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This article proposes and evaluates a hypothetical learning trajectory (HLT) for the concepts of span and spanning set. This HLT was designed following the approach of Simon (1995), the design heuristics of emergent models and the mechanism of reflection on activity-effect relationship. We carried out an experiment with university students to determine if this HLT contributed to the expected learning of these concepts. We contrast this HLT with the actual learning trajectory (ALT) of two students showing approximation to key phases of the designed HLT. The results show that the notion of set is useful for the construction of the concept of span. In addition, we found it is necessary to incorporate new questions in HLT that facilitate the reflection on the activity-effect relationship to better account for the learning progression.

The results of the research related to the learning process of the derivative notion show that its understanding is very complex and that only a significant number of students acquire a partial comprehension of the concept. In this context, this research presents an exploratory/confirmatory analysis in which we identify and characterize, through mixed analysis methods, the different sub-levels of development of the derivative schema that university students previously instructed in Differential Calculus managed to reach. The results show how useful these methods are in this study, since they made it possible to identify the 9 sub-levels of development and to characterize 5 of them according to the dominant variables and their associated mathematical elements.

Este trabajo propone y evalúa una trayectoria hipotética de aprendizaje (THA) para los conceptos de conjunto generador y espacio generado. La THA se diseñó siguiendo el planteamiento de Simon (1995), la heurística de diseño de los modelos emergentes y el mecanismo de reflexión sobre la relación actividad-efecto. Se realizó un experimento con estudiantes universitarios para evaluar si la THA contribuyó al aprendizaje esperado de los conceptos. Para ello, se contrastó la THA con la trayectoria real de aprendizaje (TRA) de dos estudiantes que mostraron aproximarse a las fases clave de la THA. Los resultados muestran que la noción de conjunto es útil para la construcción del concepto de espacio generado y que, además, se requiere incorporar nuevas interrogantes en la THA que faciliten la reflexión sobre la relación actividad-efecto para dar cuenta mejor de la progresión en el aprendizaje.

Los resultados de investigaciones relacionadas con el aprendizaje del concepto de derivada constatan que su comprensión resulta muy compleja y que una cantidad significativa de estudiantes solo logra una construcción parcial del concepto. Desde este contexto, en esta investigación presentamos un análisis exploratorio/confirmatorio en el que identificamos y caracterizamos, por medio de métodos de análisis mixtos, los distintos subniveles de desarrollo del esquema de derivada que alcanzaron estudiantes universitarios con instrucción previa en cálculo diferencial. Los resultados muestran la utilidad del uso de estos métodos que, en este estudio, permitieron identificar los 9 subniveles de desarrollo y caracterizar 5 de ellos en función de las variables dominantes y sus elementos matemáticos asociados.