Search

Esta tesis aborda el estudio de ecuaciones diferenciales estoc´asticas (EDE’s) dirigidas por procesos multiparam´etricos autosimilares con el objetivo de sentar un aporte al c´alculo estoc´astico respecto a este tipo de procesos y as´ı ampliar el conjunto de aplicaciones de las EDE’s y los fen´omenos suceptibles de ser modelados por estas. En particular se estudiaron tres tipos de EDE’s dirigidas por procesos fraccionarios, analizando diferentes caracter´ısticas y propiedades de estas. Tambi´en se define la integral de Wiener con respecto a la s´abana de Hermite y se ejemplifica su uso a trav´es de una EDE. El movimiento Browniano fraccionario (mBf) puede considerarse en muchos sentidos como la generalizaci´on natural del movimiento Browniano standard (mBs), sin embargo, las herramientas desarrolladas para el c´alculo estoc´astico con respecto a este ´ultimo dejan de ser ´utiles para el mBf ya que este no es una semi-martingala ni tampoco es markoviano. As´ı, la primera parte de esta tesis consiste en analizar una EDE con delay dirigida por un mBf cuyo par´ametro de autosimilaridad H pertenece al intervalo ( 1 2 , 1). A trav´es de un m´etodo num´erico se estudia una aproximaci´on a tiempo discreto para la soluci´on de la ecuaci´on, se prueba la convergencia fuerte y se establece la velocidad de la misma. Posteriormente se avanza hacia los casos multiparam´etricos. Se analiz´o la s´abana fraccionaria de Ornstein-Uhlenbeck (sfOU), la cual es definida como la soluci´on de una ecuaci´on de Langevin dirigida por una s´abana Browniana fraccionaria (sBf), siendo este ´ultimo proceso anisotr´opico y para el cual se consider´o la situaci´on en que sus par´ametros de autosimilaridad α y β son mayores que 1 2 (i.e. memoria larga). Se construy´o un estimador de m´ınimos cuadrados para el par´ametro de tendencia de la sfOU, se demostr´o la consistencia fuerte del estimador y que este no es asint´oticamente normal, esto ´ultimo en contraste con el caso uniparam´etrico. Continuando con el estudio de campos aleatorios, la tercera parte de esta tesis se dedic´o al estudio de una ecuaci´on estoc´astica de la onda con ruido aditivo fraccionario en el tiempo y coloreado en el espacio. Se demostraron cotas ´optimas para la regularidad de la soluci´on tanto temporal como espacial, lo que posteriormente permite establecer la regularidad conjunta en funci´on de una m´etrica bien definida. Esto junto con algunos conceptos de Teor´ıa de Potencial permiti´o establecer cotas superiores e inferiores para las probabilidades de arrivo de la soluci´on. Finalmente, la ´ultima parte de esta tesis presenta un aporte en la construcci´on del c´alculo estoc´astico con respecto a los procesos de Hermite, los cuales son caracterizados por el par´ametro de autosimilaridad H y el par´ametro q. A diferencia de los procesos estudiados previamente, los procesos de Hermite son Gaussianos solo cuando q = 1, caso en que se recupera el mBf. Se define la s´abana de Hermite (sH) como una integral m´ultiple con respecto a la sBs y se introducen las integrales de Wiener con respecto a ´esta, lo que junto con otros resultados presentados previamente en esta tesis permiten analizar a modo de ejemplo una EDE de la onda con respecto a la sH, se define su soluci´on y se demuestra la regularidad temporal, espacial y conjunta de esta. Otros resultados adicionales tambi´en son presentados. Doctor en Ciencias Aplicadas Mención Ingeniería Matemática TERMINADA PFCHA-Becas 117p. PFCHA-Becas