Search

ÖZYÜKSEK LİSANS TEZİLIE CEBİRİ OTOMORFİZMLERİ VE TEST ELEMANLARICennet ESKALÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİFEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜMATEMATİK ANABİLİM DALIDanışman: Yrd.Doç.Dr. Ahmet TEMİZYÜREKYılı: 2006, Sayfa:58Jüri: Prof.Dr. Naime EKİCİYrd.Doç.Dr. Ahmet TEMİZYÜREKYrd.Doç.Dr. Perihan ARTUT(DİNÇ)F , bir X kümesi üzerinde n ranklı bir serbest Lie cebiri olsun. k ⤠n olmaküzere {u1 ,K, u k } alt kümesi ve L nin her Ï endomorfizmi için Ï (ui ) = ui (1 ⤠i ⤠k )olması Ï nin bir otomorfizm olmasını gerektiriyorsa {u1 , K , u k } kümesine F ninbir test kümesi denir. Bu çalışmada L bir serbest nilpotent Lie cebiri olduğunda Lnin herhangi bir endomorfizminin otomorfizm olma koşulları belirlenmiştir. M ,n ranklı bir serbest metabelyen Lie cebiri olduğunda M n nin bir test kümesiüzerinde birim etkiye sahip her IA endomorfizmin bir iç otomorfizm olduğugösterilmiştir. Ayrıca M n nin test rankının n â 1 olduğu ispatlanmıştır.Anahtar Kelimeler: Test kümesi, serbest Lie cebirleri, endomorfizmler,I ABSTRACTMSc THESISAUTOMORFISMS AND TEST ELEMENTS OF LIE ALGEBRASCennet ESKALDEPARTMENT OF MATHEMATICSINSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCESUNIVERSITY OF ÇUKUROVASupervisor: Assist.Prof.Dr. Ahmet TEMİZYÜREKYear: 2006, Pages:58Jury: Prof.Dr. Naime EKİCİAssist.Prof.Dr. Ahmet TEMİZYÜREKAssist.Prof.Dr. Perihan ARTUT (DİNÇ)Let k be a field and L be the free Lie algebra generated by the setX = {x1 , K , x n } over k . The subset {u1 , K , u k } (k ⤠n ) of L is a test set if anyendomorphism Ï â EndL , Ï (u i ) = u i is necessarily an automorphism. Firstly,when L is a free nilpotent Lie algebra and Ï â EndL . We have investigated thatnecessary and sufficient conditions Ï to be an automorphism of L . We have shownthat if M n is a free metabelian Lie algebra of rank n then each IA endomorphism ofM n which acts as the identity on some test set is an inner automorphism of M n .Moreover we calculate, for n ⥠3 , the test rank of M n equals n â 1 .Key Words: Test test, free Lie algebra, endomorphismII 62

ÖZET ENDOMORFEZMA TARAFINDAN BELİRLENEN MERKEZLEYEN YAKIN HALKALAR ÇOMAK, Ahmet Geylani Yüksek Lisans Tezi, Matematik Anabilim Dalı Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Necat GÖRENTAŞ Ocak 2002, 45 sayfa Buradaki çalışmaya ilk olarak yakın halkalarla ilgili temel tanım ve teoremler verilerek başlanmıştır, ikinci bölümde çalışmamızda yararlanacağımız birtakım genel sonuçlara yer vereceğiz. Daha sonraki kısımda ise, (G, +) grubu için ME(G) = {f: G - » Gfa =of, VaeEndG}; endomorfizma taralından belirlenen merkezleyen yakın halka yapısını G nin sonlu üretilen bir grup, karakteristik basit bir grup, simetrik veya genelleştirilmiş quaternion bir grup olduğu durumlarda araştıracağız. Tezin son kısmında ise R bir sonlu lokal halka ve V sonlu bir unital R- modül olmak üzere C(R; V) merkeleyen yalan halka yapısı araştırılarak konu ile ilgili örneklere yer verilmiştir. Anahtar Kelime : Yakın - halkalar. ABSTRACT CENTRALIZER NEAR-RINGS DETERMINED BY END G ÇOMAK, Ahmet Geylani Msc, Mathematics Supervisor. Asst. Prof. Dr. Necat GÖRENTAŞ January 2002, 45 pages We started this study by obtaining some theorems and givining some basic definitions related the topic, near-rings. In the second chapter, we put some general results related the context which we use later. In the next chapter, the structure of centralized near-ring determined by endomorphism End G for the group (G, +), which symbolized by ME(G) = {f: G - > Gfa =af, VaeEndG}is investigated for the case G is finitely generated abelian, symmetric, characteristically simple or generalized quaternion groups. In the last chapter, the structure of centralizer near-ring C(R; V) for which R is finitely local ring and V İs a unital R - module was searched and some related examples took were added. Key word : Near-Rings ill 46

YÖK Tez ID: 105855 ÖZET MATRİS YAKIN-HALKALAR ATAGÜN,Akm Osman Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman: Yrd. Doç. Dr. Muammer Yıldız Temmuz 2001,66 sayfa Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde çalışmayla ilgili tanım, önerme, teorem ve örnekler ayrıntıya girilmeden verilmiştir. İkinci bölümde, 1986 yılında Meldrum ve van der Walt(3) tarafından tanımlanan matris yakın-halkalar detaylı olarak incelenmiş, diğer bölümlere temel teşkil edecek tanım, teorem ve örneklere yer verilmiştir. Üçüncü ve dördüncü bölümlerde, R yakın-halkası üzerinde tanımlı kxk tipinde matris yakın-halkası Mat^R), bir M i?-modül yardımıyla genelleştirilerek, Matk(R,M) genelleştirilmiş matris yakın-halkası elde edilmiştir. Daha sonra Matk(R,M) ile Matk(R) arasındaki benzerlik ve farklılıklar örneklerle açıklanmıştır. Son olarak, yakın-halkalarm bir sınıfı olan merkezil yakın-halkalann Matk(R,M) ile izomorf olduğu durumlar incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Yakm-halka,Endomorfizma,Matris ABSTRACT MATRIX NEAR RINGS ATAGÜN,Akın Osman Graduate School Of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, M. Sc.Thesis Supervisor: Asst. Prof. Dr. Muammer Yıldız July 2001,66 pages This study consists of four chapters. Some definitions, propositions, theorems and examples have been given in the first chapter, without giving the details. In Chapter 2, a detailed analysis of the matrix near-rings that was introduced by Meldrum and van der Walt has been carried out and some definitions, theorems and examples constituting the base of the subsequent chapters have been given. In Chapter 3 and 4 the generalized matrix near-ring Matk(R,M) has been obtained by generalizing a kxk type matrix near-ring Matk(R ) on a near-ring R with the aid of an R -module M. It has been shown that how the notations used in the previous chapters have been adapted to the Matk (R,M). Then the similarities and differences between Matk(R,M ) and Matk(R ) have been explained by giving some examples. Finally, central near-rings, a subclass of near-rings, have been introduced and the cases in which these are isomorphic to Matk( R,M) have been given. Key Words: Near-ring, Endomorphism, Matrix ii

ÖZET Bu çalışmaya, kullanılan temem tanımlar ve kavramlar ile başlandı. Bu çalışmanın ikinci bölümünde homojen fonksiyonların özellikleri verildi. Daha sonra bu fonksiyonların MR(G) kümesi ile yakın-halkalar arasındaki ilişki incelendi. Son kısımda kısmi endomorfizmalann bazı özellikleri ele alındı. SUMMARY We start with some basic definitions and concepts to be used throughout the paper. In the second chapter of this paper we gives the properties of the homogeneous functions. After that we study relationship among the set of these functions MR(G) and near-rings. Lastly we give some properties of the piecewise endomorphisms. ÖZET Bu çalışmaya, kullanılan temem tanımlar ve kavramlar ile başlandı. Bu çalışmanın ikinci bölümünde homojen fonksiyonların özellikleri verildi. Daha sonra bu fonksiyonların MR(G) kümesi ile yakın-halkalar arasındaki ilişki incelendi. Son kısımda kısmi endomorfizmalann bazı özellikleri ele alındı. SUMMARY We start with some basic definitions and concepts to be used throughout the paper. In the second chapter of this paper we gives the properties of the homogeneous functions. After that we study relationship among the set of these functions MR(G) and near-rings. Lastly we give some properties of the piecewise endomorphisms. 41

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde çalışmamız için gerekli olan genel tanımlar, teoremler ve önermeler detaya girilmeden verilmiştir. İkinci bölüm dört kesimden oluşmaktadır. Bu bölümde y-halkalar, invaryant y- halkalar ve homojen fonksiyon y-halkalarının tanımı, özellikleri ve bu halkalarla ilgili çeşitli örnekler verildi. Daha sonra bir TİB, D üzerinde sonlu ranklı bir modülün homojen fonksion kaynağı verildi. Son kesimde MR(R2) nin halka olma durumu incelendi. Üçüncü bölüm bir kesimden meydana gelmektedir. Bu kesimde (Maxson, 1990,1991) de incelemeye başladığı kısmı endomorfizma y-halkalarının özeti yapılarak MR(G) nin G nin muayen alt modüllerinden endomorfizma olarak temsil olunabilen /gMr(G) homojen fonksiyonların oluşturduğu alt y-halklar ile bu alt y-halkaların kısmi endomorfizma olma durumları incelendi. Ayrıca (Maxson, 1991) de MD(Dn)=N eşitliğinin TİB 1er üzerine keyfi modüller için doğru olup olmadığı ile ilgili sorunun çözümüne yaklaşmak için N=MR(G) eşitliğinin olmasının gerekmediği iki duruma ait örnekler verilmiştir. Son bölüm üç kısımdan meydana gelmektedir. Bu bölümde M ve jo nin G için örtü teşkil ettiği ve hAtjo olacak şekilde bir R-Modül G için EndR(G)=PER(G,M) ile EndR(G)=PER(G,;£>) eşitliğinin mümkün olduğu komütatif Noetherian y-halkalarının (Maxson and Walt, 1991) de başlatılan karakterizasyonun bir özeti yapılarak (Maxson, 1992) de açık soru olarak bıraktığı iki problemin çözümüne çeşitli şekillerde yaklaşılarak (Maxson, 1992) de n= 2,3,... için P^a £ P^V* bağıntısının doğru olup olmadığı sorusu n= 3 için incelendi. This work consists of four chapters. Having given some basic facts and definitions withoug going into deails in the first chapter, we introduce near-rings, invariant near- rings and examine some of their properties in the second chapter. We also give some examples and propositions on the source of the near-rings of homogeneous functions of a module over some principal ideal domains in this chapter. Having critisized the papers of Maxson (1990,1992) on the near-rings of picewise endomorphisms we examine the homogenous functions /eMR(G) which can be represented piecewise an endomorphism on some given types of submodules G in the third chapter. We also give examples to approach to the solution of the question as to whether the equality MD(Dn)=N holds on arbitrary modules over principal ideal domains. In the last chapter we give a summary of the characterization given by (Maxson and Walt, 1992) of the commutative Noetherian near-rings for which the equalities EndR(G)= PER(G,M) and EndR(G)= PER(G,;£>) hold, and exhibit some examples and partial solutions to the questions posed in (Maxson, 1992). 57

IV ÖZET Yan gruplarla ilgili ilk çalışmalar 19. asrın sonlarında başlamıştır. Bu konu üzerinde çalışmalar halen devam etmektedir. Targonski ve Zdun 1987 yılında yaptıkları bir çalışmada Lineer opera törlerin yarı gruplarının bazı özelliklerini incelemişlerdir. (Targonski and Zdun, 1987). Bu çalışmada, Targonski ve Zdun 'un çalışmasından hareketle değiştirme ve büzülme operatörlerinin yarı gruplarının tanımları verilerek temel özelliklerinin ispatları yapılmıştır. Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde çalışmamız için gerekli olan topolojik ölçüm uzaylarına ait önbilgiler fazla detaya girilmeden verilmiştir. îkinci bölümde ilineer 'operatörler, hormlu uzaylar, Lp uzayları ve bazı yakınsaklık kavramları incelenmiştir. Üçüncü bölümde endomorfizmaların karakterizasyonu verilmiştir. Daha sonra değiştirme ve büzülme operatörlerinin yarı gruplarının tanımı yapılarak topolojik özelliklerinin ispatları gösterilmiştir. Bu yarı grupların üreteçleri tanımlanarak bazı sonuçlar verilmiştir. Son olarakta yarı gruplarla ve bu yarı grupların üreteçleriyle ilgili bazı uygulamalar yapılmıştır. SUMMARY Work on semigroups began at the end of the 19th contury, and is continuing at this time. In a work published in 1987, Targonski and Zdun investigated various properties of semigroups of linear operators (Targonski and Zdun, 1987) In this thesis taking the studies of Targonski and Zdun us a starting point, we define the semigroups of substitution and contractive operators and obtain their basic properties. This study consist: of three chapters. In the first chapter we give background material about topological neasure: spaces, for use in our studies. In the second chapter lineer operators, normed spaces, Lp spaces and some concepts of convergence are investigated. In the third chapter the characterization of endomorphism in Lp spaces is given. After defining the semigroups of substitution and contractive operators the proofs of their topological properties are given. The generators of these semigroups are defined and some corollaries are given, finally applications are given concerning semi groups and their generators. 50