Search

Diophantine denklemleri özellikle gündelik hayat uygulamaları ile birlikte tamsayılarla ilgili yapılan matematik çalışmalarının temelini oluşturmaktadır. Eliptik eğriler ise özellikle geniş uygulama alanına sahip olması ve üstelik Fermat'ın Son Teoremi'nin ispatında kullanılması ne-deniyle son yıllarda bilim insanlarının ilgisini üzerinde tutmuştur. Bu çalışmada bu iki kavram aynı potada buluşturulmuştur. Diophantine m-lileri tarafından indirgenen eliptik eğrilerin rank ve torsiyon grupları araştırılmış olup derleme niteliğindeki bu çalışma m sayısının çeşitli değer-leri için özelleşmiştir. Tez çalışması güncel bir makalenin çalışmasıyla bitmektedir. Diophantine equations form the basis of mathematical studies on integers, especially with daily life applications. Elliptic curves, on the other hand, have attracted the attention of scientists in recent years, especially because they have a wide application area and are used in the proof of Fermat's Last Theorem. In this study, these two concepts were brought together in the same pot. The rank and torsion groups of elliptic curves reduced by Diophantine m -tuples have been investigated, and this compilation study is specialized for various values of m. The thesis work ends with the study of a current article.

Anadolu Üniversitesi ve Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi tarafından ortak yürütülen program. Üç bölümden oluşan bu çalışmada sayılar teorisinin insanlık tarihi kadar eski sayılabilecek problemlerinden birisi olan Diophantine denklemlerinin özel bir durumu ele alınmıştır. Daha kesin olarak üstel Diophantine denklemleri için literatürde açık problem olarak yer alan Jeśmanowicz Sanısı çalışılmıştır. 2500 yıllık Pisagor Teoremi'ne farklı bir bakış açısıyla bakıp, üsler değişken haline getiren Sierpinski 1955-56'de 3^x+4^y=5^z üstel Diophantine denkleminin tek çözümünün (2, 2, 2) olduğunu ispatlamıştır. Buradan hareketle Jeśmanowicz aynı yıl a^2+b^2=c^2 olmak üzere a^x+b^y=c^z üstel Diophantine denkleminin tek çözümünün (2, 2, 2) olduğunu iddia etmiştir. Bu sanı birçok durum için doğrulanmış olup, tam çözümü henüz bilinmemektedir. İlk bölümde üstel Diophantine denklemleri tanıtılmış, ikinci bölümde ise bu sanı çalışılmıştır. Literatürde yeniden eskiye doğru geniş çaplı bir tarama yapılmıştır. Üçüncü bölümde ise Jeśmanowicz Sanısının özel bir durumu olan (20k)^x+(99k)^y=(101k)^z üstel Diophantine denkleminin elementer metotlar kullanılarak tek çözümünün (2, 2, 2) olduğu görülmüştür. Çalışma derleme niteliğindedir. In this three-part study, a special case of Diophantine equations, which is one of the problems of the number theory as old as human history, is discussed. More precisely, for the exponential Diophantine equations, Jeśmanowicz's Conjecture, which is an open problem in the literature, is studied. Sierpinski proved that the exponential Diophantine equation (2, 2, 2) is 3^x+4^y=5^z by looking at in a different perspective to the 2500-years old Pythagorean Theorem. In the same year, Jeśmanowicz claimed that there was only one solution (2, 2, 2) of the exponential Diophantine equation, a^x+b^y=c^z with a^2+b^2=c^2. This assumption has been confirmed in many cases and the exact solution is not yet known. In the first part, exponential Diophantine equations are introduced and in the second part, this assumption is studied. A large-scale survey was carried out in the literature. In the third chapter, it is seen that the only solution (2, 2, 2) of the exponential Diophantine equation (20k)^x+(99k)^y=(101k)^z, which is a special case of Jesmanowicz's conjecture by elementer methods. The study is compilation.

Bu çalışmanın ilk bölümünde Diyofant denklemleri ile ilgili literatür bilgisi veFibonacci ve Lucas sayıları ile genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarının temelözellikleri verildi.İkinci bölümde ise sürekli kesirler ve Pell denklemleri hakkında temel tanım veteoremlere yer verildi.Üçüncü bölümde, ilk olarak bazı sayıların sürekli kesir açılımları hesaplandı. Dahasonra bu sürekli kesir açılımları kullanılarak bazı Pell denklemlerinin tüm pozitiftamsayı çözümleri verilerek ikinci dereceden bazı Diyofant denklemlerinin tüm pozitiftamsayı çözümleri belirlendi.Çalışmanın dördüncü bölümünde tek tamsayı iken Jacobi sembolü ve kongüransözellikleri kullanılarak, = (, −1) ± (, −1) ve = (, −1) ±(, −1) denklemlerinin tüm tamsayı çözümleri elde edildi. Sonrasında isedördüncü dereceden bazı Diyofant denklemlerinin tüm tamsayı çözümleri tespit edildi.Beşinci bölümde bazı özel değerleri için − 1 = (, −1) − (, −1) ve − 1 = (, 1) denklemlerinin tüm tamsayı çözümleri bulunarak dördüncüdereceden bazı Diyofant denklemlerinin tüm pozitif tamsayı çözümleri belirlendi. In the first section of this work, literature information about Diophantine equations,Fibonacci numbers, Lucas numbers, generalized Fibonacci numbers and generalizedLucas numbers is given.In the second section, basic theorems and definitions about continued fractions andPell equations are given.In the third section, firstly, continued fraction expansions of the some numbers arecalculated. Later, all positive integer solutions to some Pell equations are given byusing this continued fraction expansions and all positive integer solutions to somequadratic Diophantine equations are determined.In fourth section of this work, when is an odd integer, all integer solutions to theequations = (, −1) ± (, −1) and = (, −1) ± (, −1) areobtained by using Jacobi symbol and congruence. Later, all positive integer solutionsto some quartic Diophantine equations are given.In the fifth section, for some special values of , all integer solutions to the equations − 1 = (, −1) − (, −1) and − 1 = (, 1) are found. Finally,all positive integer solutions to some quartic Diophantine equations are determined. 98

Anadolu Üniversitesi ve Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi tarafından ortak yürütülen program. Altı bölümden oluşan bu çalışmada Sayılar Teorisi’nin yüzyıllardır popülerliğini kaybetmemiş konusu olan Diophantine denklemleri çalışılmıştır. İlk bölümde ilerleyen bölümlerde kullanılacak temel kavramlar tanımlanmış ve bu kavramlarla ilgili bazı özellikler ele alınmıştır. İkinci bölümde C bir tamsayı olmak üzere X2 + C = yn Diophantine denkleminin tamsayı çözümleri için genel bir metot incelenmiştir. Üçüncü bölümde X2+ 2k = yn Diophantine denkleminde k’nın tek olması durumu, dördüncü bölümde X2 + 3k = yn Diophantine denklemi, beşinci bölümde X2+ 5k = yn Diophantine denklemi ve son olarak altıncı bölümde Ramanujan-Nagell denklemi olarak da adlandırılan X2 +7 = 2n Diophantine denkleminin tamsayı çözümleri aranmıştır. Çalışma derleme niteliğindedir. In this work consisting of six chapters, we study one of the subjects of the Number Theory, Diophantine equations that has been popular for centuries. In the first section, the basic concepts, used later in the next chapters, are defined and some of the features related to these concepts are discussed. In the second part, general method for finding integer solutions of Diophantine equation X2 + C = yn where C is an integer is examined. In the third chapter X2+ 2k = yn Diophantine equation where k is odd, in the fourth chapter X2 + 3k = yn Diophantine equation, fifth chapter X2+ 5k = yn Diophantine equations, and finally in the sixth chapter Ramanujan-Nagell equation, also called X2 +7 = 2n Diophantine integer solutions of the equation are sought. The work is a compilation.

Bu tez sekiz bölümden ve bu bölümler de kendi içerisinde alt bölümlerden oluşmuştur. Birinci bölümde; Heron üçgenleri ile ilgili geçmişte yapılan araştırmalar, temel tanım ve teoremler verildi.İkinci bölümde; Heron alan formülünün cebirsel, trigonometrik, geometrik açıdan ispatları derlendi.Üçüncü bölümde; Heron üçgenleri ile ilgili en temel özellikler tanım ve teoremlerle ifade edildi. Dördüncü bölümde; Heron üçgenlerinin alan ve çevre özellikleri ile ilgili teoremler verildi.Beşinci bölümde; ardışık kenarlı Heron üçgenleri ile kenarları aritmetik dizi olan Heron üçgenleri araştırıldı.Altıncı bölümde; Heron üçgenlerinin iç teğet çemberinin yarı çapı ve çevrel çemberinin yarıçapı ile ilgili teoremler verildi. Ayrıca, Heron üçgenlerinin iç teğet çemberinin yarıçapının, çevrel çemberinin yarıçapının, dış teğet çemberlerinin yarıçaplarının ve yüksekliklerin tamsayı olma durumları incelendi.Yedinci bölümde; `(a,b,c) üçgeni Heron ise (s-a,s-b,s-c) üçgeni de Heron mudur?` sorusunun cevabı araştırıldı.Sekizinci bölümde; Heron üçgenlerinin ailesi verildi. This thesis consists of fundamentally eight sections and these sections consist of subsections in itself. In the first section, the history, fundamental definitions and theorems of Heron triangles are given.In the second section, the proofs of the Heron area formulas are mentioned in term of algebraic, trigonometric and geometric.In the third section, fundamental identities and theorems of Heron triangles are demonstrated.In the fourth section, theorems related to area and perimeter identities of Heron triangles are given.In the fifth section, Heron triangles which have consecutive and arithmetic sequence lengths are investigated.In the sixth section, theorems related to incircle's radius and circumcircle's radius are given. Moreover, incircle's radius, circumcircle's radius, excircle's radius and hights are demonstrated.In the seventh section, answer of the question that, `Is (s-a,s-b,s-c) a Heron triangle when (a,b,c) is Heron triangle?` is investigated.In the eight section, the family of Heron triangles are given. 121

Diophantine denklemleri katsayıları tamsayılar olan iki yada daha fazla değişkenli denklemlerdir. Genel olarak bu denklemleri Lineer ve Üstel Diophantine Denklemleri olarak iki farklı şekilde sınıflandırabiliriz.Literatürde Üstel Diophantine denklemleriyle ilgili birçok makale bulunmaktadır. Bu çalışmada Fermat'nın son teoremi olarak bilinenx^n+y^n=z^nDiophantine denkleminden yola çıkılarak x^n+〖py〗^n=〖p^2 z〗^nDiophantine denkleminin psayısının asal, x,y ve z lerin pozitif tamsayılar (n ≥ 3) olduğu durumda aşikâr olan çözümler dışında başka çözümlerinin olmadığı literatürdeki sonuçlar ve Fermat'nın sonsuz indirgeme metodu yardımıyla yeniden gösterilmeye çalışıldı. Bu metotda pozitif tamsayılar kümesinin özellikleri ve bölünebilme kurallarından faydalanılarak mümkün olan en kısa yoldan çözüme ulaşılmaya çalışıldı. Diophantine equations are a kind of equation with two or more variables the coefficients of which are integers. In general they are classified into two groups: linear and exponential Diophantine equations. In the literature there are many papers about exponential Diophantine equations. One of the most popular problem is known as Fermat's Last Theorem which states that whether the equationx^n+y^n=z^nwhere n ≥ 3 and x,y,z and n are integers has got any nontrivial integer solutions or not. In this work, we considered a special form of the exponential Diophantine equation which isx^n+py^n=p^2 z^nwhere p is prime and x, y, z are non-negative integers. In general form of we used Fermat's Method of Infinite Descent (FMID) to determine the existence of solutions. 45

Bu çalışmada uzun bir geçmişe sahip olan Diophantine denklemleri incelenmiştir ve özel olarak da ikinci dereceden Diophantine denklemlerinin tamsayı çözümleri araştırılmıştır. Bu yapılırken denklemlere çeşitli dönüşümler uygulanmış ve Pell tipindeki denklemlere indirgenmiştir. Bu denklemlerin genel çözümleri sürekli kesir açılımları kullanılarak formüle edilmiştir. Buna ilaveten bazı Diophantine denklemlerinin genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayı çözümleri bulunmuştur., In this study, Diophantine equations which have a long history are examined and specially, integer solutions of quadratic Diophantine equations were searched. While doing this, various transformations were applied to the equations to reduce them to the Pellian type equations. Using continued fraction expansions of this equations, general solutions were formulated. In addition to these, generalized Fibonacci and Lucas number solutions of some Diophantine equations were obtained.

Bu çalışmada özel bir üstel diophantine denklem tipi olan Lebesgue-Nagell Diophantine Denklemlerinin çözümleri araştırılmıştır. Bu çalışmayı dört bölüme ayırmak mümkündür.Birinci bölümde diophantine denklemlerin ortaya çıkışı ve gelişim sürecine dair bir literatür özeti verilmiştir.İkinci bölümde bilinmesi gereken bazı genel tanım ve ön bilgiler verilmiş, ardından bu tip denklemlerin çözümünde kullanılacak olan sayı cisimlerinin aritmetiği ve ideal teorisi incelenmiştir. Daha sonra Lucas ve Lehmer dizileri hakkında genel bilgiler verilmiştir.Üçüncü bölümde Lebesgue-Nagell Diophantine Denklemlerinin en genel hali olan denkleminin aralığındaki bazı değerleri için çözümler elde edilmiş ve elde edilen bu çözümler bir tabloda gösterilmiştir.Son bölümde denkleminin ve tek sayısı için durumları incelenmiş, ayrıntılı çözümleri verilmiştir. In this study, the solutions of Lebesgue-Nagell Diophantine Equation which is a specific type of exponential diophantine equations are being examined. It is possible to separate this study into four parts.In the first chapter, a literature summary about occurrance and development process of diophantine equations is given.In the second chapter, some definitions and preliminary informations are given, then theory of ideals and the arithmetic of number fields which will be used to find the solutions of these type of equations are examined. Thereafter, basic informations concerning Lucas and Lehmer sequences are given.In the third chapter, solutions of certain values in interval of the equation which is the most general case of Lebesgue-Nagell Diophantine Equations are obtained and these solutions are expressed in a diagram.In the last chapter, all solutions of the equation are examined and given in detail when the cases and where m is an odd integer. 61

Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, lineer reküransların tanımı, ikinci mertebeden özel lineer reküranslar, diyafont m-lisinin tanımı ve konu ile ilgili literatür verilmiştir. İkinci bölümde, balans diyafont üçlüsü tanımlanıp, balans diyafont üçlüsünün olmadığı gösterilmiştir. Üçüncü bölümde, u_0=0 ve u_1=1 başlangıç koşulları altında, u_n=A*u_(n-1)-u_(n-2) lineer reküransını sağlayan dizinin diyafont üçlüsünün olmadığı gösterilmiştir. Dördüncü bölümde, k-periyodik dizilerin tanımı verilmiş ve dizi elemanları ile ilgili Binet formülleri elde edilmiştir. Beşinci bölümde, dördüncü mertebeden pellans sayı dizisi tanımlanmış ve bu dizinin diyafont üçlüsünün olmadığı incelenmiştir. Son bölümde, yapılan çalışmaların literatüre katkıları ve bu konudaki önerileri verilmiştir., This study consists of six sections. The definitions of linear recurrences and special second order linear recurrences, the definition of Diophantine tuples and the literature are given in the first section. In the second chapter, the definition of balancing Diophantine triples is presented and it is proven that there are no balancing Diophantine triples. In the third chapter, it is shown that there is no triple elements are in the sequence {u_n} such that u_n=A*u_(n-1)-u_(n-2) with initial conditions u_0=0 and u_1=1 . In the fourth chapter, the definition of k-periodic binary recurrence is given and its Binet type formula is obtained. The fourth order pellans sequence is defined and its diophantine triples is investigated in the fifth section. Finally, the supports to literature and suggestions are given in the sixth section.

Bu tez dört bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde sayılar teorisinde kullanılan temel tanım ve teoremler verilmiştir. Ayrıca kuadratik formların tanımı yapılarak kuadratik formların çeşitleri verilmiştir. Bunlara ek olarak ikili kuadratik formların denklik şartlarından bahsedilmiştir. Ayrıca otomorfizm ve Pell denklemi hakkında bilgi verilmiştirİkinci bölümde kuadratik formların indirgenmesi ele alınmıştır. Burada indirgenme çeşitleri; Langrange indirgemesi, Zagier indirgemesi ve Gauss indirgemesi başlıkları altında incelenmiştir.Üçüncü bölümde bazı tamsayıların ikili kuadratik formlarla temsili ele alınmıştır. belirsiz kuadratik formu tarafından temsil edilen bir tamsayısı için şartını sağlayan tüm tamsayı ikililerini veren formül elde edilmiştir. This thesis consists of four chapters. The first one which presents fundamental definitions and theorems concerning number theory also deals with the definition of quadratic form and its varitions. In addition to these, automorphizm of quadratic forms and Pell equations take place in this chapter.The second chapter aims to describe the reduction of quadratic forms; which are Langrange Reduction, Zagier reduction and Gauss Reduction. Chapter third deals with the representation of integers via binary quadratic forms. For the integer represented by the indefinite quadratic form , the formula which gives with all pairs of integers such that condition is obtained. 64

Bu çalışmada tamsayı dizileri ve Pell denklemleri ele alınmış ve bunlarla ilgili bazı ce-birsel bağıntılar ve özdeşlikler elde edilmiştir.Birinci bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanım ve teo-remlere yer verilmiştir.İkinci bölümde, iki ve dört parametreli tamsayı dizileri ele alınmış bu diziler ile ilgili bazı cebirsel bağıntılar elde edilmiştir. Ayrıca iki parametreli tamsayı dizisinin paramet-relerine bağlı olarak tanımlanan Pell denkleminin tamsayı çözümleri elde edilmiştir.Üçüncü bölümde, oblong sayıları ele alınmış ve bu sayıların bazı cebirsel özellikleri verildikten sonra bu sayılara bağlı olarak tanımlanan Pell formu ve Pell denklemi ele alınmıştır. Pell denkleminin tamsayı çözümlerinin oblong sayılarına bağlı olarak verilebileceği gösterilmiş ve Pell formunun indirgenmişinin devri ve has devri ele alınarak bu formun has otomorfizmlerinin yine oblong saylarına bağlı olarak tanımlanan matris yardımıyla elde edilebileceği gösterilmiştir.Dördüncü bölümde ise, balans sayıları ele alınmış ve bu sayıların hem kendi aralarında hem de Pell ve Pell-Lucas sayıları ile olan ilişkisi incelenmiştir. Ayrıca balans sayılarına bağlı olarak tam kareler ve pisagor üçlüleri elde edilmiştir.Son bölümde ise t>2 tamsayısı için x^2-(t^2-t)y^2-(4t-2)x+(4t^2-4t)y=0 Diophantine denklemi ele alınmış, bu denklemin tamsayılar kümesinde ve p>5 asal sayısı için F_p sonlu cisminde tamsayı çözümleri ele alınmıştır. In this work, some algebraic properties are obtained on integer sequences and Pell equations.In the first section, the preliminary notations, definitions and theorems which are to be used in later sections are given.In the second section, two separate integer sequences with two and four parameters are discussed and some algebraic relations on them are derived. Moreover, a Pell equation is defined using the parameters of the sequence with two parameters, and deduced the integer solutions of it including some recurrence relations. IN the third section, oblong numbers, Pell form and Pell equations have been considered. The integer solutions of Pell equation can be deduced by using oblong numbers. Also the cycle and proper cycle of the reduction of Pell form are given. Moreover, it is proved that the set of proper automorphisms of Pell form can be obtained by using the matrices related to oblong numbers. In the fourth section balancing numbers are considered. Some algebraic relations on them and also their relationships with Pell and Pell-Lucas numbers are deduced. Further, some formulas on perfect squares and Pythagorean triples related to balancing numbers are given. In the last section, integer solutions of Diophantine equation x^2-(t^2-t)y^2-(4t-2)x+(4t^2-4t)y=0 for an integer t>=2 is considered over Z and also over finite fields F_p for primes p>=5. 92

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır. Bu çalışmanın amacı, Fibonacci ve Lucas dizilerinin genelleştirmeleri olan U_n , V_n ve u_n , v_n dizilerini incelemek ve bu dizilerin özelliklerini kullanarak bazı Diophantine denklemlerinin tüm tamsayı çözümlerini araştırmaktır.İlk bölümde, Fibonacci ve Lucas dizilerinin tanımları verildi. Ayrıca bu sayı dizilerinin elemanlarının bölünebilme özellikleri ispatlandı.İkinci bölümde genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin tanımları verildi. Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileriyle ilgili bilinen özdeşliklerin yanında, bazı yeni özdeşliklerin de verildiği teoremler ispatlandı. Daha sonra genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları ile bazı Diophantine denklemlerinin tüm tamsayı çözümleri arasındaki bağlantılar karakterize edildi.Üçüncü bölümde U_n , V_n ve u_n , v_n dizilerinin elemanlarının bölünebilme özellikleri ispatlandı.Dördüncü bölümde ise, elemanları genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları olan matrisler kullanılarak bazı özdeşlikler elde edildi. Bu özdeşliklerden hareketle, farklı Diophantine denklemlerinin tüm tamsayı çözümlerinin elde edildiği teoremler verildi. The aim of this study is to observe the sequences U_n , V_n and u_n , v_n which are the generalizations of the Fibonacci and Lucas sequences and to investigate all solutions of some Diophantine equations, by using properties of these sequences.In the first section, definitions of the Fibonacci and Lucas sequences are given. Furthermore, the divisibility properties of the elements of these number sequences are proved.In the second section, generalizations of the Fibonacci and Lucas sequences are defined. Some new identities related to the generalized Fibonacci and Lucas sequences are proved. Furthermore, relations between the generalized Fibonacci and Lucas sequences and all integer solutions of some Diophantine equations are characterized.In the third section, the divisibility properties of the sequences U_n , V_n and u_n , v_n are proved.Finally, in the fourth section, by using the matrices which have the elements of the generalized Fibonacci and Lucas numbers, some identities are obtained. By considering these identities, all integer solutions of different Diophantine equations are obtained in some theorems.

Bu çalışma, sayılar teorisinde önemli bir yeri olan Diophantine denklemleri üzerine hazırlanmıştır. Çalışmanın birinci bölümü Giriş'e ayrılmış, burada kaynak araştırması sonucunda elde edilen bilgilerin ve çözülen denklemlerin özeti verilmiştir. İkinci bölümde temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde bazı özel tip diophantine denklemlerinin çözümleri ve kullanılan lemmalar ve teoremler verilmiştir. Dördüncü bölümde araştırma sonucunda elde edilen diophantine denklemleri verilmiştir. Beşinci bölümde ise kaynaklar verilmiştir. Biz bu çalışmada x2+11=yn, x2+67=yn denklemlerinin x,y,n tamsayıları için çözümlerini n 3 olmak üzere bulduk ve x2+112k+1=yn denkleminin tamsayılarda çözümünün olmadığını n 3 için gösterdik., This study has been done over Diophantine equations which has a prominent position in number theory. First chapter of the study has been allocated to ?Introduction?, here information obtained from the result of resource research and summary of solved equations have been provided. In the second chapter basic definitions and theorems have been provided. In the third chapter solutions of certain specific type Diophantine equations and lemmas, theorems used have been provided. In the forth chapter Diophantine equations obtained at the result of the research have been provided. The fifth chapter includes resources. In this study we provided x,y,n solutions of equations x2+11=yn, x2+67=yn for n?3 in integers and there is no solution for equation x2+112k+1=yn for n?3 in integers.

Bu çalışmada; Pythagorean Üçgenleri hakkında bilgi verilerek eşit alanlı Pythagorean üçgenleri ile bir yada daha fazla kenan kare olan Pythagorean üçgenleri incelendi. Daha sonra Pythagorean üçgenlerinin alanlarına karşılık gelen Pythagorean sayılan tanıtılarak bu sayıların özellikleri verildi. Ayrıca Pythagorean sayılarının diğer sayılar ile ilişkileri kurularak ikiz, üçüz, dördüz ve beşiz Pythagorean sayılan tanımlandı., In this study, Pythagorean triangles which have the same area and Pythagorean triangles which have one ore more edges have been searched by informing about Pythagorean triangles. Afterwards the features of Pythagorean numbers which are equal to the areas of Pythagorean triangles have been explained by introducing these numbers. In addition, twins, triplets, quadruplet, quintuplets of Pythagorean numbers have been told by getting the relations between Pythagorean numbers and the other number systems.

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Biyoloji Ana Bilim Dalı, Buklesiz, katlı ayntsız, sonlu ve yönsüz tüm graflarm kümesi T olsun. Ayrıtlar kümesi, E={e1,e2,...,em}, m≥2 ve tepeler kümesi de V={vı,v2,...,vn}, n≥3 olmak üzere T kümesine ait olan birleştirilmiş bir graf G=(V,E) sembolü ile gösterilsin. G=(V,E) grafının bir ayrıt numaralaması f olsun. Eğer f fonksiyonu; f:{E→N e→f(e) şeklinde içine bir fonksiyon ve f ' in doğurduğu; gr:{V(G)→N y→g f(v)=∑ e∈I(v) f(e) tepe numaralaması da içine bir fonksiyon ise bu durumda G=(V,E) grafi zayıf ters sihirlidir denir. G=(V,E) zayıf ters sihirli bir graf ve f(E)={l,2,...,m} şeklinde ise G grafı ters sihirlidir denir ve f fonksiyonuna da G grafinın ters sihirli numaralaması denir. Bu tezde bazı graflann ters sihirli, zayıf ters sihirli, asal sihirli, Mısırsal sihirli numaralamaları ve doğrusal Diophantine denklemler üzerinde durulmuştur. (a,d) ters sihirli graflann doğrusal Diophantine denklemleri çözümlenmiştir. Birinci bölümde tez içinde geçen bazı kavram ve tanımlar verilmiştir. İkinci bölümde zayıf ters sihirli, ters sihirli* Mısırsal sihirli graf tanımları ve bir G grafinın f ayrıt numaralamasının k-ile genişletilmişi sunulmuştur. Üçüncü bölümde bir G grafinın f ayrıt numaralamasının k-ile genişletilmişi ile ilgili bir takım teoremler ifade edilip, ispatlanmış ve örneklendirilmiştir. Dördüncü bölümde sihirli, süper sihirli, asal sihirli ve (a,d) ters sihirli graflar incelenmiş ve bu graflar örneklerle gösterilmiştir. Beşinci bölümde (a,d) ters sihirli graflann doğrusal Diophantine denklemleri ifade edilerek, bazı önerme ve teoremler ispat edilmiştir. Altıncı bölümde Pg,b paraşüt grafi sunularak, ters sihirli paraşüt graflar ile ilgili teoremler ifade ve ispat edilmiştir. Paraşüt graflann doğrusal Diophantine denklemleri üzerinde durulmuştur. Sonuç olarak graflann sihirli, ters sihirli, zayıf ters sihirli asal sihirli, süper sihirli, Mısırsal sihirli ve (a,d) ters sihirli numaralandınlmalan ifade edilmiş ve bunlara örnekler verilmiştir. Ayrıca (a,d) ters sihirli graflann ve bir Pg,b paraşüt grafinın doğrusal Diophantine denklemi açıklanmıştır., Let T denote the set of all finite undirected graphs without loops and multiple edges. A connected graph which is belong to T has been shown as G=(V,E) with edge set E={ei,...,em},m≥2. and vertex set, V={vi,...,vn},n≥3. Let G=(V,E)∈T be a graph with edge labeling f. A connected graph G=(V,E)∈ T is weakly antimagic iff there exists an injective mapping; f:{E→N e→f(e) such that the induced mapping gr by gr:{V(G)→N y→g f(v)=∑ e∈I(v) f(e) is injective. A graph G=(V,E)∈T is antimagic iff G is weakly antimagic and f(E)={l,...,m}. In this case we call f an antimagic labeling of G. In this thesis, antimagic, weakly antimagic, prime magic, Egyptian magic, (a,d)-antimagic labelings and the linear Diophantine equations have been investigated. The linear Diophantine equations of (a,d)-antimagic graphs have been analysed. Some preliminary concepts and definitions to the thesis have been given in the first chapter. In second chapter, weakly antimagic, antimagic, Egyptian magic graphs have been defined and k-enlargement of the edge labeling f of G has been given. In the third chapter, after giving some theorems about k-enlargement of the edge labeling f of G, the theorems have been proved and shown by examples. In the fourth chapter, magic, super magic, prime magic and (a,d)-antimagic graphs have been investigated and this graphs have been shown by examples. In the fifth chapter, the linear Diophantine equations of (a,d)-antimagic graphs have been expressed, and some propositions and theorems have been proved. In the sixht chapter, a parachute Pg,b has been given and the theorems which are related to the parachute graphs have been exspressed and proved. As a result, magic, antimagic, weakly antimagic, prime magic, super magic, Egyptian magic and (a,d)-antimagic labelings have been expressed and shown by examples. Furthermore the linear Diophantine equations of (a,d)-antimagic graphs and a parachute Pgb is explained.

Bu çalışmada ilk olarak P Primitif Pythagorean üçlüleri grubunun birim ve ilgililerinden oluşan alt cümlesinin mertebesi 4 olan sonlu bir ambivalent alt grup olduğunu gösterdik. Sonra P grubu ile C(Q) ve H(Q) grupları arasında izomorfizmler kurduk. Sonra a ve n pozitif tamsayılar olmak üzere her n için x" + ay2 = z2 ve x2 + ay2 = z" Diophantine denklemlerinin tamsayı çözümlerinin varlığını gösterdik ve bu çözümler için genel formüller verdik. Son olarak da a, u, v tamsayılarının tek ve çift olmasına görez = u2+av2 ve x = u2-av2 biçiminde yazılabilen z ve x tamsayılarının varlığını inceledik., In this study, it has firstly been shown that a subset of unit and unity element's of triples of Primitive Pythagorean group P is a finite ambivalent subgroup of P, of order 4. Isomorphisms from P onto C(Q) and P onto H(Q) have been set up. Then it has been shown that there exist integer solutions for the Diophantine equations xn + ay2 = z2 and x2+ ay- = z n, where a is an arbitrary positive integer, for every positive integer n and general formulue for solutions of the Diophantine equations has been given. Finally integers z and x satisfying z = u2 + av2 and x = u2 - av2, where a, u, and v are positive integers, have been examined by concidering that a, u, and v are even or odd integers.

ÖZET Bu çalışma üç bölümden ibaret olup; Birinci bölümde, İleriki bölümlerde kullanılacak bazı temel kavramlar ve sonuçlar verildi. İkinci bölümde, iki, üç ve n bilinmeyenli Diophantine Denklemlerinin, Q( ^5 ) kuadratik cismindeki çözüm metotları incelendi. Üçüncü bölümde, Lineer olmayan bazı Diophantine Denklemlerin, Q(Vîn) kuadratik cisminde çözüm metotları araştırıldı. ABSTRACT This study consists of three chapters: In the first chapter, some basic concepts and results are given for later use. In the second chapter, the solution methods of Linear Diophantine Equations with two, three and n unknowns in the Q( V5 ) quadratic field are examined. In the third chapter, the solution methods of some non-Linear Diophantine Equations in the Q( Jtn ) quadratic field are sought. VI 47

İÜ ÖZET Yüksek Lisans Tezi X2- 2Y2 = 1 PELL DENKLEMİNİN GAUSS TAMSAYILARINDA ÇÖZÜMÜ ÜZERİNE Üzeyir YAVUZ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Mehmet KARADENİZ 1991, Sayfa: 29 Jüri: X2 +Y2 = Z2 Diophantine denkleminin Gauss tamsayılanndaki çö zümü James T. Cross [3] tarafından verilmişti. Biz de bu çalışmamız da; Cross'un bu makalesinden esinlenerek X2 - 2Y2 = Z2 Diophantine denk leminin Gauss tamsayılanndaki çözümü ile bu denklemin z = 1 için özel bir durumu olan daha ilginç X2 - 2Y2 = 1 Pell denkleminin Gauss tam sayılarındaki çözümleri üzerinde çalışarak bazı sonuçlar elde ettik. iv ABSTRACT Master Thesis ON THE SOLUTION OF X2- 2Y2 = 1 PELL EQUATION IN GAUSSIAN INTEGERS Üzeyir YAVUZ Selçuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Doç. Mehmet KARADENİZ 1991, Page: 29 Jury: The solution of x2 +y2 = z2 Diophantine equation in the Gaussian in tegers was given by James Cross [3]. In this study, considering this paper we obtained some results about in the Gaussian integers the solution of x2 - ly1 = z2 Diophantine equation and for the special case x = 1 we obtained very interesting some results about the solution of x2- 2y2 = 1 pell equations in the Gaussian integers. 29

ÖZET Bu çalışma iki bölümden ibaret olup, birinci bölüm, ileride kullanacağımız temel tanım ve teoremleri ihtiva etmektedir. î kinci bölümde çalışmanın temelini teşkil eden değişik Diop hantine denklemlerinin çözümleri incelenmiştir. ABSTRACT This study consists of two chapters. First chapter contains basic definitions and results that will be needed later. In the second chapter, we examine the various kind of Diop hantine equations which are the main goal of this work. 59