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28 results on '"Fluid limit"'

1. Macroscopic modelling and analysis of flows during rush-hour congestion

Author

Balakrishna Prabhu, Dieter Fiems, Universiteit Gent = Ghent University [Belgium] (UGENT), Équipe Services et Architectures pour Réseaux Avancés (LAAS-SARA), Laboratoire d'analyse et d'architecture des systèmes (LAAS), Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National Polytechnique (Toulouse) (Toulouse INP), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées, Universiteit Gent = Ghent University (UGENT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National Polytechnique (Toulouse) (Toulouse INP), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse Capitole (UT Capitole), and Université de Toulouse (UT)

Subjects
Mathematical optimization, Computer Networks and Communications, Computer science, 0211 other engineering and technologies, Markov process, 02 engineering and technology, Analysis of flows, queueing theory, symbols.namesake, 0202 electrical engineering, electronic engineering, information engineering, Computer Science::Networking and Internet Architecture, Fundamental diagram of traffic flow, congestion pricing, Private transport, Fluid limit, Queueing theory, 021103 operations research, 020206 networking & telecommunications, [INFO.INFO-RO]Computer Science [cs]/Operations Research [cs.RO], [INFO.INFO-MO]Computer Science [cs]/Modeling and Simulation, travel time estimation, [INFO.INFO-PF]Computer Science [cs]/Performance [cs.PF], wardrop equilibrium, Hardware and Architecture, Macroscopic scale, Modeling and Simulation, Rush hour, symbols, Software
Abstract

International audience; We consider a Markovian queueing model for computing the traffic density and travel times in a city at a macroscopic scale during rush hour. Accounting for the speed/density relation of the macroscopic fundamental diagram of traffic flow, we assume that the service rates of the queueing model at hand are state-dependent. We focus on the fluid limit and obtain a set of differential equations that describe the evolution of the traffic density at the level of neighbourhoods. We also calculate the time-dependent travel times for specific flows in the city and consider the rational time-dependent choice between public and private transport, assuming that there is a congestion-free public alternative to private transportation. Numerical examples reveal that a small reduction in peak traffic can significantly reduce the average travel times.

Published
2021
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2. Macroscopic modelling and analysis of rush-hour congestion

Author

Balakrishna J. Prabhu, Dieter Fiems, SMACS Research Group, Universiteit Gent = Ghent University [Belgium] (UGENT), Équipe Services et Architectures pour Réseaux Avancés (LAAS-SARA), Laboratoire d'analyse et d'architecture des systèmes (LAAS), Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National Polytechnique (Toulouse) (Toulouse INP), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées, Universiteit Gent = Ghent University (UGENT), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National Polytechnique (Toulouse) (Toulouse INP), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse Capitole (UT Capitole), and Université de Toulouse (UT)

Subjects
Private transport, 050210 logistics & transportation, 0303 health sciences, Fluid limit, Queueing theory, Differential equation, Computer science, 05 social sciences, 030311 toxicology, Markov process, 03 medical and health sciences, symbols.namesake, [INFO.INFO-NI]Computer Science [cs]/Networking and Internet Architecture [cs.NI], Macroscopic scale, Rush hour, 0502 economics and business, symbols, Computer Science::Networking and Internet Architecture, Applied mathematics, Fundamental diagram of traffic flow
Abstract

International audience; We consider a Markovian queueing model for computing the traffic density and travel times in a city at a macroscopic scale during rush hour. Accounting for the speed/density relation of the macroscopic fundamental diagram of traffic flow, we assume that the service rates of the queueing model at hand are state-dependent. We focus on the fluid limit and obtain a set of differential equations that describe the evolution of the traffic density at the level of neighbourhoods. We also calculate the time dependent travel times and consider the rational time-dependent choice between public and private transport, assuming that there is a congestion-free public alternative to private transportation. Numerical examples reveal that a small reduction in peak traffic can significantly reduce the average travel times.

Published
2020
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3. Approximations fluides pour des modèles stochastiques en télécommunications

Author

Aspirot, Laura, Dependability Interoperability and perfOrmance aNalYsiS Of networkS (DIONYSOS), Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-RÉSEAUX, TÉLÉCOMMUNICATION ET SERVICES (IRISA-D2), Institut de Recherche en Informatique et Systèmes Aléatoires (IRISA), Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-IMT Atlantique (IMT Atlantique), Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut de Recherche en Informatique et Systèmes Aléatoires (IRISA), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-IMT Atlantique (IMT Atlantique), Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT), Academia CCEE (Academia CCEE), Universidad de la República [Montevideo] (UDELAR), Universidad de la República - Montevideo, Gerardo Rubino, Ernesto Mordecki, Rubino, Gerardo, Mordecki Pupko, Ernesto, Aspirot María Laura, Université de Bretagne Sud (UBS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-CentraleSupélec-IMT Atlantique Bretagne-Pays de la Loire (IMT Atlantique), Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Université de Bretagne Sud (UBS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Rennes 1 (UR1), Universidad de la República Uruguay, Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-IMT Atlantique Bretagne-Pays de la Loire (IMT Atlantique), Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Université de Rennes 1 (UR1), and Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-IMT Atlantique Bretagne-Pays de la Loire (IMT Atlantique)

Subjects
LIMITES - MATEMATICAS, Markov processes, Sûreté de fonctionnement, MODELOS MATEMATICOS, MARKOV, TEORIA DE, LIMITES FLUIDOS, [INFO.INFO-MO]Computer Science [cs]/Modeling and Simulation, dependability, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], [INFO.INFO-PF]Computer Science [cs]/Performance [cs.PF], [INFO.INFO-NI]Computer Science [cs]/Networking and Internet Architecture [cs.NI], processus de Markov, TEORIA DE PROBABILIDADES, fluid limit, performance, limites fluides
Abstract

When modeling systems for their performance evaluation, one privileged tool is some form of Markov process, because of the rich set of results and associated algorithms. The drawback is that sometimes, the process has a huge number of states, or an infinite state space. In these situations, since analytical results are rare, almost always the solution to analyze the models is simulation. In this thesis we explore another possibility, called fluid limits, where a sequence of models is built with some parameter N associated with the individual model's size, in such a way that the performances of the Nth model gets close to that of the original system when N goes to infinity. We consider three families of systems/models and we explore this approach, obtaining results focused on understanding the meaning of this convergence phenomenon, and on the properties of the limiting models.; Lorsqu'on modélise un système pour évaluer ses performances, l'un des outils principaux est le processus de Markov, pour la richesse des résultats et des algorithmes associés. L'inconvénient est que parfois, le modèle résultant a une énorme quantité d'états, voire un espace d'état infini. Dans ces situations, dans la mesure où les résultats analytiques sont rares, presque toujours la seule solution disponible pour l'analysis des modèles est la simulation. Dans cette thèse nous explorons une autre possibilité, appelée limites fluides, où une séquence de modèles est construite, avec un paramètre N relié à la taille de chaque modèle de la séquence, de telle sorte que les performances du Nème modèle sont proches de celles du système d'origine, quand N tends vers l'infini. Nous considérons 3 familles de systèmes/modèles et nous explorons cette approche, en obtenant des résultats focalisés sur la compréhension de ce phénomène de convergence et sur les propriétés des modèles limites.

Published
2019

4. Fluid Approximations for Stochastic Telecommunication Models

Author

Aspirot, Laura, Dependability Interoperability and perfOrmance aNalYsiS Of networkS (DIONYSOS), Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-RÉSEAUX, TÉLÉCOMMUNICATION ET SERVICES (IRISA-D2), Institut de Recherche en Informatique et Systèmes Aléatoires (IRISA), Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-IMT Atlantique Bretagne-Pays de la Loire (IMT Atlantique), Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Université de Rennes 1 (UR1), Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut de Recherche en Informatique et Systèmes Aléatoires (IRISA), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-IMT Atlantique Bretagne-Pays de la Loire (IMT Atlantique), Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT), Universidad de la República - Montevideo, Gerardo Rubino, Ernesto Mordecki, Université de Bretagne Sud (UBS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-CentraleSupélec-IMT Atlantique Bretagne-Pays de la Loire (IMT Atlantique), Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Université de Bretagne Sud (UBS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Rennes 1 (UR1), Academia CCEE (Academia CCEE), Universidad de la República Uruguay, Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-IMT Atlantique (IMT Atlantique), Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-IMT Atlantique (IMT Atlantique), and Universidad de la República [Montevideo] (UDELAR)

Subjects
[MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], [INFO.INFO-PF]Computer Science [cs]/Performance [cs.PF], [INFO.INFO-NI]Computer Science [cs]/Networking and Internet Architecture [cs.NI], processus de Markov, sûreté de fonctionnement, Markov processes, fluid limit, [INFO.INFO-MO]Computer Science [cs]/Modeling and Simulation, performance, limites fluides, dependability
Abstract

When modeling systems for their performance evaluation, one privileged tool is some form of Markov process, because of the rich set of results and associated algorithms. The drawback is that sometimes, the process has a huge number of states, or an infinite state space. In these situations, since analytical results are rare, almost always the solution to analyze the models is simulation. In this thesis we explore another possibility, called fluid limits, where a sequence of models is built with some parameter N associated with the individual model's size, in such a way that the performances of the Nth model gets close to that of the original system when N goes to infinity. We consider three families of systems/models and we explore this approach, obtaining results focused on understanding the meaning of this convergence phenomenon, and on the properties of the limiting models.; Lorsqu'on modélise un système pour évaluer ses performances, l'un des outils principaux est le processus de Markov, pour la richesse des résultats et des algorithmes associés. L'inconvénient est que parfois, le modèle résultant a une énorme quantité d'états, voire un espace d'état infini. Dans ces situations, dans la mesure où les résultats analytiques sont rares, presque toujours la seule solution disponible pour l'analysis des modèles est la simulation. Dans cette thèse nous explorons une autre possibilité, appelée limites fluides, où une séquence de modèles est construite, avec un paramètre N relié à la taille de chaque modèle de la séquence, de telle sorte que les performances du Nème modèle sont proches de celles du système d'origine, quand N tends vers l'infini. Nous considérons 3 familles de systèmes/modèles et nous explorons cette approche, en obtenant des résultats focalisés sur la compréhension de ce phénomène de convergence et sur les propriétés des modèles limites.

Published
2019

5. The role of mode switching in a population of actin polymers with constraints

Author

Anne Van Gorp, Amandine Véber, François Robin, Institut de Biologie Paris Seine (IBPS), Sorbonne Université (SU)-Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale (INSERM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique (CMAP), École polytechnique (X)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Véber, Amandine, Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale (INSERM)-Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Dynamique de l'actomyosine corticale lors du développement et de la morphogenèse = Cortical actomyosin dynamics in development and morphogenesis (LBD-E17), Laboratoire de Biologie du Développement [IBPS] (LBD), Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut de Biologie Paris Seine (IBPS), Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale (INSERM)-Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale (INSERM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut de Biologie Paris Seine (IBPS), and Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale (INSERM)-Sorbonne Université (SU)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale (INSERM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
[MATH.MATH-PR] Mathematics [math]/Probability [math.PR], Stochastic modelling, Polymers, measure-valued Markov processes, Population, convergence theorems, Space (mathematics), [SDV.BBM.BM] Life Sciences [q-bio]/Biochemistry, Molecular Biology/Molecular biology, 01 natural sciences, Models, Biological, 010305 fluids & plasmas, 03 medical and health sciences, 0103 physical sciences, Limit (mathematics), Statistical physics, education, 030304 developmental biology, Physics, chemistry.chemical_classification, 0303 health sciences, education.field_of_study, Fluid limit, Stochastic Processes, Quantitative Biology::Biomolecules, Applied Mathematics, homogenisation theorem, [SDV.BBM.BM]Life Sciences [q-bio]/Biochemistry, Molecular Biology/Molecular biology, Polymer, Agricultural and Biological Sciences (miscellaneous), Actins, Condensed Matter::Soft Condensed Matter, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], Random measure, chemistry, Modeling and Simulation, Mathematics Subject Classification (2010) 60G57·60J25·60J75·60F05, Constant (mathematics), Protein Binding, modelling of actin polymers
Abstract

International audience; In this paper, we introduce a stochastic model for the dynamics of actin polymers and their interactions with other proteins in the cellular envelop. Each polymer elongates and shortens, and can switch between several modes depending on whether it is bound to accessory proteins that modulate its behaviour as, for example, elongation-promoting factors. Our main aim is to understand the dynamics of a large population of polymers, assuming that the only limiting quantity is the total amount of monomers, set to be constant to some large N. We first focus on the evolution of a very long polymer, of size O(N), with a rapid switch between modes (compared to the timescale over which the macroscopic fluctuations in the polymer size appear). Letting N tend to infnity, we obtain a fluid limit in which the effect of the switching appears only through the fraction of time spent in each mode at equilibrium. We show in particular that, in our situation where the number of monomers is limiting, a rapid binding-unbinding dynamics may lead to an increased elongation rate compared to the case where the polymer is trapped in any of the modes. Next, we consider a large population of polymers and complexes, represented by a random measure on some appropriate type space. We show that as N tends to infinity, the stochastic system converges to a deterministic limit in which the switching appears as a flow between two categories of polymers. We exhibit some numerical examples in which the limiting behaviour of a single polymer differs from that of a population of competing (shorter) polymers for equivalent model parameters. Taken together, our results demonstrate that under conditions where the total number of monomers is limiting, the study of a single polymer is not sufficient to understand the behaviour of an ensemble of competing polymers.

Published
2019
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6. Opinion propagation in bounded medium-sized populations

Author

Koen De Turck, Dieter Fiems, Sabine Wittevrongel, Eline De Cuypere, Universiteit Gent = Ghent University [Belgium] (UGENT), Laboratoire des signaux et systèmes (L2S), and Université Paris-Sud - Paris 11 (UP11)-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Mathematical optimization, Computer Networks and Communications, Differential equation, Population, Markov chain, Markov process, Fixed point, 01 natural sciences, [INFO.INFO-SI]Computer Science [cs]/Social and Information Networks [cs.SI], 010305 fluids & plasmas, 010104 statistics & probability, symbols.namesake, Fluid model, [INFO.INFO-NI]Computer Science [cs]/Networking and Internet Architecture [cs.NI], Maclaurin-series expansion, Epidemic model, 0103 physical sciences, Applied mathematics, Quantitative Biology::Populations and Evolution, 0101 mathematics, education, Mathematics, Fluid limit, education.field_of_study, [INFO.INFO-GT]Computer Science [cs]/Computer Science and Game Theory [cs.GT], Performance analysis, [INFO.INFO-MO]Computer Science [cs]/Modeling and Simulation, Opinion propagation, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], Hardware and Architecture, Modeling and Simulation, Bounded function, symbols, Software
Abstract

International audience; We study the dynamics of opinion propagation in a medium-sized population with low population turnover. Opinion spreading is modelled by a Markovian non-standard Susceptible-Infected-Recovered (SIR) epidemic model with stochastic arrivals, departures, infections and recoveries. The system performance is evaluated by two complementary approaches: a numerical but approximate solution approach which relies on Maclaurin-series expansions of the stationary solution of the Markov process and a fluid limit approach. Both methods are evaluated numerically. Moreover, convergence to the fluid limit is proved, and explicit expressions for the fixed points of the differential equations are obtained for the case of linearly increasing infection and arrival rates.

Published
2016
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7. Diffusion limit for the radiative transfer equation perturbed by a Markovian process

Author

Julien Vovelle, Arnaud Debussche, S. De Moor, Invariant Preserving SOlvers (IPSO), Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-INSTITUT AGRO Agrocampus Ouest, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro), Modélisation mathématique, calcul scientifique (MMCS), Institut Camille Jordan (ICJ), École Centrale de Lyon (ECL), Université de Lyon-Université de Lyon-Université Claude Bernard Lyon 1 (UCBL), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées de Lyon (INSA Lyon), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Jean Monnet - Saint-Étienne (UJM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École Centrale de Lyon (ECL), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Jean Monnet - Saint-Étienne (UJM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), ANR-11-LABX-0020,LEBESGUE,Centre de Mathématiques Henri Lebesgue : fondements, interactions, applications et Formation(2011), Invariant Preserving SOlvers ( IPSO ), Institut de Recherche Mathématique de Rennes ( IRMAR ), Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -AGROCAMPUS OUEST-École normale supérieure - Rennes ( ENS Rennes ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université de Rennes 2 ( UR2 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Institut Camille Jordan [Villeurbanne] ( ICJ ), École Centrale de Lyon ( ECL ), Université de Lyon-Université de Lyon-Université Claude Bernard Lyon 1 ( UCBL ), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées de Lyon ( INSA Lyon ), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université Jean Monnet [Saint-Étienne] ( UJM ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), AGROCAMPUS OUEST, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes 2 (UR2), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-AGROCAMPUS OUEST, Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA), Institut Camille Jordan [Villeurbanne] (ICJ), Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Jean Monnet [Saint-Étienne] (UJM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École Centrale de Lyon (ECL), and Université de Lyon-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Jean Monnet [Saint-Étienne] (UJM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
perturbed test functions, stochastic partial differential equations, General Mathematics, Markov process, diffusion limit, 01 natural sciences, symbols.namesake, Mathematics - Analysis of PDEs, [ MATH.MATH-AP ] Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Convergence (routing), Radiative transfer, FOS: Mathematics, non-linear, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Limit (mathematics), 0101 mathematics, Scaling, Mathematics, Fluid limit, Rosseland approximation, 010102 general mathematics, Mathematical analysis, Probability (math.PR), Kinetic equation, 010101 applied mathematics, Stochastic partial differential equation, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], Nonlinear system, radiative transfer, symbols, [ MATH.MATH-PR ] Mathematics [math]/Probability [math.PR], Mathematics - Probability, Analysis of PDEs (math.AP)
Abstract

We study the stochastic diffusive limit of a kinetic radiative transfer equation, which is non-linear, involving a small parameter and perturbed by a smooth random term. Under an appropriate scaling for the small parameter, using a generalization of the perturbed test-functions method, we show the convergence in law to a stochastic non-linear fluid limit., Comment: 24 pages. arXiv admin note: text overlap with arXiv:1311.4743

Published
2016
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8. Mean-Field Game Approach to Admission Control of an M/M/∞ Queue with Shared Service Cost

Author

Arnob Ghosh, Piotr Wiecek, Eitan Altman, Institute of Mathematics and Computer Science [Wroclaw] (IMCS), Wroclaw University of Science and Technology, Models for the performance analysis and the control of networks (MAESTRO), Inria Sophia Antipolis - Méditerranée (CRISAM), Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), University of Pennsylvania, The work of the first author was supported by the NCN Grant No. DEC- 2011/03/B/ST1/00325. The work of the second author was partly supported by the CONGAS European Project FP7-ICT-2011-8-317672, and European Project: 317672,ICT,FP7-ICT-2011-8,CONGAS(2012)

Subjects
Statistics and Probability, Economics and Econometrics, Mathematical optimization, Computer Science::Computer Science and Game Theory, Computer science, 0211 other engineering and technologies, [SCCO.COMP]Cognitive science/Computer science, 02 engineering and technology, Type (model theory), [INFO.INFO-NI]Computer Science [cs]/Networking and Internet Architecture [cs.NI], 0202 electrical engineering, electronic engineering, information engineering, Price of anarchy, Queue, Fluid limit, Queueing theory, 021103 operations research, Applied Mathematics, Stochastic game, 020206 networking & telecommunications, Workload, Admission control, Computer Graphics and Computer-Aided Design, Computer Science Applications, Computational Mathematics, Computational Theory and Mathematics, Mathematical economics
Abstract

International audience; We study a mean field approximation of the M/M/$\infty$ queueing system. The problem we deal is quite different from standard games of congestion as we consider the case in which higher congestion results in smaller costs per user. This is motivated by a situation in which some TV show is broadcast so that the same cost is needed no matter how many users follow the show. Using a mean-field approximation, we show that this results in multiple equilibria of threshold type which we explicitly compute. We further derive the social optimal policy and compute the price of anarchy. We then study the game with partial information and show that by appropriate limitation of the queue-state information obtained by the players we can obtain the same performance as when all the information is available to the players. We show that the mean-field approximation becomes tight as the workload increases, thus the results obtained for the mean-field model well approximate the discrete one.

Published
2015
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9. Limites diffusives pour des équations cinétiques stochastiques

Author

de Moor, Sylvain, Institut de Recherche Mathématique de Rennes ( IRMAR ), Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -AGROCAMPUS OUEST-École normale supérieure - Rennes ( ENS Rennes ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université de Rennes 2 ( UR2 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Ecole normale supérieure de Rennes - ENS Rennes, Arnaud Debussche et Julien Vovelle, Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), AGROCAMPUS OUEST, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes 2 (UR2), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA), Normand, Sébastien, Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-INSTITUT AGRO Agrocampus Ouest, and Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)

Subjects
invariant measures, développement de Hilbert, Stochastic partial differential equations, Hilbert expansion, approximation diffusion, lemme de moyenne stochastique, diffusive limit, [ MATH.MATH-NA ] Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], [MATH.MATH-NA] Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], stochastic averaging lemma, limite fluide, équation de Fokker-Planck, limite de diffusion, hydrodynamic limit, limite hydrodynamique, perturbed test functions method, regularity of quasi linear stochastic partial differential equations of parabolic type, Fokker-Planck equation, méthode des fonctions test perturbées, mesures invariantes, fluid limit, régularité d'équations aux dérivées partielles quasi linéaires de type parabolique, Équation aux dérivées partielles stochastiques, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA]
Abstract

This thesis presents several results about stochastic partial differential equations. The main subject is the study of diffusive limits of kinetic models perturbed with a random term. We also present a result about the regularity of a class of stochastic partial differential equations and a result of existence and uniqueness of invariant measures for a stochastic Fokker-Planck equation. First, we give three results of approximation-diffusion in a stochastic context. The first one deals with the case of a kinetic equation with a linear operator of relaxation whose velocity equilibrium has a power tail distribution at infinity. The equation is perturbed with a Markovian process. This gives rise to a stochastic fluid fractional limit. The two remaining results consider the case of the radiative transfer equation which is a non-linear kinetic equation. The equation is perturbed successively with a cylindrical Wiener process and with a Markovian process. In both cases, we are led to a stochastic Rosseland fluid limit. Then, we introduce a result of regularity for a class of quasilinear stochastic partial differential equations of parabolic type whose random term is driven by a cylindrical Wiener process. Finally, we study a Fokker-Planck equation with a noisy force governed by a cylindrical Wiener process. We prove existence and uniqueness of solutions to the problem and then existence and uniqueness of invariant measures to the equation., Cette thèse présente quelques résultats dans le domaine des équations aux dérivées partielles stochastiques. Une majeure partie d'entre eux concerne l'étude de limites diffusives de modèles cinétiques perturbés par un terme aléatoire. On présente également un résultat de régularité pour une classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques ainsi qu'un résultat d'existence et d'unicité de mesures invariantes pour une équation de Fokker-Planck stochastique. Dans un premier temps, on présente trois travaux d'approximation-diffusion dans le contexte stochastique. Le premier s'intéresse au cas d'une équation cinétique avec opérateur de relaxation linéaire dont l'équilibre des vitesses a un comportement de type puissance à l'infini. L'équation est perturbée par un processus Markovien. Cela donne lieu à une limite fluide stochastique fractionnaire. Les deux autres résultats concernent l'étude de l'équation de transfert radiatif qui est un problème cinétique non linéaire. L'équation est bruitée dans un premier temps avec un processus de Wiener cylindrique et dans un second temps par un processus Markovien. Dans les deux cas, on obtient à la limite une équation de Rosseland stochastique. Dans la suite, on présente un résultat de régularité pour les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires de type parabolique dont la partie aléatoire est gouvernée par un processus de Wiener cylindrique. Enfin, on étudie une équation de Fokker-Planck qui présente un terme de forçage aléatoire régi par un processus de Wiener cylindrique. On prouve d'une part l'existence et l'unicité des solutions de ce problème et d'autre part l'existence et l'unicité de mesures invariantes pour la dynamique de cette équation.

Published
2014

10. Fractional diffusion limit for a stochastic kinetic equation

Author

Sylvain De Moor, Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), AGROCAMPUS OUEST, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes 2 (UR2), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA), Institut de Recherche Mathématique de Rennes ( IRMAR ), Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -AGROCAMPUS OUEST-École normale supérieure - Rennes ( ENS Rennes ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université de Rennes 2 ( UR2 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-INSTITUT AGRO Agrocampus Ouest, and Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)

Subjects
Statistics and Probability, perturbed test functions, 01 natural sciences, stochastic partial differential equations, 010104 statistics & probability, Mathematics - Analysis of PDEs, [ MATH.MATH-AP ] Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Convergence (routing), FOS: Mathematics, [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP], Limit (mathematics), 0101 mathematics, Scaling, Mathematics, Fluid limit, Applied Mathematics, Probability (math.PR), 010102 general mathematics, Mathematical analysis, fractional diffusion, diffusion limit, Term (time), Moment (mathematics), Stochastic partial differential equation, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], Kinetic equations, Modeling and Simulation, [ MATH.MATH-PR ] Mathematics [math]/Probability [math.PR], Mathematics - Probability, Analysis of PDEs (math.AP)
Abstract

We study the stochastic fractional diffusive limit of a kinetic equation involving a small parameter and perturbed by a smooth random term. Generalizing the method of perturbed test functions, under an appropriate scaling for the small parameter, and with the moment method used in the deterministic case, we show the convergence in law to a stochastic fluid limit involving a fractional Laplacian., 38 pages

Published
2014
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11. Towards an ultra efficient kinetic scheme. Part II: The high order case

Author

Raphaël Loubère, Giacomo Dimarco, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219 (IMT), Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse 1 Capitole (UT1), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), Université Fédérale Toulouse Midi-Pyrénées-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Toulouse Capitole (UT Capitole), Université de Toulouse (UT)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées - Toulouse (INSA Toulouse), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Toulouse (UT)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université Toulouse - Jean Jaurès (UT2J), Université de Toulouse (UT)-Université Toulouse III - Paul Sabatier (UT3), and Université de Toulouse (UT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Physics and Astronomy (miscellaneous), Semi-Lagrangian schemes, Kinetic scheme, FOS: Physical sciences, 010103 numerical & computational mathematics, 65MXX, 76P05, 01 natural sciences, NO, symbols.namesake, FOS: Mathematics, Applied mathematics, Boltzmann–BGK equation, Mathematics - Numerical Analysis, 0101 mathematics, Euler solver, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics, Kinetic equations, Discrete velocity models, Semi-Lagrangian schemes, Boltzmann–BGK equation, Euler solver, High order scheme, Numerical Analysis, Fluid limit, Finite volume method, Applied Mathematics, Numerical analysis, High order scheme, Mathematical analysis, Discrete velocity models, Numerical Analysis (math.NA), Computational Physics (physics.comp-ph), Backward Euler method, Computer Science Applications, Euler equations, 010101 applied mathematics, Computational Mathematics, Distribution function, Modeling and Simulation, Kinetic equations, symbols, Direct simulation Monte Carlo, Physics - Computational Physics, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA]
Abstract

In a recent paper we presented a new ultra efficient numerical method for solving kinetic equations of the Boltzmann type (G. Dimarco, R. Loubere, Towards an ultra efficient kinetic scheme. Part I: basics on the 689 BGK equation, J. Comp. Phys., (2013), http://dx.doi.org/10.1016/j.jcp.2012.10.058). The key idea, on which the method relies, is to solve the collision part on a grid and then to solve exactly the transport part by following the characteristics backward in time. On the contrary to classical semi-Lagrangian methods one does not need to reconstruct the distribution function at each time step. This allows to tremendously reduce the computational cost and to perform efficient numerical simulations of kinetic equations up to the six dimensional case without parallelization. However, the main drawback of the method developed was the loss of spatial accuracy close to the fluid limit. In the present work, we modify the scheme in such a way that it is able to preserve the high order spatial accuracy for extremely rarefied and fluid regimes. In particular, in the fluid limit, the method automatically degenerates into a high order method for the compressible Euler equations. Numerical examples are presented which validate the method, show the higher accuracy with respect to the previous approach and measure its efficiency with respect to well known schemes (Direct Simulation Monte Carlo, Finite Volume, MUSCL, WENO).

Published
2013
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12. Fluid Limit for the Machine Repairman Model with Phase-Type Distributions

Author

Gerardo Rubino, Ernesto Mordecki, Laura Aspirot, Dependability Interoperability and perfOrmance aNalYsiS Of networkS (DIONYSOS), Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-RÉSEAUX, TÉLÉCOMMUNICATION ET SERVICES (IRISA-D2), Institut de Recherche en Informatique et Systèmes Aléatoires (IRISA), Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Télécom Bretagne-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Télécom Bretagne-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut de Recherche en Informatique et Systèmes Aléatoires (IRISA), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Télécom Bretagne-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Centro de Matemática [Montevideo] (CMAT), Universidad de la República [Montevideo] (UDELAR), Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Télécom Bretagne-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Rennes 1 (UR1), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Télécom Bretagne-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut de Recherche en Informatique et Systèmes Aléatoires (IRISA), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Bretagne Sud (UBS)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Télécom Bretagne-CentraleSupélec-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), and Universidad de la República [Montevideo] (UCUR)

Subjects
Discrete mathematics, Fluid limit, Dynamical systems theory, Stochastic process, 020206 networking & telecommunications, 02 engineering and technology, Fixed point, 01 natural sciences, [INFO.INFO-MO]Computer Science [cs]/Modeling and Simulation, 010104 statistics & probability, Attractor, 0202 electrical engineering, electronic engineering, information engineering, Piecewise, Applied mathematics, 0101 mathematics, Martingale (probability theory), ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics, Deterministic system
Abstract

We consider the Machine Repairman Model with N working units that break randomly and independently according to a phase-type distribution. Broken units go to one repairman where the repair time also follows a phase-type distribution. We are interested in the behavior of the number of working units when N is large. For this purpose, we explore the fluid limit of this stochastic process appropriately scaled by dividing it by N. This problem presents two main difficulties: two different time scales and discontinuous transition rates. Different time scales appear because, since there is only one repairman, the phase at the repairman changes at a rate of order N, whereas the total scaled number of working units changes at a rate of order 1. Then, the repairman changes N times faster than, for example, the total number of working units in the system, so in the fluid limit the behavior at the repairman is averaged. In addition transition rates are discontinuous because of idle periods at the repairman, and hinders the limit description by an ODE. We prove that the multidimensional Markovian process describing the system evolution converges to a deterministic process with piecewise smooth trajectories. We analyze the deterministic system by studying its fixed points, and we find three different behaviors depending only on the expected values of the phase-type distributions involved. We also find that in each case the stationary behavior of the scaled system converges to the unique fixed point that is a global attractor. Proofs rely on martingale theorems, properties of phase-type distributions and on characteristics of piecewise smooth dynamical systems. We also illustrate these results with numerical simulations.

Published
2013
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13. Can P2P Networks be Super-Scalable?

Author

François Baccelli, Ilkka Norros, Rémi Varloot, Fabien Mathieu, University of Texas at Austin [Austin], Dynamics of Geometric Networks (DYOGENE), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Paris-Rocquencourt, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Département d'informatique de l'École normale supérieure (DI-ENS), École normale supérieure - Paris (ENS Paris), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL), Laboratory of Information, Network and Communication Sciences (LINCS), Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC), Networks, Graphs and Algorithms (GANG), Laboratoire d'informatique Algorithmique : Fondements et Applications (LIAFA), Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Paris-Rocquencourt, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), VTT Technical Research Centre of Finland (VTT), Département d'informatique - ENS Paris (DI-ENS), École normale supérieure - Paris (ENS-PSL), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École normale supérieure - Paris (ENS-PSL), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Paris-Rocquencourt, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), and Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Inria Paris-Rocquencourt

Subjects
FOS: Computer and information sciences, Computer science, Distributed computing, media_common.quotation_subject, 02 engineering and technology, 01 natural sciences, Computer Science::Digital Libraries, Computer Science - Networking and Internet Architecture, 010104 statistics & probability, [INFO.INFO-NI]Computer Science [cs]/Networking and Internet Architecture [cs.NI], system fluid limit, 0202 electrical engineering, electronic engineering, information engineering, Stochastic geometry, 0101 mathematics, Function (engineering), scalability, media_common, Network model, Networking and Internet Architecture (cs.NI), Fluid limit, P2P, business.industry, 020206 networking & telecommunications, Scalability, Performance Analysis, business, peer-to-peer networking, Computer network
Abstract

We propose a new model for peer-to-peer networking which takes the network bottlenecks into account beyond the access. This model can cope with key features of P2P networking like degree or locality constraints together with the fact that distant peers often have a smaller rate than nearby peers. Using a network model based on rate functions, we give a closed form expression of peers download performance in the system's fluid limit, as well as approximations for the other cases. Our results show the existence of realistic settings for which the average download time is a decreasing function of the load, a phenomenon that we call super-scalability., Comment: arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:1108.4129

Published
2013
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14. Markov chains with discontinuous drifts have differential inclusions limits. Application to stochastic stability and mean field approximation

Author

Gast, Nicolas, Gaujal, Bruno, Middleware efficiently scalable (MESCAL), Inria Grenoble - Rhône-Alpes, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Laboratoire d'Informatique de Grenoble (LIG), Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF), Laboratory for Computer Communications and Applications (LCA), Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL), INRIA, and Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
[MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], [INFO.INFO-PF]Computer Science [cs]/Performance [cs.PF], [INFO.INFO-NI]Computer Science [cs]/Networking and Internet Architecture [cs.NI], Mean field, non-smooth dynamics, [MATH.MATH-DS]Mathematics [math]/Dynamical Systems [math.DS], differential inclusion, queueing systems, stability, fluid limit
Abstract

In this paper, we study deterministic limits of Markov processes having discontinuous drifts. While most results assume that the limiting dynamics is continuous, we show that these conditions are not necessary to prove convergence to a deterministic system. More precisely, we show that under mild assumptions, the stochastic system is a stochastic approximation algorithm with constant step size that converges to a differential inclusion. This differential inclusion is obtained by convexifying the rescaled drift of the Markov chain. This generic convergence result is used to compute stability conditions of stochastic systems, via their fluid limits. It is also used to analyze systems where discontinuous dynamics arise naturally, such as queueing systems with boundary conditions or with threshold control policies, via mean field approximations.; Ce document étudie des limites d'échelle de chaînes de Markov ayant une dérive discontinue. Alors que beaucoup de travaux sur le sujet supposent que la dérive est continue, nous montrons que cette condition n'est pas nécessaire pour obtenir une limite déterministe. Nous montrons que sous des hypothèses faibles, un passage à l'échelle d'une chaîne de Markov peut être vu comme un algorithme d'approximation stochastique à pas constant, qui converge vers l'ensemble des solutions d'une inclusion différentielle. Cette inclusion est obtenue à partir d'une convexification de la dérive du processus initial. Cette méthode est générique et permet de calculer la région de stabilité de nombreux systèmes stochastique, en étudiant leur limite fluide. Elle permet aussi d'étendre les techniques d'approximation champ moyen à des systèmes où les discontinuités apparaissent naturellement, comme des réseaux de files d'attente ou des systèmes contrôlés par une politique à seuil.

Published
2012

15. Kinetic/fluid micro-macro numerical schemes for Vlasov-Poisson-BGK equation using particles

Author

Mohammed Lemou, Anaïs Crestetto, Nicolas Crouseilles, Institut de Recherche Mathématique Avancée (IRMA), Université de Strasbourg (UNISTRA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Scientific computation and visualization (CALVI), Université de Strasbourg (UNISTRA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Strasbourg (UNISTRA)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Laboratoire des Sciences de l'Image, de l'Informatique et de la Télédétection (LSIIT), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Nancy - Grand Est, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut Élie Cartan de Lorraine (IECL), Université de Lorraine (UL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Lorraine (UL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Invariant Preserving SOlvers (IPSO), Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), AGROCAMPUS OUEST, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes 1 (UR1), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Université de Rennes 2 (UR2), Université de Rennes (UNIV-RENNES)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-AGROCAMPUS OUEST, Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Université de Rennes (UNIV-RENNES)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA), Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-INSTITUT AGRO Agrocampus Ouest, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro), Institut de Recherche Mathématique Avancée ( IRMA ), Université de Strasbourg ( UNISTRA ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Scientific computation and visualization ( CALVI ), Université de Strasbourg ( UNISTRA ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Université de Strasbourg ( UNISTRA ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Laboratoire des Sciences de l'Image, de l'Informatique et de la Télédétection ( LSIIT ), Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Inria Nancy - Grand Est, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut Élie Cartan de Lorraine ( IECL ), Université de Lorraine ( UL ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Université de Lorraine ( UL ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Invariant Preserving SOlvers ( IPSO ), Institut de Recherche Mathématique de Rennes ( IRMAR ), Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -AGROCAMPUS OUEST-École normale supérieure - Rennes ( ENS Rennes ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National des Sciences Appliquées ( INSA ) -Université de Rennes 2 ( UR2 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Université de Rennes 1 ( UR1 ), Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Inria Rennes – Bretagne Atlantique, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ), and Université de Rennes ( UNIV-RENNES ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS )

Subjects
Discretization, BGK equation, 010103 numerical & computational mathematics, micro-macro decomposition, 01 natural sciences, Physics::Fluid Dynamics, [PHYS.PHYS.PHYS-COMP-PH]Physics [physics]/Physics [physics]/Computational Physics [physics.comp-ph], symbols.namesake, Vlasov equation, [ PHYS.PHYS.PHYS-COMP-PH ] Physics [physics]/Physics [physics]/Computational Physics [physics.comp-ph], particles method, Euler equation, 0101 mathematics, Chapman-Enskog expansion, Mathematics, Numerical Analysis, Fluid limit, Finite volume method, Computer simulation, Mathematical analysis, [ MATH.MATH-NA ] Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA], Euler equations, 010101 applied mathematics, Distribution function, Modeling and Simulation, symbols, Knudsen number, asymptotic preserving schemes, [MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA]
Abstract

International audience; This work is devoted to the numerical simulation of the Vlasov equation in the fluid limit using particles. To that purpose, we first perform a micro-macro decomposition as in \cite{benoune} where asymptotic preserving schemes have been derived in the fluid limit. In \cite{benoune}, a uniform grid was used to approximate both the micro and the macro part of the full distribution function. Here, we modify this approach by using a particle approximation for the kinetic (micro) part, the fluid (macro) part being always discretized by standard finite volume schemes. There are many advantages in doing so: $(i)$ the so-obtained scheme presents a much less level of noise compared to the standard particle method; $(ii)$ the computational cost of the micro-macro model is reduced in the fluid regime since a small number of particles is needed for the micro part; $(iii)$ the scheme is asymptotic preserving in the sense that it is consistent with the kinetic equation in the rarefied regime and it degenerates into a uniformly (with respect to the Knudsen number) consistent (and deterministic) approximation of the limiting equation in the fluid regime.

Published
2012
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16. Markov chains with discontinuous drifts have differential inclusion limits

Author

Nicolas Gast, Bruno Gaujal, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL), Middleware efficiently scalable (MESCAL), Laboratoire d'Informatique de Grenoble (LIG), Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Inria Grenoble - Rhône-Alpes, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Inria Grenoble - Rhône-Alpes, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Laboratoire d'Informatique de Grenoble (LIG), and Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Fluid limit, Markov chain, Computer Networks and Communications, Mathematical analysis, Markov process, 020206 networking & telecommunications, 02 engineering and technology, Stochastic approximation, 01 natural sciences, [INFO.INFO-MO]Computer Science [cs]/Modeling and Simulation, 010104 statistics & probability, Stability conditions, symbols.namesake, [INFO.INFO-PF]Computer Science [cs]/Performance [cs.PF], Differential inclusion, Hardware and Architecture, Modeling and Simulation, 0202 electrical engineering, electronic engineering, information engineering, symbols, Applied mathematics, Boundary value problem, 0101 mathematics, Software, Mathematics, Deterministic system
Abstract

International audience; In this paper, we study deterministic limits of Markov processes having discontinuous drifts. While most results assume that the limiting dynamics is continuous, we show that these conditions are not necessary to prove convergence to a deterministic system. More precisely, we show that under mild assumptions, the stochastic system is a stochastic approximation algorithm with constant step size that converges to a differential inclusion. This differential inclusion is obtained by convexifying the rescaled drift of the Markov chain. This generic convergence result is used to compute stability conditions of stochastic systems, via their fluid limits. It is also used to analyze systems where discontinuous dynamics arise naturally, such as queueing systems with boundary conditions or with threshold control policies, via mean field approximations.

Published
2012
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17. Fluid limit theorems for stochastic hybrid systems with application to neuron models

Author

Gilles Wainrib, Michèle Thieullen, Khashayar Pakdaman, Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires (LPMA), Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), ANR-09-BLAN-0008,MANDy(2009), ANR-09-BLAN-0008-01,MANDy,Mathematical Analysis of Neuronal Dynamics(2009), Thieullen, Michele, and Blanc - - MANDy2009 - ANR-09-BLAN-0008 - Blanc - VALID

Subjects
Statistics and Probability, [MATH.MATH-PR] Mathematics [math]/Probability [math.PR], 60F05, 60F17, 60J75, Markov process, Biological neuron model, 01 natural sciences, symbols.namesake, 010104 statistics & probability, Law of large numbers, FOS: Mathematics, Applied mathematics, Piecewise-deterministic Markov process, [SDV.NEU] Life Sciences [q-bio]/Neurons and Cognition [q-bio.NC], 0101 mathematics, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Central limit theorem, Mathematics, Fluid limit, Applied Mathematics, 010102 general mathematics, Probability (math.PR), [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], Hybrid system, Quantitative Biology - Neurons and Cognition, FOS: Biological sciences, symbols, Jump, Neurons and Cognition (q-bio.NC), [SDV.NEU]Life Sciences [q-bio]/Neurons and Cognition [q-bio.NC], Mathematics - Probability
Abstract

This paper establishes limit theorems for a class of stochastic hybrid systems (continuous deterministic dynamic coupled with jump Markov processes) in the fluid limit (small jumps at high frequency), thus extending known results for jump Markov processes. We prove a functional law of large numbers with exponential convergence speed, derive a diffusion approximation and establish a functional central limit theorem. We apply these results to neuron models with stochastic ion channels, as the number of channels goes to infinity, estimating the convergence to the deterministic model. In terms of neural coding, we apply our central limit theorems to estimate numerically impact of channel noise both on frequency and spike timing coding., Comment: 42 pages, 4 figures

Published
2010
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18. A functional central limit theorem for the M/GI/∞ queue

Author

Pascal Moyal, Laurent Decreusefond, and Université de Technologie de Compiègne (UTC)

Subjects
Statistics and Probability, media_common.quotation_subject, central limit theorem, Space (mathematics), 01 natural sciences, queueing theory, Prime (order theory), 010104 statistics & probability, 60K25, Convergence (routing), 0101 mathematics, [MATH]Mathematics [math], Measure-valued Markov process, fluid limit, Queue, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, media_common, Mathematics, Central limit theorem, Discrete mathematics, Fluid limit, Sequence, 010102 general mathematics, Infinity, 60F17, pure delay system, Statistics, Probability and Uncertainty, 60B12
Abstract

In this paper, we present a functional fluid limit theorem and a functional central limit theorem for a queue with an infinity of servers M/GI/$\infty$. The system is represented by a point-measure valued process keeping track of the remaining processing times of the customers in service. The convergence in law of a sequence of such processes after rescaling is proved by compactness-uniqueness methods, and the deterministic fluid limit is the solution of an integrated equation in the space $\mathcal{S}^{\prime}$ of tempered distributions. We then establish the corresponding central limit theorem, that is, the approximation of the normalized error process by a $\mathcal{S}^{\prime}$-valued diffusion. We apply these results to provide fluid limits and diffusion approximations for some performance processes.

Published
2008
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19. Spatial homogenization in a stochastic network with mobility

Author

Danielle Tibi, Florian Simatos, Networks, Algorithms and Probabilities (RAP), Inria Paris-Rocquencourt, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires (LPMA), Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Eurandom, and Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)

Subjects
Statistics and Probability, Mathematical optimization, Stochastic modelling, multiple time scales, Markov process, 02 engineering and technology, 60J75 (Primary) 90B15 (Secondary), 01 natural sciences, Homogenization (chemistry), 010104 statistics & probability, symbols.namesake, Fluid limits, transient behavior, 0202 electrical engineering, electronic engineering, information engineering, FOS: Mathematics, Almost surely, 0101 mathematics, ComputingMilieux_MISCELLANEOUS, Mathematics, Fluid limit, Stationary distribution, Probability (math.PR), 020206 networking & telecommunications, Fluid level, stability, 90B15, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], symbols, Cellular network, Statistics, Probability and Uncertainty, 60J75, Mathematics - Probability
Abstract

A stochastic model for a mobile network is studied. Users enter the network, and then perform independent Markovian routes between nodes where they receive service according to the Processor-Sharing policy. Once their service requirement is satisfied, they leave the system. The stability region is identified via a fluid limit approach, and strongly relies on a "spatial homogenization" property: at the fluid level, customers are instantaneously distributed across the network according to the stationary distribution of their Markovian dynamics and stay distributed as such as long as the network is not empty. In the unstable regime, spatial homogenization almost surely holds asymptotically as time goes to infinity (on the normal scale), telling how the system fills up. One of the technical achievements of the paper is the construction of a family of martingales associated to the multidimensional process of interest, which makes it possible to get crucial estimates for certain exit times., Published in at http://dx.doi.org/10.1214/09-AAP613 the Annals of Applied Probability (http://www.imstat.org/aap/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org)

Published
2008
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20. The stable configuration in acyclic preference-based systems

Author

Mathieu, Fabien, Postelnicu, Gheorghe, Reynier, Julien, France Télécom Recherche & Développement (FT R&D), France Télécom, Networks, Graphs and Algorithms (GANG), Laboratoire d'informatique Algorithmique : Fondements et Applications (LIAFA), Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Paris-Rocquencourt, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), Google Switzerland, Research at Google, Theory of networks and communications (TREC), Département d'informatique - ENS Paris (DI-ENS), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Inria Paris-Rocquencourt, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), INRIA, CRC MARDI II, École normale supérieure - Paris (ENS-PSL), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École normale supérieure - Paris (ENS-PSL), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Paris-Rocquencourt, Département d'informatique de l'École normale supérieure (DI-ENS), École normale supérieure - Paris (ENS Paris), and Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris)

Subjects
[INFO.INFO-NI]Computer Science [cs]/Networking and Internet Architecture [cs.NI], rank distribution, mean-field, fluid limit, small-worlds, PDE, Acyclicity
Abstract

Acyclic preferences recently appeared as an elegant way to model many distributed systems. An acyclic instance admits a unique stable configuration, which can reveal the performance of the system. In this paper, we give the statistical properties of the stable configuration for three classes of acyclic preferences: node-based preferences, distance-based preferences, and random acyclic systems. Using random overlay graphs, we prove using mean-field and fluid-limit techniques that these systems have an asymptotically continuous independent rank distribution for a proper scaling, and the analytical solution is compared to simulations. These results provide a theoretical ground for validating the performance of bandwidth-based or proximity-based unstructured systems.

Published
2008

21. The ODE method for stability of skip-free Markov chains with applications to MCMC

Author

Gersende Fort, Pierre Priouret, Eric Moulines, Sean P. Meyn, Benassù, Serena, Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires (LPMA), Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Laboratoire Traitement et Communication de l'Information (LTCI), Télécom ParisTech-Institut Mines-Télécom [Paris] (IMT)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Coordinated Science Laboratory (CSL), University of Illinois System, and This work was partly supported by the French Department of Research under the program 'ANR-05-BLAN-0299'.

Subjects
65C05, Statistics and Probability, [MATH.MATH-PR] Mathematics [math]/Probability [math.PR], Stochastic modelling, Markov chain, Metropolis-Hastings algorithms, 01 natural sciences, 010104 statistics & probability, symbols.namesake, 60J10, 65C05 (Primary), state-dependent drift criteria, Fluid limit, FOS: Mathematics, State space, Applied mathematics, Initial value problem, Markov Chain Monte Carlo, 0101 mathematics, Mathematics, Queueing theory, 010102 general mathematics, Probability (math.PR), Ode, Markov chain Monte Carlo, Metropolis–Hastings algorithms, State dependent drift criteria, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], MSC 2000 : 60J10, 65C05 (Primary), Subgeometric ergodicity, symbols, 60J10, Statistics, Probability and Uncertainty, Mathematics - Probability
Abstract

Fluid limit techniques have become a central tool to analyze queueing networks over the last decade, with applications to performance analysis, simulation and optimization. In this paper, some of these techniques are extended to a general class of skip-free Markov chains. As in the case of queueing models, a fluid approximation is obtained by scaling time, space and the initial condition by a large constant. The resulting fluid limit is the solution of an ordinary differential equation (ODE) in ``most'' of the state space. Stability and finer ergodic properties for the stochastic model then follow from stability of the set of fluid limits. Moreover, similarly to the queueing context where fluid models are routinely used to design control policies, the structure of the limiting ODE in this general setting provides an understanding of the dynamics of the Markov chain. These results are illustrated through application to Markov chain Monte Carlo methods., Published in at http://dx.doi.org/10.1214/07-AAP471 the Annals of Applied Probability (http://www.imstat.org/aap/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org)

Published
2008
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22. Coupling from the past in hybrid models for file sharing peer to peer systems

Author

Florence Perronnin, Bruno Gaujal, Middleware efficiently scalable (MESCAL), Inria Grenoble - Rhône-Alpes, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Laboratoire d'Informatique de Grenoble (LIG), Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), and Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)-Institut polytechnique de Grenoble - Grenoble Institute of Technology (Grenoble INP )-Institut National Polytechnique de Grenoble (INPG)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Pierre Mendès France - Grenoble 2 (UPMF)-Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (UJF)

Subjects
Fluid limit, Theoretical computer science, Markov chain, Computer science, Distributed computing, Asymptotic distribution, 0102 computer and information sciences, Peer-to-peer, computer.software_genre, 01 natural sciences, [INFO.INFO-MO]Computer Science [cs]/Modeling and Simulation, Continuous-time Markov chain, 010104 statistics & probability, Coupling from the past, File sharing, 010201 computation theory & mathematics, Hybrid system, 0101 mathematics, computer
Abstract

International audience; In this paper we show how file sharing peer to peer systems can be modeled by hybrid systems with a continuous part corresponding to a fluid limit of files and a discrete part corresponding to customers. Then we show that this hybrid system is amenable to perfect simulations (i.e. simulations providing samples of the system states which distributions have no bias from the asymptotic distribution of the system). An experimental study is carried to show the respective influence that the different parameters (such as time-to-live, rate of requests, connection time) play on the behavior of large peer to peer systems, and also to show the effectiveness of this approach for numerical solutions of stochastic hybrid systems.

Published
2007
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23. Quantification of discreteness effects in cosmological N-body simulations: II. Evolution up to shell crossing

Author

B. Marcos, Michael Joyce, Laboratoire de Physique Nucléaire et de Hautes Énergies (LPNHE), and Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)-Institut National de Physique Nucléaire et de Physique des Particules du CNRS (IN2P3)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)

Subjects
Physics, Nuclear and High Energy Physics, Fluid limit, 98.80.-k, 05.70.-a, 02.50.-r, 05.40.-a, [SDU.ASTR]Sciences of the Universe [physics]/Astrophysics [astro-ph], 010308 nuclear & particles physics, Astrophysics (astro-ph), Dark matter, FOS: Physical sciences, Astrophysics, Two-body problem, 01 natural sciences, Cosmology, Redshift, Many-body problem, Gravitation, [PHYS.ASTR.CO]Physics [physics]/Astrophysics [astro-ph]/Cosmology and Extra-Galactic Astrophysics [astro-ph.CO], Quantum mechanics, 0103 physical sciences, Perturbation theory (quantum mechanics), 010303 astronomy & astrophysics
Abstract

We apply a recently developed perturbative formalism which describes the evolution under their self-gravity of particles displaced from a perfect lattice to quantify precisely, up to shell crossing, the effects of discreteness in dissipationless cosmological N-body simulations. We give simple expressions, explicitly dependent on the particle density, for the evolution of power in each mode as a function of red-shift. For typical starting red-shifts the effect of finite particle number is to {\it slow down} slightly the growth of power compared to that in the fluid limit (e.g. by about ten percent at half the Nyquist frequency), and to induce also dispersion in the growth as a function of direction at a comparable level. In the limit that the initial red-shift tends to infinity, at fixed particle density, the evolution in fact diverges from that in the fluid limit (described by the Zeldovich approximation). Contrary to widely held belief, this means that a simulation started at a red-shift much higher than the red-shift of shell crossing actually gives a worse, rather than a better, result. We also study how these effects are modified when there is a small-scale regularization of the gravitational force. We show that such a smoothing may reduce the anisotropy of the discreteness effects, but it then {\it increases} their average effect. This behaviour illustrates the fact that the discreteness effects described here are distinct from those usually considered in this context, due to two-body collisions. Indeed the characteristic time for divergence from the collisionless limit is proportional to $N^{2/3}$, rather than $N/ \log N$ in the latter case., 18 pages, 10 figures, sequel to astro-ph/0410451 (on initial conditions), final version with minor changes, to appear in Phys. Rev. D

Published
2007
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24. Linear perturbative theory of the discrete cosmological N-body problem

Author

B. Marcos, Andrea Gabrielli, F. Sylos Labini, T. Baertschiger, Michael Joyce, Laboratoire de Physique Nucléaire et de Hautes Énergies (LPNHE), Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)-Institut National de Physique Nucléaire et de Physique des Particules du CNRS (IN2P3)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Marcos, B., Baertschiger, T., Joyce, M., Gabrielli, A., and Labini, F. S.

Subjects
Nuclear and High Energy Physics, FOS: Physical sciences, GRAVITATIONAL-INSTABILITY, 2-BODY RELAXATION, INITIAL CONDITIONS, Astrophysics, 01 natural sciences, Many-body problem, Gravitation, [PHYS.ASTR.CO]Physics [physics]/Astrophysics [astro-ph]/Cosmology and Extra-Galactic Astrophysics [astro-ph.CO], LATTICE SUMS, Lattice (order), LARGE-SCALE STRUCTURE, 0103 physical sciences, [PHYS.COND.CM-SM]Physics [physics]/Condensed Matter [cond-mat]/Statistical Mechanics [cond-mat.stat-mech], 010306 general physics, 010303 astronomy & astrophysics, Eigenvalues and eigenvectors, Condensed Matter - Statistical Mechanics, Physics, Fluid limit, Statistical Mechanics (cond-mat.stat-mech), [SDU.ASTR]Sciences of the Universe [physics]/Astrophysics [astro-ph], n-body problem, Astrophysics (astro-ph), Eigenfunction, Classical mechanics, Perturbation theory (quantum mechanics)
Abstract

We present a perturbative treatment of the evolution under their mutual self-gravity of particles displaced off an infinite perfect lattice, both for a static space and for a homogeneously expanding space as in cosmological N-body simulations. The treatment, analogous to that of perturbations to a crystal in solid state physics, can be seen as a discrete (i.e. particle) generalization of the perturbative solution in the Lagrangian formalism of a self-gravitating fluid. Working to linear order, we show explicitly that this fluid evolution is recovered in the limit that the initial perturbations are restricted to modes of wavelength much larger than the lattice spacing. The full spectrum of eigenvalues of the simple cubic lattice contains both oscillatory modes and unstable modes which grow slightly faster than in the fluid limit. A detailed comparison of our perturbative treatment, at linear order, with full numerical simulations is presented, for two very different classes of initial perturbation spectra. We find that the range of validity is similar to that of the perturbative fluid approximation (i.e. up to close to ``shell-crossing''), but that the accuracy in tracing the evolution is superior. The formalism provides a powerful tool to systematically calculate discreteness effects at early times in cosmological N-body simulations., 25 pages, 21 figures

Published
2006
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25. Fluid Limit of Generalized Jackson Queueing Networks with Stationary and Ergodic Arrivals and Service Times

Author

Lelarge, Marc, Theory of networks and communications (TREC), Département d'informatique - ENS Paris (DI-ENS), École normale supérieure - Paris (ENS-PSL), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École normale supérieure - Paris (ENS-PSL), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Paris-Rocquencourt, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), INRIA, Département d'informatique de l'École normale supérieure (DI-ENS), École normale supérieure - Paris (ENS Paris), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), and Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Inria Paris-Rocquencourt

Subjects
FLUID LIMIT, SAMPLE-PATH TECHNIQUE, [INFO.INFO-OH]Computer Science [cs]/Other [cs.OH], FIXED POINT, GENERALIZED JACKSON QUEUEING NETWORKS
Abstract

We use a sample-path technique to derive asymptotics of generalized Jackson queueing networks in the fluid scale, namely when space and time are scaled by the same factor n. The analysis only presupposes the existence of long-run averages and is based on some monotonicity and concavity arguments for the fluid processes. The results provide a functional strong law of large numbers for stochastic Jackson queueing networks since they apply to their sample paths with probability one. The fluid processes are shown to be piece-wise linear and an explicit formulation of the different drifts is computed. A few applications of this fluid limit are given. In particular, a new computation of the constant (0) that appears in in the stability condition for such networks is given. In the context of rare event as described in , the fluid limit of the network is also derived explicitly.

Published
2004

26. A degenerate central limit theorem for single resource loss systems

Author

Christine Fricker, Danielle Tibi, Philippe Robert, Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires (LPMA), Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Networks, Algorithms and Probabilities (RAP), Inria Paris-Rocquencourt, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), INRIA, and Benassù, Serena

Subjects
Statistics and Probability, Fluid limit, [MATH.MATH-PR] Mathematics [math]/Probability [math.PR], 021103 operations research, Degenerate energy levels, [INFO.INFO-OH]Computer Science [cs]/Other [cs.OH], 0211 other engineering and technologies, 02 engineering and technology, 90B22, Heavy traffic approximation, 01 natural sciences, Combinatorics, LOSS NETWORKS, [MATH.MATH-PR]Mathematics [math]/Probability [math.PR], 010104 statistics & probability, Single node, DIFFUSION APPROXIMATION, Hyperplane, 60K25, 0101 mathematics, Statistics, Probability and Uncertainty, Heavy traffic, Scaling, Mathematics, Central limit theorem
Abstract

Loss networks in heavy traffic under Kelly's scaling are analyzed. In the case of a single node and $R$ classes of calls, a degenerate diffusion approximation theorem around the corresponding fluid limit in an $({R-1})$-dimensional hyperplane is proved.

Published
2003

27. Asymptotic behavior of Generalized Processor Sharing queues under subexponential hypothesis

Author

Lelarge, Marc, Theory of networks and communications (TREC), Département d'informatique de l'École normale supérieure (DI-ENS), École normale supérieure - Paris (ENS Paris), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Paris-Rocquencourt, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), INRIA, Département d'informatique - ENS Paris (DI-ENS), École normale supérieure - Paris (ENS-PSL), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École normale supérieure - Paris (ENS-PSL), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-École normale supérieure - Paris (ENS Paris), and Université Paris sciences et lettres (PSL)-Université Paris sciences et lettres (PSL)-Inria Paris-Rocquencourt

Subjects
Computer Science::Performance, HEAVY TAIL, FLUID LIMIT, GPS, [INFO.INFO-OH]Computer Science [cs]/Other [cs.OH], INTEGRATED TAIL, VERAVERBEKE'S THEOREM, SUBEXPONENTIAL RANDOM VARIABLES
Abstract

We analyze the behavior of Generalized Processor Sharing (GPS) queues with heavy tailed service times. The model consists of coupled queues : each one receives an arrival stream of customers with inter-arrival time that are i.i.d and with service times that are subexponential. We calculate the exact stationary workload asymptotic of an individual flow for this model.

Published
2001

28. Diffusive limits for stochastic kinetic problems

Author

Analyse numérique, Processus stochastiques ; Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR) ; CNRS - École normale supérieure (ENS) - Cachan - Institut National des Sciences Appliquées [INSA] - Université de Rennes 1 - Université de Rennes II - Haute Bretagne - CNRS - École normale supérieure (ENS) - Cachan - Institut National des Sciences Appliquées [INSA] - Université de Rennes 1 - Université de Rennes II - Haute Bretagne - École normale supérieure de Cachan, antenne de Bretagne (ENS Cachan Bretagne) ; École normale supérieure (ENS) - Cachan - Ecole normale supérieure de Rennes (ENS Rennes) ; École Normale Supérieure (ENS) - Rennes - École Normale Supérieure (ENS) - Rennes, Ecole normale supérieure de Rennes - ENS Rennes, Arnaud Debussche et Julien Vovelle, De Moor, Sylvain, Analyse numérique, Processus stochastiques ; Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR) ; CNRS - École normale supérieure (ENS) - Cachan - Institut National des Sciences Appliquées [INSA] - Université de Rennes 1 - Université de Rennes II - Haute Bretagne - CNRS - École normale supérieure (ENS) - Cachan - Institut National des Sciences Appliquées [INSA] - Université de Rennes 1 - Université de Rennes II - Haute Bretagne - École normale supérieure de Cachan, antenne de Bretagne (ENS Cachan Bretagne) ; École normale supérieure (ENS) - Cachan - Ecole normale supérieure de Rennes (ENS Rennes) ; École Normale Supérieure (ENS) - Rennes - École Normale Supérieure (ENS) - Rennes, Ecole normale supérieure de Rennes - ENS Rennes, Arnaud Debussche et Julien Vovelle, and De Moor, Sylvain

Abstract

This thesis presents several results about stochastic partial differential equations. The main subject is the study of diffusive limits of kinetic models perturbed with a random term. We also present a result about the regularity of a class of stochastic partial differential equations and a result of existence and uniqueness of invariant measures for a stochastic Fokker-Planck equation. First, we give three results of approximation-diffusion in a stochastic context. The first one deals with the case of a kinetic equation with a linear operator of relaxation whose velocity equilibrium has a power tail distribution at infinity. The equation is perturbed with a Markovian process. This gives rise to a stochastic fluid fractional limit. The two remaining results consider the case of the radiative transfer equation which is a non-linear kinetic equation. The equation is perturbed successively with a cylindrical Wiener process and with a Markovian process. In both cases, we are led to a stochastic Rosseland fluid limit. Then, we introduce a result of regularity for a class of quasilinear stochastic partial differential equations of parabolic type whose random term is driven by a cylindrical Wiener process. Finally, we study a Fokker-Planck equation with a noisy force governed by a cylindrical Wiener process. We prove existence and uniqueness of solutions to the problem and then existence and uniqueness of invariant measures to the equation., Cette thèse présente quelques résultats dans le domaine des équations aux dérivées partielles stochastiques. Une majeure partie d'entre eux concerne l'étude de limites diffusives de modèles cinétiques perturbés par un terme aléatoire. On présente également un résultat de régularité pour une classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques ainsi qu'un résultat d'existence et d'unicité de mesures invariantes pour une équation de Fokker-Planck stochastique. Dans un premier temps, on présente trois travaux d'approximation-diffusion dans le contexte stochastique. Le premier s'intéresse au cas d'une équation cinétique avec opérateur de relaxation linéaire dont l'équilibre des vitesses a un comportement de type puissance à l'infini. L'équation est perturbée par un processus Markovien. Cela donne lieu à une limite fluide stochastique fractionnaire. Les deux autres résultats concernent l'étude de l'équation de transfert radiatif qui est un problème cinétique non linéaire. L'équation est bruitée dans un premier temps avec un processus de Wiener cylindrique et dans un second temps par un processus Markovien. Dans les deux cas, on obtient à la limite une équation de Rosseland stochastique. Dans la suite, on présente un résultat de régularité pour les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires de type parabolique dont la partie aléatoire est gouvernée par un processus de Wiener cylindrique. Enfin, on étudie une équation de Fokker-Planck qui présente un terme de forçage aléatoire régi par un processus de Wiener cylindrique. On prouve d'une part l'existence et l'unicité des solutions de ce problème et d'autre part l'existence et l'unicité de mesures invariantes pour la dynamique de cette équation.

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