Search

Öğrencilerin soyut matematik kavramlarını anlamasında matematiksel bilginin farklı temsil biçimlerinin önemli rolü vardır. Bu çalışmada dördüncü sınıf öğrencilerinin matematiksel bilgiyi farklı temsil biçimlerine dönüştürebilme becerileri incelenmiştir. Çalışmaya kolay ulaşılabilir örneklemle seçilen bir devlet okulunun dördüncü sınıfında öğrenim gören 30 öğrenci katılmıştır. Araştırmanın verileri, açık uçlu sorulardan oluşan Matematiksel Bilginin Farklı Temsil Biçimleri Testi ile toplanmıştır. Ayrıca öğrencilerin testteki her bir sorudan sonra farklı temsil biçimleri arasında dönüşüm yaparken zorlandıkları noktalara ilişkin görüşleri alınmıştır. Veriler çalışma kapsamında geliştirilen rubrik kullanılarak analiz edilmiştir. Araştırma sonucunda, öğrencilerin matematik problemlerinde verilen bilgileri farklı temsil biçimlerinde ifade edebilme becerilerinin “orta” düzeyde olduğu bulunmuştur. Öğrencilerin matematiksel bilgiyi en kolay “tablo” şeklinde ifade edebildikleri; “grafik” olarak ifade etmekte ise zorlandıkları görülmüştür. Ayrıca, iki özelliğe ait bilgiler içeren problemlerdeki temsil türleri arasında dönüşüm yapmakta daha fazla zorluk yaşadıkları belirlenmiştir. Different representations of mathematical knowledge have an important role in students' understanding of abstract mathematics concepts. In this study, the skills of fourth grade students to transform mathematical knowledge into different representations were investigated. 30 fourth-graders selected with convenience sampling participated in the study. The data of the research were collected with the Test of Different Representations of Mathematical Knowledge consisting of open-ended questions. Students' opinions about the difficulties in the test questions were also taken. The data were analyzed using the rubric developed in the study. As a result of the research, the skills of the students to transform the mathematical knowledge into different representations were found to be at the “medium” level. It was also seen that students were able to express mathematical knowledge mostly in the type of a table and had difficulty mostly in expressing it graphically. Besides, it has been found that it is more difficult for students to express the mathematical knowledge in the representation types that contain knowledge about the two features.

Yüksek Lisans Tezi, Graf teori, uygulamalı matematiğin çok kullanışlı bir alanıdır. Günlük hayata dair birçok probleme çözüm sunabilmiş olması, graf teoriye ve uygulamalarına olan ilgiyi son yıllarda arttırmıştır. Graf teorinin önemli uygulamalarından olan Zagreb indeksler ve bu indekslerin uygulamalarına yer verilmiştir.Birçok çeşit Zagreb indeks tanımlanmış olup, bu indeksler üzerine yapılan çalışmalar günümüzde hala popülaritesini devam ettirmektedir. Tez toplamda 4 ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde graf teori ile ilgili temel kavramlara ve bazı özel grafların tanımlarına yer verilmiştir. Aynı zamanda tezde kullanılmış olan kaynaklar hakkında araştırma yapılıp, içerik bilgileri sunulmuştur. İkinci bölümde sıfır bölen graflar,Zp x Zq özel halkaları üzerinde sıfır bölen graflar ve Zagreb indekslerin tanımları verilmiştir. Ayrıca bu grafların Zagreb indeksleri incelenerek elde edilmiştir. Üçüncü bölümde graflar üzerinde tensor çarpım tanımı verilerek, ikinci bölümde tanımlanan sıfır bölen graflarının tensor çarpım grafları üzerinde Zagreb indeksler uygulanmış ve sonuçlar elde edilmiştir. Son ve dördüncü bölümde tezde elde edilmiş olan sonuçlar ve öneriler sunulmuştur., Graph theory is a very useful field of applied mathematics. The fact that it has been able to offer many solutions for everyday life has increased a quite amount of interest to graph theory and its applications in the recent years. Zagreb indices are one of the most important applications of Graph theory and applications of these indices are included. Many types of Zagreb indices have been defined and studies on these indices are still popular today. The thesis consists of four main sections. In the first section, basic concepts related to graph theory and definitions of some special graphs are given. At the same time, content information as made some researches about the resources used in the thesis. In the second section, the definitions of zero-divisor graphs, zero-divisor graphs on special rings Zp x Zq and Zagreb indices are given. Furthermore, these graphs are obtained by studying the Zagreb indices. In the third section, the definition of tensor multiplication on graphs is given and Zagreb indices are applied on tensor multiplication graphs of zero-divisor graphs that are defined in the second section and the results are obtained. In the last and fourth section, the results obtained in the thesis and suggestions are presented.

Grafların Laplasyan, İşaretsiz Laplasyan matrisi ve öz değerleri matematikte ve birçok alanda büyük ölçüde kullanılmaktadır. Bir grafın ve bu grafın komplementinin graf değişmezlerinin toplamı ya da çarpımının herhangi bir alt veya üst sınırı Nordhaus–Gaddum (NGT) tipi eşitsizlik olarak bilinir. Bu tez çalışmasında ikinci bölümde bazı temel tanım ve teoremler, graf değişmezleri ve diğer bölümlerde kullanılmak üzere Laplasyan ve İşaretsiz Laplasyan matrisi, Laplasyan ve İşaretsiz Laplasyan spektral yarıçapı için bazı sınırlar verildi. Üçüncü bölümde ise NGT- eşitsizlikler ile ilgili yapılan çalışmalar geniş bir biçimde derlenmiştir. Dördüncü bölümde ise Laplasyan ve İşaretsiz Laplasyan spektral yarıçapı için NGT- eşitsizlikler incelenmiştir. The Laplacian, Signless Laplacian matrix and its eigenvalues of graphs are used in many areas to a great extent as well as mathematics. Any upper or lower bounds on the sum or product of the invariants of the graph related to graph and its complement is known as Nordhaus-Gaddum type inequality.In the 2nd section of this thesis, some basic definitions and results and bounds are given, as well as some bounds for Laplacian and Signless Laplacian matrices, Laplacian and Signless Laplacian spectral radius to be used in graphs. In the third section, results about NGT have been compiled widely a way. In the fourth section, NGT-inequalities are examined for the largest Laplacian and Signless Laplacian eigenvalues. 55

Yüksek Lisans Tezi., Graf Teori bir çok alanda uygulanabilirliği olan ve karmaşık gibi görünen problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir yapıdır. Graf teorinin gelişimi ve popülerliği ise hemen hemen tüm bilim dallarında problemlerin modellenmesi, analizi ya da ara işlem olarak kullanılmakta oluşundandır. Graf Teorinin uygulamasını somutlaştırmak gerekirse bilgisayar ağlarının kurulumu bir örnek olarak verilebilir. Burada herhangi olumlu ya da olumsuz durumlarda ulaşılabilirlik ya da sürdürülebilirlik gibi durumları belirleyen tanımlar, teoriler ve elde edilen sonuçlar mevcuttur. Soyutlamak istediğimizde ise tabi ki Cebir ile birleştirerek yolumuza devam edebiliriz. Bu oluşan yapının önemi ise Graf Teoriyi soyutlaştırırken Cebiri somutlaştırmaktır. Bu sayede cebirsel yapıları zihnimizde farklı açılardan canlandırabiliriz. Bu tez toplam 5 ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, çalışmada kullanılacak Graf Teorinin genel tanım ve özelliklerini içermektedir. İkinci bölümde çalışmanın ana konusunu oluşturan sıfır bölen grafları ve çarpım grafları ile ilgili literatür taraması yapılmıştır. Üçüncü bölümde, bazı graf çarpımları verilerek, örnekleri ve bazı parametreleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde, monojenik yarıgrup tanımı ile özellikleri verildi ve bu yarıgrup üzerinde nokta çarpım grafı tanımlandı, özellikleri incelendi ve bazı parametreleri elde edildi. Son bölümde ise elde edilen sonuçlar tartışıldı ve önerilerde bulunuldu., Graph Theory makes easier the solution of problems which seems complicated and has applicability in many fields. Graph Theory is used almost all fields of science as modelling or analysing. If necessary to concrete application of Graph Theory , installation of computer networks can be given as an example. Here there are definitions, theories and conclusions that determine situations such as availability and sustainability in any positive or negative situation and like every science and each day it is open to development. When we want to abstract it, we can continue with our way by combining it with algebra. The importance of this is the concept of algebra concretize while the abstract of graph theory is abstract. Thus, we can visualize algebraic structures in our mind at different perspectives. This thesis contains five main sections. The first section consists of fundamental definitions and properties which use in this study. In the second section, the literature rewiev which is about zero-divisor graphs and product graphs that constitute the main subject of studying is made. In the third section, giving some products of graphs, their samples and some parameters are analyzed. The definition and properties of monogenic semigroups are given and its dot product graph is defined. Then properties are analyzed and some parameters are obtained. In the final section, the results which have been obtained is discussed and some suggestions is given to researchers.

Bir ağda zedelenebilirlik, ağın merkezlerinin ya da merkezler arasındaki bağlantıyı temsil eden hatların gördüğü herhangi bir hasara karşı ağın gösterdiği dayanma gücünün ölçümüdür. Günlük hayattaki bir çok problemin çözümünde matematiksel modelleme yöntemlerinden biri olan graf yapılarına başvurulur. Böylece, karmaşık yapılar daha kolay bir modele indirgenerek çözüm araştırılır. Bir ağ graf ile modellenirse o zaman zedelenebilirlik değerinin hesaplanabilmesi için bağlantılılık sayısı(connectivity number), bütünlük sayısı (integrity number), dayanıklılık (toughness), saçılım sayısı (scattering number), kopukluk(rupture), baskınlık sayısı (domination number) gibi graf parametreleri kullanılabilir. Bu tezde, Dankelmann ve arkadaşları tarafından tanımlanan zedelenebilirlik ölçümlerinden üstel baskınlık sayısı (exponential domination number) total graflarda, tümleyen prizmalarda, bazı çevre içeren graf yapılarında ve ağaç graflarda hesaplanmıştır. Graf işlemlerinden toplama, taçlama, komşuluk taçlama, ayrıt taçlama ve kuvvet işlemleri altında minimum üstel baskınlık sayısı incelenmiş ve genel sonuçlara ulaşılmıştır. Son olarak ise üstel baskınlık sayısı parametresinin kararlılığını incelemek amaçlı bazı genel $G$ grafları için $\gamma_{e}^{+}(G)$ ve $\gamma_{e}^{-}(G)$ değerleri araştırılmıştır., The vulnerability of a communication network measures the resistance of a network to a disruption in operation after the failure of certain processors or communication links that represent the connection between the processors. In daily life, graph that is one of the mathematical modeling method, is applied for solution of many problems. Hence, reducing complex structures to an easier model, solution is investigated. If the network is modeled by a graph, then many graph parameters like connectivity number, integrity number, toughness, scattering number, rupture, domination number can be used to calculate the vulnerability value of the network. In this thesis, the exponential domination number which is defined by Dankelmann and his friends, one of the measures of vulnerability has been computed for total graphs, complement prisms, some graphs which contain cycle and trees. Minimum exponential domination number has been investigated under graph operations including join, corona, neighborhood corona, edge corona, power and general conclusions have been obtained. Finally, for some general graphs $G$, $\gamma_{e}^{+}(G)$ and $\gamma_{e}^{-}(G)$ values have been calculated to investigate the stability of exponential domination parameter. Keywords: Graphs, Vulnerability, Domination, Exponential domination, Stability of exponential domination.

Nakiboğlu, Canan (Balikesir Author), Bu çalışmada, 9., 10., 11. ve 12. sınıf kimya ders kitaplarında yer alan grafiklerin ve grafiklerle ilgili aktivitelerin grafik çizme, okuma ve yorumlama becerilerine yönelik katkısını niceliksel olarak değerlendirebilme amaçlanmıştır. Veri toplama yöntemi olarak, belgesel tarama yönteminin kullanıldığı çalışmada 9., 10., 11. ve 12. sınıf kimya ders kitaplarında (i) konu anlatımı amaçlı ve ölçme-değerlendirme amaçlı sunulan grafiklerin sayılarını, (ii) ölçme-değerlendirme ve etkinlik/deney aktivitelerinde öğrenciler tarafından çizilmesi beklenen grafiklerin sayılarını ve (iii) grafik okumayı ve yorumlamayı gerektiren çoktan seçmeli ve açık uçlu soru sayılarını dikkate alarak ünite ve bölümlere göre de dağılımını belirleyen değerlendirme kategorileri oluşturulmuştur. Çalışma sonunda, kimya ders kitaplarında hazır halde sunulan grafiklerin ölçme ve değerlendirme amacından çok konu anlatımı amacıyla kullanıldığı, ölçme ve değerlendirme amaçlı kullanımlarının yetersiz kaldığı belirlenmiştir. Kitabın etkinlik/deney ve ölçme-değerlendirme aktivitelerinde öğrenciler tarafından çizilmesi istenen grafik sayısının son derece az olduğu, grafik okuma ve yorumlama gerektiren soru türü olarak daha çok açık uçlu sorulara yer verildiği belirlenmiştir. Çalışmada sonunda, ders kitaplarında grafiklerin kullanılmasına yönelik önerilere yer verilmiştir., This study aims to quantitatively evaluate the contributions of the graphs and graph-related activities in 9th, 10th, 11th, and 12th-grade chemistry textbooks to graph drawing, reading, and interpreting skills. In this study, documental survey analysis was used as the data collection method and assessment categories determining the distribution for units and sections were formed by considering (i) the number of graphs that were presented for instruction, measurement and assessment; (ii) the number of graphs required to be drawn by students in activities of assessment-evaluation, experiments; and (iii) the number of multiple-choice and open-ended questions requiring graph-reading and graph-interpreting in 9th, 10th, 11th, and 12th-grade chemistry textbooks. By the end of the study, it was found that graphs already provided in chemistry textbooks are used mostly for the purpose of instruction rather than assessment and evaluation and that their usage for evaluation and assessment is inadequate. It was also discovered that the number of graphs students are required to draw in assessment and evaluation activities was significantly low and that as the type of questions that require graph-reading and interpreting, open-ended questions were more often given. At the completion of the study, some suggestions were given, regarding the use of graphs in textbooks.

Turistler görülmeye değer manzarası birden fazla olan turistik bölgeleri ziyaret ettiklerinde örneğin bir milli park ya da tarihi değere sahip (han, bedesten, mezar vb.) olduğu bölgelerde, seyahat uzantısı genellikle gerçek tur süreçlerine göre en etkili yol ağları olmalıdır. Turistik bölgede gidilmesi planlanan seyahat uzantısı; görülmeye değer yerlerin bir diğerine göre stratejik konumu ve aralarındaki yol ağları göz önünde bulundurularak yol planlaması algoritması ile olarak oluşturulur. Ancak görülmeye değer manzaralara sahip olan bir bölge içerisinde çoklu giriş çıkışlara sahip olan belirli noktaların olması durumunda Geleneksel Graf Algoritmalarını çalıştırmak mümkün değildir. Bu tez çalışmasında turistik bölgede tek bir nokta değil de çoklu giriş-çıkışa sahip alanların birbirine olan uzaklıkları ve giriş-çıkış sayılarını dikkate alarak en kısa gezintiyi sağlayacak bir yol bulmayı amaçlanmıştır. Dinamik şekilde seçilen bu graf modelinde hem tepe hem de ayrıtların ağırlıkları göz önünde bulundurulmuştur. Optimal yol planlaması için Dijkstra ve Prim Algoritması kullanılarak oluşturulan ikinci graf modelinde yolun kısalması amaçlanmıştır. Deneysel sonuçlar optimal planlanmış bir seyahat uzantısının uzaklığı optimize ederek seyahatin daha kısa ve verimliliğini sağlama planını desteklemiştir. When tourists visit multiple attractions and sightseeing areas such as nature parks or heritage areas (cemeteries, old markets, inns etc.), they generally prefer the most efficient route paths based on real tour process. In a given tourism destination travel mobility patterns can be formed with a path (route) planning algorithm. During creation of this algorithm, comparative locations of attractions, their geo-strategic positions and path networks among them are critical factors to be considered. In some tourism destinations providing several attractions with multiple entrance-exit gates it may be impossible to develop functional Graph algorithms.In this thesis, an experiment has been designed for tourist attraction zones with multiple entrance-exit gates. During the optimization process; distance between these zones and number of entrance/exits are taken into consideration in order to find the shortest path for travelers. A dynamic Graph model has been utilized. In this model, weights of both peak points and edges are taken into consideration. Dijkstra algorithm and Prim algorithm have been used for optimal route planning to enable shorter routes in the second graph model. Experiment results have provided an optimal itinerary pattern with reduction in time spent for travel and increase in travel efficiency. 114

Yüksek Lisans Tezi Yök Merkezi No:383650, Bir G grafı, V düğümler kümesi ile E kenarlar kümesinden oluşur ve ile gösterilir. Belli kurallar altında düğümlere, kenarlara veya her ikisine de tamsayılar kümesinden elemanlar atanarak grafların etiketlemesi yapılır. Graf teori, alışılmışın dışında bir problemin çözümü olarak ortaya çıkarken günümüzde birçok alanda kullanılmaktadır. Matematikte ise modern cebirin önemli alanlarından biri haline gelmiştir. Ayrıca, graf teori matematik eğitiminde matematiksel modelleme gibi alanlarda işlevseldir. Bu çalışmada, Euler' in Phi fonksiyonunun bir genellemesi olan Jordan totient fonksiyonu kullanılarak yeni bir graf etiketleme tanımı yapılmıştır. Bu yeni tanımın hangi tür graflarda uygulanabildiği incelenmiştir. Ayrıca graf teori kullanılarak matematiksel etkinlikler oluşturulmuştur., A graph is consisting of two sets V and E. The elements of V are called vertices, and the elements of E are called edges. A graph labeling is an assignment of integers to the vertices or edges, or both, subject to certain conditions. An unusual solution to the problem appears to be the graph theory used in many areas today. In mathematics, it has become one of the important areas of modern algebra. Also, graph theory, mathematical modeling in mathematics education is functional in areas such as. In this study, Euler' s Phi function, which is Jordan totient function were made using the new definition of a graph theory. The new kind of definition which can be applied to graphs were examined. Also mathematical activities were created using graph theory.

Teorik veya uygulama alanındaki problemlerin çoğunun incelenmesinde ve çözümünde, graf teori iyi bir model olmuştur. Genel manada graflar zor bir problemi daha anlaşılır şekillere dönüştüren bir araç olarak düşünülebilir. Bu sayede çok daha karmaşık yapılar ve ifadeler, graf yöntemleri kullanarak kolay bir şekilde çözülebilmektedir. Tez toplam altı ana bölümden oluşmaktadır: Birinci Bölüm, tüm tezde kullanılacak standart tanım ve özellikleri vermektedir. İkinci Bölümde, özel bir cebirsel graf olan sıfır-bölen grapfların bazı parametreleri incelenmiştir. Üçüncü Bölümde, başka bir referans tarafından yeni tanıtılmış düzensizlik indeksi ve özellikleri verilmiş, ayrıca düzensizlik indeksi kullanılarak bir grafın yarıçapı için kuvvetli bir sınır elde edilmiştir. Dördüncü ve Beşinci Bölümler ise bu tezin diğer ana teması olan monojenik yarı gruplar üzerinde tanımlanan özel graflar ve bu grafların topolojik indekslerine ayrılmıştır. Özellikle 5. Bölümde, bu graflar için elde edilen indekslerin, sadece monojenik yarı grubun mertebesi ile ifade edilebileceği gösterilmiştir. Son bölümde, tüm tezde elde edilen sonuçlar, öneriler eşliğinde tartışılmıştır., The graph theory has become a good model for investigating and solving of many problems given in the meaning of theoretically and applicational. In general, graphs can be thought as a good tool which convert a diffucult problem to more easier and understandable. Therefore, many complex structures and expressions can be easily solved by using graph theory methods. This thesis contains six main sections. The standard definitions and properties are given in the first section. In the second section, some parameters of a special algebraic graph namely zero-divisor graphs are investigated. In the third section, we present the irregularity index that described very recently in another reference, and then we obtain a strict bound for the radius of a graph by using this important index. The special graphs over monogenic semigroups and their topological indices that are actually other main goals of this thesis are given in fourth and fifth sections. Specially in the 5th section, we point out that these topological indices can only be stated by means of the order of monogenic semigroups. The final section discusses the whole results of the thesis with some suggestions.

Bu çalışma grafların, özdeğerlerini ve normalize Laplacian özdeğerlerini içeren parametrelerine sınırlar elde etmek için hazırlanmıştır. İlk olarak strongly quotient grafların enerjisi ve Estrada indeksi için bazı sınırlar elde edilmiştir. Ayrıca, bu sınırların strongly quotient graflar için bilinen bazı sınırlardan daha iyi olduğu gösterilmiştir. Daha sonra, izole noktası olmayan bir grafın sıfır olmayan normalize Laplacian özdeğerlerinin kuvvetlerinin toplamı tanımlanmış ve bu parametreye bağlantılı (iki parçalı) graflar için bazı alt ve üst sınırlar elde edilmiştir. Elde edilen bu alt sınırların bir sonucu olarak bağlantılı (iki parçalı) grafların derece Kirchhoff indeksi için bazı alt sınırlar verilmiştir. Ayrıca derece Kirchhoff indeks için elde edilen bu alt sınırlardan birinin literatürdeki bilinen bir alt sınırla çakıştığı gözlemlenmiştir. Bununla birlikte izole noktası olmayan grafların ve bağlantılı (iki parçalı) grafların geren ağaçlarının sayıları için bazı üst sınırlar elde edilmiş ve izole noktası olmayan graflar için elde edilen üst sınırın bilinen üst sınırların birinden daima daha iyi olduğu sonucuna varılmıştır. Ek olarak grafların geren ağaçlarının sayıları için elde edilen üst sınırlar bir örnek üzerinde karşılaştırılmıştır. Bu çalışmada elde edilen sonuçlar üzerine gerekli değerlendirmeler ve öneriler son bölümde verilmiştir., This study is prepared to obtain bounds for the parameters of graphs involving their eigenvalues and normalized Laplacian eigenvalues. At first, some bounds for the energy and Estrada index of strongly quotient graphs have been obtained. It has been also showed that these bounds are better than some known bounds for the strongly quotient graphs. Later, the sum of powers of non-zero normalized Laplacian eigenvalues of a graph without isolated vertices have been defined and some upper and lower bounds on this parameter for connected (bipartite) graphs have been established. As a result of these obtained lower bounds, some lower bounds for the degree Kirchhoff index of connected (bipartite) graphs have been given. It has been also observed that one of obtained lower bounds for degree Kirchhoff index coincides with a known lower bound in the literature. At the same time, some upper bounds for the number of spanning trees of graphs without isolated vertices and connected (bipartite) graphs have been obtained and it has been concluded that the upper bound obtained for graphs without isolated vertices is always better than one of known upper bounds. Additionally, upper bounds obtained for the number of spanning trees of graphs have been compared on an example. As a final section, there have been given essential evaluations and suggestions over the obtained results in this thesis.

Bu tezde, graflar ve grafların Fibonacci sayıları ile ilişkisi üzerine detaylı bir çalışma sunulmaktadır. Bu çalışmada temel düşünce, literatürde olan bu ilişkileri ele almaktır. Bazı graflarda bağımsız küme sayısı Fibonacci sayılarını vermektedir. Bu bağlamda, Fibonacci sayısının hesaplanmasında etkili bir yöntem olan köşe ve kenar indirgeme formülleri verilmiştir. Daha sonra da, adı geçen bu yöntem kullanılarak unicyclic, dicyclic grafların ağaçların ve kuvvet graflarının Fibonacci sayılarının hesaplanmasına ilişkin çalışmalar incelenmiştir., In this thesis, a detailed survey on the relations between graphs and Fibonacci numbers is presented. The main idea of our study is to review such relations. The number of independent sets in some kinds of graphs give the Fibonacci numbers. In this sense, the vertex and edge reduction formulas, which are efficient methods evaluating the Fibonacci number of a graph, are introduced. Then,studies on the evaluation of the Fibonacci numbers of unicyclic graphs, dicyclic graphs, trees, power graphs are investigated by using the aforementioned method.

Kapalı sayılar ve diziler; 1946 yılında Hintli bir matematikçi olan Kaprekar tarafından bulunan Kaprekar sabitinin farklı basamak sayıları ve farklı tabanlar için genelleştirilmesidir. Bu tezde, kapalı sayı ve dizi kavramı ve bu kavramla ilgili tanım ve teoremler verilmiş, kapalı sayı ve dizilerin çizgeleri hazırlanmış ve sonuçları incelenmiştir. Ayrıca farklı tabanlarda ve farklı basamak sayılarında kapalı sayı ve dizileri bulmak için bilgisayar programı hazırlanmıştır.On tabanında bulunan kapalı sayıların yapıları incelenmiş. Bu yapılar kullanarak kapalı sayıları üreten bilgisayar programı hazırlanmıştır. On tabanında 110 basamağa kadar kapalı sayılar ve on tabanında 60 basamağa kadar diziler hesaplanmıştır. Zihin Okuyucu Oyun Programı grafik tabanlı bir yazılımdır. Kapalı sayı ve dizilerin özellikleri kullanılarak geliştirilmiştir.Kapalı sayılar ve diziler ile ilgili tüm literatür bir araya getirilmiş ve ?Kapalı Sayılar Kütüphanesi? tasarlanmıştır. Locked numbers and sequences are a generalization of the Kaprekar constant discovered in 1946 by the Indian mathematician D. R. Kaprekar for different bases and number of digits. In this thesis, the notion of locked numbers and sequences are explained by using related definitions and theories. They are illustrated by graphs and results are examined. Moreover, a software is developed to find out locked numbers and sequences at different bases and digits.The structures of locked numbers in base 10 were examined. Using by this structures, a software is designed to generate the locked numbers. The locked numbers up to 110 digits in base 10 and the sequences up to 60 digits in base 10 are computed. Mind Reader Game Program is graphic based software. It is designed by using features of locked numbers and sequences.Related literature on the locked numbers and sequences are gathered and ?Locked Numbers Library? has been developed. 107

Bir (0,1)-graf herhangi iki düğümü en çok bir ortak komşuluğa sahip basit bağlı graftır. Bu tezde temel amaç, sonlu iki kümeli (0,1)-graflarını sınıflandırmaktır.Bu amaçla, birinci, ikinci ve üçüncü bölümlerde konu ile ilgili temel kavramlardan bahsedilerek, literatürdeki bazı teorem ve sonuçların ispatları genişletilerek verilmiştir. Dördüncü bölümde, sonlu bitişik iki kümeli (0,1)-grafları ile ilgili bazı önemli sonuçlar elde edilmiştir. A (0,1)-graph is a simple, connected graph in which any two vertices have at most one common neighbour. The main purpose of this thesis is to classify finite bipartite (0,1)-graphs.By this purpose basic concepts are being referred in the first, second and third sections which are related to the main subject and proofs of some theorems and results from the literature are given extented. In chapter 4, some important results were obtened related to finite adjecent bipartite (0,1)-graphs.

Bu tez çalışmasında grafların spektral yarıçapları için sınırlar incelenmiştir. Çalışmanın birinci bölümünde bazı temel tanım ve kavramlar verilmiştir. İkinci bölümde, grafların temsil ettiği komşuluk matrisi ile derece matrisinin çarpımı ile oluşan matristen yola çıkarak, basit graflar için yeni sınırlar elde edilmiştir.Üçüncü ve son bölümde, ağırlıklı grafların spektral yarıçapı için sınırlar çalışılmıştır. Bu çalışmaların sonucunda ağırlıklı grafların spektral yarıçapı için farklı üst sınırlar bulunmuş ve bulunan üst sınırlar hem kendi aralarında hem de daha önce bulunan sınırlar ile yakınlık açısından teorik ve uygulamalı olarak karşılaştırılmıştır. Ayrıca bulunan sınırların karakterizasyonu da yapılarak bazı sonuçlar elde edilmiştir.Anahtar Kelimeler: Graf ; Ağırlıklı graf; Komşuluk matrisi; Spektral yarıçap; Sınır. In this thesis study, the spectral radius of graphs for upper bounds have been analyzed. The first part include background information, basic definitions and concepts. In the second part of the study, A matrix, which is consisted of multiplication of the adjacency matrix with degree matrix of a graph, has been defined and a sharper upper bound has been found for simple graphs.In the third part, bounds on the spectral radius of weighted graphs have been studied. As a result of this studies, different upper bounds have been found for spectral radius of weighted graphs and the found upper bounds have been compared and contrasted as theoretical and applied forms both in between and the known upper bounds. Moreover, some results have been gathered by characterizing the upper bounds.Keywords: Graph; Weighted graph; Adjacency matrix; Spectral radius; Bound. 76

Graphın spektral yarıçapı, komşuluk matrisi A(G)'nin en büyük özdeğeridir.Bu çalışmada graphın spektral yarıçapı için yeni sınırlar bulunmuştur. The spectral radius of G graph is the biggest eigenvalues of its adjacency matrix.In this study, we have found the new bounds of the spectral radius of G graph. 44

Bu tezde esas amaç köşeleri genişletilmiş rasyonel sayılar kümesinde olan minimal uzunluklu eğrileri veren sürekli kesirleri incelemek ve bu köşeleri sağlayan Möbiüs grup elemanlarının karakteri hakkında esaslı bilgi vermektir. Bu çalışma ile genel amaç ayrık grupların simgelerini bulma problemine, alt yörüngesel graflardaki devre uzunlukları ile çözüm bulmaktır.Birinci bölümde konu ile ilgili genel bilgilerden bahsedilerek literatürdeki bazı önemli teorem ve sonuçların ispatları genişletilerek verilmiştir. Ayrıca, ?sürekli kesir?, ?hiperbolik geometri? ve ?graf teorisi? kavramları ile ilgili temel bilgiler açıklayıcı örnekler ile verilmiştir.İkinci bölümde ilk olarak Farey grafını bilgisayar programı ile çizmek için gereken programlama kodları ve grafiksel arayüz verilmiştir. Daha sonra minimal uzunluklu hiperbolik yolları elde etmek için ? Modüler grubunun kongrüans alt grubu olan ?_0 (n) alt grubunun alt yörüngesel grafları ile ilgili bazı önemli sonuçlar verilmiştir.Anahtar Kelimeler: Farey grafı, Farey dizileri, Modüler grup, Hiperbolik geometri, Graf teorisi,Alt yörüngesel graflar, Sürekli kesirler Major aim of the present thesis is to investigate continued fractions given curves of minimal length which their vertices are on the set of extended rational numbers and to give detailed knowledge about charecteristics of Mobiüs group elements provided these vertices. General aim with the study is to find solution to finding problem of signatures of discrete groups with circuit lengths on suborbital graphs.In the first chapter, general informations about the subject were discussed and proofs of some important theorems and conclusions in the literature were given detailed. In addition, fundemental informations on concepts of ?continued fractions?, ?hyperbolic geometry? and ?graph theory? were given with revealing examples.In the second chapter, firstly, to draw the Farey graph with the computer program, required program codes and graphical user interface were given. Then, to have hyperbolic paths of minimal lengths, some important results about suborbital graphs for congruence subgroup ?_0 (n) of the Modular group ? were given.Key Words: Farey graphs, Farey sequences, Modular group, Hyperbolic geometry, Graph theory,Suborbital graphs, Continued fractions 92

Bir çok problemin incelenmesinde ve çözümünde çizge teorisi iyi bir model olmuştur. Birleştirilmişlik, çizge teorisinin en temel kavramlarından birisidir. Bu tezde öncelikle ayrıt birleştirilmişlik kavramı ve bu kavramla ile ilgili tanım ve teoremler incelenmiş, ayrıt birleştirilmişlik probleminin matematiksel modelleri önerilmiştir.Literatüre geçmiş mevcut ayrıt birleştirilmişlik algoritmaları incelenmiştir. Birleştirilmiş bir grafın ayrıt birleştirilmişlik sayısını veren yeni bir algoritma önerilmiştir. Bu algoritmanın diğer incelenen algoritmalardan farkı atılması gereken ayrıtları da vermesidir. Ayrıca ayrıt birleştirilmişlik sayısını hesaplamak için genetik algoritma tekniği kullanılarak DELPHI dilinde bilgisayar programı yazılmıştır. Çeşitli çizgelerde hesaplama denemeleri yapılmıştır.Ayrıt birleştirilmişlik kavramına bağlı olarak çizgedeki en yoğun ayrıtın bulunmasını hedefleyen ayrıt yoğunluk sayısı tanımlanmıştır. Temel çizge sınıfları için ayrıt yoğunluk değerleri hesaplanmıştır ve sonuçları verilmiştir. The graph theory has become a good model for investigating and solving of many problems. Connectivity is one of the basic concept of graph theory. In this thesis, firstly edge connectivity concept and the definitions and theorems related to this concept are analyzed. Mathematical models were proposed to the edge connectivity problem.Existing edge connectivity algorithms in literature were examined. A new algorithm that gives the number of the edge connectivity in the connected graph is proposed. The algorithm differ from other algorithms is to give the removing edge also. To calculate the number of edge connectivity, a computer program was written in DELPHI using genetic algorithm technique. Computational experiments were performed in variety graphs.Depending on the edge connectivity concept, edge intensity number that target the most intense edge in the graph is defined. For basic graph class edge intensity was calculated and the results are given. 109

Kodlaştırmanın matematikte önemli rol oynaması bu teorinin daha derinden incelenmesini gerektirir. Birçok problemin çözümünde kodlaştırmada tek değerlilik özelliğinin belirlenmesi şarttır. Tez konusunun amacı kodlaştırmayı matematiksel biçimde tanımlayarak onun bazı önemli problemlerini incelemektir. Graf teorisi incelenip ardından alfabe kodlaştırması tanımlanarak böyle kodlaştırma için tek değerlilik problemi ele alınacaktır. Bu amaçla söz konusu problemin çözümü için yeterli, gerek ve yeterli koşullar incelenecektir. Daha sonra Hamming Kodlarının yapısı üzerine çalışmalar yapılacaktır.Anahtar Sözcükler: Graf teorisi, alfabe kodlaştırması, dekodlaştırma, kodlaştırmanın tek değerlilik problemi, Hamming kod yapısı, üreteç matrisler That coding plays on important role in maths forces this theory to be examined in details. In the solution of most problems, it is obligatory to determine the feature of the unique valuableness in codding. The aim of the thesis?s subject is to examine same important problems by defining coding mathematically. First, Graf theory will be examined; then the problem of the unique valuableness will be told for this kind of coding by defining the alphabeth coding. With this aim, the suitable conditions will be examined for the solution of this problem. Later the studies on the shape of Hamming codes will be done.Keywords: Graph Theory, the alphabeth coding, decoding, the problem of the unique valuableness in coding, the shape of Hamming codes, generator matrix 90

Bir G grafının tepeleri kümesinin iki renk sınıfına parçalanışı varsa, bu G grafı 2-parçalanışlı graftır. Bu tepelerin bir sınıfı kırmızıyla diğer sınıfıda maviyle renklendirilir. F, belirli bir v mavi tepesini kök kabul eden iki parçalanışlı graf olsun. Bir G grafının F üstünlük sayısı, G nin tepelerinin bir kırmızı- mavi renklendirmesinde G nin kırmızı tepelerinin minimum sayısıdır öyle ki G nin her v mavi tepesi kökü v olan F nin bir nüshasına aittir. F={F1,?,Fk} olsun. Burada Fi , 1?i?k , belirli bir v mavi tepesini kök kabul eden iki parçalanışlı graftır. Bir G grafının F*-üstünlük sayısı, G nin tepelerinin bir kırmızı- mavi renklendirmesinde G nin kırmızı tepelerinin minimum sayısıdır öyle ki G nin her v mavi tepesi kökü v olan Fi nin en az bir nüshasına aittir. Bu çalışmada F, 2-parçalanışlı 6-çevre grafı olmak üzere prizmaların F-üstünlük sayısı incelenerek konuyla ilgili bir genelleştirme teoremi ispat edildi . Aynı zamanda F* , 2-parçalanışlı 3-yol graflarının iki tepesi kırmızı olan bir ailesi olmak üzere bir grafın F* -üstünlük sayıları ile 2-gökkuşağı üstünlük sayıları arasındaki ilişki belli graf sınıfları ve rastgele seçilmiş bazı graf sınıfları için incelenerek, herhangi bir birleştirilmiş G grafı için 2-gökkuşağı üstünlük sayısının, F* -üstünlük sayısına eşit yada F*-üstünlük sayısından bir fazla olduğu tahmininde bulunulmuştur. Bunlara ilaveten bir grafın F*-üstünlük sayıları ile bu grafın maksimum derecesi ve mertebesi arasındaki ilişki incelenmiştir.Anahtar Kelimeler: 2-Gökkuşağı üstünlük sayısı, 2-Parçalanışlı üstünlük sayısı, Prizma A graph G is 2-stratified if its vertex set partitioned into two color classes. We color the vertices in one color class red and the other class blue. Let F be 2-stratified graph rooted at one fixed blue vertex v specified. The F-domination number of a graph G is the minimum number of red vertices of G in a red-blue coloring of the vertices of G such that every blue vertex v of G belongs to a copy of F rooted at v. Let F={F1,?,Fk}, where Fi , 1?i?k , is a 2- stratified graph rooted at some blue vertex v. The F* -domination number of G is defined as the minimum number red vertices of G in a red-blue coloring of the vertices of G such that every blue vertex v of G belongs to a copy of Fi rooted at v for at least one value of i. In this study we investigate the F-domination number of prisms when F is 2-stratified 6-cycle rooted at a blue vertex. And we proved one generalization result. Also we study the relation between 2-rainbow domination number and F* -domination number for some known graph classes and randomly chosen graphs when F* is the family of 2-stratified paths of length 3 in which two vertices are colored red. We conjectured that 2-rainbow domination number is equal or greater than F*-domination number by one for any connected graph G. In addition the relation between F*-domination number and maximum degree and order were studied.Key Words: 2-Rainbow dominaton number, 2-Stratified domination number, Prism 38

Zedelenebilirlik, ağın hasar görmesinden sonra iletişim kesilene kadar geçen sürede ağın dayanma gücü olarak adlandırılır. Bir iletişim ağı grafla modellenebilir. Böylece zedelenebilirlik grafta araştırılır. Bağlantılılık sayısı, örtü sayısı, bağımsızlık sayısı, baskınlık sayısı gibi ölçümlerle grafın zedelenebilirliği çalışılmıştır. Bu tezde, ortalama baskınlık sayısı adı verilen yeni bir ölçüm tanımlanmıştır. Ortalama baskınlık sayısı kavramı incelenmiştir ve elde edilen teoremler kullanılarak temel graf sınıflarındaki sonuçları hesaplanmıştır. Bir G grafında ortalama baskınlık sayısını hesaplayan algoritma verilmiştir. Verilen algoritmanın karmaşıklığı O(n2) olmaktadır. Aynı tepe sayısına sahip ve bağlantılılığı aynı iki ağ modeli ele alınsın. Eğer ortalama baskınlık sayısı diğerinden büyük ise, o ağ diğerine göre daha sağlamdır. Bu nedenle ağ tasarımında önemli bir ölçüm olduğu kanıtlanmıştır.Anahtar Sözcükler: İletişim ağı, graflar, zedelenebilirlik, baskınlık sayısı. The vulnerability value of a communication network shows the resistance of the network after the disruption of some centers or connection lines until the communication breakdown. The communication network can be model by graph G. Then vulnerability search on this graph. Some vulnerability measures have been studied widely such as connectivity, vertex covering, and independence and domination number. In this thesis, it is defined a new measure called medium domination number of a graph. The notion of the medium domination number is studied on and found some results and theorems. By using them, the medium domination number of general graph types is studied. An algorithm which calculates medium domination number of a graph is given. The complexity of the given algorithm is O(n2). It is consider any two networks having the same number of vertices and connectivity. If medium domination number is higher than the other, this network is more stable. It is proved that medium domination number is an important measure in design of networks.Keywords: Networks, graphs, vulnerability, domination number. 62

Bu tezde öncelikle graflarda boyama ölçümleri üzerine günümüze kadar yapılan çalışmalarda elde edilen bilgilere yer verilmiştir. Ardından çiftli grafların tam boyanması çalışılmıştır.İlk bölümde, graf boyama tarihinden, günlük yaşantıdaki kullanım alanlarından bahsedilmiştir.İkinci bölümde, bu tezi anlamada kolaylık sağlayacak; temel graf tanımlarına ve bazı teoremlere yer verilmiştir.Üçüncü bölümde, graflarda boyama ölçümleri olan tepe boyama, ayrıt boyama ve tam boyama özel graflarda incelenmiş, tanımlar verilmiş ve teoremler ispatlanmıştır.Dördüncü bölümde, çiftli grafların tam boyanması üzerine teoremler ispatlanmıştır.Anahtar sözcükler: Graf boyama, tam boyama, çiftli graf. In this thesis some knowledges of graph coloring that have been gathered are stated. Next total coloring in double vertex graph is studied.In the first chapter, the history of graph coloring and the usage of graph coloring in real world is mentioned and also the subject of the thesis is introduced.In the second chapter some basic definitions for graphs are given in order to make reading of the thesis easy.In the third chapter some definitions about graph colorings such as vertex coloring, edge coloring and total coloring are given and theorems are proved.In the fourth chapter the theorems about total coloring in graphs are proved.Keywords: Graph coloring, total coloring, double vertex graph 48

Bu tez birinci bölüm olan giriş kısmı dışında altı bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde, grup, monoid ve yarı grupların sunuşları ile ilgili hatırlatmalar yapılmış ve karar verme problemlerinden olan kelime problemi hakkında bilgi verilmiştir. Ayrıca yeniden yazma sistemi ile ilgili hatırlatmalar yapılıp sonlu türetilmiş tip kavramı tanıtılmıştır. Son olarak ise, monoidlerin Cayley grafı ile ilgili kısa bilgi verilmiştir.Üçüncü bölümde, homotopik sonluluk durumu olan sonlu türetilmiş tip özelliği monoidlerin Schützenberger çarpımı üzerinde incelenmiştir.Dördüncü bölümde, diğer önemli bir çarpım olan graf çarpım incelenmiş ve monoidlerin graf çarpımının sonlu türetilmiş tip özelliğine sahip olması için gerek koşul verilmiştir.Beşinci bölümde, monoidlerin kısıtlanmış wreath çarpımı üzerinde p-Cockcroft ve alt monoid ayrıştırılabilirlik özellikleri incelenmiş ve bazı özel monoidlerin wreath çarpımının kelime probleminin çözülebilir olup olmadığına yer verilmiştir. Bunun için ilk olarak, Cayley graf kullanılarak wreath çarpımın sunuşu elde edilmiştir. Daha sonra bölümün sonuçları verilmiştir.Altıncı bölümde, yarı gruplar üzerinde wreath çarpım tanımlanmış ve bu çarpımın çözülebilir kelime problemine sahip olması için gerek ve yeter koşullar verilmiştir. Ayrıca bazı özel yarı grupların wreath çarpımı üzerinde genelleştirilmiş kelime probleminin çözülebilirliği çalışılmıştır.Son bölümde, önceki bölümlerde elde edilen sonuçların bir değerlendirmesi yapılmıştır. This thesis consists of six chapters except introduction part. In the second chapter, it was recalled group, monoid and semigroup presentations and then informed on word problem which is one of the decision problems. Moreover, it was reminded rewriting system and then defined concept of finite derivation type property. Finally, it was given some information about Cayley graph of monoids.In the third chapter, the finite derivation type property that is one of the homotopical finiteness condition has been investigated on Schützenberger product of monoids.In Chapter 4, the graph product of monoids has been studied and it has been given necessary condition for graph products of monoids to have finite derivation type property.In Chapter 5, by considering the restricted wreath product of monoids it has been studied p-Cockcroft and submonoid separability properties on this product. Then it has been investigated the solvability of the word problem of wreath product of some specific monoids. To do that it has been obtained a presentation for wreath product of monoids in terms of Cayley graphs. Then it has been proved main results of this chapter.In Chapter 6, by considering wreath products of semigroups, it was given necessary and sufficient conditions to have solvable word problem for this kind of semigroups. Moreover, generalized word problem of wreath products of some specific semigroups was studied in this chapter.In the last chapter, the results which are obtained from previous chapters have been summarized. 120

Bu çalışma basit bağlantılı bir grafın uzaklık enerjisine ve uzaklık Estrada indeksine sınırlar bulmak için hazırlanmıştır. İlk olarak, bir grafın uzaklık enerjisi için sınırlar elde edilmiştir. Daha sonra, bir grafın uzaklık Estrada indeksi tanımlanmış ve bu indeks için bazı sınırlar elde edilmiştir. Burada elde edilen sonuçlar Tablo 2.1 ve Tablo 3.1 de sunulmuştur. Ayrıca bu tablolarda verilen sınırlar üzerine gerekli değerlendirmeler dördüncü bölümde yapılmıştır., This study is prepared to find bounds for the distance energy and the distance Estrada index of a simple connected graph. It has been first obtained bounds for the distance energy of a graph. Later, the distance Estrada index of a graph has been defined and some bounds for this index have been obtained. The results obtained in this thesis have been presented in Table 2.1 and Table 3.1. As a final section, there have been given some evaluations over these bounds that depicted in tables.

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Ana Bilim Dalı, Graf Teorisinin çıkış ve gelişmesi alışılagelmiş biçimde olmamıştır. Teori, kendisinden çok daha eski bir problemin çözümü olarak ortaya konmuştur. Graflar daha sonra elektrik mühendisliği, kimya ve ekonomi gibi birbirinden bağımsız alanlarda karşımıza çıkmıştır. Bugün ise graf teorisi, modern cebirin önemli kollarından biri olmuştur. Ele aldığımız bu çalışma; graf kavramını ve temellerini açıklayarak, elektrik mühendisliği ve endüstri mühendisliği alanlarına ne gibi katkılarda bulunduğunu incelemeye yöneliktir. Bu araştırma göstermiştir ki bu iki mühendislik alanında ilgili problemlere yaklaşımda farklı yöntemler de olmakla birlikte, graf yaklaşımı, bu problemlere çok daha net bir bakış açısı ortaya koymaktadır. Çalışma dört bölümden oluşup iki, üç ve dördüncü bölümler tezin amacını gerçekleştirmeye yöneliktir., Graph theory has had an unusual origin and development. Theory has been shown up a solution of a problem which was set up before itself. Later, graphs appeared in unique areas such as electrical engineering, chemistry and economics. Today, graph theory becomes one of main branches of modern algebra. This study aims that to explain basic concepts of graphs and then to examine graph theory approaches in electrical engineering and industry engineering areas. This study denotes that although both engineering areas have different approaches to related problems, graf approaches of the same problem have more efficient focus on problems. Our study has four main chapters and second, third and fourth Chapters tend to realize our aims.

Bu çalışmada [10] Wilson R.J. and Watkins J.J. ?Graphs An Introductory Approach? adlı kitabın ilk yedi bölümü incelenmiştir. Özel olarak seçilen şekiller tamamen [10]'dan alınmıştır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmış, ikinci bölümde graflara ilişkin temel kavramlar ve grafların bazı uygulama alanları verilmiştir. Üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerde sırasıyla, yönlü graflar ve uygulamaları, Euler grafları ve uygulamaları, Hamilton grafları ve uygulamaları detaylı olarak incelenmiştir. In this study, the first seven chapter of the book, Wilson R.J. and Watkins J.J. ?Graphs An Introductory Approach? [10] is observed. Chosen shapes taken from [10]. The first chapter is devoted to introduction. In the second chapter definitions ofbasic concepts are given, with associated graphs. Then, in the third, fourth and fifth chapters, respectively digraphs, Eulerian graphs, Hamiltonian graphs and their applications are examined. 125

Bu çalısmada dügüm ve halkaların polinom invaryantları bir diyagramatik yaklasımlaincelendi.Önce, Parantez polinomu bir diyagramatik yolla tanıtıldı ve burulma sayısı ilenormalize edildi. Normalize edilmis parantez polinomu ile Jones polinomu arasındakiiliski verildi. Sonra alterne dügümlerle ilgili bazı aktif tahminler Parantez polinomuhatırlanarak ispatlandı. Jones polinomu ve onunla iliskili cebir bu parantez modeliyardımıyla insa edildi. Aynı zamanda Jones polinomunun genellestirmeleri de tartısıldı.Son olarak, Parantez polinomu ile graf teorisi ve istatistiksel fizik arasındaki iliskiincelendi. Bu baglamda Kare parantez bir düzlemsel graf için Dikromatik polinomaözellestirildi. Ve istatistiksel fizikteki potts model için parçalı fonksiyon parantezmodeli kullanılarak ifade edildi. Aynı zamanda parantez modeli graflar için Tuttepolinomunda da uygulandı.Anahtar Kelimeler: Parantez Polinomu, Jones Polinomu, Genellestirilmis Polinom,Alterne Dügümler, Klasik Dügüm Baglamları, Karısık Cebir, Graf, DikromatikPolinom, Tutte Polinomu. In this study, the polynomial invariants of knots and links are investigated with adiagrammatic approach.Firstly, the bracket polynomial is introduced in a diagrammatic way and it is normalizedby its twist number. The relations between the normalized bracket polynomial and theJones polynomial are given.Next, some old conjectures about alternating knots are proved by using the bracketpolynomial. The Jones polynomial and its associated algebra are constructed by thisbracket model. The generalizations of the Jones polynomial are also discussed.Finally, the relations between the bracket polynomial and graph theory and statisticalphysics are investigated. Hence, the square bracket is specialized the dichromaticpolynomial for a planar graph, and the partition function for the potts model instatistical physics is expressed by using bracket model. Also, the bracket model isapplicated the tutte polynomial for graphs.Key Words: Bracket Polynomial, Jones Polynomial, Generalized Polynomial,Alternating Knots, Classic Knot Conjectures, Mixed Algebra, Graphs, DichromaticPolynomial, Tutte Polynomial. 66

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Ana Bilim Dalı, Bu tez çalışmasında grup sunuşları ve bunların bazı uygulamaları ile graflar incelenmiştir. Bu yüksek lisans tezi toplam üç bölümden oluşmuştur. Birinci bölümde, kelime, serbest grup, serbest denklik, Evrensel Dönüşüm Özelliği, Normal Form Teoremi, grup sunuşları ve sunuşlarla ilgili bazı sonuçlar tartışılmıştır. İkinci bölümde, genel anlamda graflar çalışılmıştır. Bu bölümde kullanılan notasyonlar Serre [11]'nin notasyonlarıdır. Bu bölüm oluşturulurken başlangıç, bitiş ve ters fonksiyonlar, yol, grafların dönüşümü, Starlar, yerel (bire-bir ve örten) dönüşümler, alt graflar, ağaç (maksimal ağaç), temel gruplar çalışılmıştır. Ayrıca buna bağlı olarak temel grubun tanımı verilip, bu grup üzerinde bir takım sonuçlar incelenmiştir. Üçüncü bölümde, grafların uygulaması olarak Cayley graflar ve Matroidler çalışılmıştır. Cayley graflar bir G grubundan elde edilerek tanımlanmıştır. Buna bağlı olarak Cayley graflar ile Matroidler arasındaki ilişkiler incelenmiştir., In this thesis the author mainly studied on the group presentations and graphs with some applications on them. The thesis consists of three chapters. In the first chapter it is given the fundamental definitions and results for the group presentations which are word, free group, freely eguivalent, Universal Mapping Property and Normal Form Theorem. Some applications of these definitions and results can also be found in this chapter. In the second chapter the author studied on graphs with general meanings. During this chapter the author mainly used the notation of Serre [11]. In fact it has been studied inital, terminal and inverse functions, paths, mapping of graphs, Stars, locally (bijective) mappings, subgraphs, tree (maximal tree) when constructed this chapter. Under the circumstances of these subjects, the author also gave the definition of the first fundamental group and some corrolaries of it. In the third chapter, as an application of graphs, it has been studied the Cayley graphs and Matroids. In the construction of Cayley graphs, as usual, the group G is used. Finally the relationship between the Cayley graphs and Matroids have been investigated.

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Eğitimi Ana Bilim Dalı, Bu çalışmada, birleştirilmiş graflar sınıfına giren çarkların, yelpazelerin, Petersen graflarının S-Kordiyal, (+l)-Kordiyal ve (-l)-Kordiyal numaralanması incelenmiştir. Bu graflann S-Kordiyaî, (+l)-Kordiyal ve (-l)-Kordiyal olması için gerek ve yeter koşullu teoremler ifade ve ispat edilmiştir. Bu teoremlerin ispati için gerekli temel kavramlar saptanmış, bu temel kavramların tanımları yapılmış ve birer örnek yardımı ile ikinci bölümde açıklanmıştır. Üçüncü bölümde, litaratürde görülen bazı kordiyal graflar hakkında bilgi verilmiştir. Dördüncü bölümde, çarklar, yelpazeler ve petersen grafiarı ile ilgili teoremler ortaya atılmıştır. Beşinci bölümde, düzgün altı yüzlü, düzgün sekizyüzlü, düzgün onikiyüzlü ve düzgün yirmiyüzlünün tanımları verilerek, bu grafların S-kordiyal, (+l)-Kordiyal ve (-l)-Kordiyal numaralanmaları incelenmiştir. iiBu çalışmada ortaya atılan teoremlerde belirtilen ^rafların ayrıntılarının ve tepelerinin numaralanmasında {-1,1} kümesinin elemanları kullanılmıştır. Her bir teoremin gereklilik koşulu olmayana ergi metodu ile ispatlanmıştır. Teoremin genel ispatı verildikten sonra incelenen grafın S-Kordiyal, (+l)-Kordiyal ve (-l)-Kordiyal olan ya da olmayan numaralanmaları şekiller çizilerek gösterilmiştir. Yapılan inceleme sonunda, n ≡ 2 (mod4) denkliğini sağlayan n tepeli birleştirilmiş grafların S-Kordiyal olmadıkları görülmüştür., In this thesis, S-Cordial, (+l)-Cordial and (-l)-Cordiai labeiiing of wheels, funs and petersen graphs, which are subclasses of connected graphs have been investigated. Therefore, related theorems have been performed and proofed. In order to proof related theorems, the fundemental concepts have been determined, defined and shown by examples in chapter 2. In chapter 3, it has been given the knowledge about some of the cordial graphs found in the literature. In chapter 4, new theorems due to wheels, funs and petersen graphs have been performed. In chapter 5, definitions of cube, Octahedral, Dodecahedral, Icosahedral have been given and S-Cordial, (+l)-Cordial and (-l)-Cordial labelling of these graphs have been investigated. In this work, we have used {-1,1} set in order to numoeriof vertex and edges of the graphs which have been defined by the theorems and the necessity of each theorem has been proofed by contradiction. After giving the general proof of the theorem, the graphs which are investigated here, have been labelled with figures according to be wheather they are S-Cordial, (+l)-Cordial and (-l)-Cordial or not. As a result, it has been seen that for n ≡ 2 (mod4) the connected graphs with n vertex have not been found S-Cordial.