Search

The monotone iterative technique, theory of fixed point index in a cone and the Leggett-Williams fixed point theorem are applied to investigate the existence and multiplicity of positive solutions for four boundary value problems of nonlinear fractional differential equations with a p-Laplacian point operator and infinite delay. Moreover, examples are presented to illustrate a vast applicability of our main results.

…

…

…

WOS: 000350761100001, In this article, we prove the existence of solutions for three-point fractional differential inclusions with p-Laplacian operator. We use fixed point theory for set valued upper semi-continuous maps for obtaining the solutions.

WOS: 000406322800006, In this paper, we study oscillatory behavior of second-order dynamic equations with damping under some assumptions on time scales. New theorems extend and improve the results in the literature. Illustrative examples are given.

…

This work is concerned with the existence of positive solutions to a nonlinear nonlocal first-order multipoint problem. Here the nonlinearity is allowed to take on negative values, not only positive values.

…

…

…

…

…

…

…

Bu tez çalışmasında q-fark operatörü içeren sınır değer problemlerinin pozitif çözümlerinin varlığı üzerine koşulların incelenmesi amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda öncelikle konunun tarihsel gelişimi anlatılmış, q-fark türev ve integral kavramlarının daha iyi anlaşılması için gerekli tanım ve teoremler verilmiştir. Giriş bölümü dışında üç ana bölümden oluşan tezin bu bölümlerinde farklı yapıda sınır değer problemleri ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, Riemann-Liouville tipindeki kesirli q-türeve sahip integral sınır koşullu bir kesirli q-fark sınır değer problemi ele alınarak bu problemin çözümlerinin varlığı sabit nokta teoremleri ve alt-üst çözüm tekliği kullanılarak incelenmiştir. Dördüncü bölümde, yarı açık aralıkta tanımlı bir kesirli q-fark sınır değer problemi ele alınarak, öncelikle problemin Green fonksiyonu bulunarak bu fonksiyonun özellikleri incelenmiş ve ardından en az bir pozitif çözümün varlığı Schauder sabit nokta teoreminin bir sonucu olarak sunulmuştur. Beşinci ve son bölümde, önce integral sınır koşullu bir problem incelenmiş ve bu problemin sonuçları ışığında p-laplasyen operatörlü farklı bir problem daha ele alınarak çözümlerinin varlığı üzerine sonuçlar elde edilmiştir., In this thesis, it is aimed to examine the conditions on the existence of positive solutions of boundary value problems involving the q-difference operator. For this purpose, first of all, the historical development of the subject is explained, and the necessary definitions and theorems are given for a better understanding of the concepts of q-difference derivative and integral. In these parts of the thesis, which consists of three main parts, apart from the introduction part, boundary value problems with different structures are discussed. In the third chapter, a fractional q-difference boundary value problem with integral boundary condition with fractional q-derivative of Riemann-Liouville type is handled and the existence of solutions of this problem is investigated using fixed point theorems and lower-upper solution uniqueness. In the fourth chapter, a fractional q-difference boundary value problem defined in a semi-open interval is handled, first the Green's function of the problem is found, the properties of this function are examined, and then the existence of at least one positive solution is presented as a result of the Schauder fixed point theorem. In the fifth and at the same time in the last chapter, firstly, a problem with integral boundary condition is examined and in the light of the results of this problem, another problem with p-laplacian operator is handled and results on the existence of its solutions are obtained.

Bu tezin arkasındaki motivasyon, geniş bir doğrusal olmayan kesirli diferansiyel denklemler yelpazesi için hem tek hem de çok sayıda pozitif çözümün varlığının araştırılmasıdır. Ayrıca bu çalışmada, sonlu gecikmeli lineer olmayan kesirli diferansiyel denklemlerin integral sınır değer problemlerini ele alıyoruz. Problemlerin pozitif çözümlerinin varlık sonuçları Guo-Krasnoselskii teoremi ve Leggett-Williams sabit nokta teoremi temelinde elde edilir. Ek olarak, doğrusal olmayan kesirli diferansiyel denklemlerin başka bir varyasyonunun integral sınır değeri problemlerini ele alıyoruz. Problemin pozitif çözümlerinin varlık sonuçları Guo-Krasnoselskii teoremine dayalı olarak elde edilir. Ayrıca, integral sınır koşullarına sahip kesirli diferansiyel denklemlerin lineer olmayan sınır değer probleminin farklı yapıları için pozitif çözümlerin varlığını araştırıyoruz. Prosedür, yeterli koşullara sahip Avery ve Peterson'dan kaynaklanan sabit bir nokta teoremine ve integral sınır değer probleminin ana sonuçlarını elde etmek için Guo-Krasnoselskii teoremine dayanmaktadır. Son olarak, bu tez, Green'in fonksiyon özellikleri, Guo-Krasnosel'skii sabit nokta teoremi, monoton iteratif teknik ve yeterli koşullarla birlikte p-Laplacian operatörlü kesirli diferansiyel denklemlerin tek ve çoklu pozitif çözümlerinin varlığına odaklanmaktadır. Konu ile ilgili örnekler, ilgili bölümlerdeki ana sonuçları açıklamak için sunulmuştur.

İlk olarak kesirli nabla analiz ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Daha sonra, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler ifade edilmiştir. Sınır de§er problemi ele alınarak bu problem için Green fonksiyonu araştırılmıştır ve onunla ilgili bazı özellikler verilmiştir. Daha sonra bu sınır değer probleminin Green fonksiyonunun sınırları belirlenmiş ve çözümünün tekliğiyle ilgili bazı teoremler verilmiştir. Son olarak bu problem için Lyapunov eşitsizliği ispatlanmıştır. (N-1;N) konjuget(conjugate) sınır değer problemi ele alınarak bu problemin Green fonksiyonu bulunmuş ve Lyapunov e³itsizliği ispatlanmıştır. Ayrıca, bütün bölümlerde elde edilen sonuçlar, örneklerle desteklendirilmiştir. Firstly basic deffinitions and theorems related nabla fractional calculus are involved. Later, some basic denitions and theorems which will be used in the other chapters have been expressed. We will consider boundary value problem and also, we determined Green' s function of this BVPand given some properties. Furthermore, we determined bound of Green' s function, and given any theorems about unique solution. Finally we will consider (N-1;N) conjugate boundary valueproblem. After, we determined Green's function of this conjugate BVP' s. Finally, Lyapunov inequality is established. Moreover, the results obtained in the all chapters have been conrmed in the examples. 80

İlk olarak kesirli nabla analiz ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Daha sonra, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler ifade edilmiştir. Sınır de§er problemi ele alınarak bu problem için Green fonksiyonu araştırılmıştır ve onunla ilgili bazı özellikler verilmiştir. Daha sonra bu sınır değer probleminin Green fonksiyonunun sınırları belirlenmiş ve çözümünün tekliğiyle ilgili bazı teoremler verilmiştir. Son olarak bu problem için Lyapunov eşitsizliği ispatlanmıştır. (N-1;N) konjuget(conjugate) sınır değer problemi ele alınarak bu problemin Green fonksiyonu bulunmuş ve Lyapunov e³itsizliği ispatlanmıştır. Ayrıca, bütün bölümlerde elde edilen sonuçlar, örneklerle desteklendirilmiştir., Firstly basic deffinitions and theorems related nabla fractional calculus are involved. Later, some basic definitions and theorems which will be used in the other chapters have been expressed. We will consider boundary value problem and also, we determined Green' s function of this BVP and given some properties. Furthermore, we determined bound of Green' s function, and given any theorems about unique solution. Finally we will consider (N-1;N) conjugate boundary value problem. After, we determined Green's function of this conjugate BVP' s. Finally, Lyapunov inequality is established. Moreover, the results obtained in the all chapters have been confirmed in the examples.

Bu tez esas olarak üç bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde,tez konusu ve tezde yapılan çalışmalar hakkında kısaca bilgi verilmiştir.İkinci bölümde, zaman skalası teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde, sınırsız bir zaman skalasında tanımlı ikinci mertebe lineer olmayan dinamik denklemin salınımlılığı üzerine koşullar incelenmiştir.Elde edilen sonuçlar verilen örneklerle desteklenmiştir., This thesis essentially consists of three chapters. In the first chapter, information concerning the subject of the thesis and works which are related with this subject are shortly given.In the second chapter, firstly basic definitions and theorems related with time scales theory are involved.In the third chapter, osciilation criteria of second order nonlinear dynamic equations has been considered on infinite time scale. The results were confirmed in the examples.

tez esas olarak üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tez konusu ve tezde yapılan çalısmalar hakkında kısaca bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, zaman skalası teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilerek, zaman skalası teorisi tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde, sınırsız bir zaman skalasında tanımlı 2. mertebe lineer olmayan m-noktalı dinamik denklemin en az üç çözümünün varlığı üzerine koşullar incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar verilen örneklerle desteklenmiştir., This thesis essentially consists of three chapters. In the first chapter, information concerning the subject of the thesis and works which are related with this subject are shortly given. In the second chapter, firstly basic definitions and theorems related with time scales theory are involved. In the third chapter, existence of at least three positive solutions of second order m-point nonlinear dynamic equations has been considered on infinite time scale. The results were confirmed in the examples.

Giriş bölümü dışında bu tez iki bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde,tez konusu ve tezde yapılan çalışmalar hakkında kısaca bilgi verilmiştir.İkinci bölümde;zaman skalası ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde;üçüncü mertebe lineer olmayan dinamik denklemin çözümlerinin salınımlılığı üzerine sonuçlar verilmiştir.Elde edilen sonuçlar verilen örneklerle desteklenmiştir., Without the introduction,the thesis consists of two chapters.In the first chapter,information concerning the subject of the thesis and works which are related with this subject are shortly given.In the second chapter,firstly basic definitions and theorems are given on time scales. In the third chapter,some new sufficient conditions for the oscillation of all solutions of nonlinear third order dynamic equations are established.The results are confirmed with the examples.

Giriş bölümü dışında, bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde, ilk olarak zaman skalasında analiz ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Daha sonra, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel tanım ve teoremler ve sabit nokta teoremleri ifade edilmiştir. Üçüncü bölümde, Sabit Nokta İndeks Teoremi kullanılarak, zaman skalasında m-nokta sınır değer problemlerinden oluşan singüler ve semipositone sistemlerin pozitif çözümlerinin varlığı ispatlanmıştır. Lineer olmayan kısmın negatif değerli ve singüler olabileceğine dikkat çekilmiştir. Dördüncü bölümde, ikinci mertebeden lineer olmayan dinamik sistemlerin en az bir çözümünün varlığını garantileyen koşullar elde edilmiştir. Bu bölümde, Schauder Sabit Nokta Teoremi kullanılmıştır. Beşinci bölümde, alt ve üst çözüm metodu uygulanarak, sonsuz zaman skalası üzerinde dinamik sistemlerin çözümünün varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Ayrıca, bütün bölümlerde elde edilen sonuçlar, örneklerle desteklendirilmiştir., Apart from the introduction part, this thesis consists of four chapters. In the second chapter, firstly basic definitions and theorems of time scale calculus are stated. Later, some basic definitions and theorems and fixed point theorems which will be used in the other chapters are expressed. In the third chapter, the existence of positive solutions for the singular semipositone systems of second order m-point boundary value problems on time scales have been proved, by using Fixed Point Index Theorem. It is emphasized that the nonlinear term need not to be positive and allowed to be singular. In the fourth chapter, we obtain the sufficient conditions that guarantee the existence of positive solutions for second order nonlinear dynamic systems by means of Schauder Fixed Point Theorem. In the fifth chapter, the existence and uniqueness of solutions for dynamic systems on an infinite time scale is proved via lower and upper solutions. Moreover, the results obtained in the all chapters have been confirmed by examples.

Bu tezin giriş bölümü dışında, iki bölümü vardır.Giriş bölümünde, öncelikle Zaman Skalası çalışmalarının tarihçesinden bahsedilmiş ve bu tezin ana problemiyle ilgili bazı çalışmalar sunulmuştur. Bu çalışmalardan hareketle ana problemin tartışılması amaçlanmıştır.2. Bölümünde; Zaman Skalası ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.3. Bölümünde; Sınırlı olmayan Zaman Skalası üzerinde tanımlı semipoziton singular Sturm Liouville sınır değer probleminin pozitif çözümünün varlığı için yeterli koşullar Guo-Krosnosels?kii sabit nokta teoremi yardımıyla elde edilmiştir.Anahtar sözcükler: Zaman Skalası, sabit nokta teoremleri, sınır değer problemi, Sturm Liouville problemi, semipoziton problem, pozitif çözüm. Apart from the introduction, the thesis consists of two chapters.In the Introduction, initially the history of studies regarding Time Scales are mentioned, and then some problems related to the main problem of this thesis is briefly presented. As motivated by previous studies, it is aimed to discuss the main problem.In Chapter 2; basic definitions and theorems which are related to Time Scales are given.In Chapter 3; the proof of a sufficient condition for the existence of positive solution for semipositone singular Sturm-Liouville boundary value problem on the half-line of an unbounded time scale by using Guo-Krosnosels'kii fixed point theorem is obtained.Keywords: Time scales, fixed point theorems, boundary value problem, Sturm Liouville problem, semipositone, positive solutions. 62

Bu tez esas olarak beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tez konusu ve tezde yapılan çalışmalar hakkında kısaca bilgi verilmiştir.İkinci bölümde, ilk olarak zaman skalası teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiş ve daha sonra zaman skalasında yeni periyodiklik kavramı tanıtılmış ve son olarak bu tezde kullanılan bazı tanım ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde, ilk olarak $delta_/pm$ kaydırma operatörü ve $/Delta-$üstel fonksiyonu ile ilgili bir kaç özellik verilmiş ve daha sonra da yeni periyodiklik kavramı kullanılarak başlanğıç koşullu bir lineer dinamik denklemin ve $/delta_-$ geriye kaydırma operatörlü lineer olmayan bir dinamik denklemin $/delta_/pm$ kaydırma operatörüne göre periyodik çözümleri için varlık teoremleri ispatlanmıştır.Dördüncü bölümde, zaman skalasında ikinci mertebeden $p$-Laplasyen dört nokta sınır değer problemi incelenmiştir. Uygun sabit nokta teoremleri kullanılarak problemin pozitif çözümleri için varlık teoremleri ispatlanmıştır. Ayrıca, alt ve üst çözümler yardımı ile problemin pozitif çözümünün varlığı gösterilmiştir.Beşinci bölümde, zaman skalasının simetrik bir alt aralığı üzerinde tanımlı dördüncü mertebeden ve artan homeomorfizm ve homomorfizmalı sınır değer probleminin simetrik pozitif çözümleri için varlık teoremleri ispatlanmıştır. This thesis essentially consists of five chapters. In the first chapter, information concerning the subject of the thesis and works which are related with this subject are shortly given.In the second chapter, firstly basic definitions and theorems related with time scales theory are involved. Later a new periodicity concept for time scales has been introduced and finally some definitions and theorems which will be used in the thesis have been given.In the third chapter, firstly some propositions about the $/delta_/pm$ shift operators and $/Delta-$exponential function are given and then by using the new periodic concept, the existence theorems for periodic solutions in $/delta_/pm$ shift operators of an initial value linear dynamic equation and a nonlinear dynamic equation with $/delta_-$ backward shift operator on periodic time scales in $/delta_/pm$ shift operators are proven.In the fourth chapter, a second order four-point $p$-Laplacian boundary value problem has been considered on time scales. By using suitable fixed point theorems, the existence theorems for positive solutions of this problem are proven. Also, existence of the positive solution for this problem is given by the lower and upper solution method.In the fifth chapter, the existence theorems for symmetric positive solutions of fourth order boundary value problems for an increasing homeomorphism and homomorphism on symmetric intervals of time scales are proven. 121

Bu tez, giriş bölümü hariç, esas olarak üç bölümden oluşmaktadır.İkinci bölümde zaman skalası ile ilgili temel kavramlar ve bazı teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde zaman skalası üzerinde tanımlı üçüncü mertebe lineer olmayan p-Laplacian sınır değer problemi ele alınmıştır. İlk olarak problemin çözümünün yapısı incelenmiş ardından sabit nokta teoremleri yardımıyla pozitif çözümlerin varlığı ispatlanmıştır ve bir örnekle pekiştirilmiştir.Dördüncü bölümde ise zaman skalasında üçüncü mertebe öz değer probleminin çözümünün varlığı ve tekliği incelenmiştir. Son olarak reel sayılar üzerinde tanımlı bir örnek verilmiştir. Except the introduction, this thesis contain in three main sections.In the second section some basic rules and theorems of calculus have been given on time scales.In the third section nonlinear third-order p-Laplacian boundary value problems have been examined on time scales. First of all the solution of the problem structure examined and then with the help of fixed point theorems proved the existence of positive solutions and reinforced with an example.In the fourth section when the scale of existence and uniqueness of the third-order solution to the problem of self-worth were examined. Finally, an example is defined on real numbers. 77

Giriş bölümü dışında bu tez üç bölümden oluşmaktadır.2. Bölümde; zaman skalası ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.3. Bölümde; ilk önce ikinci mertebe lineer olmayan m-nokta sınır değer probleminin pozitif çözümleri için varlık teoremleri ispatlanmıştır. Daha sonra artan bir homeomorfizma ve homomorfizma olan fonksiyonu ile verilen ikinci mertebe m-nokta sınır değer probleminin sıfırdan farklı çözümünün varlığı ve tekliği için yeter koşullar elde edilmiştir.4. Bölümde; ikinci mertebe lineer olmayan dinamik denklemin tek çözümüne düzgün yakınsayan monoton bir dizinin varlığı incelenmiştir.Anahtar sözcükler: Zaman skalası, m-nokta sınır değer problemi, dinamik denklem, aşikar olmayan çözümler, sabit nokta teoremleri. Without the introduction, the thesis consists of three chapters.In Chapter 2; basic definitions and theorems are given on time scales.In Chapter 3; firstly existence theorems for positive solutions of the second order nonlinear m-point boundary value problem together with given an increasing homeomorphism and homomorphism function has proved. Then sufficient conditions for the existence and uniqueness of nontrivial solution of the second order nonlinear m-point boundary value problem are obtained.In Chapter 4; the existence of a monotone sequence converging uniformly to unique solution of second order nonlinear dynamic equation is examined.Key words: Time scale, m-point boundary value problem, dynamic equations, nontrivial solutions, fixed point theorems. 135

80