Search

Nella tesi mostriamo che lo spazio delle orbite di B_2 può essere dotato di due struttre di varietà Frobenius associate rispettivamente alle equazione di Shrodinger non lineare defocusing e focusing. Motiviati da questo esempio, generalizziamo questa costruzione per ogni B_n, con n>2. Tale costruzione è basata su l'esistenza di un fascio piatto e omogeneo di cometriche definito sullo spazio delle orbite di B_n. La dimostrazione dell'esistenza di un fascio piatto e omogeneo si basa sulla procedura di Dubrovin-Saito modificata in modo opportuno. Partendo da questo fascio, si ricostruisce un'unica struttura di varietà di Frobenius M sullo spazio delle orbite di B_n, per ogni n>2, seguendo una procedura alternativa rispetto a quella standarda proposta da Dubrovin; questa complicazione tecnica è dovuta alla non regolarità del fascio di cometriche. Sorprendentemente, M è isomorfo a una struttura di varietà di Hurwitz-Frobenius. Questa è associata alla gerarchia constrained KP. Tale identificazione rende possibile calcolare esplicitamente le costanti di struttura del prodotto duale di M., In the thesis, we show that the orbit space of B_2 can be equipped with two Frobenius manifolds structures related to the defocusing and focusing NLS (nonlinear Shrodinger) equation respectively. Motivated by this example, we generalize this construction for any B_n, with n>2. Such a construction is based on the existence of a homogeneous flat pencil of cometrics defined on the orbit space of B_n. The proof of the existence of a homogeneous flat pencil relies on the Dubrovin-Saito procedure suitably modified. Starting from this pencil, one can reconstruct a unique Frobenius manifold structure M on the orbit space of B_n, for any n > 2, by following an alternative procedure with respect to the standard one presented by Dubrovin; this technical obstacle is due to the non-regularity of the pencil of cometrics. Remarkably, M is isomorphic to a Hurwitz-Frobenius manifold structure. This is related to the constrained KP hierarchy. Such an identification makes it possible to explicitly compute the structure constants corresponding to the dual product of M.

Originatesi nel contesto delle teorie di campo bidimensionali, le varietà di Frobenius sono punto di incontro tra diverse aree della matematica, includendo la teoria dei sistemi integrabili, la geometria algebrica, la teoria delle singolarità e molte altre. Mentre la maggior parte della teoria è stata sviluppata sotto una certa ipotesi di semi semplicità, la nostra attenzione si focalizza sul più ampio scenario governato dall’ipotesi meno restringente di una certa nozione di regolarità. Studiamo varietà di Frobenius regolari non semisemplici e altre strutture geometriche che le generalizzano progressivamente: F-varietà, F-varietà di tipo flat e F-varietà di tipo bi-flat. In particolare, il risultato principale di questa tesi è la costruzione di una classe di F-varietà regolari non segni semplici di tipo bi-flat legate a sistemi integrabili, alla geometria di Nijenhuis e alla teoria delle funzioni di Lauricella., Originated in the context of two-dimensional topological field theories, Frobenius manifolds lie at the intersection of several areas of mathematics, embracing integrable systems, algebraic geometry, singularity theory and many more. While most of the theory has been developed under some semisimplicity assumption, we pay our attention to the broader case governed by a milder assumption of regularity. We study regular non-semisimple Frobenius manifolds and other geometric structures progressively generalizing them: F-manifolds, flat F-manifolds and bi-flat F-manifolds. In particular, the main result of this thesis is the construction of a class of regular non-semisimple bi-flat F-manifolds related to integrable systems of hydrodynamic type, Nijenhuis geometry and the theory of Lauricella functions.

This thesis presents some recently published results regarding two classical models of fluid dynamics: the 1D shallow water equations (SWE) and the 3D incompressible semigeostrophic equations., This thesis presents some recently published results regarding two classical models of fluid dynamics: the 1D shallow water equations (SWE) and the 3D incompressible semigeostrophic equations.