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We solve the St.Venant torsion problem for an infinite cylindrical rod whose behaviour is described by a family of isotropic generalized continua, including the relaxed micromorphic and classical micromorphic model. The results can be used to determine the material parameters of these models. Special attention is given to the possible nonphysical stiffness singularity for a vanishing rod diameter, since slender specimens are in general described as stiffer., 41 pages, 29 figures

While the design of always new metamaterials with exotic static and dynamic properties is attracting deep attention in the last decades, little effort is made to explore their interactions with other materials. This prevents the conception of (meta-)structures that can enhance metamaterials' unorthodox behaviours and that can be employed in real engineering applications. In this paper, we give a first answer to this challenging problem by showing that the relaxed micromorphic model with zero static characteristic length can be usefully applied to describe the refractive properties of simple meta-structures for extended frequency ranges and for any direction of propagation of the incident wave. Thanks to the simplified model's structure, we are able to efficiently explore different configurations and to show that a given meta-structure can drastically change its overall refractive behaviour when varying the elastic properties of specific meta-structural elements. In some cases, changing the stiffness of a homogeneous material which is in contact with a metamaterial's slab, reverses the structure's refractive behaviour by switching it from an acoustic screen (total reflection) into an acoustic absorber (total transmission). The present paper clearly indicates that, while the study and enhancement of the intrinsic metamaterials' properties is certainly of great importance, it is even more challenging to enable the conception of meta-structures that can eventually boost the use of metamaterials in real-case applications., 21 pages, 14 figures

Mechanical microstructured metamaterials are increasingly gaining attention from the scientific and engineering community. The question of modeling the behavior of metamaterials is of extreme importance. Some choose an approach, which is reminiscent of the classical theory of elasticity: enriched continuum mechanics. We employ the enriched continuum model named relaxed micromorphic model in order to study wave propagation and scattering at interfaces between materials and metamaterials. Dealing with the correct boundary conditions at the macroscopic scale becomes challenging. We show how finite-domain boundary value problems can be set-up in the framework of the relaxed micromorphic model. We set up the full plane wave solution of the scattering from an interface separating a Cauchy medium from a relaxed micromorphic one. Both media are isotropic and semi-infinite. Generalized macroscopic boundary conditions are presented, which allow the effective description of the scattering properties of an interface between a homogeneous solid and a mechanical metamaterial. The associated generalized energy flux is introduced. We show that the contrast of the macroscopic stiffnesses of the two media, together with the type of boundary conditions strongly influence the onset of Stoneley waves at the interface. This allows to tailor the scattering properties of the interface at both low and high frequencies, ranging from zones of complete transmission to zones of zero transmission well beyond the band-gap. We then consider a bulk wave propagation problem and show that the transient waveforms arising from several localised pulses in a micro-structured material can be reproduced. We compare the dynamic response of a bounded micro-structured material to that of bounded continua with special kinematic properties. We show that, while the Cauchy theory is able to describe the overall behavior of the metastructure only at low frequencies, the relaxed micromorphic model goes far beyond by giving a correct description of the pulse propagation in the frequency bandgap and at frequencies intersecting the optical branches. Finally, we present the case of a metamaterial slab of finite width. Its scattering properties are studied via a semi-analytical solution of the relaxed micromorphic model and compared to numerical simulations encoding all details of the selected microstructure. The reflection coefficient obtained via the two methods is presented as a function of the frequency and the direction of propagation of the incident wave. We find excellent agreement for a large range of frequencies. The case of a semi-infinite metamaterial is also presented and is seen to be a reliable measure of the average behavior of the finite metastructure., Les métamatériaux mécaniques microstructurés attirent de plus en plus l'attention de la communauté scientifique et technique. Nous choisissons une approche qui évoque la théorie classique de l'élasticité : celle de la mécanique des milieux continus enrichie. Le but de cette thèse est d'utiliser le nouveau modèle de continuité enrichie appelé modèle micromorphique relaxé détendu afin d'étudier la propagation des ondes et les phénomènes de diffusion aux interfaces entre matériaux et métamatériaux. Lorsqu'il s'agît d'étudier les propriétés de diffusion de structures de taille finie, il devient difficile de traiter les conditions limites correctes. Nous montrons comment les problèmes aux valeurs limites de domaines finis peuvent être mis en place dans le cadre du modèle micromorphique relaxé. Nous mettons en place la solution d'onde plane complète de la diffusion à partir d'une interface séparant un milieu de Cauchy d'un milieu micromorphique relaxé. Les conditions aux limites macroscopiques généralisées sont présentées. Ils permettent de bien décrire les propriétés de diffusion. Le flux d'énergie généralisé associé est introduit. On considère deux cas différents dans lesquels le milieu homogène gauche est soit plus rigide soit plus flexible que le métamatériau droit et le coefficient de transmission est obtenu en fonction de la fréquence et de la direction de propagation. Le contraste des raideurs macroscopiques des deux milieux, influencent l'apparition des ondes Stoneley. On considère par la suite un problème de propagation des ondes de volume et on démontre que les formes d'ondes transitoires résultant de plusieurs impulsions localisées dans un matériau microstructuré peuvent être reproduite. Nous comparons la réponse dynamique d'un matériau microstructuré et lié à celle d'un milieu lié avec des propriétés cinématiques particulières. On démontre que, bien que la théorie de Cauchy soit capable de décrire le comportement global de la métastructure à de basses fréquences, le modèle micromorphique détendu va bien au-delà en donnant une description correcte de la propagation de l'impulsion dans la bande de fréquence et à des fréquences qui croisent les branches optiques. Enfin, on présente le cas d'une dalle de métamatériau de largeur finie. Ses propriétés de diffusion sont étudiées en utilisant une solution semi-analytique du modèle micromorphique relaxé et comparées à des simulations. Le coefficient de réflexion obtenu par les deux méthodes est présenté en fonction de la fréquence et la direction de propagation de l'onde incidente. On trouve un excellent accord pour une large gamme de fréquences, allant de la limite des ondes longues aux fréquences au-delà de la première limite de la bande, et pour des angles d'incidence allant d'une incidence normale à une incidence presque parallèle. Le cas d’un métamatériau semi-infinie est également présenté et est considéré comme une mesure fiable du comportement moyen de la métastructure finie.

Mechanical microstructured metamaterials are increasingly gaining attention from the scientific and engineering community. The question of modeling the behavior of metamaterials is of extreme importance. Some choose an approach, which is reminiscent of the classical theory of elasticity: enriched continuum mechanics. We employ the enriched continuum model named relaxed micromorphic model in order to study wave propagation and scattering at interfaces between materials and metamaterials. Dealing with the correct boundary conditions at the macroscopic scale becomes challenging. We show how finite-domain boundary value problems can be set-up in the framework of the relaxed micromorphic model. We set up the full plane wave solution of the scattering from an interface separating a Cauchy medium from a relaxed micromorphic one. Both media are isotropic and semi-infinite. Generalized macroscopic boundary conditions are presented, which allow the effective description of the scattering properties of an interface between a homogeneous solid and a mechanical metamaterial. The associated generalized energy flux is introduced. We show that the contrast of the macroscopic stiffnesses of the two media, together with the type of boundary conditions strongly influence the onset of Stoneley waves at the interface. This allows to tailor the scattering properties of the interface at both low and high frequencies, ranging from zones of complete transmission to zones of zero transmission well beyond the band-gap. We then consider a bulk wave propagation problem and show that the transient waveforms arising from several localised pulses in a micro-structured material can be reproduced. We compare the dynamic response of a bounded micro-structured material to that of bounded continua with special kinematic properties. We show that, while the Cauchy theory is able to describe the overall behavior of the metastructure only at low frequencies, the relaxed micromorphic model goes far beyond by giving a correct description of the pulse propagation in the frequency bandgap and at frequencies intersecting the optical branches. Finally, we present the case of a metamaterial slab of finite width. Its scattering properties are studied via a semi-analytical solution of the relaxed micromorphic model and compared to numerical simulations encoding all details of the selected microstructure. The reflection coefficient obtained via the two methods is presented as a function of the frequency and the direction of propagation of the incident wave. We find excellent agreement for a large range of frequencies. The case of a semi-infinite metamaterial is also presented and is seen to be a reliable measure of the average behavior of the finite metastructure.; Les métamatériaux mécaniques microstructurés attirent de plus en plus l'attention de la communauté scientifique et technique. Nous choisissons une approche qui évoque la théorie classique de l'élasticité : celle de la mécanique des milieux continus enrichie. Le but de cette thèse est d'utiliser le nouveau modèle de continuité enrichie appelé modèle micromorphique relaxé détendu afin d'étudier la propagation des ondes et les phénomènes de diffusion aux interfaces entre matériaux et métamatériaux. Lorsqu'il s'agît d'étudier les propriétés de diffusion de structures de taille finie, il devient difficile de traiter les conditions limites correctes. Nous montrons comment les problèmes aux valeurs limites de domaines finis peuvent être mis en place dans le cadre du modèle micromorphique relaxé. Nous mettons en place la solution d'onde plane complète de la diffusion à partir d'une interface séparant un milieu de Cauchy d'un milieu micromorphique relaxé. Les conditions aux limites macroscopiques généralisées sont présentées. Ils permettent de bien décrire les propriétés de diffusion. Le flux d'énergie généralisé associé est introduit. On considère deux cas différents dans lesquels le milieu homogène gauche est soit plus rigide soit plus flexible que le métamatériau droit et le coefficient de transmission est obtenu en fonction de la fréquence et de la direction de propagation. Le contraste des raideurs macroscopiques des deux milieux, influencent l'apparition des ondes Stoneley. On considère par la suite un problème de propagation des ondes de volume et on démontre que les formes d'ondes transitoires résultant de plusieurs impulsions localisées dans un matériau microstructuré peuvent être reproduite. Nous comparons la réponse dynamique d'un matériau microstructuré et lié à celle d'un milieu lié avec des propriétés cinématiques particulières. On démontre que, bien que la théorie de Cauchy soit capable de décrire le comportement global de la métastructure à de basses fréquences, le modèle micromorphique détendu va bien au-delà en donnant une description correcte de la propagation de l'impulsion dans la bande de fréquence et à des fréquences qui croisent les branches optiques. Enfin, on présente le cas d'une dalle de métamatériau de largeur finie. Ses propriétés de diffusion sont étudiées en utilisant une solution semi-analytique du modèle micromorphique relaxé et comparées à des simulations. Le coefficient de réflexion obtenu par les deux méthodes est présenté en fonction de la fréquence et la direction de propagation de l'onde incidente. On trouve un excellent accord pour une large gamme de fréquences, allant de la limite des ondes longues aux fréquences au-delà de la première limite de la bande, et pour des angles d'incidence allant d'une incidence normale à une incidence presque parallèle. Le cas d’un métamatériau semi-infinie est également présenté et est considéré comme une mesure fiable du comportement moyen de la métastructure finie.

International audience; In this paper the relaxed micromorphic continuum model with weighted free and gradient microinertia is used to describe the dynamical behavior of a real two-dimensional phononic crystal for a wide range of wavelengths arriving down to the size of the unit cell. In particular, a periodic structure with specific micro-structural topology and mechanical properties, capable of opening a phononic band-gap, is chosen with the criterion of showing a low degree of anisotropy (the band-gap is almost independent of the direction of propagation of the traveling wave). A Bloch wave analysis is performed to obtain the dispersion curves and the corresponding vibrational modes of the periodic structure. A linear-elastic, isotropic, relaxed micromorphic model including both a free micro-inertia (related to free vibrations of the microstructures) and a gradient micro-inertia (related to the motions of the microstructure which are coupled to the macro-deformation of the unit cell) is introduced and particularized to the case of plane wave propagation. The parameters of the relaxed model are then calibrated on the dispersion curves of the phononic crystal showing an excellent agreement in terms of both dispersion curves and vibrational modes. Almost all the homogenized elastic parameters of the relaxed micromorphic model result to be determined. This opens the way to the design of morphologically complex meta-structures which make use of the chosen phononic structure as the basic building block and which preserve its ability of “stopping” elastic wave propagation at the scale of the structure.

The systematic use of a so-called Cauchy theory often leads to too much simplification of reality. Indeed, some features of the microstructure are implicitly neglected in these approaches. Materials have microstructures on a fairly large scale (micron, millimeter, centimeter), the effect of which affects the macroscopic behavior. The Cauchy model is insufficient to describe their specific global behavior, linked for example to the concentration of forces or deformations, or to deformation modes characterized by strong local gradients inducing behaviors related to what happens on smaller scales.One of the most promising fields of application for enriched continuous-media theories concerns woven composite reinforcements. This class of materials is formed by the weaving of yarns, whose rigidities are very different in tension and shear: the yarns are very stiff in tension but the angle between them can vary very easily. This very marked contrast of the mechanical properties of the material's mesostructure makes it possible to describe its homogenized properties as part of a second gradient theory. The macroscopic manifestation of the mesostructure can indeed play a major role in shaping reinforcements composites.Furthermore, Cauchy's models are not adapted to the description of the dynamic response of some microstructured materials showing dispersive behaviors or band-gaps. Enriched continuum theories are good candidates for modeling the effects of the presence of a microstructure. They may also have very particular properties with respect to wave propagation, which gives the resulting structures solutions of choice as a screen or wave absorber which may be innovative in the field of vibration control or in the field of stealth., L’utilisation systématique d’une théorie dite de Cauchy conduit souvent à des simplifications trop fortes de la réalité. En effet, certaines caractéristiques de la microstructure sont implicitement négligées dans ces approches. Des matériaux possèdent des microstructures à une échelle assez grande (micron, millimètre, centimètre), dont l’effet se répercute sur le comportement macroscopique. Le modèle de Cauchy est insuffisant pour décrire leur comportement global spécifique, lié par exemple à la concentration d’efforts ou de déformations, ou à des modes de déformations caractérisés par de forts gradients locaux induisant des comportements liés à ce qui se passe à des échelles plus petites.Un des domaines d’application les plus prometteurs des théories de milieux continus enrichis concerne les renforts tissés de composites. Cette classe de matériaux est constituée par le tissage de mèche, dont les rigidités sont très différentes en traction et en cisaillement : les mèches sont très raides en traction mais l’angle entre deux mèches peut varier très facilement. Ce contraste très marqué des propriétés mécaniques de la mesostructure du matériau permet de décrire ses propriétés homogénéisées dans le cadre d’une théorie de deuxième gradient. La manifestation macroscopique de la mesostructure peut en effet jouer un rôle majeur lors de la mise en forme des renforts de composites. Les modèles de Cauchy ne sont pas adaptés à la description de la réponse dynamique de certains matériaux microstructurés montrant des comportements dispersifs ou des band-gaps. Les théories de milieux continus enrichis sont de bonnes candidates pour modéliser les effets de la présence d’une microstructure. Elles peuvent également posséder des propriétés très particulières vis à vis de la propagation d’ondes, ce qui confère aux structures résultantes des solutions de choix comme écran ou absorbeur d’ondes qui peuvent innovantes dans le domaine du contrôle des vibrations ou dans le domaine de la furtivité.

The systematic use of a so-called Cauchy theory sometimes leads to an oversimplification of reality. Indeed, certain characteristics of the microstructure are implicitly neglected in these approaches. However, even if all the materials are heterogeneous on a sufficiently small scale and therefore possess a microstructure, this does not necessarily induce a specific behavior on a macroscopic scale. In this case, the Cauchy theory would be perfectly adapted to their description. On the other hand, other materials possess microstructures on a large-enough scale (micron, millimeter, centimeter), whose effects have repercussions on macroscopic behavior. The Cauchy model is then insufficient to describe their specific global behavior related to what occurs at smaller scales, e.g. concentration of forces or deformations, or strong local gradients. One of the most promising fields of application of enriched continuous theories concerns the study of the mechanical behavior of woven composite reinforcements. This class of materials, made up by weaving yarns (made up themselves of many thinner fibers), possess very different rigidities in tension and in shear: the yarns are very stiff in tension but the angle between two yarns can vary very easily. This very marked contrast of material mechanical properties makes it necessary to describe its homogenized properties within the framework of a second gradient theory (or a constrained micromorphic one). Cauchy models are also not well-suited for the description of the dynamic response of certain microstructured materials showing dispersive behaviors or band-gaps. Enriched continuous theories (and in particular the relaxed micromorphic model) can be good candidates for modeling these materials in a more precise and realistic way, since they can include the macroscopic manifestation of their microstructure. These microstructured materials may have original properties, to improve and optimize the responses of the structures that use them. Indeed, these structures are designed using such microstructured materials - also known as metamaterials - to exhibit improved strengths, shaping facilities, minimized weights, and much more. They can also possess innovative properties in the field of vibration control or in the field of stealth technology., L’utilisation systématique d’une théorie dite de Cauchy conduit souvent à des simplifications trop fortes de la réalité. En effet, certaines caractéristiques de la microstructure sont implicitement négligées dans ces approches. Des matériaux possèdent des microstructures à une échelle assez grande (micron, millimètre, centimètre), dont l’effet se répercute sur le comportement macroscopique. Le modèle de Cauchy est insuffisant pour décrire leur comportement global spécifique, lié par exemple à la concentration d’efforts ou de déformations, ou à des modes de déformations caractérisés par de forts gradients locaux induisant des comportements liés à ce qui se passe à des échelles plus petites. Un des domaines d’application les plus prometteurs des théories de milieux continus enrichis concerne les renforts tissés de composites. Cette classe de matériaux est constituée par le tissage de mèche, dont les rigidités sont très différentes en traction et en cisaillement : les mèches sont très raides en traction mais l’angle entre deux mèches peut varier très facilement. Ce contraste très marqué des propriétés mécaniques de la mesostructure du matériau permet de décrire ses propriétés homogénéisées dans le cadre d’une théorie de deuxième gradient. La manifestation macroscopique de la mesostructure peut en effet jouer un rôle majeur lors de la mise en forme des renforts de composites. Les modèles de Cauchy ne sont pas adaptés à la description de la réponse dynamique de certains matériaux microstructurés montrant des comportements dispersifs ou des band-gaps. Les théories de milieux continus enrichis sont de bonnes candidates pour modéliser les effets de la présence d’une microstructure. Elles peuvent également posséder des propriétés très particulières vis à vis de la propagation d’ondes, ce qui confère aux structures résultantes des solutions de choix comme écran ou absorbeur d’ondes qui peuvent innovantes dans le domaine du contrôle des vibrations ou dans le domaine de la furtivité.

International audience; We consider the weighted isotropic relaxed micromorphic model and provide an in depth investigation of the characteristic dispersion curves when the constitutive parameters of the model are varied. The weighted relaxed micromorphic model generalizes the classical relaxed micromorphic model previously introduced by the authors, since it features the Cartan-Lie decomposition of the tensors P,t and Curl P in their dev, dev sym, skew and spheric part. It is shown that the split of the tensor P,t in the micro-inertia provide an independent control of the cut-offs of the optic benches. This is crucial for the future calibration of the relaxed micromorphic model on real band-gap metamaterials. Even if the physical interest of the introduction of the split of the tensor Curl P is less evident than in the previous case, we discuss in detail which is its effect on the dispersion curves. Finally, we also provide a complete parametric study involving all the constitutive parameters of the introduced model, so giving rise to an exhaustive panorama of dispersion curves for the relaxed micromorphic model.

In this paper, we propose the first estimate of some elastic parameters of the relaxed micromorphic model on the basis of real experiments of transmission of longitudinal plane waves across an interface separating a classical Cauchy material (steel plate) and a phononic crystal (steel plate with fluid-filled holes). A procedure is set up in order to identify the parameters of the relaxed micromorphic model by superimposing the experimentally based profile of the reflection coefficient (plotted as function of the wave-frequency) with the analogous profile obtained via numerical simulations. We determine five out of six constitutive parameters which are featured by the relaxed micromorphic model in the isotropic case, plus the determination of the micro-inertia parameter. The sixth elastic parameter, namely the Cosserat couple modulusμc, still remains undetermined, since experiments on transverse incident waves are not yet available. A fundamental result of this paper is the estimate of the non-locality intrinsically associated with the underlying microstructure of the metamaterial. We show that the characteristic lengthLcmeasuring the non-locality of the phononic crystal is of the order of13of the diameter of its fluid-filled holes.