tiempo fijo, sugiere que un diabético que sigue de manera rigurosa un tratamiento puede mantener sus niveles de glucosa en sangre aproximada a los de una persona sana con una probabilidad cercana al 80%, esto es, la probabilidad de que un diabético se encuentre en el estado de normoglicemia durante un día. (Texto tomado de la fuente) It is currently known that diabetes is one of the diseases with the largest number of patients in the world and its prevalence is increasing. Among the complications that it can cause, we find that it is an important cause of blindness, amputation and kidney failure; therefore, it is considered a high cost disease and a public health problem. for the purpose of understanding the glucose-insulin dynamics model it is proposed Stochastic Differential Equations from the method of compartments and its transition probabilities, in which random disturbances are considered that represent the variation in the levels of secreted insulin production from the pancreas or an external source, food intake and other physiological factors. The solution of the system is obtained using the Euler Maruyama numerical method and the results indicate that the average of the stochastic trajectories approximates the deterministic solution, where the interaction parameters, insulin production and the function food show an important sensitivity in the variation of the trajectories, with which various scenarios were proposed for the simulation of controlled and uncontrolled diabetes. The estimated probabilities for a fixed time, suggest that a diabetic who rigorously follows a treatment can keep his blood glucose levels close to those of a healthy person with a probability close to 80 %, that is, the probability that a diabetic is in the state of normoglycemia for one day. Maestría Magíster en Ciencias - Matemática Aplicada

Resumen [18] Consideramos un modelo de efectos mixtos general, donde la varia- bilidad de los efectos aleatorios de los individuos o unidades experimen- tales son incorporados a través de una ecuación diferencial estocástica. Estos modelos son útiles para analizar simultáneamente datos de medidas repetidas tomadas en tiempo discreto y con errores. Se implementó un algoritmo Monte Carlo por cadenas de Markov para hacer la inferencia a posteriori. Se realizó un análisis de diagnóstico sobre los parámetros esti- mados para detectar si el modelo es adecuado y mostrar su convergencia, además se muestran las trazas y las densidades estimadas a posteriori. La metodología se ilustró empleando datos sintéticos. Abstract [22] We consider a general mixed-effects model, where the variability of random effects of experimental individuals or units is incorporated through a stochastic differential equation. These models are useful for simultane- ously analysing data from repeated measurements taken in discrete time and with errors. A Markov chain Monte Carlo algorithm was implemented to make the statistical inference a posteriori. A diagnostic analysis was carried out on the estimated parameters to detect if the model is suitable and show its convergence, in addition to the traces and posterior densities are shown. The methodology is illustrated using simulated data.

We consider a general mixed-effects model, where the variability of random effects of experimental individuals or units is incorporated through a stochastic differential equation. These models are useful for simultaneously analysing data from repeated measurements taken in discrete time and with errors. A Markov chain Monte Carlo algorithm was implemented to make the statistical inference a posteriori. A diagnostic analysis was carried out on the estimated parameters to detect if the model is suitable and show its convergence, in addition to the traces and posterior densities are shown. The methodology is illustrated using simulated data. Consideramos un modelo de efectos mixtos general, donde la variabilidad de los efectos aleatorios de los individuos o unidades experimentales son incorporados a través de una ecuación diferencial estocástica. Estos modelos son útiles para analizar simultáneamente datos de medidas repetidas tomadas en tiempo discreto y con errores. Se implementó un algoritmo Monte Carlo por cadenas de Markov para hacer la inferencia a posteriori. Se realizó un análisis de diagnóstico sobre los parámetros estimados para detectar si el modelo es adecuado y mostrar su convergencia, además se muestran las trazas y las densidades estimadas a posteriori. La metodología se ilustró empleando datos sintéticos.

El presente artículo busca conmemorar el trabajo del profesor Stephen Ross mediante la exposición del modelo de Ribeiro y Hodges (2004), el cual incorpora por primera vez el proceso Cox-Ingersoll-Ross en el mundo del modelaje de commodities bajo la sombrilla de la llamada Storage Theory. Con base en lo anterior, se presenta primero el modelo en líneas generales, reseñando las razones que motivaron a su desarrollo y, acto seguido, se derivan de él las ecuaciones de pricing para cualquier contrato futuro que hace parte de una clase de contratos futuros sobre commodities. Por último, se esboza brevemente la forma en la que se calibra este modelo a través del filtro de Kalman y el método de Máxima Log-Verosimilitud, dado que sus variables de estado (el precio spot estándar y la tasa instantánea spot y bruta de conveniencia) no son observables, al mostrar la construcción de las ecuaciones de medida y de transición para el mismo bajo la óptica de Ribeiro y Hodges (2004b). The present article tries to commemorate the work of professor Stephen Ross by presenting the Ribeiro and Hodges (2004) reduced-form, no-arbitrage model that incorporates for the first time the Cox-Ingersoll-Ross in the world of commodities modelling under the umbrella of the Storage Theory. Based on this, we will present the model in general terms, showing the main reasons that motivated its development and afterward, we will derive the pricing equations for any future contract that belongs to a class of futures contracts over commodities. Finally, we will present the calibration procedure through the Kalman Filter, and the Log-Likelihood method as their state variables (standard spot price and the net spot instantaneous convenience yield) are not observable, by showing the construction of the measurement and transition equations by following Ribeiro and Hodges (2004b) method.

En este trabajo se discute la formulación de ecuaciones diferenciales, ordinarias y estocásticas, en variedades de información estadística -- Se propone un campo vectorial sobre la variedad de información estadística k-exponencial, siendo k el índice de entropía según Kaniadakis, que defina el modelo correspondiente a la familia Gaussiana k-deformada dependiente del tiempo -- También se divulgan aspectos importantes sobre la consideración de ecuaciones diferenciales en variedades de información estadística

This paper proposes a recombination in binomial trees multiplicatively generalized for the autonomous equation, in terms of the initial condition and the product between non-constant jumps up and down the discretized process. A technique is formally presented to find dynamic transition probabilities considering the first two moments of the differential equation solution process, which incorporates the growth factor and volatility in terms of the parameters and the underlying process throughout its branching. Some experimental numerical results of valuation of European options for the log – normal process and for the mean reversion processes with additive noise and proportional noise for different expiration dates are shown., En este trabajo se propone una recombinación en árboles binomiales multiplicativageneralizada para la ecuación autónoma, en términos de la condición inicial y del producto entre saltos no constantes hacia arriba y hacia abajo delproceso discretizado. Se presenta de manera formal una técnica para encontrarlas probabilidades de transición dinámicas considerando los dos primeros momentos del proceso solución de la ecuación diferencial, los cuales incorporanel factor de crecimiento y la volatilidad en términos de los parámetrosy del proceso subyacente a lo largo de su ramificación. Se muestran algunosresultados numéricos experimentales de valoración de opciones Europeas parael proceso log–normal y para los procesos de reversión a la media con ruidoaditivo y ruido proporcional para diferentes fechas de expiración.

En este trabajo se propone una recombinación en árboles binomiales multiplicativa generalizada para la ecuación autónoma, en términos de la condición inicial y del producto entre saltos no constantes hacia arriba y hacia abajo del proceso discretizado. Se presenta de manera formal una técnica para encontrar las probabilidades de transición dinámicas considerando los dos primeros momentos del proceso solución de la ecuación diferencial, los cuales incorporan el factor de crecimiento y la volatilidad en términos de los parámetros y del proceso subyacente a lo largo de su ramificación. Se muestran algunos resultados numéricos experimentales de valoración de opciones Europeas para el proceso log-normal y para los procesos de reversión a la media con ruido aditivo y ruido proporcional para diferentes fechas de expiración. Neste trabalho, uma recombinação em arvores binomiais multiplicativa generalizada para a equação autônoma é proposta em termos da condição inicial do produto entre saltos não constantes para acima e para abaixo do processo de discretização. Apresenta-se uma técnica formal para encontrar as probabilidades de transição dinâmica considerando as duas primeiras momentos do processo de solução da equação diferencial, que incorporam o fator de crescimento e volatilidade em termos dos parâmetros e dos processos subjacentes ao longo da sua ramificação. São apresentados alguns resultados numéricos experimentais de avaliações Européias para o processo log-normal e do processo de reversão à média com ruído aditivo e ruído proporcional ruído para as diferentes datas de vencimento. In this paper we propose a multiplicative generalized binomial trees recombination associated with the autonomous equation in terms of the initial condition and the product of non-constant upwards and downwards jumps from the discretized process. We present a formal technique for finding the dynamic transition probabilities involving the first two moments of the solution to the differential equation, which incorporate the factor of growth and volatility in terms of the parameters and the underlying process along its branching. Some experimental numerical results are shown for European option pricing for log- normal process and the processes of mean reversion with additive noise and proportional noise for different expiration dates.

En esta tesis aplicamos las técnicas del grupo de renormalización para tratar teorías de campos fuera del equilibrio. Dos elementos se combinan en este trabajo: i) la formulación wilsoniana del grupo de renormalización, es decir, la eliminación recursiva de grados de libertad en cierto intervalo de escalas; y ii) el análisis de sistemas cuánticos abiertos mediante las técnicas del funcional de influencia y de las integrales de camino temporal cerrado. El sistema que analizamos es el de un campo escalar con un corte ultravioleta en el impulso. Usamos para describirlo una funcional generadora de camino temporal cerrado, adecuada para calcular la evolución causal y real de los valores de expectación. Integrando explícitamente sobre los modos con impulsos que se encuentran en una capa infinitesimal alrededor del corte, obtenemos una descripción efectiva para el resto de los modos. Iterando el procedimiento, deducimos las ecuaciones de grupo de renormalización, cuyo flujo genera de manera natural términos de ruido y disipación. Este método es usado para estudiar un campo con interacciones de tipo λΦ4 , y los resultados son aplicados a un modelo para calcular el espectro del campo del inflatón en el universo temprano. Mostramos también que las mismas ideas, desarrolladas en principio para una teoría cuántica de campos, pueden emplearse para tratar ecuaciones diferenciales estocásticas. El método es ilustrado deduciendo varios resultados conocidos acerca de la ecuación de Kardar−Parisi−Zhang. In this thesis we investigate the renormalization group approach to nonequilibrium field theory. To this end, we combine the Wilsonian momentum-space renormalization group (where an effective theory for the long wavelength modes is obtained through the coarse graining of shorter wavelengths) with the closed-time path and influence functional techniques used to describe open quantum systems. The system we deal with in this thesis is a scalar field with a sharp ultraviolet cutoff. Infinitesimal momentum shells are coarse-grained one at a time on a generating functional suitable to cope with systems out of equilibrium. By iterating this operation, we obtain a set of renormalization group equations, which intrinsically generate noise and dissipation. We use these methods to study a scalar field theory with λΦ4 -type interaction terms. In its turn, the results thus obtained are applied to compute the power spectrum of an interacting field in a toy model of inflation. Finally, we show that essentially the same ideas, derived in the context of quantum field theory, can be used to define a convenient nonequilibrium action for stochastic differential equations. We illustrate this point by deducing a number of results related with the Kardar−Parisi−Zhang equation. Fil: Zanella Béguelin, Juan Francisco. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.

Este proyecto es un acercamiento al estudio de modelos de tiempo continuo (modelos basados en el cálculo estocástico y en las ecuaciones diferenciales estocásticas) aplicados a las finanzas corporativas -- Además de presentar dos modelos básicos y un marco teórico básico para otros modelos, recopila algunos puntos de vista de algunos investigadores de la materia respecto al uso de los modelos estructurales -- La primera parte presenta los requisitos de cálculo estocástico y ecuaciones diferenciales estocásticas cada uno de los modelos estudiados -- Más adelante se presentan los métodos de estimación de parámetros necesarios, This Project is an approach to the study of continuous time models (models based on stochastic calculus and stochastic differential equations)for corporate finance -- In addition to the presentation of two basic models and a theoretical framework for other models, it shows the point of view of some researchers regarding the structural models -- In the first part, requisites for those models, related to stochastic calculus and stochastic differential equations, are presented -- Later some methods for estimating their necessary parameters

Numeric methods are effective tools to solve science or engineering problems , which use deterministic differential equations. We have Euler’s and Heun’s methods and Runge- Kutta’s schemes. Unfortunately, these algorithms don’t work with stochastic differential equations. The main application is referred to the utilization of stochastic calculus in the financial area. The Black-Scholes and Merton model of the price values option in the financial markets is expressed by the Brownian movement and the stochastic differential equation, proposing the financial derivatives valorization by means of the stochastic calculus., Los mètodos numèricos son herramientas efectivas para resolver los problemas de ingenierìa o ciencias, que utilizan ecuaciones diferenciales determinìsticas. Asì tenemos los mètodos de Euler, Heun y los esquemas de Runge-Kutta. Estos algorìtmos desafortunadamente no trabajan con ecuaciones diferenciales estocàsticas. La aplicación central se refiere a la utilización del cálculo estocástico en el campo financiero. El modelo de Black-Scholes y Merton para la opción del precio de los valores en mercados financieros, viene expresado mediante el movimiento browniano y las ecuaciones diferenciales estocásticas, proponiendo la valoración de los derivados financieros mediante el cálculo estocástico.

El clásico modelo de valoración de opciones europeas de Black y Scholes (1973) supone que los retornos logarítmicos de un activo financiero se distribuyen normalmente, no obstante varios estudios empíricos muestran, primero, que esta distribución puede ser asimétrica y tener “colas pesadas” y, segundo, que la varianza del precio del activo no es finita. Este artículo presenta la implementación numérica de tres modelos alternativos: elasticidad constante de la varianza (1976), jump-diffusion (1976) y volatilidad estocástica (1987). Black and Scholes' (1973) classic model of valuation of European options assumes that the logarithmic returns of a financial asset are distributed normally, even though several empirical studies show, first, that this distribution may be asymmetric and have “heavy tails”, and second, that the variance of the price of the asset is not finite. This article presents the numerical implementation of three alternative models: constant elasticity of variance (1976), jump-diffusion (1976), and stochastic volatility (1987). Le modèle classique d´évaluation des options européennes de Black et Scholes (1973) suppose que les retours logarithmiques d´un actif financier se distribuent normalement, cependant plusieurs études empiriques montrent, tout d´abord, que cette distribution peut être asymétrique et avoir « des queues lourdes » et, ensuite, que la variance du prix de l´actif n´est pas finie. Cet article présente la mise en application numérique de trois modèles alternatifs : l´élasticité constante de la variance (1976), jump-diffusion (1976) et la volatilité stochastique (1987).