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Given non-negative integers r, s, and t, an [r,s,t]-coloring of a graph G=(V(G),E(G)) is a mapping c from V(G)∪E(G) to the color set {0,1,…,k-1} such that |c(vi)-c(vj)|⩾r for every two adjacent vertices vi,vj, |c(ei)-c(ej)|⩾s for every two adjacent edges ei,ej, and |c(vi)-c(ej)|⩾t for all pairs of incident vertices and edges, respectively. The [r,s,t]-chromatic number χr,s,t(G) of G is defined to be the minimum k such that G admits an [r,s,t]-coloring.This is an obvious generalization of all classical graph colorings since c is a vertex coloring if r=1, s=t=0, an edge coloring if s=1, r=t=0, and a total coloring if r=s=t=1, respectively.We present first results on χr,s,t(G) such as general bounds and also exact values, for example if min{r,s,t}=0 or if G is a complete graph.

The concept of \emph{proper connection number} of graphs is an extension of proper colouring and is motivated by rainbow connection number of graphs. Let $G$ be an edge-coloured graph. Andrews et al.\cite{Andrews2016} and, independently, Borozan et al.\cite{Borozan2012} introduced the concept of proper connection number as follows: A coloured path $P$ in an edge-coloured graph $G$ is called a \emph{properly coloured path} or more simple \emph{proper path} if two any consecutive edges receive different colours. An edge-coloured graph $G$ is called a \emph{properly connected graph} if every pair of vertices is connected by a proper path. The \emph{proper connection number}, denoted by $pc(G)$, of a connected graph $G$ is the smallest number of colours that are needed in order to make $G$ properly connected. Let $k\geq2$ be an integer. If every two vertices of an edge-coloured graph $G$ are connected by at least $k$ proper paths, then $G$ is said to be a \emph{properly $k$-connected graph}. The \emph{proper $k$-connection number} $pc_k(G)$, introduced by Borozan et al. \cite{Borozan2012}, is the smallest number of colours that are needed in order to make $G$ a properly $k$-connected graph. The aims of this dissertation are to study the proper connection number and the proper 2-connection number of several classes of connected graphs. All the main results are contained in Chapter 4, Chapter 5 and Chapter 6. Since every 2-connected graph has proper connection number at most 3 by Borozan et al. \cite{Borozan2012} and the proper connection number of a connected graph $G$ equals 1 if and only if $G$ is a complete graph by the authors in \cite{Andrews2016, Borozan2012}, our motivation is to characterize 2-connected graphs which have proper connection number 2. First of all, we disprove Conjecture 3 in \cite{Borozan2012} by constructing classes of 2-connected graphs with minimum degree $\delta(G)\geq3$ that have proper connection number 3. Furthermore, we study sufficient conditions in terms of the ratio between the minimum degree and the order of a 2-connected graph $G$ implying that $G$ has proper connection number 2. These results are presented in Chapter 4 of the dissertation. In Chapter 5, we study proper connection number at most 2 of connected graphs in the terms of connectivity and forbidden induced subgraphs $S_{i,j,k}$, where $i,j,k$ are three integers and $0\leq i\leq j\leq k$ (where $S_{i,j,k}$ is the graph consisting of three paths with $i,j$ and $k$ edges having an end-vertex in common). Recently, there are not so many results on the proper $k$-connection number $pc_k(G)$, where $k\geq2$ is an integer. Hence, in Chapter 6, we consider the proper 2-connection number of several classes of connected graphs. We prove a new upper bound for $pc_2(G)$ and determine several classes of connected graphs satisfying $pc_2(G)=2$. Among these are all graphs satisfying the Chv\'{a}tal and Erd\'{o}s condition ($\alpha({G})\leq\kappa(G)$ with two exceptions). We also study the relationship between proper 2-connection number $pc_2(G)$ and proper connection number $pc(G)$ of the Cartesian product of two nontrivial connected graphs. In the last chapter of the dissertation, we propose some open problems of the proper connection number and the proper 2-connection number.

We consider nonparametric stochastic volatility models in discrete time with unknown distribution of the innovations of the return process. As underlying and not observable volatility process we assume a nonparametric autoregressive structure of first order. We are interested in estimators for this autoregression function. The considered models generalise on one hand parametric autoregressive random variance models and on the other hand nonparametric stochastic volatility models for which the distribution of the innovations of the returns is assumed to be known. We make use of the well accepted assumption that volatility changes (rather) slowly. In a first model we deal with the extreme situation that at least two observed returns are based on exactly the same volatility, which brings us to a situation comparable to panel data. Under certain assumptions we can estimate the characteristic function of the distribution of the innovations. We need an estimator of this distribution in order to define a so-called deconvolution kernel estimate for the autoregression function of the volatility process. In this situation we achieve consistency of our estimator. In another situation we assume, that we can observe the volatility disturbed by a noise, which converges to zero in probability whith increasing sample size. Here we investigate nonparametric kernel-smoothers as well and achieve the same asymptotic results for our estimator as in the situation in which we are able to observe the volatility directly. Furthermore we introduce two models, which fulfill these assumptions. Finally we consider a nonparametrich GARCH(1,1)-model and show asymptotic normality of an estimator of the stationary density of a process following this structure., In der vorliegenden Arbeit werden stochastische Volatilitätsmodelle in diskreter Zeit betrachtet. Die Verteilung der Innovationen des Renditeprozesses wird als unbekannt vorausgesetzt. Wir nehmen an, daß der zugrunde liegende nicht beobachtbare Volatilitätsprozeß einer nicht parametrischen autoregressiven Struktur erster Ordnung folgt und sind an einem Schätzer für die Regressionsfunktion interessiert. Die betrachteten Modelle verallgemeinern einerseits parametrische autoregressive Modelle mit zufälliger Varianz und andererseits nichtparametrische stochastische Volatilitätsmodelle, in denen man davon ausgeht die Verteilung der Innovationen des Renditeprozesses zu kennen. Wir machen uns die verbreitete Annahme zu Nutze, daß sich die Volatilität vergleichsweise langsam verändert. In einem ersten Modell nehmen wir den Extremfall an, daß wir mindestens zwei Renditen beobachten können, die auf exakt der gleichen Volatilität basieren. Unter gewissen Annahmen können wir in dieser Situation die charakteristische Funktion der Verteilung der Innovationen schätzen. Mit Hilfe dieser Funktion läßt sich basierend auf einem Dekonvolutionskern ein Schätzer für die Autoregressionsfunktion des Volatilitätsprozesses angeben. In dieser Situation erzielen wir Konsistenz des Schätzers. In einer zweiten Situation nehmen wir an, daß wir die Volatilität um ein Rauschen gestört beobachten können, das mit wachsendem Stichprobenumfang stochastisch gegen Null konvergiert. Hier betrachten wir ebenfalls nichtparametrische Kernschätzer und erzielen die gleichen asymptotischen Resultate wie in der Situation mit direkt beobachtbarer Volatilität. Weiterhin werden zwei Modelle vorgestellt, die eben diese Annahmen erfüllen. Schließlich betrachten wir noch ein nichtparametrisches GARCH(1,1)-Modell und zeigen asymptotische Normalität eines Schätzers der stationären Dichte des Prozesses, der dieser Struktur folgt.

Knotenfärbungen mit Abstandsbedingungen sind graphentheoretische Konzepte, motiviert durch das praktische Problem der Frequenzzuweisung in Mobilfunknetzen. In der Arbeit werden verschiedene Varianten solcher Färbungen vorgestellt. Für (Listen-)Färbungen mit einer beliebigen Anzahl r von Abstandsbedingungen werden allgemeine Eigenschaften und Schranken für die benötigte Anzahl von Farben bewiesen. Anschließend wird der Spezialfall r=2 behandelt. Färbungen mit zwei Abstandsbedingungen - die sogenannten L(d,s)-Labellings - werden für eine Reihe von Graphenklassen untersucht, u.a. für reguläre Parkettierungen, Weg- und Kreispotenzen und Graphen mit Durchmesser 2. Die Listenversion dieser Färbungen - die sogenannten L(d,s)-List Labellings - werden für Wege, Sterne, Kreise und Kakteen betrachtet. Ferner werden Untersuchungen zum Zusammenhang von L(2,1)-Labellings und L(2,1)-List Labellings bei speziellen Bäumen durchgeführt.

Im Jahre 2002 führten A. Hackmann, A. Kemnitz und M. Marangio das Konzept der [r, s, t]-Färbungen als eine Verallgemeinerung der Knoten-, Kanten- und Totalfärbungen von Graphen ein. Für gegebene nicht negative Zahlen r, s und t ist eine [r, s, t]-Färbung von einem Graphen G eine Abbildung c, von V(G) und E(G) auf die Menge {1, 2,…, k}, wobei c(v) und c(w) sich um mindestens r unterscheiden, für je zwei adjazente Konten v, w ; c(e) und c(f) unterscheiden sich um mindestens s für je zwei adjazente Kanten e, f ; und c(v) und c(e) unterscheiden sich um mindestens t für je zwei inzidente Knoten v und Kanten e . Die [r, s, t]-chromatische Zahl von G ist die kleinste Zahl k, für die eine solche Färbung für G existiert. In dieser Dissertation wird die [r, s, t]-chromatische Zahl für Wege, Kreise und Sterne mit drei Blättern vollständig bestimmt. Darüber hinaus werden Schranken für Sterne mit mehr als drei Blättern und weitere Ergebnisse für bipartite und vollständige Graphen vorgestellt.

Die vorliegenden Arbeit enthält Ergebnisse zu Kanten- und Totalfärbungen von Graphen sowie verschiedenen Variationen dieser Färbungen. Eine Kantenfärbung eines Graphen G ist eine Zuordnung von Farben zu den Kanten von G, so dass adjazente Kanten unterschiedliche Farben erhalten. Eine Totalfärbung ist eine Färbung der Knoten und Kanten von G, so dass adjazente Knoten, adjazente Kanten sowie ein Knoten und eine inzidente Kante jeweils unterschiedlich gefärbt werden. Der chromatische Index bzw. die totalchromatische Zahl von G bezeichnen die kleinste Anzahl von Farben, mit denen G kantenfärbbar bzw. totalfärbbar ist. In dieser Arbeit wird unter anderem die totalchromatische Zahl zirkulanter Graphen mit Maximalgrad 3 bestimmt sowie ein Algorithmus entwickelt, der alle planaren kritischen Graphen der Kantenfärbung mit bis zu 12 Knoten konstruiert und darstellt. Das Konzept der Kreisfärbung von Graphen wird von Knoten- auf Kanten- und Totalfärbung übertragen; Eigenschaften des kreischromatischen Index und der kreistotalchromatischen Zahl werden bewiesen und exakte Werte für einige Graphenklassen ermittelt. Die listenchromatische Vermutung wird für outerplanare Graphen mit Maximalgrad >4 bewiesen. Die Konzepte der (a,b)- und (a,b,r)-Listen- färbung werden von Knotenfärbung auf Kantenfärbung übertragen; es werden Eigenschaften dieser Färbungen und Ergebnisse für einzelne Graphenklassen hergeleitet., This thesis contains results for edge and total colourings as well as for some variations of these colourings. An edge colouring of a graph G is an assignment of colours to the edges of G such that adjacent edges are coloured differently. A total colouring is a colouring of the vertices and edges of G such that adjacent vertices, adjacent edges as well as a vertex and an incident edge are coloured differently. The chromatic index or the total chromatic number of G denote the minimum number of colours such that G admits an edge colouring or a total colouring, respectively. Results in this thesis are - among others - the total chromatic number of circulant graphs with maximum degree 3 and an algorithm to construct and draw all planar critical graphs with at most 12 vertices. The concept of circular colourings is transferred from vertex to edge and total colourings. Properties of the circular chromatic index and the circular total chromatic number are proven and exact values are determined for some classes of graphs. The list chromatic conjecture is confirmed for outerplanar graphs with maximum degree >4; the concepts of (a,b)- and (a,b,r)-list colourings are transferred from vertex to edge colouring and properties of these colourings as well as results for special classes of graphs are given.