Search

We show that if $A$ is a subset of a group of prime order $p$ such that $|2A

We prove that product-free sets of the free group over a finite alphabet have maximum density $1/2$ with respect to the natural measure that assigns total weight one to each set of irreducible words of a given size. This confirms a conjecture of Leader, Letzter, Narayanan and Walters. In more general terms, we actually prove that strongly $k$-product-free sets have maximum density $1/k$ in terms of the said measure., Comment: 10 pages

L'objectiu d'aquest projecte és la creació de nivells per al joc de puzles Sokoban mitjançant Reinforcement Learning com a mètode de generació procedural de contingut. Per usar Reinforcement Learning, s'ha representat la generació de nivells com una tasca iterativa on, a cada iteració i mitjançant un sistema de recompenses, es modifica el tauler del joc per obtenir un nivell que tingui una solució. Al llarg del desenvolupament d'aquest treball s'han estudiat diverses estratègies i configuracions en els diferents mòduls del projecte per assolir un sistema capaç de generar nivells de manera estable. Per comprovar la dificultat dels nivells que es creen també s'ha desenvolupat un sistema de validació de la dificultat que relaciona informació extreta del nivell amb un conjunt de nivells etiquetats per dificultat. Els resultats del projecte mostren que el sistema és capaç de generar nivells de manera estable. The aim of this project is to create levels for the puzzle game Sokoban with Reinforcement learning as a Procedural Content Generation method. In order to use Reinforcement Learning, the level generation has been represented as an iterative task where in each step and with a reward system, the Sokoban board is modified to reach a solvable level. During the development of this project, different strategies and configurations have been studied to create Sokoban levels stably. To validate the difficulty of the levels created, a difficulty validation system has been developed, it relates information about the generated levels with a difficulty-labeled dataset of Sokoban levels. The results of the project show that the system is capable of generating solvable levels in a stable way. El objetivo de este proyecto es crear niveles para el juego de puzzles Sokoban mediante Reinforcement Learning como método de generación procedimental de contenido . Para utilizar Reinforcement Learning, la generación de niveles se ha representado como una tarea iterativa donde en cada iteración y con un sistema de recompensas, se modifica el tablero del juego para alcanzar un nivel solucionable. Durante el desarrollo de este proyecto se han estudiado diferentes estrategias y configuraciones en los distintos módulos para conseguir un sistema capaz de producir niveles consistentemente. Para validar la dificultad de los niveles creados, se ha desarrollado un sistema de validación de la dificultad que relaciona información sobre los niveles generados con un conjunto de datos etiquetados con la dificultad. Los resultados del proyecto muestran que el sistema es capaz de generar niveles solucionables de manera estable.

The theory of rapid mixing random walks plays a fundamental role in the study of modern randomised algorithms. Usually, the mixing time is measured with respect to the worst initial position. It is well known that the presence of bottlenecks in a graph hampers mixing and, in particular, starting inside a small bottleneck significantly slows down the diffusion of the walk in the first steps of the process. To circumvent this problem, the average mixing time is defined to be the mixing time starting at a uniformly random vertex. In this paper we provide a general framework to show logarithmic average mixing time for random walks on graphs with small bottlenecks. The framework is especially effective on certain families of random graphs with heterogeneous properties. We demonstrate its applicability on two random models for which the mixing time was known to be of order $\log^2n$, speeding up the mixing to order $\log n$. First, in the context of smoothed analysis on connected graphs, we show logarithmic average mixing time for randomly perturbed graphs of bounded degeneracy. A particular instance is the Newman-Watts small-world model. Second, we show logarithmic average mixing time for supercritically percolated expander graphs. When the host graph is complete, this application gives an alternative proof that the average mixing time of the giant component in the supercritical Erd\H{o}s-R\'enyi graph is logarithmic.

Vertex bisection is a graph partitioning problem in which the aim is to find a partition into two equal parts that minimizes the number of vertices in one partition set that have a neighbor in the other set. We are interested in giving upper bounds on the vertex bisection width of random $d$-regular graphs for constant values of $d$. Our approach is based on analyzing a greedy algorithm by using the Differential Equations Method. In this way, we obtain the first known upper bounds for the vertex bisection width in random regular graphs. The results are compared with experimental ones and with lower bounds obtained by Kolesnik and Wormald, (Lower Bounds for the Isoperimetric Numbers of Random Regular Graphs, SIAM J. on Disc. Math. 28(1), 553-575, 2014)., Comment: 31 pages, 2 figures

A partial order is universal if it contains every countable partial order as a suborder. In 2017, Fiala, Hubi\v{c}ka, Long and Ne\v{s}et\v{r}il showed that every interval in the homomorphism order of graphs is universal, with the only exception being the trivial gap $[K_1,K_2]$. We consider the homomorphism order restricted to the class of oriented paths and trees. We show that every interval between two oriented paths or oriented trees of height at least 4 is universal. The exceptional intervals coincide for oriented paths and trees and are contained in the class of oriented paths of height at most 3, which forms a chain., Comment: 6 pages, 1 figure. Extended abstract for Eurocomb 2021; corrected title

El projecte pretén facilitar les tasques d'inscripció a qualsevol activitat lúdica de l'entitat per part de l'usuari, així com també automatitzar la majoria de les tasques que fan els gestors de l'activitat. Aquestes millores s'han implementat mitjançant un portal web amb gestor de continguts, on després de dissenyar i crear una estructura bàsica, qualsevol persona amb pocs coneixements d'informàtica pugui dur a terme el manteniment i l'edició de la informació. El proyecto pretende facilitar las tareas de inscripción a cualquier actividad lúdica de la entidad por parte del usuario, así como también automatizar la mayoría de las tareas que hacen los gestores de la actividad. Estas mejoras se han implementado mediante un portal web con gestor de contenidos, donde después de diseñar y crear una estructura básica cualquier persona con pocos conocimientos de informática pueda llevar a cabo el mantenimiento y la edición de la información.

Let $A_1$ and $A_2$ be randomly chosen subsets of the first $n$ integers of cardinalities $s_2\geq s_1 = \Omega(s_2)$, such that their sumset $A_1+A_2$ has size $m$. We show that asymptotically almost surely $A_1$ and $A_2$ are almost fully contained in arithmetic progressions $P_1$ and $P_2$ with the same common difference and cardinalities approximately $s_i m/(s_1+s_2)$. We also prove a counting theorem for such pairs of sets in arbitrary abelian groups. The results hold for $s_i = \omega(\log^3 n)$ and $s_1+s_2 \leq m = o(s_2/\log^3 n)$. Our main tool is an asymmetric version of the method of hypergraph containers which was recently used by Campos to prove similar results in the special case $A=B$., Comment: a) Replaced Theorem 2.2 with a less general statement (proof of previously claimed result contained an error), no influence on the main results of this article. b) Incorporated numerous suggestions by anonymous referees to improve presentation, thank you!

List k-Coloring (Li k-Col) is the decision problem asking if a given graph admits a proper coloring compatible with a given list assignment to its vertices with colors in {1,2,..,k}. The problem is known to be NP-hard even for k=3 within the class of 3-regular planar bipartite graphs and for k=4 within the class of chordal bipartite graphs. In 2015, Huang, Johnson and Paulusma asked for the complexity of Li 3-Col in the class of chordal bipartite graphs. In this paper we give a partial answer to this question by showing that Li k-Col is polynomial in the class of convex bipartite graphs. We show first that biconvex bipartite graphs admit a multichain ordering, extending the classes of graphs where a polynomial algorithm of Enright, Stewart and Tardos (2014) can be applied to the problem. We provide a dynamic programming algorithm to solve the Li k-Col in the calss of convex bipartite graphs. Finally we show how our algorithm can be modified to solve the more general Li H-Col problem on convex bipartite graphs.

Premi UAB de la Fundació Autònoma Solidària (FAS) als millors Treballs de Fi de Grau sobre desenvolupament sostenible i justícia global. 4a Edició, curs 2019/2020 El nitrogen és un dels nutrients bàsics per a les plantes; i en conseqüència un element bàsic a l'agricultura. Per tant una falta de nitrogen suposa una disminució del creixement de la planta i del rendiment del cultiu. El contingut de nitrogen del sòl, d'on és extret per les plantes, està regulat per un cicle molt complex a on estan involucrats el sòl, l'atmosfera, microorganismes, plantes i altres organismes. Cada reacció i organisme és de vital importància per tenir el cicle en equilibri. En els conreus, el cicle és el mateix que en els ambients naturals, però amb una excepció: cada collita anual es retira tota la massa vegetal del camp, i amb ella grans quantitats de nitrogen. Per tant al llarg del temps el contingut de nitrogen, i altres nutrients del sòl s'ha anat reduint. Així doncs, des de sempre, l'agricultura s'ha vist obligada a suplementar amb adobs els camps agrícoles per treure el màxim profit de la collita. Ja des del neolític es van començar a aplicar fertilitzants orgànics (dejeccions ramaderes), tanmateix no va ser fins a meitats el segle XX que es van començar a aplicar de forma massiva els fertilitzants químics. A partir d'aquest moment la quantitat de fertilitzants ha anat augmentant any rere any fins que, actualment, els fertilitzants químics representen la major entrada de nitrogen al sòl. Avui en dia, distingim dos grans grups de fertilitzants que s'utilitzen; els orgànics i els químics. Els primers es basen en restes vegetals i dejeccions animals. En aquest grup trobem els purins; dejeccions líquides de la ramaderia, els quals són majoritaris en zones a on la ramaderia també hi te molt impacte. Per altra banda els químics són productes de síntesis industrial a on trobem els nutrients en altres concentracions i en forma pura.

El projecte pretén facilitar les tasques d'inscripció a qualsevol activitat lúdica de l’entitat per part de l'usuari, així com també automatitzar la majoria de les tasques que fan els gestors de l'activitat. Aquestes millores s'han implementat mitjançant un portal web amb gestor de continguts, on després de dissenyar i crear una estructura bàsica, qualsevol persona amb pocs coneixements d'informàtica pugui dur a terme el manteniment i l'edició de la informació. El proyecto pretende facilitar las tareas de inscripción a cualquier actividad lúdica de la entidad por parte del usuario, así como también automatizar la mayoría de las tareas que hacen los gestores de la actividad. Estas mejoras se han implementado mediante un portal web con gestor de contenidos, donde después de diseñar y crear una estructura básica cualquier persona con pocos conocimientos de informática pueda llevar a cabo el mantenimiento y la edición de la información.

L’Avaluació de Tecnologies Sanitàries (ATS) pretén informar els decisors sobre els potencials impactes de la introducció de nova tecnologia en l’entorn sanitari. Tanmateix, es reconeixen diferents mancances en el procés. L’objectiu d’aquesta tesi és demostrar que l’ATS pot ser utilitzada abans (ex-ante) i després (ex-post) de la introducció d’una tecnologia i proposar una metodologia multidimensional que redueixi la incertesa en l’avaluació de la innovació en salut. Es presenten 3 articles (amb metodologia qualitativa) que demostren les limitacions de l’avaluació abans (ex-ante) i després (ex-post) de la introducció d’una tecnologia i la dificultat en l’atribució de l’impacte a la introducció d’una nova tecnologia. S’analitzen alhora models multidimensionals per a l’avaluació d’intervencions complexes, i es proposa una nova metodologia per a reduir la incertesa a l’hora d’introduir innovació. En conclusió, l’ATS és un procés vàlid per a l’avaluació ex-ante i ex-post, que pot ser superat per un model multidimensional que utilitza la mateixa base metodològica de l’ATS., Health Technology Assessment (HTA) aims to inform decision makers about the potential impact of the introduction of new technology in the healthcare scenario. However, several deficiencies are recognized in the process. The objective of this thesis is to prove that HTA can be used before and after the introduction of technology and to propose a multidimensional methodology that reduces uncertainty in the assessment of innovation in healthcare. Three peer-reviewed publications show the limitations of ex-ante and ex-post evaluation and the limitations in attributing the impact to the introduction of a new technology. Several multidimensional evaluation models are analised, and a new methodology to reduce the uncertainty in introducing innovation is proposed. In conclusion, despite its limitations, the HTA process is valid for the ex-ante and ex-post evaluation, but can also be improved by a multidimensional model that uses the same methodological bases of HTA., La Evaluación de Tecnologías Sanitarias (ETS) pretende informar a los decisores sobre los potenciales impactos de la introducción de nueva tecnología en el panorama sanitario. Sin embargo, se reconocen diferentes carencias en el proceso. El objetivo de esta tesis es demostrar que la ETS puede ser utilizada antes y después de la introducción de una tecnología y proponer una metodología multidimensional que reduzca la incertidumbre en la evaluación de la innovación en salud. Se presentan 3 artículos que demuestran las limitaciones de la evaluación ex-ante y ex-post y las limitaciones en la atribución del impacto a la introducción de una nueva tecnología. Se analizan algunos modelos multidimensionales para la evaluación de intervenciones complejas, y se propone una nueva metodología para reducir la incertidumbre a la hora de introducir innovación. Se concluye que a pesar de sus limitaciones, la ETS es un proceso válido para la evaluación ex-ante y ex-post, pero que a la vez puede ser superado por un modelo multidimensional que utiliza la misma base metodológica que la ETS.

La diversidad de una escuela de Lérida impulsa un programa preventivo para que los alumnos puedan desarrollar las habilidades y competencias básicas para acceder al currículo. El proyecto se pone en marcha en el curso 2001-2002, con la finalidad de que el alumnado tenga éxito y aprenda a pensar y a convivir para potenciar la cohesión social. El proyecto pasa por hacer de la lengua vehicular el instrumento básico para desarrollar contextos de enseñanza-aprendizaje. Las habilidades básicas se trabajan desde diferentes estrategias organizativas y didácticas. En este sentido destaca el trabajo por proyectos, destinado a que el alumnado aprenda los diferentes contenidos curriculares, además de otras competencias sociales y cognitivas de una forma transversal. Cataluña Madrid (Comunidad Autónoma). Servicio de Formación del Profesorado. CRIF Las Acacias; Calle General Ricardos, 179; 28025 Madrid; Tel. +34915250893; Fax +34914660991; SRPPIDE@madrid.org ESP

Let S, T be subsets of Z/pZ with min{|S|, |T|} > 1. The Cauchy–Davenport theorem states that |S + T| ≥ min{p, |S| + |T| − 1}. A theorem by Vosper characterizes the critical pair in the above inequality. We prove the following generalization of Vosper’s theorem. If |S + T| ≤ min{p − 2, |S| + |T| + m}, 2 ≤ |S|, |T|, and |S| ≤ p − binomial(m+4,2), then S is a union of at most m + 2 arithmetic progressions with the same difference. The term binomial(m+4,2) is best possible, i.e. cannot be replaced by a smaller number.

The concept «robustness» is defined as a measure of the strength against unforeseen loadings. This idea is applied to the optimal separation of the main beams in a horizontal flooring or roofing framework. The great usefulness of the proposed coefficient is evident since it is possible to obtain directly the cost of a structural framework, without need design it in detail. Finally, the «robustness» coefficient is applied to the cost of prestressed concrete bridges. Se propone y discute el concepto de ROBUSTEZ, como medida de la resistencia a esfuerzos imprevistos. Se hace una aplicación al distanciamiento más económico entre las vigas principales de un entramado horizontal para cubiertas o forjados. Se ve la gran utilidad del concepto propuesto, al obtener directamente el precio de un entramado resistente, sin necesidad de proyectarlo. Se aplica, por último, la robustez al costo de puentes de hormigón pre tensado.

L'estàndard TETRA (Terrestrial Trunked Radio) és un estàndard de comunicacions de veu i dades elaborat per la ETSI (European Telecomunication Standards Institute) amb aplicació sobre xarxes de radiocomunicacions digitals. La Xarxa RESCAT (Radiocomunicacions per les Emergències i Seguretat de Catalunya) és una xarxa de radiocomunicacions de tecnologia TETRA, que és destinada a cobrir les necessitats de comunicacions dels serveis d'emergències i seguretat de la Generalitat de Catalunya i d'altres administracions locals. La Xarxa RESCAT és propietat de la Generalitat de Catalunya [ENGLISH] The purpose of this project is to study the impact on short SDS (Short Data Service) messages network capacity. These messages, which are used to send AVL (Automatic Vehicle Location) vehicle tracking, are sent through a logical control channel (CCH). SDS messages encapsulate the radio terminals GPS position from safety and emergency vehicles to be sent at a determinate time or distance. To carry out this study, a Java-based simulator with a single cell environment, where multiple configurations of users and user groups can be settled, has been created. The conclusions of this project, added to the ones that will be obtained by RESCAT Office engineers, will be useful to acquire the optimal parameters to improve the functionality of the network in each situation faced by the RESCAT staff. [CASTELLÀ] El propósito de este proyecto es estudiar el impacto sobre la capacidad de la red de los mensajes cortos SDS (Short Data Service) enviados por medio del canal lógico de control (CCH), que se utilizan para enviar la localización de vehículos AVL (Automatic Vehicle Location). Estos mensajes encapsulan las posiciones GPS de los terminales radio de los vehículos de seguridad y emergencias, y se envían en un tiempo prefijado o en una distancia prefijada. Para llevar a cabo este estudio, se ha creado un simulador basado en JAVA de un entorno unicelular donde se pueden conformar múltiples configuraciones de usuarios y grupos de usuarios. Las conclusiones extraídas en este proyecto, más las que obtendrán posteriormente los ingenieros de la Oficina RESCAT, servirán para obtener los parámetros óptimos para mejorar la funcionalidad de la red en cada situación que se pueda encontrar el personal que gestiona. [CATALÀ] El propòsit d'aquest projecte és estudiar l'impacte sobre la capacitat de la xarxa dels missatges curts SDS (Short Data Service) enviats per mitjà del canal lògic de control CCH, que s'utilitzen per enviar la localització de vehicles AVL (Automatic Vehicle Location). Aquests missatges encapsulen les posicions GPS dels terminals ràdio dels vehicles de seguretat i emergències, i s'envien en un temps prefixat o en una distància prefixada. Per dur a terme aquest estudi, s'ha creat un simulador basat en JAVA d'un entorn unicel·lular on es poden conformar múltiples configuracions d'usuaris i grups d'usuaris. Les conclusions extretes en aquest projecte, més les que obtindran posteriorment els enginyers de l'Oficina RESCAT, serviran per obtenir els paràmetres òptims per millorar la funcionalitat de la xarxa en cada situació que es pugui trobar el personal que la gestiona.

Arithmetic Combinatorics, Combinatorial Number Theory, Structural Additive Theory and Additive Number Theory are just some of the terms used to describe the vast field that sits at the intersection of Number Theory and Combinatorics and which will be the focus of this thesis. Its contents are divided into two main parts, each containing several thematically related results. The first part deals with the question under what circumstances solutions to arbitrary linear systems of equations usually occur in combinatorial structures..The properties we will be interested in studying in this part relate to the solutions to linear systems of equations. A first question one might ask concerns the point at which sets of a given size will typically contain a solution. We will establish a threshold and also study the distribution of the number of solutions at that threshold, showing that it converges to a Poisson distribution in certain cases. Next, Van der Waerden’s Theorem, stating that every finite coloring of the integers contains monochromatic arithmetic progression of arbitrary length, is by some considered to be the first result in Ramsey Theory. Rado generalized van der Waerden’s result by characterizing those linear systems whose solutions satisfy a similar property and Szemerédi strengthened it to a statement concerning density rather than colorings. We will turn our attention towards versions of Rado’s and Szemerédi’s Theorem in random sets, extending previous work of Friedgut, Rödl, Rucin´ski and Schacht in the case of the former and of Conlon, Gowers and Schacht for the latter to include a larger variety of systems and solutions. Lastly, Chvátal and Erdo¿s suggested studying Maker-Breaker games. These games have deep connections to the theory of random structures and we will build on work of Bednarska and Luczak to establish the threshold for how much a large variety of games need to be biased in favor of the second player. These include games in which the first player wants to occupy a solution to some given linear system, generalizing the van der Waerden games introduced by Beck. The second part deals with the extremal behavior of sets with interesting additive properties. In particular, we will be interested in bounds or structural descriptions for sets exhibiting some restrictions with regards to either their representation function or their sumset. First, we will consider Sidon sets, that is sets of integers with pairwise unique differences. We will study a generalization of Sidon sets proposed very recently by Kohayakawa, Lee, Moreira and Rödl, where the pairwise differences are not just distinct, but in fact far apart by a certain measure. We will obtain strong lower bounds for such infinite sets using an approach of Cilleruelo. As a consequence of these bounds, we will also obtain the best current lower bound for Sidon sets in randomly generated infinite sets of integers of high density. Next, one of the central results at the intersection of Combinatorics and Number Theory is the Freiman–Ruzsa Theorem stating that any finite set of integers of given doubling can be efficiently covered by a generalized arithmetic progression. In the case of particularly small doubling, more precise structural descriptions exist. We will first study results going beyond Freiman’s well-known 3k–4 Theorem in the integers. We will then see an application of these results to sets of small doubling in finite cyclic groups. Lastly, we will turn our attention towards sets with near-constant representation functions. Erdo¿s and Fuchs established that representation functions of arbitrary sets of integers cannot be too close to being constant. We will first extend the result of Erdo¿s and Fuchs to ordered representation functions. We will then address a related question of Sárközy and Sós regarding weighted representation function. La combinatòria aritmètica, la teoria combinatòria dels nombres, la teoria additiva estructural i la teoria additiva de nombres són alguns dels termes que es fan servir per descriure una branca extensa i activa que es troba en la intersecció de la teoria de nombres i de la combinatòria, i que serà el motiu d'aquesta tesi doctoral. La primera part tracta la qüestió de sota quines circumstàncies es solen produir solucions a sistemes lineals d’equacions arbitràries en estructures additives. Una primera pregunta que s'estudia es refereix al punt en que conjunts d’una mida determinada contindran normalment una solució. Establirem un llindar i estudiarem també la distribució del nombre de solucions en aquest llindar, tot demostrant que en certs casos aquesta distribució convergeix a una distribució de Poisson. El següent tema de la tesis es relaciona amb el teorema de Van der Waerden, que afirma que cada coloració finita dels nombres enters conté una progressió aritmètica monocromàtica de longitud arbitrària. Aquest es considera el primer resultat en la teoria de Ramsey. Rado va generalitzar el resultat de van der Waerden tot caracteritzant en aquells sistemes lineals les solucions de les quals satisfan una propietat similar i Szemerédi la va reforçar amb una versió de densitat del resultat. Centrarem la nostra atenció cap a versions del teorema de Rado i Szemerédi en conjunts aleatoris, ampliant els treballs anteriors de Friedgut, Rödl, Rucinski i Schacht i de Conlon, Gowers i Schacht. Per últim, Chvátal i Erdos van suggerir estudiar estudiar jocs posicionals del tipus Maker-Breaker. Aquests jocs tenen una connexió profunda amb la teoria de les estructures aleatòries i ens basarem en el treball de Bednarska i Luczak per establir el llindar de la quantitat que necessitem per analitzar una gran varietat de jocs en favor del segon jugador. S'inclouen jocs en què el primer jugador vol ocupar una solució d'un sistema lineal d'equacions donat, generalitzant els jocs de van der Waerden introduïts per Beck. La segona part de la tesis tracta sobre el comportament extrem dels conjunts amb propietats additives interessants. Primer, considerarem els conjunts de Sidon, és a dir, conjunts d’enters amb diferències úniques quan es consideren parelles d'elements. Estudiarem una generalització dels conjunts de Sidons proposats recentment per Kohayakawa, Lee, Moreira i Rödl, en que les diferències entre parelles no són només diferents, sinó que, en realitat, estan allunyades una certa proporció en relació a l'element més gran. Obtindrem límits més baixos per a conjunts infinits que els obtinguts pels anteriors autors tot usant una construcció de conjunts de Sidon infinits deguda a Cilleruelo. Com a conseqüència d'aquests límits, obtindrem també el millor límit inferior actual per als conjunts de Sidon en conjunts infinits generats aleatòriament de nombres enters d'alta densitat. A continuació, un dels resultats centrals a la intersecció de la combinatòria i la teoria dels nombres és el teorema de Freiman-Ruzsa, que afirma que el conjunt suma d'un conjunt finit d’enters donats pot ser cobert de manera eficient per una progressió aritmètica generalitzada. En el cas de que el conjunt suma sigui de mida petita, existeixen descripcions estructurals més precises. Primer estudiarem els resultats que van més enllà del conegut teorema de Freiman 3k-4 en els enters. Llavors veurem una aplicació d’aquests resultats a conjunts de dobles petits en grups cíclics finits. Finalment, dirigirem l’atenció cap a conjunts amb funcions de representació gairebé constants. Erdos i Fuchs van establir que les funcions de representació de conjunts arbitraris d’enters no poden estar massa a prop de ser constants. Primer estendrem el resultat d’Erdos i Fuchs a funcions de representació ordenades. A continuació, abordarem una pregunta relacionada de Sárközy i Sós sobre funció de representació ponderada.

330 páginas.-- 2000 Mathematical Subject Classification 11P70, 11B50, 11R27., This book collects the material delivered in the 2008 edition of the DocCourse in Combinatorics and Geometry which was devoted to the topic of additive combinatorics. The first two parts, which form the bulk of the volume, contain the two main advanced courses, Additive Group Theory and Non-Unique Factorizations by Alfred Geroldinger, and Sumsets and Structure by Imre Z. Ruzsa. The first part centers on the interaction between non-unique factorization theory and additive group theory. The main objective of factorization theory is a systematic treatment of phenomena related to the non-uniqueness of factorizations in monoids and domains. This part introduces basic concepts of factorization theory such as sets of lengths, and outlines the translation of arithmetical questions in Krull monoids into combinatorial questions on zero-sum sequences over the class group. Using methods from additive group theory such as the theorems of Kneser and of Kemperman-Scherk, classical zero-sum constants are studied, including the Davenport constant and the Erdös-Ginzburg-Ziv constant. Finally these results are applied again to the starting arithmetical problems. The second part is a course on the basics of combinatorial number theory (or additive combinatorics): cardinality inequalities (Plünnecke’s graph theoretical method), Freiman’s theorem on the structure of sets with a small sumset, inequalities for the Schnirelmann and asymptotic density of sumsets, analogous results for the measure of sumsets of reals, the connection with the Bohr topology. The third part of the volume collects some of the seminars which accompanied the main courses. It contains contributions by C. Elsholtz, G. Freiman, Y. O. Hamidoune, N. Hegyvari, G. Karolyi, M. Nathanson, J. Solymosi and Y. Stanchescu.