Search

Bu çalışmada, ilk olarak Sobol tarafından tasarlanan ve artık günümüzde oldukça yaygın olarak kullanılan Yüksek Boyutlu Model Gösterilim (YBMG) yönteminin etkinliğinin arttırılabilmesi için ağırlık eniyilemesi yapılmaktadır. YBMG yöntemi, N bağımsız değişkene bağlı çok değişkenli bir işlevi; bir değişmez işlev, N sayıda tek değişkene bağlı işlevler, N(N-1)/2 sayıda iki değişkene bağlı işlevler ve bu şekilde giderek artan sayıda değişkene bağlı olan işlevlerin toplamı şeklinde anlatabilmek için kullanılan bir açılım yöntemidir.Bu açılım toplam 2^N sayıda işlev içermektedir ve bu işlevlerin hepsinin birden açılımda yer alması durumunda çok değişkenli işlev tam olarak anlatılır. Ancak hem açılımda yer alan işlevlerin belirlenmesi sırasında integral işlemlerinin bulunması hem de N sayısı çok yukarılara tırmandığında çok fazla sayıda işlevin hesaplanma gerekliliği, açılımdan baştan belli sayıda işlev alıkonularak verilen işlevi anlatabilme zorunluluğunu getirmektedir. YBMG açılımını kullanırken eğilim, hesaplama karmaşıklığını yükseltmemek adına, açılımın en fazla iki değişkene bağlı olan işlevlerinin içerildiği halinin kullanılmasıdır. Bu durumda verilen çok değişkenli işlev yaklaşık olarak temsil edilir. Yaklaştırımın başarısının arttırılması için açılımın bilimsel yazında varolan yapısında bir eniyileme yapılması gündeme getirilebilir. Bunu başarabilmenin yollarından bir tanesi, bu tez çalışmasının da konusu olan, YBMG yönteminin kendi yapısında bulunan ve yöntemin bir parçası olan ağırlık işlevinin daha etkinleştirilmesi için ağırlık eniyilemesinin yapılmasıdır.Tez çalışması içerisinde YBMG yönteminde ağırlık eniyilenmesi iki ana bölüme ayrılarak anlatılmıştır. İlk ana bölümde, analitik yapısı bilinen bir çok değişkenli işlevi temsil edebilmek uzere, yapısı daha az karmaşık olan yaklaşık bir işlev elde edilmesi sırasında ağırlık eniyileme denklemlerinin elde edilerek çözülmesi anlatılırken, ikinci ana bölümde ise, analitik yapısı bilinmeyen işlevlerin çok değişkenli bir veri kümesi üzerinde kümenin her bir düğüm noktasındaki değerleri verildiğinde ilgili işleve uygun bir analitik yapının ortaya çıkarılması sırasında ağırlık eniyilemesinin nasıl yapılabileceği anlatılmaktadır.Analitik yapısı bilinen bir çok değişkenli işlevin YBMG yöntemine açılması sırasında ağırlık eniyilemesi için elde edilen denklemler iki farklı yol kullanılarak çözülmeye çalışılmıştır. Bunlardan ilki saptırım açılımları yöntemi diğeri ise tez danışmanı tarafından geliştirilmiş olan sendelenim açılımları yöntemidir. Analitik yapısı bilinmeyen ancak hiperprizmatik düzgün bir ızgaranın tüm düğüm noktalarında değerleri verilmiş olan işlev için YBMG yöntemi kullanılarak bir analitik yapı belirlenmesi ağırlık eniyilemesi altında gündeme getirilmiş ve bu eniyilemenin oluşabilmesi için sendelenimsiz integrasyon yönteminden yararlanılmıştır. SUMMARYIn this work, a weight function optimization is developed to increase the efficiency of the High Dimensional Model Representation (HDMR) method, a widely used method, which was first proposed by Sobol. HDMR is constructed as an expansion for a given multivariate function having $N$ independent variables such that its components are ordered starting from a constant component and continuing in ascending multivariance, that is, $N$ number of univariate, and $N(N-1)/2$ number of bivariate components and so on. The total number of HDMR expansion's components is $2^N$ and all of these components must be used in the expansion to have the ability of exactly representing the given multivariate function. However, the requirement of evaluating both the integrals appearing in the relations obtained for the HDMR components and huge number of HDMR components depending on the rapid increase of $N$ brings us to take only first few HDMR components into account to represent the given multivariate function. The tendency in the HDMR expansion utilization is to go to at most the bivariate components not to increase the computational complexity. Using a few components of the HDMR expansion corresponds to the approximate representation of the given multivariate function. An optimization in the structure of the method can be brought up to increase the efficiency of this approximation. One way to achieve this is the optimization of the HDMR's weight function.This is the main subject of this work. The optimization of the weight function in the HDMR method is explained in two main sections of this thesis. In the first part, the weight function is tried to be optimized in such a problem that the analytical structure of the multivariate function is known and the task is to represent that function in terms of less-variate more simple functions. In the second part, an algorithm to optimize the weight function of the HDMR method is given under the assumption that the analytical structure of the function to be represented through the HDMR method is not known, instead, the values of the function at the nodes of the given multivariate data set are known to determine an analytical structure. The equations obtained for the optimization of the weight function in the representation of a multivariate function through the HDMR method whose analytical structure is known are tried to be solved by using two different ways. One of these methods is perturbation expansion method and the other is fluctuation expansion method which was first proposed by the supervisor of this thesis.Fluctuationlessness integration method is used to optimize the HDMR's weight function in problems such that the values of the multivariate function at the nodes of a hyperprismatics regular grid are given instead of the analytical structure of the function and is asked to determine an analytical structure for the sought function. 154

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Bilişim Ensititüsü, 2003, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Informatics, 2003, Bu çalışmada bir boyutlu kuvantum uyumlu salınıcının eniyilemeli denetimi sorunu ile ilgilenilmiştir. Dizgenin doğrusal ikikutup işlevli (dipole function) bir lazer alanı altında olduğu varsayılmış, erek ve yaptırım terimlerinde içerilen işleçlerin (operatör) konum ve momentum işleçlerine göre en çok ikinci dereceden oldukları öngörülmüştür. Çalışmada öncelikle eniyilemeli denetim denklemleri elde edilmiş, daha sonra elde edilen bu denklemler iki ayrı yöntem kullanılarak çözülmüştür. Kullanılan yöntemlerden ilki saptırım açılımıdır. Eniyilemeli denetim denklemleri bu yöntem ile çözülürken güçsüz alan varsayımı yapılmış ve saptırım açılımında yalnızca sıfırıncı ve birinci basamaktan terimler alıkonulmuştur. Yani, güçsüz alan varsayımı altında ileri doğru evrimi betimleyen $\psi$ dalga işlevi ile geriye doğru evrimi betimleyen $\lambda$ eşdüzey işlevinin birinci basamaktan yaklaştırımları yapılmış ve bu yaklaştırımlar kullanılarak amaçlanan çözüme ulaşılmıştır. Saptırım açılımında sıralama değiştirgeni (parametresi) olarak, yaklaştırım elde edildiğinde değeri 1 olarak alınacak olan, denklemlere dış alan genlik işlevini ölçekleyecek biçimde yerleştirilen yapay bir değişkenden yararlanılmış yani Neumann türü bir saptırım açılımı gerçekleştirilmiştir. Kullanılan ikinci yöntem işleçler cebri ile indirgeme tabanlıdır. Bu yöntem dizgenin kendisinde varolan evrim işleçlerinin (evolution operators) matrisler türünden yazılarak analitik olarak kolayca yapılamayan işlemlerin dolaylı ama daha kolay olarak gerçekleştirilmesine dayanır. Evrim işleçlerinin matris gösterilimlerinin elde edilebilmesi için önce evrim işleçleri çarpanlara ayrılarak çok boyutlu uzayda dönmeye karşı gelen birimsel işleçler elde edilir ve bu birimsel işleçler üzerinden üstel matrislere ulaşılır. Bu yöntemde güçsüz alan varsayımı kullanılmamış ve dış alan genliğine ait saptırım açılımları yöntemi ile elde edilen doğrusal terimlerin yanısıra üçüncü dereceden terimlerin de içerildiği doğrusal olmayan kesin bir denkleme ulaşılmıştır. Böylece, her iki yöntemle de elde edilen denetim denklemleri bilinmeyen olarak yalnızca dış alan genliğini içeren tümlevli denklemler yapısında ortaya çıkmıştır. Bu denklemler, saptırım açılımı durumunda, kolayca sayılabilecek biçimde, iki koşulu dizge ile dış alan etkileşiminin başında, diğer iki koşulu ise aynı etkileşimin son anında verilen, dördüncü dereceden türevli denkleme dönüştürülebilmektedir. Değişmez katsayılı bu denklem zorlanmadan çözülebilmektedir. Doğrusal olmayan kesin denklem durumunda denklemin sıradan türevli biçime getirilmesi yine de mümkün olabilmekte ancak elde edilen denklem doğrusal olmadığından kesin çözüm bir çırpıda elde edilememektedir. Bunun yerine çok yakında geliştirilen bir yöntemden, etkileşim süresine göre açılım yönteminden yararlanılmaktadır. Tezde bu açılımın yalnızca ilk baskın terimi verilmiş ve çözüm sırasında çok önemli özgün bulgular elde edilerek kuvantum uyumlu salınıcının eniyilemeli denetimine doğrusal olmayan durumlar için önemli bir katkı yapılmış olunmaktadır., In this work, we deal with optimal control of one dimensional quantum harmonic oscillator. It is assumed that the system is under an external field characterized by a linear dipole function. It is also assumed that the operators appearing in the objective and the penalty terms are at most second degree with respect to the state and the momentum operators. Firstly, optimal control equations are obtained. Then, these equations are solved by using two different methods. One of these methods is the perturbation expansion method. When the optimal control equations are solved by using this method it is assumed that there is a weak field and under this assumption only the zeroth and the first order terms are kept in the perturbation expansion. In other words, the weak field assumption enables us to develop a first order perturbation approach to get approximate solutions to the wave function, $\psi$ and the costate function, $\lambda$ and by using these approximations the aimed solutions are obtained. An artificial parameter, which is placed into the equations to satisfy the scaling of the external field, is used as an order parameter in the perturbation expansion. This parameter will be set equal to $1$ when the approximation is obtained. Therefore, a Neumann type perturbation expansion is taken into consideration. The other method is based on the reduction using operator algebra. This method allows us to rewrite the evolution operators, appearing in the system, in terms of several matrices in order to be able to obtain the solutions of the problems which can not be easily solved analytically. To be able to obtain the matrix forms of the evolution operators, first the multiplicative terms of these operators are obtained for constructing the unitary operators corresponding to the rotation in the high dimensional space and by using these unitary operators the exponential matrices are obtained. Weak field assumption is not used in this method, and furthermore, in addition to linear terms obtained from perturbation expansion cubic terms are also determined. Hence, the control equations determined through these two methods appeared in the structure of integral equations including only the external field as an unknown. When the perturbation expansion method is used these equations can be easily transformed to the fourth order differential equation whose two conditions are given at the beginning instant of the interaction between the system and the external field, and the other two conditions are given at the final instant of the same interaction. This equation with constant coefficients can be easily solved. When the nonlinear exact equation is used, the transformation of the equation to the ordinary differential equation is also available but the solution cannot be evaluated easily because of the nonlinear structure of the obtained equation. Instead of this method, a recently developed method which is an expansion with respect to the interaction time can be used. In this thesis, only the first dominant term of the expansion is given and some very important peculiar findings are obtained during the solution. Using these findings important contributions are made for the optimal control of the harmonic oscillator in the nonlinear cases., Yüksek Lisans, M.Sc.

Çalışmada incelenen problem, sayısal görüntü işleme konusu içerisinde yer almaktadır. Görüntülerin elde edilmesi, aktarılması veya bir başka sebepten dolayı üzerlerinde oluşan gürültüler problemin tanımını, çözüm yolunu ise Çokdeğişkenliliği Yükseltilmiş Çarpımlar Üçköşegencil Dizey Gösterilimi (ÇYÇÜDG) yöntemi oluşturmaktadır.Çalışmanın ilk bölümünde, yaklaştırım yöntemlerinin daha iyi anlaşılabilmesi için Tekil Değer Ayrışımı (TDA), Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi (YBMG) ve Çokdeğişkenliliği Yükseltilmiş Çarpımsal Gösterilim (ÇYÇG) yöntemlerinin tanımları yapılmıştır. Bu yöntemlerden YBMG ve ÇYÇG yöntemleri aynı zamanda ÇYÇÜDG'nin de temelini oluşturmaktadır. Bir sonraki bölümde, sayısal görüntülerin kapsamındaki dizey (matris) yapılarından bahsedilmiş, görüntü türlerine değinilmiş ve hata ölçümlerinin tanımı yapılmıştır. Ayrıca, görüntülerin daha az sayıda bileşenler ile ifade edilebildiği görüntü sıkıştırmaya giriş yapılmış hem ÇYÇÜDG hem de TDA yöntemi ile uygulamalar gerçekleştirilmiştir. Çalışmanın son bölümünde ise görüntü onarımı işlenmiştir. Görüntülerdeki gürültü sebepleri ortaya konulmuş, bir kısmının tanımı yapılmış ve gerçek hayattakine benzer şekilde gürültüler görüntüler üzerine eklenmiştir. Çalışmanın ana hedefini oluşturan görüntülerdeki gürültülerin giderilmesi maksadıyla ÇYÇÜDG ve TDA kullanılmıştır. TDA'nın kullanım amacı, ÇYÇÜDG'nin güçlü ve zayıf yanlarının karşılaştırmalı olarak vurgulanmasıdır. Uygulamalar sonucunda bu bölümde elde edilen görüntülerdeki gürültüler istenilen anlamda giderilememiş ve kullanılan iki yönteme ek olarak bazı özel süzgeçlemelerden de faydalanılmıştır. ÇYÇÜDG'nin verimlilik ve geliştirilebilirlik anlamında, bundan sonraki çalışmalara yol açabilecek şekilde başlagıç koşullarının etkisi gösterilmiştir. In this study, an examined problem is situated in digital image processing area. The above definition of the problem consists when the noise occuring in obtaining the images, transferring or any other reason and the solution is constituted in Tridiagonal Matrix Enhanced Multivariance Products Representation (TMEMPR) method.In the first part of the study, to a better understanding of approaching methods, Singular Value Decomposition (SVD), High Dimensional Model Representation (HDMR) and Enhanced Multivariance Product Representation (EMPR) methods' definitions are given.In the next part, the scope of digital images matrix structure are mentioned, touched on the image type and the definition of measurement error is made. Additionally, image compression is introduced, applications are performed with both TMEMPR and SVD methods.In the last part of the study, image restoration subject is examined. Noise causes in images are presented, a few of the noise types are defined and the noises are added on images similar to a real life conditions. To eliminate noises in images for the purpose of forming the main objective of the study, TMEMPR and SVD methods are used. TDA method's purpose is to highlight the strengths and weaknesses in comparison to the TMEMPR. Noise in images obtained in this part could not be corrected in terms after applications, and also some special filtering methods are used in addition to this two methods, TMEMPR and SVD. In terms of efficiency and expandability, the effects of the TMEMPR method's initial conditions are studied that can lead to further researches. 83