Search

We are concerned with new form optical solitons to the non-linear Schrodinger equation (NLSE) by generalized anti-cubic non-linearity. Some new optical solitons containing dark, singular and periodic solitons in chirp-free and chirped form are constructed via modified extended tanh expansion method. These results are very useful in the field of optics. The obtained results are verified and also explain by drawing different graphs. Parametric conditions for the chirp-free and chirped shape soliton solutions are also mentioned. Computational results indicate the efficiency of the aforesaid analytical expansion scheme.

Kısmi Diferansiyel denklemlerin analitik çözümleri, kuantum mekanik ve plazma fiziği gibi alanlarda, açığa çıkmamış olayların açıklanmasında fayda sağlamaktadır. Bu çalışmada, lineer olmayan kısmi türevli Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff (CBS) diferansiyel denkleminin analitik çözümlerini bulmak için Homojen Denge Metodundan yararlanılmıştır. Homojen Denge Metodunun Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff denklemine uygulanmasıyla elde edilen analitik çözümler literatürde bulunan sonuçlarla karşılaştırılmış ve literatürde bulunan çözümlerle uyumlu hiperbolik ve trigonometrik tipten fonksiyonlar elde edilmiştir., Analytical solutions of Partial Differential equations are useful in explaining unrevealed events in areas such as quantum mechanics and plasma physics. In this study, the Homogeneous Balance Method is used to find analytical solutions of the nonlinear partial differential Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff (CBS) differential equation. Analytical solutions obtained by applying the Homogeneous Balance Method to the Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff equation are compared with the results found in the literature, and hyperbolic and trigonometric type functions that are compatible with the solutions in the literature are obtained.

Bu makale Nonlineer Schrödinger denklemine ayrılmıştır. Öncelikle denklem hakkında bilgiler verilmiş ve daha sonra denklem enerji korumalı yöntem ile elde edilmiştir. Sonraki bölümde de ilerleyen dalga çözümünü elde ettik ve daha sonra Hirota metodunu kullanarak NLS denkleminin 1-soliton ve 2-soliton çözümünü verdik. Sonuç ve tartışma kısmı da beşinci bölümde verilmiştir., This article is devoted to NLS Equation. Firstly, we give some information about NLS then we obtain the equation by energy preserving method. Furthermore we construct a travelling wave solution for the NLS equation. Finally, by using Hirota's direct method we present one-soliton and two soliton solutions for the NLS.

In this paper, the Homotopy Analysis Method (HAM) is applied to the fractional Wu-Zhang system and combined KdV-mKdV equation to obtain theirnumerical solutions. The results were compared with analytical solutions. Bu makalede, kesirli Wu-Zhang sisteminin ve birleştirilmiş KdV-mKdV denklemidenkleminin nümerik çözümlerinielde etmek için Homotopi Analiz Yöntemi (HAM) uygulandı. Elde edilen sonuçlar, analitik çözümlerler ile karşılaştırıldı.

In this paper, the third kind of Darboux transformation of generalized Broer-Kaup equations is derived from the corresponding spectral problem. By virtue of this Darboux transformation, new 2$N$-soliton solutions with parameters of the generalized Broer-Kaup equations are obtained. Although 2$N$ is an even number, it is graphically shown that in the cases of $N $= 1 and $N$ = 2 the obtained 2$N$-soliton solutions can degenerate into $M$-soliton solutions for any positive integer $M$ less than 2$N$.

Bu çalışmada son yıllarda gelişme gösteren lineer olmayan tamamen çözülebilir (1+1) boyutlu kısmi türevli diferansiyel denklemler incelenmiştir. Genel olarak bu denklemlerin çözülebilirliğini gösteren yöntemler ele alınmıştır. Bu çalışmada incelediğimiz yöntemler Lax formalizmi, AKNS formülasyonu, sıfır eğrilik şartı ve Bi-Hamilton yapıdır. Lax formalizminde biri öz değer diğeri zaman değişim denklemi şeklindeki iki lineer denklemin uyumluluk şartından ortaya çıkan lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler tamamen çözülebilir denklemler olmaktadır. Aynı zaman da AKNS ve sıfır eğrilik şartı formülasyonları, Lax formalizmini temel alan formülasyonlardır. Bu çalışmada yukarıda değinilen yöntemler detaylı bir şekilde incelenmiş ve örnekler verilmiştir. Lax formülasyonuyla KdV, Burgers ve Boussinesq denklemlerinin, AKNS denklemleriyle KdV, mKdV, NLS ve SG denklemlerinin ve sıfır eğrilik şartıyla da KdV denkleminin tamamen çözülebilir olduğu gösterilmiştir. Ayrıca AKNS denklemlerinin sıfır eğrilik şartı formülasyonu kullanılarak da elde edilebildiği gösterilmiştir. Daha sonra Poisson parantezlerinin sonlu ve sonsuz boyutlu lineer vektör uzaylarındaki özellikleri incelenerek Bi-Hamilton formalizmi verilmiştir. Bi-Hamilton yapıya sahip olan lineer olmayan denklemlerden biri olan KdV denkleminin Bi-Hamilton yapısı detaylı olarak incelenmiş ve elde edilen Hamilton operatörlerinin anti-simetri özelliği ve Jacobi özdeşliğini sağladığı gösterilmiştir. Sonrasında KdV denklemi için bulunan Bi-Hamilton fonksiyonları ve operatörleri yardımıyla KdV hiyerarşisindeki diğer denklemler elde edilmiştir. Son olarak Boussinesq denkleminin Bi-Hamilton yapısı incelenmiştir. In this study, showing the development in recent years, nonlinear compeletely solvable (1+1) partial differential equations were investigated. In general, methods that show integrability of these equations were discussed. The methods examined in this study are Lax's formalism, AKNS formulation, zero curvature condition and Bi-Hamilton structure. In Lax formalism, nonlinear partial differential equations, originating from compatibility condition of two linear equations, consisting of eigenvalue equation and time evolution equation, become completely solvable equations. At the same time, AKNS formulation and zero curvature condition base on Lax formalism. In this study, above mentioned methods were examined in details and exemplified. It was shown that KdV, Burgers and Boussinesq equations are comletely integrable by using Lax formulation, AKNS equations provide the integrability of KdV, mKdV, NLS and SG equations , and the integrability of KdV equation is also shown by using zero curvature condition. It was shown that AKNS equations can be derived by using zero curvature condition formulation, too. Afterwards, Bi-Hamilton formalism was given, examining features of Poisson parentheses in infinite dimensional and finite dimensional linear vector space. Bi-Hamilton structure of the nonlinear equations-KdV equation, is examined in detail and it is shown that Hamilton operators provide antisymmetry feature and satisfy Jacobi identity. Then, other equations in KdV hierarchy are obtained with the help of Bi-Hamilton functions and operators, found for KdV equation. Finally, Bi-Hamilton structure of Boussinesq equation is investigated. 75

In this paper the method of multiple scales is used to derive an integrable matrix non-linear Schrödinger equation (MNLS) as an amplitude equation from the Matrix Korteweg-de Vries equation (MKdV) associated with symmetric spaces. Then the integrability of the MNLS equation is deduced by the derivation of the spectral problem for the MNLS equation from the spectral problem for the MKdV equation.

In this paper, the (G'/G)-expansion method is applied to seek traveling wave solutions to the double sinh-Gordon and the generalized form of the double sinh-Gordon equations. With the aid of a symbolic computation system, two types of more general traveling wave solutions (including hyperbolic functions and trigonometric functions) with free parameters are constructed. Solutions concerning solitary and periodic waves are also given by setting the two arbitrary parameters, involved in the traveling waves, as special values.

Nonlinear semi-discrete equations of the form tx(n+1) = f(t(n), t(n+1), tx(n)) are studied. An adequate algebraic formulation of the Darboux integrability is discussed and an attempt to adopt this notion to the classification of Darboux integrable chains has been undertaken.

Lineer olmayan denklemler fizik, kimya, biyoloji gibi birçok alanda kullanılan denklemlerdir. Uygulamalı matematik, bu denklemlerin çözümleri ve yeni çözüm yolları geliştirmekle ilgilenir. Bu çalışmada da lineer olmayan diferensiyel denklemlerin tam çözüm yollarından üstel fonksiyon yöntemi ele alınıp bu yöntemin farklı diferansiyel denklemlere uygulamaları yapılmıştır. Daha sonra üstel fonksiyon yöntemi yardımıyla lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemlerin -soliton, -soliton, -soliton ve bunu daha da geliştirerek -soliton çözümleri bulunmuştur. Tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde kısmi türevli diferansiyel denklemlere ve fark denklemlerine ilişkin bazı tanım ve kavramlar verilmiştir.İkinci bölümde ise üstel fonksiyon yöntemi verilerek farklı KdV denklemlerine uygulamaları yapılmıştır. Daha sonra -soliton çözümler için üstel fonksiyon yöntemi tanımlanarak bu yöntem ile KdV denkleminin -soliton, -soliton, -soliton ve -soliton çözümleri bulunmuştur.Üçüncü bölümde ilk olarak lineer olmayan diferensiyel fark denklemleri için üstel fonksiyon yöntemi tanımlanarak lineer olmayan diferensiyel fark denklemlerinin 1-soliton çözümleri bulunmuştur. Daha sonra ise bu denklemlerin üstel fonksiyon yöntemiyle -soliton çözümleri elde edilmiştir.Son bölümde ise çalışmadan elde edilen sonuç ve öneriler verilmiştir. Nonlinear equations are equations that can be used many areas such as chemistry, physics and biology. Application mathematics is interested in with exact solution of this equations and improving new solution methods. In this study, solutions of exponential functions method that are nonlinear equations and application of this methods to other equations are done. In addition, 1-soluton, 2-soliton, 3-soliton and N soliton solutions of nonlinear partical differential equations is obtained using exponential functional method. This thesis is in four parts.First of all, some basic concepts and definitions of partial derivative equations and difference equation at the first part.Next, exponential functional method is given and applied to different KdV equations at the second part. Then, exponential functional method is defined to construct N-soliton solutions and 1-soliton, 2-soliton, 3-soliton and N-soliton solutions of KdV equations are obtained using this method.Third part consists of definitions of exponential functional method to construct nonlinear different differential equations and 1-soliton solutions of nonlineer differential different equations. Moreover, N-soliton solutions of these equations are obtained with exponential functional method.At the last part results obtained from the study and suggestions are given. 77

Bu tez çalışmasında, Korteweg-de Vries denklemi (KdV) incelenmiş ve denklem Lax ve AKNS metotları kullanılarak elde edilmiştir. İkinci bölümde, KdV denklemi ve denklemin özellikleri tanıtılmıştır. KdV denklemi lineer olmayan kısmi türevli bir diferansiyel denklemdir. Lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin çözümü için Fourier dönüşümünün nonlineer benzeri olan bir metot incelenmiştir. Ters saçılma dönüşümü, nonlineer denklemin çözümü ile özdeğerleri orijinal denklemin hareket sabitleri olan bir lineer özdeğer denklemini ilişkilendirmektedir. Orijinal denklemin çözümü özdeğer probleminin potansiyeli yerine geçmektedir. Bu sebeple, özdeğer probleminin saçılma verisine karşılık gelen çözüm ve zaman değişimleri hesaplanmıştır. Ardından ters saçılma dönüşümü ile orijinal denklemin çözümü elde edilmiştir. In this thesis, the Korteweg-de Vries equation (KdV) is considered, and it is derived by using the Lax and the AKNS methods. In the second chapter, the KdV equation and some of its properties are introduced. The KdV equation is a nonlinear partial differential equation. A method for integrating nonlinear partial diferential equations is discussed which can be viewed as a nonlinear analogue of the Fourier transform. It involves associating the solution of the nonlinear equation to a linear eigenvalue equation whose eigenvalues are constants of the motion for the original equation. The solution of the original equation plays the role of a potential in the eigenvalue problem. Thus the solution is mapped to scattering data of the eigenvalue equation and the time evolution of these data is trivially computed. Inverse scattering techniques are then applied to obtain the solution to the original equation. 49

DOĞRUSAL OLMAYAN DALGA DENKLEMLERİNİN CHEBYSHEV POLİNOMU ÎLE NÜMERİK ÇÖZÜMÜ Özge YANAZ Anahtar Kelimeler: Chebyshev Serisi, KDV Denklemi, Soliton, Solitary özet: Bu çalışmada, doğrusal olmayan ayırıcı dalgaların çalışılmasında önemli bir denklem olan Korteweg de Vries denklemi Chebyshev seri yöntemi kullanılarak nümerik olarak çözülmüştür. Elde edilen sonuçlar diğer makalelerle karşılaştırılmıştır. ıı THE NUMERICAL SOLUTION OF NON-LINEER WAVE EQUATIONS WITH CHEBYSHEV POLYNOMIALS Özge YANAZ Keywords: Chebyshev Series, KDV Equation, Soliton, Solitary Abstract: In this study, KdV equation, which is important in the study of non-linear dispersive waves, is numerically solved by using the Chebyshev series. The obtained results have been compared with the findings of other scientific essays given in the reference. in 74

Bu çalışmada lineer olmayan kismi türevli diferansiyel denklemlerin (1+1) boyutta çözülebilirliği incelenmektedir. Bu denklemlerin çözülebilirliğini göstermek için çeşitli yöntemler vardır. Bu yöntemler soliton çözüme sahip KdV (Korteweg-de Vries) denkleminde gösterilmiştir. Daha sonra fermiyonik değişkenler ithal edilerek elde edilen KdV denkleminin süper ve süpersimetrik genelleştirilmeleri incelenmiştir. Süper KdV denkleminin çözülebilir bir sistem olduğu bi-Hamilton yapısı verilerek gösterilebilir. Öte yandan süpersimetrik dönüşümler altında değişmez olan süpersimetrik KdV denklemlerinin bi-Hamilton yapı içermemektedir. Bununla beraber bir parametreye bağlı olan süpersimetrik KdV denklemleri ailesinin, bu parametrenin sadece bir değeri için Lax formülasyonu kullanılarak çözülebilen bir sistem olmaktadır. Son olarak süper KdV denkleminin çok bileşenli süper KdV denklemine genelleştirilmesi incelenmiş ve çok bileşenli süper KdV denMeminin bi- Hamilton sistem olduğu Jacobi özdeşliğinin bazı bağ şartlan altında sağlanması ile elde edilmiştir. Çok bileşenli süper Miura dönüşümü ve elde edilen bağ şartları kullanılarak çok bileşenli süper mKdV denklemleri elde edilmiştir. Elde edilen çok bileşenli denklemlerin (1+1) boyuttaki tek bileşenli limitleri bulunarak bilinen tek bileşenli süper denklemlere indirgendiği gösterilmiştir. Anahtar kelimeler: Çözülebilir sistemler, Bi-Hamilton yapı, Süper lineer olmayan kismi türevli diferansiyel denklemler, Çok bileşenli sistemler In this work the integrability of non-linear partial differential equations are studied in (1+1) dimension. There are various methods to show the integrability of the non-linear partial differential equations. These methods are introduced and described for the integrability of KdV (Korteweg- de Vries) equation, which admits soliton solutions. The super and super symmetric generalisation of KdV equation is investigated by introducing fermionic variables. The integrability of super KdV equations can be given via the bi-Hamiltonian structure. On the other hand the supersymmetric KdV equations, which is invariant under the supersymmetry transformations, do not possess a bi-Hamiltonian structure. However it was shown that one parameter family of the supersymmetric extensions of the KdV equation exists such that the equations admit a Lax representation for only one particular value of this parameter and therefore they are integrable. The generalisation of super KdV equations to multicomponent super KdV equations is studied and the integrability of multicomponent super KdV is shown by verification of Jacobi identity of Hamilton operators which leads to some constraints. Thus the bi-Hamiltonian structure is constructed for the multicomponent super KdV equations. The multicomponent extension of super mKdV equation is obtained by using the multicomponent super Miura transformations and the constraints found before. It is shown that in the one-component limit multicomponent super equations reduce to the known one-component super integrable equations. Key words: Integrable systems, Bi-Hamiltonian structure, Super non-linear partial differential equations, Multicomponent systems 74

Bu çalışmada Fermion-Fermion etkileşmeli saf spinor alanlarda üç uzay boyutlu Soliton çözümler gözden geçirilmiştir. İlk örnek olarak Wu-Young-Tipi Monopol çözümler ele alınmış ve bu tip çözümlerin saf Spinor alanlarda elde edilebilme koşulları tartışılmıştır. Gürsey Modelde bulunan Soler tipi Soliton çözümlerinin Gürsey Modelinin iç simetrili formunda doğrudan bulunamadığı gösterilmiştir. Söz konusu çözümler monopol çözümleri bulmak için önerilen ekstra terine benzer bir terimin modele eklenmesi ile elde edilebileceği görülmüştür. Bu çözümlerin elde edilişinin diğer bir ilginç yönü konformal modeldekine benzemeksizin kütle terimi içermesidir. Zira iç simetriye sahip olmayan Güsey Modelinin bir çözüm sınıfının instanton ve meron çözümleri mevcuttur. İnstanton ve meron çözümleri vakum çözümleri olduklarından her ne kadar simetriye kendiliğinden kırıyorlarsa da ancak kütleleri sıfır olan ara parçacıkları olarak tanımlanabilirler. Bizim burada elde ettiğimiz çözümler kütleli bir modelden elde edildiğinden, sonlu, enerjiye sahip olduğundan ve en önemlisi modelin iç simetriği içermesinden burada elde edilen çözümlere Fermionic Sektöre tekabül eden spinor parçacıklar diyebiliriz. Abstract

Tanh yöntemi bir boyutlu lineer olmayan dalga ve değişimsel denklemlerinin yönlendirilmiş dalga çözümlerinde kullanılan çok güçlü bir çözüm yöntemidir. Bu yöntem çözümlerin sonlu hiperbolik tanjant kuvvet serileri şeklinde yazılabilmesi temeline dayanır. Bu çalışmada, aynı yöntem lineer olmayan Klasik Boussinesq kısmi diferansiyel denklem sistemine uygulandı., Tanh method is a powerful solution method for the computation of one-dimensional travelling wave solutions of evolution and wave equations. This method is based on the fact that solutions may be written as a finite power series of a hyperbolic tangent. In this work, we apply Hyperbolic Tangent (Tanh) method to solve Classical Boussinesq systems of partial differential equations.