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The topic of dissipation by macroscopic flows is approached by considering two of its most representative occurences, namely dissipation by plasma flows in the vanishing collisionality limit and dissipation by fluid flows in the vanishing viscosity limit. It is argued that dissipation can arise either due to the residual effect of a microscopic coupling parameter, or due to purely macroscopic nonlinear mixing effects. The combination of these two phenomena puts the problem out of reach of the most successful statistical methods that have been developed in the context of conservative systems, and also raises fundamental mathematical questions. Moreover, explicit computations that would resolve all scales of such flow are still unfeasible in this context, because of the present limitations in memory size and number of operations. It is thus widely recognized that new ways have to be found to make progress. For that purpose, we explore the applicability of a multiscale wavelet framework. First, the partial differential equations which describe the flow must be recast into a discrete wavelet representation, while preserving consistency with the dissipative mechanisms we have outlined. This step, which we call regularization, is the subject of two chapters in this thesis, concerning the special cases of the one-dimensional Vlasov-Poisson equations on the one hand, and of the two-dimensional incompressible Euler equations on the other hand. The possibilities to develop these schemes for the practical simulation of flows is assessed, and they are compared with other existing regularizations mechanisms. To proceed further, the origin of the residual dissipation must be tracked down and linked to mathematical properties of the solutions. We obtain some elements in this direction by studying the collision of a vorticity dipole with a wall in the vanishing viscosity limit. If the solutions are known behave well mathematically, one can readily move to the next step, which is the definition of macroscopic dissipation in the wavelet representation. This is the case for two-dimensional homogeneous turbulent flows which we subsequently address. Finally, as a perspective for future work, we perform a preliminary wavelet analysis of a three-dimensional turbulent boundary layer flow., Le problème de la dissipation par les écoulements macroscopiques est abordé par l'entremise de deux de ses manifestations les plus représentatives, la dissipation par les écoulements plasmas dans la limite de faible collisionalité, et la dissipation par les écoulements fluides dans la limite de faible viscosité. On part du principe que la dissipation peut avoir deux causes distinctes, soit l'effet résiduel d'un paramètre de couplage au niveau microscopique, soit l'effet purement macroscopique du mélange non-linéaire. La combinaison de ces deux phénomènes rend le problème impossible à traiter par les méthodes habituelles qui ont été appliquées avec succès aux systèmes conservatifs, et soulève des questions mathématiques fondamentales. De plus, le calcul explicite à toutes les échelles de tels écoulements n'est pas encore envisageable dut fait des limitations actuelles de la taille mémoire et de la vitesse des opérations. Il est donc communément admis que de nouvelles méthodes doivent être développées. Dans ce but, on explore le potentiel d'une approche multi-échelles en ondelettes. Tout d'abord, les équations aux dérivées partielles décrivant l'écoulement doivent être reformulées dans le cadre d'une représentation discrète en ondelettes qui reste compatible avec les mécanismes dissipatifs soulignés plus haut. Cette étape, appelée régularisation, fait l'objet de deux chapitres de cette thèse, concernant les cas particuliers des équations de Vlasov-Poisson d'une part, et des équations d'Euler bi-dimensionelles incompressibles d'autre part. On évalue la faisabilité d'un calcul des écoulements en utilisant les schémas ainsi développés, et on compare ces derniers à d'autres schémas proposés précédemment. Pour aller plus loin, il faut remonter aux origines de la dissipation résiduelle et la relier aux propriétés mathématiques des solutions. On obtient quelques éléments allant dans cette direction en étudiant numériquement le phénomène de collision d'un dipôle de vorticité avec une paroi dans la limite de faible viscosité. Lorque les solutions se comportent bien mathématiquement, comme c'est le cas pour les écoulements turbulents bi-dimensionels homogènes que nous abordons ensuite, on peut dors et déjà passer à l'étape suivante qui est la définition de la dissipation macroscopique dans la représentation en ondelettes. Finalement, on présente une analyse en ondelettes d'un écoulement turbulent tri-dimensionel dans une couche limite, ce qui ouvre des perspectives pour l'extension de la méthode.

This work concerns wavelet numerical methods for the simulation of incompressible turbulent flow. The main objective of this work is to take into account physical boundary conditions in the resolution of Navier-Stokes equations on wavelet basis. Unlike previous work where the vorticity field was decomposed in term of classical wavelet bases, the point of view adopted here is to compute the velocity field of the flow in its divergence-free wavelet series. We are then in the context of velocity-pressure formulation of the incompressible Navier-Stokes equations, for which the boundary conditions are written explicitly on the velocity field, which differs from the velocity-vorticity formulation. The principle of the method implemented is to incorporate directly the boundary conditions on the wavelet basis . This work extends the work of the thesis of E. Deriaz realized in the periodic case. The first part of this work highlights the definition and the construction of new divergence-free and curl-free wavelet bases on $[0,1]^n$, which can take into account boundary conditions, from original works of P. G. Lemarie-Rieusset, K. Urban, E. Deriaz and V. Perrier. In the second part, efficient numerical methods using these new wavelets are proposed to solve various classical problem: heat equation, Stokes problem and Helmholtz-Hodge decomposition in the non-periodic case. The existence of fast algorithms makes the associated methods more competitive. The last part is devoted to the definition of two new numerical schemes for the resolution of the incompressible Navier-Stokes equations into wavelets, using the above ingredients. Numerical experiments conducted for the simulation of driven cavity flow in two dimensions or the issue of reconnection of vortex tubes in three dimensions show the strong potential of the developed algorithms., Ce travail de thèse concerne les méthodes numériques à base d'ondelettes pour la simulation de la turbulence incompressible. L'objectif principal est la prise en compte de conditions aux limites physiques dans la résolution des équations de Navier-Stokes. Contrairement aux travaux précédents où la vorticité était décomposée sur base d'ondelettes classiques, le point de vue qui est adopté ici vise à calculer le champ de vitesse de l'écoulement sous la forme d'une série d'ondelettes à divergence nulle. On est alors dans le cadre des équations de Navier-Stokes incompressibles en formulation vitesse-pression, pour lesquelles les conditions aux limites sur la vitesse s'écrivent explicitement, ce qui diffère de la formulation vitesse-tourbillon. Le principe de la méthode développée dans cette thèse consiste à injecter directement les conditions aux limites sur la base d'ondelettes. Ce travail prolonge la thèse de E. Deriaz réalisée dans le cas périodique. La première partie de ce travail a donc été la définition et la mise en œuvre de nouvelles bases d'ondelettes à divergence nulle ou à rotationnel nul sur $[0,1]^n$, permettant la prise en compte de conditions aux limites, à partir des travaux originaux de P. G. Lemarié-Rieusset, K. Urban, E. Deriaz et V. Perrier. Dans une deuxième partie, des méthodes numériques efficaces utilisant ces nouvelles ondelettes sont proposées pour résoudre différents problèmes classiques : équation de la chaleur, problème de Stokes et calcul de la décomposition de Helmholtz-Hodge en non périodique. L'existence d'algorithmes rapides associés rend les méthodes compétitives. La dernière partie est consacrée à la définition de deux nouveaux schémas de résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles par ondelettes, qui utilisent les ingrédients précédents. Des expériences numériques menées pour la simulation d'écoulement en cavité entraînée en dimension deux ou le problème de la reconnection de tubes de vortex en dimension trois montrent le fort potentiel des algorithmes développés.

Used for a long time in life sciences, signal processing appeared only recently in the network community. It comes as a surprise that two complex systems, the heart and a computer network, as remote as they can be, share similar scale-invariant laws. Without claiming that they are the fingerprints of comparable structures, these scaling properties call for the same analysis, estimation, or modeling tools, whose design is at the core of the present work. It is also this methodological unity that allowed to decompartmentalize the various application domains that were investigated. In the first section, I list my contributions to the information sciences, classified in two main categories: - the time-frequency representations that aim at a better deployment of the information contained in the signal, so as to reveal certain organizations or properties difficult to identify otherwise; - the statistical tools which, prompted by time-frequency developments and in particular wavelet progresses, extend the exploitation resources of these representations. In the second section, I use two applications standing at the center of my activity, namely the study of communication systems and the analysis of heart beat rate, to illustrate the original and practical results stemming from the application of these theoretical advances. Finally, these two examples lead me to advocate a global and cooperative approach of complexity, in order to better understand the mechanisms at the origin of systems.; Manifeste depuis longtemps dans les sciences du vivant, le traitement du signal, apparaît plus tardivement dans la communauté réseaux. On est alors surpris de voir que deux systèmes complexes, aussi distants que le coeur et un réseau informatique, présentent du point de vue des lois d'échelle, des invariances très semblables. Sans dire qu'elles sont les signatures de structures comparables, ces propriétés font néanmoins appel aux mêmes outils d'analyse, d'estimation ou de modélisation, et c'est dans la conception de ceux-ci que se situe le travail présenté. Cette "unité méthodologique" est le fil conducteur qui m'a permis de décloisonner les différents domaines de recherche abordés. Dans une première partie je trace un bilan de mes différentes contributions aux sciences de l'information, classées selon deux grandes catégories: - Les représentations temps-fréquence dont l'objectif est un meilleur redéploiement de l'information contenue dans le signal pour mettre en évidence certaines organisations ou propriétés difficiles à identifier autrement; - Les outils statistiques qui, stimulés par les progrès accomplis sur les représentations en général et les ondelettes en particulier, augmentent en retour les possibilités d'exploitation de ces objets. Dans un deuxième temps, j'illustre avec les deux applications qui sont au centre de mon activité - étude des systèmes de communication et analyse du système cardiovasculaire - des résultats originaux et concrets issus de l'application de ces outils théoriques. Enfin, ces exemples me donnent l'occasion de conclure en défendant la vision d'une approche coopérative et globale de la complexité en vue d'une meilleure compréhension des mécanismes à l'origine des systèmes.

Used for a long time in life sciences, signal processing appeared only recently in the network community. It comes as a surprise that two complex systems, the heart and a computer network, as remote as they can be, share similar scale-invariant laws. Without claiming that they are the fingerprints of comparable structures, these scaling properties call for the same analysis, estimation, or modeling tools, whose design is at the core of the present work. It is also this methodological unity that allowed to decompartmentalize the various application domains that were investigated. In the first section, I list my contributions to the information sciences, classified in two main categories: - the time-frequency representations that aim at a better deployment of the information contained in the signal, so as to reveal certain organizations or properties difficult to identify otherwise; - the statistical tools which, prompted by time-frequency developments and in particular wavelet progresses, extend the exploitation resources of these representations. In the second section, I use two applications standing at the center of my activity, namely the study of communication systems and the analysis of heart beat rate, to illustrate the original and practical results stemming from the application of these theoretical advances. Finally, these two examples lead me to advocate a global and cooperative approach of complexity, in order to better understand the mechanisms at the origin of systems.; Manifeste depuis longtemps dans les sciences du vivant, le traitement du signal, apparaît plus tardivement dans la communauté réseaux. On est alors surpris de voir que deux systèmes complexes, aussi distants que le coeur et un réseau informatique, présentent du point de vue des lois d'échelle, des invariances très semblables. Sans dire qu'elles sont les signatures de structures comparables, ces propriétés font néanmoins appel aux mêmes outils d'analyse, d'estimation ou de modélisation, et c'est dans la conception de ceux-ci que se situe le travail présenté. Cette "unité méthodologique" est le fil conducteur qui m'a permis de décloisonner les différents domaines de recherche abordés. Dans une première partie je trace un bilan de mes différentes contributions aux sciences de l'information, classées selon deux grandes catégories: - Les représentations temps-fréquence dont l'objectif est un meilleur redéploiement de l'information contenue dans le signal pour mettre en évidence certaines organisations ou propriétés difficiles à identifier autrement; - Les outils statistiques qui, stimulés par les progrès accomplis sur les représentations en général et les ondelettes en particulier, augmentent en retour les possibilités d'exploitation de ces objets. Dans un deuxième temps, j'illustre avec les deux applications qui sont au centre de mon activité - étude des systèmes de communication et analyse du système cardiovasculaire - des résultats originaux et concrets issus de l'application de ces outils théoriques. Enfin, ces exemples me donnent l'occasion de conclure en défendant la vision d'une approche coopérative et globale de la complexité en vue d'une meilleure compréhension des mécanismes à l'origine des systèmes.

This memoir deals with Partial Diefferential Equations, especially evolution nonlinear equations of parabolic type. The models I have been studying mainly arise from Fluid Mechanics and Geophysics, or from Mathematical Biology and Probability theory. Much of my work is devoted to a better understanding of the asymptotic properties of the solutions: the study of their behavior for large time and in the far-field under different perspectives (energy dissipation, time decay or growth, asymptotic proles, selfsimilarity, spatial spreading, localization issues. . . ), as well as the asymptotic analysis when a physical parameter inside the models goes to zero, represent my most important contribution. It should be stressed that the Navier{Stokes equations represent an outstanding challenge for all these issues. Not surprisingly, these equations take an important place in my work. A couple of my papers [12, 13], deal with functional analysis (in particular, with the theory of multipliers in Sobolev spaces) or harmonic analysis and approximation theory, in connection with wavelet bases. These two contributions to Analysis are quite independent from the rest of my scientic production, though they are not completely unrelated. Indeed harmonic analysis is present throughout my work: the classical Fourier analysis (for example, the Fourier splitting method) often yields to sharp results on the long time behavior. The Littlewood-Paley analysis is a powerful tool for obtaining existence results. Moreover, the use of a large panel of function spaces (some of them considered as somewhat exhotic in the PDE community until recently) provides valuable information on the solutions. For example, Besov spaces with negative regularity can be used to measure their oscillating character, weighed spaces tell us about their localization; Morrey and Lorentz spaces are a good setting where to study selfsimilarity, etc. In addition, many physical models have a non-local nature: a perturbation of a quantity in some region of the space aects the whole system even far from that region. We usually attack these models by recasting the initial PDE as a pseudodifferential equation. The theory of singular integrals, well-suited for the study of non-local phenomena, will also play an important role., Ce mémoire constitue un travail de synthèse de nos travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles, notamment les équations non-linéaires de type parabolique. Les modèles traités ici sont issus principalement de la mécanique des fluides, de la géophysique, ou des bio-mathématiques ; dans d'autres cas les motivations viennent de la théorie des probabilités. On touchera ici aux questions centrales de l'existence, de l'unicité, ou de l'explosion en temps fini des solutions, qui occupent une place importante dans nos travaux, ainsi qu'à leur comportement asymptotique. C'est précisément l'étude de propriétés fines sur le comportement en temps long, ou sur le comportement à l'infini en variable d'espace sous de différentes perspectives (dissipation de l'énergie, croissance ou décroissance temporelle, profils asymptotiques, autosimilarité, diffusion spatiale, questions de localisation, etc.) qui représente notre contribution la plus importante. Les équations de Navier–Stokes constituent un défi remarquable pour toutes ces questions : en effet, il est rare que des techniques ou idées standards apportent des avancées vraiment significatives dans ce modèle. C'est pourquoi ces équations occupent une place privilégiée dans nos travaux. Le premier chapitre est donc consacré au système de Navier–Stokes, et le deuxième à d'autres modèles de la mécanique des fluides incompressibles (magnéto–hydrodynamique, système de Boussinesq, etc.) qui sont des généralisations assez naturelles de celui-ci. On insistera notamment sur l'étude de propriétés qualitatives des solutions qui sont spécifiques à chacun de ces modèles. Dans le troisième chapitre nous abordons le problème de la stabilité des écoulement stationnaires. Le quatrième chapitre est consacré à l'étude de l'autosimilarité : nous aurons alors l'opportunité de revenir sur les équations de Navier–Stokes, mais aussi d'introduire d'autres systèmes, et d'étudier une équation non-locale de convection avec diffusion non-standard. Dans le cinquième chapitre nous nous intéressons à deux modèles bien connus en chimiotactisme : nous y présentons nos travaux sur la convergence du système parabolique-parabolique de Keller–Segel vers le système parabolique–elliptique, ainsi qu'un théorème d'explosion. Dans le dernier chapitre nous illustrons les résultats de deux articles, dans lesquels nous apportons une contribution à l'analyse fonctionnelle et harmonique, sur des questions liées à la théorie des multiplicateurs dans les espaces de Sobolev, à la théorie de l'approximation et aux bases d'ondelettes. Ces deux contributions à l'Analyse, a priori assez indépendantes du reste de notre production, n'en sont pas complètement déconnectées. En effet de différentes techniques d'analyse harmonique apparaissent souvent dans nos démonstrations : l'analyse de Fourier classique d'abord (la méthode de Fourier splitting par exemple), qui conduit à des résultats souvent optimaux dans l'étude du comportement en temps long des solutions ; l'analyse de Littlewood–Paley est un outil puissant pour prouver des résultats d'existence ou d'unicité ; les espaces de Besov permettent non seulement de mesurer avec précision la régularité des solutions, mais ils peuvent également nous renseigner sur leur caractère oscillant. Nous avons aussi été amenés à développer certains aspects de la théorie des espaces à poids afin de résoudre un problème de localisation en magnéto-hydrodynamique. De plus, la plupart des modèles que nous avons étudiés ont une nature non locale : la perturbation d'une quantité dans une région de l'espace a des répercussions importantes sur le comportement du système entier, même à de grandes distances. Nous abordons l'étude de ces modèles en les réécrivant sous une forme pseudo-différentielle. Les applications de la théorie des intégrales singulières sont, alors, souvent décisives dans notre travail. Les sections 1.1.1 et 1.1.2 présentent des résultats directement issus de la thèse. Le chapitre 6 est lui aussi étroitement lié à la thèse, bien que les théorèmes qu'ils y sont présentés aient été ré-élaborés assez en profondeur. Le reste du chapitre 1 et les chapitres 2 à 5 contiennent nos résultats plus récents. Ces chapitres se terminent par une section illustrant des perspectives, ainsi que quelques pistes pour des recherches futures.

La biométrie se réfère à la reconnaissance automatique des individus basée sur leurs caractéristiques physiologiques et/ou comportementales. Les systèmes biométriques unimodaux permettent de reconnaître une personne en utilisant une seule modalité biométrique, mais ne peuvent pas garantir avec certitude une bonne identification. De plus, ces systèmes sont sensibles au bruit introduit par l'unique capteur, à la non-universalité et au manque d'individualité de la modalité biométrique choisie ainsi qu'aux tentatives d'intrusion. La plupart de ces problèmes peuvent être réduits par la mise en place de systèmes biométriques multimodaux utilisant plusieurs signatures biométriques d'une même personne. Dans cette thèse, nous abordons plusieurs points importants concernant la biométrie multimodale. Tout d'abord, après avoir dressé un état de l'art en fusion multimodale, nous faisons le lien entre le fonctionnement du cerveau et certains algorithmes fondamentaux utilisés en reconnaissance faciale. Ensuite, nous mettons en avant l'utilisation des ondelettes à divers niveaux du système biométrique multimodal. Enfin, l'exploration de nouvelles techniques de fusion de signatures biométriques issues du visage (modalité naturelle et non intrusive) et de l'iris (une des modalités les plus précises) ainsi que des analyses statistiques à grande échelle des scores de similarité provenant de chaque modalité ont permis de mettre au point une méthode originale de fusion adaptative combinant l'utilisation des ondelettes et des moments statistiques.

Wavelets and wavelet packet transforms are widely used for analyzing and solving problems related to science and engineering techniques. This growth is mainly due to two specific properties that result from decompositions on wavelet bases: the sparse representation of regular and piecewise regular signals, the tendency to transform a stationary random process into quasi decorrelated and Gaussian sequences. Both properties are observed experimentally and justify many treatments carried out on the coefficients obtained by projection on wavelet bases. However, the theoretical results describing the asymptotic autocorrelations and distributions associated with wavelet packet coefficients are not always of the same nature. The first part of the thesis provides these results. The results obtained thus lead to more realistic schemes for the asymptotic autocorrelation functions and distributions of wavelet packet coefficients and are supported by numerous experimental results. The second part of the thesis analyzes sparsity properties of wavelet bases and proposes the use of sparse-descriptive based thresholds. These thresholds establish a link between non-parametric detection and estimation in the sense that good detection leads to better estimation. The detection thresholds obtained also unify the minimax and universal thresholds in the sense that these thresholds correspond to detection thresholds associated with different sparsity degrees. On the other hand, this thesis also unifies basic soft and hard thresholding functions by introducing a new family of smooth sigmoid based shrinkage functions: the SSBS functions. In fact, the hard and soft thresholding functions are degenerated SSBS functions, in contrast to non-degenerated SSBS functions which are smooth with very flexible attenuation degrees. In addition, the performance of the non-parametric estimation using detection thresholds and SSBS functions is analyzed for natural image denoising, via the mean square error and visual quality assessment.; Les transformées en ondelettes et par paquets d'ondelettes se sont largement imposées dans l'analyse et la résolution de problèmes liés aux sciences et techniques de l'ingénierie. Cet essor est dû principalement à deux propriétés spécifiques qui résultent des décompositions sur les bases d'ondelettes : la parcimonie de représentation pour les signaux réguliers et réguliers par morceaux; la tendance à transformer un processus aléatoire stationnaire en séquences de processus Gaussiens décorrélés. Ces deux propriétés sont observées expérimentalement et justifient de nombreux traitements effectués sur les coefficients obtenus par projection sur les bases d'ondelettes. Cependant, les résultats théoriques précisant la corrélation et la distribution asymptotiques des coefficients de paquets d'ondelettes sont de natures significativement différentes. La première partie de cette thèse propose une analyse de ces résultats théoriques, met en lumière la complexité du problème posé, et montre les résultats qu'on l'on peut obtenir à partir des critères de convergence. Les problèmes traités concernent à la fois les fonctions d'autocorrélation et les distributions asymptotiques des coefficients de paquets d'ondelettes de processus stationnaires. Les résultats annoncés conduisent à des schémas plus réalistes qui sont, de surcroît, soutenus par des résultats expérimentaux. La seconde partie de cette thèse analyse les propriétés de parcimonie des transformées à base d'ondelettes et propose l'utilisation de seuils associés à une mesure de parcimonie. Ces seuils établissent un lien entre la détection à l'estimation non-paramétrique, lien que nous résumons par la formule ``bien détecter pour mieux estimer''. Ces seuils unifient les seuils minimax et universels, qui correspondent ainsi à des seuils de détection associés à des degrés différents de parcimonie. D'autre part, cette thèse unifie également les fonctions de seuillage de base (seuillage dur et doux) de l'estimation non-paramétrique par l'introduction d'une famille de fonctions à atténuation de type sigmoïdale : les fonctions SSBS. Les fonctions de seuillage dur et doux sont alors des fonctions SSBS dégénérées, les fonctions SSBS non-dégénérées étant des fonctions régulières et à degré d'atténuation flexible. Les performances de l'estimation non-paramétrique utilisant les seuils de détection et les fonctions SSBS sont également analysées, tant du point de vue de l'erreur quadratique moyenne que de celui de la qualité visuelle en débruitage d'images.

This thesis in image processing addresses the problem of the highlight of some remarquable structures, such as objects we perceive visually. These can be monodimensional, like contours, as well as bidimensional, corresponding to more complex objects. An important problem in computer vision consists on detecting such structures, and also extracting characteristic features from them. In many applications, such as object recognition, image matching, motion tracking or the enhancement of some particular elements, it is a first step before other high-level operations. Thereby, the formulation of performant detectors appears as essential. We show that this can be carried out using wavelet decompositions; in particular, it is possible to define some maxima lines, which turn out as relevant to this problem : one the one hand, so as to detect objects (given by some regions of interest), and, on the other hand, in order to characterize them (computations of Lipschitz regularity and of characteristic scale). This original approach for detection, based on maxima lines, can thus be compared to classical approches., Cette thèse en traitement d'images aborde le problème de la mise en évidence de certaines structures remarquables, comme des objets que nous percevons visuellement. Celles-ci peuvent être autant monodimensionnelles, comme des contours, que bidimensionnelles, ce qui correspond des objets plus complexes. Un problème important issu de la vision par ordinateur est de détecter de telles structures, ainsi que d'extraire des grandeurs caractéristiques de celles-ci. Dans diverses applications, comme la reconnaissance d'objets, l'appariement d'images, le suivi de mouvement ou le rehaussement de certains éléments particuliers, il s'agit d'une première étape avant d'autres opérations de plus haut niveau. Ainsi, la formulation de détecteurs performants apparaît comme essentielle. Nous montrons que cela peut être réalisé grâce des décompositions en ondelettes ; en particulier, il est possible de définir certaines lignes de maxima, qui s'avèrent pertinentes vis à vis de ce problème : d'une part, pour détecter des objets (par des régions d'intérêt), et, d'autre part, afin de les caractériser (calculs de régularité Lipschitzienne et d'échelle caractéristique). Cette approche originale de détection fondée sur des lignes de maxima peut alors être comparée aux approches classiques.

This thesis in image processing addresses the problem of the highlight of some remarquable structures, such as objects we perceive visually. These can be monodimensional, like contours, as well as bidimensional, corresponding to more complex objects. An important problem in computer vision consists on detecting such structures, and also extracting characteristic features from them. In many applications, such as object recognition, image matching, motion tracking or the enhancement of some particular elements, it is a first step before other high-level operations. Thereby, the formulation of performant detectors appears as essential. We show that this can be carried out using wavelet decompositions; in particular, it is possible to define some maxima lines, which turn out as relevant to this problem : one the one hand, so as to detect objects (given by some regions of interest), and, on the other hand, in order to characterize them (computations of Lipschitz regularity and of characteristic scale). This original approach for detection, based on maxima lines, can thus be compared to classical approches.; Cette thèse en traitement d'images aborde le problème de la mise en évidence de certaines structures remarquables, comme des objets que nous percevons visuellement. Celles-ci peuvent être autant monodimensionnelles, comme des contours, que bidimensionnelles, ce qui correspond des objets plus complexes. Un problème important issu de la vision par ordinateur est de détecter de telles structures, ainsi que d'extraire des grandeurs caractéristiques de celles-ci. Dans diverses applications, comme la reconnaissance d'objets, l'appariement d'images, le suivi de mouvement ou le rehaussement de certains éléments particuliers, il s'agit d'une première étape avant d'autres opérations de plus haut niveau. Ainsi, la formulation de détecteurs performants apparaît comme essentielle. Nous montrons que cela peut être réalisé grâce des décompositions en ondelettes ; en particulier, il est possible de définir certaines lignes de maxima, qui s'avèrent pertinentes vis à vis de ce problème : d'une part, pour détecter des objets (par des régions d'intérêt), et, d'autre part, afin de les caractériser (calculs de régularité Lipschitzienne et d'échelle caractéristique). Cette approche originale de détection fondée sur des lignes de maxima peut alors être comparée aux approches classiques.

This dissertation is concerned with the use of wavelet methods in semiparametric partially linear models. These models are composed by a linear component with unknown regression coefficients and an unknown nonparametric function. The aim is to estimate both of the predictors, possibly under the presence of correlation. A wavelet thresholding based procedure is built to estimate the nonparametric part of the model using a penalized least squares criterion. We establish a connection between different thresholding schemes and M-estimators in linear models with outliers, where the wavelet coefficients of the nonparametric part of the model are considered as outliers. We also propose an estimate for the noise variance. Some asymptotic results of the estimates of both the parametric and the nonparametric part are given. Their behavior is close to optimality, up to a logarithmic factor, under usual restrictions for the correlation between variables. Simulations illustrate the properties of the proposed methodology and compare it with existing methods. An application to real data from functional IRM is also presented. The last part of this work deals with the extension to nonequidistant observations for the nonparametric part, comparing in particular via simulations nonparametric estimation procedures., L'objet de cette thèse est d'apporter une contribution à l'inférence dans les modèles partiellement linéaires en appliquant des méthodes d'estimation adaptative par ondelettes. Ces modèles de régression semi-paramétriques distinguent des relations linéaires et des relations fonctionnelles, non paramétriques. L'inférence statistique consiste à estimer conjointement les deux types de prédicteurs, en prenant en compte leur possible corrélation. Une procédure des moindres carrés pénalisés permet d'introduire une estimation par ondelettes avec seuillage des coefficients de la partie fonctionnelle. Un parallèle est établi avec une estimation du paramètre de régression par des M-estimateurs usuels dans un modèle linéaire, les coefficients d'ondelettes de la partie fonctionnelle étant considérés comme des valeurs aberrantes. Une procédure d'estimation de la variance du bruit est aussi proposée. Des résultats relatifs aux propriétés asymptotiques des estimateurs de la partie linéaire et de la partie non paramétrique sont démontrés lorsque les observations de la partie fonctionnelle sont réalisées en des points équidistants. Sous des restrictions usuelles de corrélation entre les variables explicatives, les résultats sont presque optimaux (à un logarithme près). Des simulations permettent d'illustrer les comportements des estimateurs et de les comparer avec d'autres méthodes existantes. Une application sur des données d'IRM fonctionnelle a aussi été réalisée. Une dernière partie envisage le cadre d'un plan d'observation aléatoire de la partie fonctionnelle.

This dissertation is concerned with the use of wavelet methods in semiparametric partially linear models. These models are composed by a linear component with unknown regression coefficients and an unknown nonparametric function. The aim is to estimate both of the predictors, possibly under the presence of correlation. A wavelet thresholding based procedure is built to estimate the nonparametric part of the model using a penalized least squares criterion. We establish a connection between different thresholding schemes and M-estimators in linear models with outliers, where the wavelet coefficients of the nonparametric part of the model are considered as outliers. We also propose an estimate for the noise variance. Some asymptotic results of the estimates of both the parametric and the nonparametric part are given. Their behavior is close to optimality, up to a logarithmic factor, under usual restrictions for the correlation between variables. Simulations illustrate the properties of the proposed methodology and compare it with existing methods. An application to real data from functional IRM is also presented. The last part of this work deals with the extension to nonequidistant observations for the nonparametric part, comparing in particular via simulations nonparametric estimation procedures.; L'objet de cette thèse est d'apporter une contribution à l'inférence dans les modèles partiellement linéaires en appliquant des méthodes d'estimation adaptative par ondelettes. Ces modèles de régression semi-paramétriques distinguent des relations linéaires et des relations fonctionnelles, non paramétriques. L'inférence statistique consiste à estimer conjointement les deux types de prédicteurs, en prenant en compte leur possible corrélation. Une procédure des moindres carrés pénalisés permet d'introduire une estimation par ondelettes avec seuillage des coefficients de la partie fonctionnelle. Un parallèle est établi avec une estimation du paramètre de régression par des M-estimateurs usuels dans un modèle linéaire, les coefficients d'ondelettes de la partie fonctionnelle étant considérés comme des valeurs aberrantes. Une procédure d'estimation de la variance du bruit est aussi proposée. Des résultats relatifs aux propriétés asymptotiques des estimateurs de la partie linéaire et de la partie non paramétrique sont démontrés lorsque les observations de la partie fonctionnelle sont réalisées en des points équidistants. Sous des restrictions usuelles de corrélation entre les variables explicatives, les résultats sont presque optimaux (à un logarithme près). Des simulations permettent d'illustrer les comportements des estimateurs et de les comparer avec d'autres méthodes existantes. Une application sur des données d'IRM fonctionnelle a aussi été réalisée. Une dernière partie envisage le cadre d'un plan d'observation aléatoire de la partie fonctionnelle.

This dissertation deals with reconstruction algorithms designed for the development of new X-Ray imaging systems compliant with interventional conditions, and dedicated to surgeon guidance for interventions such as pedicle screw insertion. After a presentation of the medical and technological background, we gather the main results in 2D tomography that enable the comprehension of truncated data tomographic problems, and we underline that the filtered backprojection method, though traditionally ignored in literature of local tomography, behaves very well in many cases. A state-of-the-art of the use of wavelets in tomography is then performed, in which we enhance links between approaches based on the filtered backprojection method, and wavelet-vaguelette-like methods. A new method for inversion of the Radon transform is then proposed; it relies on theoretical results by M. Holschneider, and we show that this new method is well suited for the processing of local data (for the interior problem, or the limited-angle problem as well). We finally present a completely different approach, in which a vertebra surface is reconstructed according to two fluoroscopic images and a statistical model of vertebra surface; we use several edge detectors (with wavelets, or active contour methods), and we show that they lead to satisfying reconstruction results when applied to a numerical phantom.; Ce mémoire présente des algorithmes de reconstruction conçus pour le développement de nouveaux systèmes d'imagerie par rayons X adaptés aux contraintes du bloc opératoire, notamment pour guider des interventions orthopédiques telles que le vissage pédiculaire. Après une présentation du contexte médical et technologique, nous rassemblons les principaux résultats de tomographie 2D permettant de comprendre les spécificités des problèmes de tomographie à données tronquées ; le comportement souvent très satisfaisant de la méthode de rétroprojection filtrée, d'ordinaire ignoré en tomographie locale, est notamment souligné. Un état de l'art sur l'utilisation des ondelettes en tomographie 2D est ensuite dressé, dans lequel nous mettons en évidence l'existence de liens forts entre des travaux adaptés de la méthode de rétroprojection filtrée et les approches de type ondelettes-vaguelettes. Une nouvelle méthode d'inversion de la transformée de Radon par ondelettes est ensuite proposée, bâtie à partir de résultats théoriques établis par M. Holschneider : nous montrons que cette nouvelle méthode se prête très bien au traitement de données locales (aussi bien pour le problème intérieur que pour le problème à angle limité). Nous présentons enfin une approche totalement différente, dans laquelle est reconstruite la surface d'une vertèbre à partir de deux images fluoroscopiques et d'un modèle statistique de surface de vertèbre; nous utilisons différents détecteurs de contours pour traiter les images fluoroscopiques (par ondelettes, ou avec des contours actifs), et montrons qu'ils conduisent à des résultats de reconstruction satisfaisants sur un fantôme numérique.

This thesis is divided into two independent parts. In the first one, we are interested in a microscopic individual-based model for the description of a population structured by traits and ages. We study the ecology of the system (population dynamics problems) in a large population asymptotics. Under appropriate renormalizations, the microscopic process converges to the measure solution of a deterministic evolution equation. A Central Limit Theorem and the exponential deviations of this convergence are studied. These results are used to generalize some evolution models from the recent theory of adaptive dynamics to age-structured populations. These models describe the evolution of the trait structure of a population on large time scales and under the assumptions of rare (and possibly small) mutations and large populations. In the second part of this thesis, we consider McKean-Vlasov and 2D Navier-Stokes partial differential equations with random initial conditions. The law of the solutions, which are then random variables, is called statistical solution. Using a probabilistic approach for these equations, we propose original stochastic wavelet particle approximations for the moments of order 1 of the statistical solutions, and study the convergence rates of the proposed procedures.; Cette thèse se divise en deux parties indépendantes. Dans la première, nous considérons un modèle microscopique individu-centré pour décrire une population structurée par traits et âges. Nous étudions l'écologie de ce système (problèmes de dynamique de populations) dans une asymptotique de grandes populations. Sous certaines renormalisations, le processus microscopique converge par la solution à valeurs mesures d'une équation d'évolution déterministe. Un théorème central limite et les déviations exponentielles associées à cette convergence sont étudiés. Nous appliquons ensuite ces résultats pour établir des généralisations aux populations structurées par âge de modèles d'évolution tirés de la récente théorie des dynamiques adaptatives. Ces derniers modélisent l'évolution de la structure en traits sur des grandes échelles de temps et sous les hypothèses de mutations rares (éventuellement petites) et de grandes populations. Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons des équations aux dérivées partielles de McKean-Vlasov et de Navier-Stokes 2D avec conditions initiales aléatoires. La loi des solutions, qui sont alors des variables aléatoires, est appelée solution statistique. En nous basant sur une approche probabiliste de ces équations aux dérivées partielles, nous proposons de nouvelles approximations particulaires stochastiques avec ondelettes pour les moments d'ordre 1 des solutions statistiques, et nous étudions leurs vitesses de convergence.

This thesis is divided into two independent parts. In the first one, we are interested in a microscopic individual-based model for the description of a population structured by traits and ages. We study the ecology of the system (population dynamics problems) in a large population asymptotics. Under appropriate renormalizations, the microscopic process converges to the measure solution of a deterministic evolution equation. A Central Limit Theorem and the exponential deviations of this convergence are studied. These results are used to generalize some evolution models from the recent theory of adaptive dynamics to age-structured populations. These models describe the evolution of the trait structure of a population on large time scales and under the assumptions of rare (and possibly small) mutations and large populations. In the second part of this thesis, we consider McKean-Vlasov and 2D Navier-Stokes partial differential equations with random initial conditions. The law of the solutions, which are then random variables, is called statistical solution. Using a probabilistic approach for these equations, we propose original stochastic wavelet particle approximations for the moments of order 1 of the statistical solutions, and study the convergence rates of the proposed procedures., Cette thèse se divise en deux parties indépendantes. Dans la première, nous considérons un modèle microscopique individu-centré pour décrire une population structurée par traits et âges. Nous étudions l'écologie de ce système (problèmes de dynamique de populations) dans une asymptotique de grandes populations. Sous certaines renormalisations, le processus microscopique converge par la solution à valeurs mesures d'une équation d'évolution déterministe. Un théorème central limite et les déviations exponentielles associées à cette convergence sont étudiés. Nous appliquons ensuite ces résultats pour établir des généralisations aux populations structurées par âge de modèles d'évolution tirés de la récente théorie des dynamiques adaptatives. Ces derniers modélisent l'évolution de la structure en traits sur des grandes échelles de temps et sous les hypothèses de mutations rares (éventuellement petites) et de grandes populations. Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons des équations aux dérivées partielles de McKean-Vlasov et de Navier-Stokes 2D avec conditions initiales aléatoires. La loi des solutions, qui sont alors des variables aléatoires, est appelée solution statistique. En nous basant sur une approche probabiliste de ces équations aux dérivées partielles, nous proposons de nouvelles approximations particulaires stochastiques avec ondelettes pour les moments d'ordre 1 des solutions statistiques, et nous étudions leurs vitesses de convergence.

The aim of this thesis is the study of statistical properties oflearning algorithm in the case of regression and density estimation.It is divided into three parts.In the first part, the idea is to generalize Olivier Catoni'sPAC-Bayesian theorems about classification to thecase of regression estimation with a general loss function.In the second part, we focus more particularly on the least squareregression and propose a new iterative algorithm for featureselection. This method can be applied to the case of orthonormalfunction basis, leading to optimal rates of convergences, as well asto kernel type functions, leading to some variants of the well-knownSVM method.In the third part, we generalize the method proposed in the secondpart to the density estimation setting with quadratic loss.; Cette thèse a pour objet l'étude despropriétés statistiques d'algorithmes d'apprentissage dans le cas del'estimation de la régression et de la densité. Elle est divisée entrois parties.La première partie consiste en une généralisation des théorèmesPAC-Bayésiens, sur la classification, d'Olivier Catoni, au cas de la régression avec une fonction de pertegénérale.Dans la seconde partie, on étudie plus particulièrement le cas de larégression aux moindres carrés et on propose un nouvel algorithme desélection de variables. Cette méthode peut être appliquée notammentau cas d'une base de fonctions orthonormales, et conduit alors à desvitesses de convergence optimales, mais aussi au cas de fonctions detype noyau, elle conduit alors à une variante des méthodes dites"machines à vecteurs supports" (SVM).La troisième partie étend les résultats de la seconde au cas del'estimation de densité avec perte quadratique.

Nonparametric estimation problemsfor inverse models consist in recovering an unknown function fromthe observation of a linear ill posed transformation of thefunction, blurred by an additive random error. In this context,wavelet methods are very useful and have been widely studied. Theestimators developed in this thesis are significantly influencedby them, but also stray from decompositions in "classical" waveletbases, which allows new theoretical and practical developments. Ina main part of the thesis, one focuses on a white noise typemodel. One develops estimators using bases which, on the one handare adapted to the operator of the problem, and on the other handpossess wavelet type properties. One investigates the theoreticalproperties of such methods in a wide minimax framework, as well astheir numerical performances, by a simulation study. In the lastpart of the thesis, one focuses on the model of regression inrandom design, and one investigates the numerical performances ofan estimator based on the "warping" of wavelet bases., On se place dans le cadre del'estimation non paramétrique pour les problèmes inverses, où unefonction inconnue subit une transformation par un opérateurlinéaire mal posé, et où l'on en observe une version bruitée parune erreur aléatoire additive. Dans ce type de problèmes, lesméthodes d'ondelettes sont très utiles, et ont été largementétudiées. Les méthodes développées dans cette thèse s'eninspirent, mais consistent à s'écarter des bases d'ondelettes"classiques", ce qui permet d'ouvrir de nouvelles perspectivesthéoriques et pratiques. Dans l'essentiel de la thèse, on utiliseun modèle de type bruit blanc. On construit des estimateursutilisant des bases qui d'une part sont adaptées à l'opérateur, etd'autre part possèdent des propriétés analogues à celles desondelettes. On en étudie les propriétés minimax dans un cadrelarge, et l'on implémente ces méthodes afin d'en étudier leursperformances pratiques. Dans une dernière partie, on utilise unmodèle de regression en design aléatoire, et on étudie lesperformances numériques d'un estimateur reposant sur ladéformation des bases d'ondelettes.

In this thesis, we investigate the different image decomposition models wich permit to separate an image into two components: the structures (or objects) and the textures. This work is based on the model proposed by Yves Meyer in 1999 and the recent work on the algorithms of Jean-François Aujol.After a theoretic study of these models, we propose to extend the model to the case of noisy images in order to get a decomposition into three components: structures + textures + noise.Moreover, we propose an evaluation method in order to be able to compare the results given by each algorithm.In the last part of this thesis, we show different application of these decomposition methods. Specially, we propose an algorithm to detect the roads network in aerial images. This algorithm combines image decomposition, Gestalt's alignment detection algorithm and active contours., Dans cette thèse, nous nous intéressons aux méthodes permettant de décomposer une image en deux parties: l'une contenant les structures (ou objets) de l'image et l'autre les textures. Le point de départ de ces travaux est le modèle proposé par Yves Meyer en 1999 puis les travaux de Jean-François Aujol pour les aspects algorithmiques.Après une étude théorique de ces approches, nous proposons une extension au cas des images bruitées nous permettant d'obtenir alors une décomposition en trois composantes: structures + textures + bruit.Par ailleurs, nous proposons une méthode spécifique en vue d'évaluer les résultats obtenus à partir des différents alggorithmes. Enfin, nous présentons quelques applications des ces méthodes de décomposition d'image, notamment un algorithme de détection de réseaux routiers en imagerie aérienne ou satellitaire. Cet algorithme combine décomposition d'image, détection d'alignements par la théorie de la Gestalt et modèle déformable.

This PhD thesis presents original wavelet methods aimed at simulating incompressible fluids., Cette thèse développe des méthodes d'ondelettes originales en vue de simuler des écoulements incompressibles.Nous commencerons par présenter une certaine manière de concevoir le phénomène de la turbulence dans les fluides, puis nous ferons une introduction à la théorie des ondelettes.Dans le but de construire des ondelettes 2D et 3D adaptées aux écoulements fluides, nous reprenons en les enrichissant les travaux de P-G Lemarié-Rieusset et K. Urban sur les ondelettes à divergence nulle. Nous mettons en évidence l'existence d'algorithmes rapides associés.Par la suite, nous démontrons qu'il est possible d'utiliser ces ondelettes à divergence nulle pour définir la décomposition de Helmholtz d'un champ de vecteurs 2D ou 3D quelconque. Cette décomposition est définie par un algorithme itératif dont nous prouvons la convergence pour des ondelettes particulières. L'optimisation de la convergence fait ensuite l'objet d'une étude poussée.Tous ces ingrédients permettent de définir une nouvelle méthode de résolution des équations de Navier-Stokes incompressible, dont nous prouvons la faisabilité sur un cas test.On applique également la décomposition en ondelettes à divergence nulle à l'analyse de champs d'écoulements turbulents 2D et 3D, ainsi qu'à la compression dans une méthode d'Extraction de Structures Cohérentes.

Independent component analysis (ICA) is a form of multivariate analysis that emerged as a concept in the eighties/nineties. It is a type of inverse problem where one observes a variable X whose components are linear mixtures of an unobservable variable S. The components of S are mutually independent. The relation between both variables is expressed by X=AS, where A is an unknown mixing matrix.The main problem in ICA is to estimate the matrix A, seeing an i.i.d. sample of X, to reach S which constitutes a better explicative system than X, in the study of some phenomena. The problem is generally resolved through the minimization of a criteria coming from some dependence measure.ICA looks like principal component analysis (PCA) in the formulation. In PCA, one seeks after uncorrelated components, that is to say pairwise independent at order 2 ; as for ICA, one seeks after mutually independent components, which is much more constraining, and there is not any more a simple algebraic solution in the general case. The main problems in the identification of A are removed by restrictions imposed in the classical ICA model.The approach which is proposed in this thesis adopts a non parametric point of view. Under Besov assumptions, we study several estimators of an exact dependence criteria given by the L2 norm between a density and the product of its marginals. This criteria constitutes an alternative to mutual information which represented so far the exact criteria of reference for the majority of ICA methods.We give an upper bound of the mean squared error of different estimators of the L2 contrast. This bound takes into account the approximation bias between the Besov space and the projection space which, here, stems from a multiresolution analysis (MRA) generated by the tensorial product of Daubechies wavelets. This type of bound, taking into account the approximation bias, is generally absent from recent non parametric methods in ICA (kernel methods, mutual information).The L2 norm criteria makes it possible to get closer to well-known problems in the statistical literature, estimation of integral of squared f, L2 norm homogeneity tests, convergence rates for estimators adopting block thresholding. We propose estimators of the L2 contrast that reach the optimal minimax rate of the problem integral of squared f. These estimators, of U-statistic type, have numerical complexities quadratic in n, which can be a problem for the contrast minimization to follow, to obtain a concrete estimation of matrix A. However these estimators also admit a block-thresholded version, where knowledge of the regularity s of the underlying multivariate density is useless to obtain an optimal rate.We propose a plug-in type estimator whose convergence rate is sub-optimal but with a numerical complexity linear in n. The plug-in estimator also admits a term by term thresholded version, which dampens the convergence rate but yields an adaptive criteria. In its linear version, the plug-in estimator already seems auto-adaptive in facts, that is to say under the constraint 2^{jd} < n, where d is the dimension of the problem and n the number of observations, the majority of resolutions j allow to estimate A after minimization.To obtain these results, we had to develop specific combinatorial tools, that allow to bound the rth moment of a U-statistic or a V-statistic. Standard results on U-statistics are indeed not directly usable and not easily adaptable in the context of study of the thesis. The tools that were developed are usable in other contexts.The wavelet method builds upon the usual paradigm, estimation of an independence criteria, then minimization. So we study in the thesis the elements useful for minimization. In particular we give filter aware formulations of the gradient and the hessian of the contrast estimator, that can be computed with a complexity equivalent to that of the estimator itself.Simulations proposed in the thesis confirm the applicability of the method and give excellent results. All necessary information for the implementation of the method, and the commented code of key parts of the program (notably d-dimensional algorithms) also appear in the document., L'analyse en composantes indépendantes (ACI) est une forme d'analyse multivariée qui a émergée en tant que concept dans les années 1980-90. C'est un type de problème inverse où on observe une variable X dont les composantes sont les mélanges linéaires d'une variable S inobservable. Les composantes de S sont mutuellement indépendantes. La relation entre les deux variables s'exprime par X=AS, où A est une matrice de mixage inconnue .Le problème principal de l'ACI est d'estimer la matrice A, à partir de l'observation d'un échantillon i.i.d. de X, pour atteindre S qui constitue un système explicatif meilleur que X dans l'étude d'un phénomène particulier. Le problème se résout généralement par la minimisation d'un certain critère, issu d'une mesure de dépendance.L'ACI ressemble à l'analyse en composantes principales (ACP) dans la formulation du problème. Dans le cas de l'ACP on cherche des composantes non corrélées, c'est-à-dire indépendantes par paire à l'ordre 2 ; dans le cas de l'ACI on cherche des composantes mutuellement indépendantes, ce qui est beaucoup plus contraignant; dans le cas général, il n'existe plus de solution algébrique simple. Les principaux problèmes d'identification de A sont évités par un certain nombre de conventions adoptées dans le modèle ACI classique.L'approche qui est proposée dans cette thèse est du type non paramétrique. Sous des hypothèses de type Besov, on étudie plusieurs estimateurs d'un critère de dépendance exact donné par la norme L2 de la différence entre une densité et le produit de ses marges. Ce critère constitue une alternative à l'information mutuelle qui représentait jusqu'ici le critère exact de référence de la plupart des méthodes ACI.On donne une majoration de l'erreur en moyenne quadratique de différents estimateurs du contraste L2. Cette majoration prend en compte le biais d'approximation entre le Besov et l'espace de projection qui, ici, est issu d'une analyse multirésolution (AMR) générée par le produit tensoriel d'ondelettes de Daubechies. Ce type de majoration avec prise en compte du biais d'approximation est en général absent des méthodes non paramétriques récentes en ACI (méthodes kernel, information mutuelle).Le critère en norme L2 permet de se rapprocher de problèmes déjà connus dans la littérature statistique, estimation de l'intégrale de f au carré, tests d'homogénéité en norme L2, résultats de convergence d'estimateurs adoptant un seuillage par bloc. On propose des estimateurs du contraste L2 qui atteignent la vitesse minimax optimale du problème de intégrale de f au carré. Ces estimateurs de type U-statistique ont des complexités numériques quadratique en n, ce qui peut poser un problème pour la minimisation du contraste à suivre, en vue d'obtenir l'estimation concrète de la matrice A. En revanche, ces estimateurs admettent une forme de seuillage par bloc où la connaissance de la régularité s de la densité multivariée sous-jacente est inutile pour obtenir une vitesse optimale.On propose un estimateur de type plug-in dont la vitesse de convergence est sous-optimale mais qui est de complexité numérique linéaire en n. L'estimateur plug-in admet aussi une forme seuillée terme à terme, qui dégrade la vitesse de convergence mais permet d'obtenir un critère auto-adaptatif. Dans sa version linéaire, l'estimateur plug-in semble déjà quasiment auto-adaptatif dans les faits, c'est-à-dire que sous la contrainte 2^{jd} < n, où d est la dimension du problème et n le nombre d'observations, la majorité des résolutions j permettent d'estimer A après minimisation.Pour obtenir ces résultats on a été amené à développer une technique combinatoire spécifique permettant de majorer le moment d'ordre r d'une U-statistique ou d'une V-statistique. Les résultats classiques sur les U-statistiques ne sont en effet pas directement utilisables et pas facilement adaptables dans le contexte d'étude de la thèse. La méthode développée est utilisable dans d'autres contextes.La méthode par ondelettes s'appuie sur le paradigme usuel estimation d'un critère de dépendance, puis minimisation. On étudie donc dans la thèse les éléments permettant de faciliter la minimisation. On donne notamment des formulations du gradient et du hessien de l'estimateur du contraste qui se prêtent à un changement de résolution par simple filtrage et qui se calculent selon une complexité équivalente à celle de l'évaluation de l'estimateur lui même. Des simulations proposées dans la thèse confirment l'applicabilité de la méthode et donnent des résultats excellents. Tous les éléments nécessaires à l'implémentation de la méthode, et le code commenté des parties clefs de la programmation (notamment des algorithmes d-dimensionnels) figurent également dans le document.

The first result involving Hölder regularity and the Baire's categories theorem goes back to 1931. This first notion of genericity supplied by Baire's categories is of a topological nature, and can not permit to understand the size of sets considered. To fill this gap, Christensen defined the measure-theoretic notion of prevalence. There exist also stronger notions of genericity linked with those two first ones. This thesis has two purposes. On one hand, we want to know how smooth are functions in a Sobolev space, for a prevalent set. We show that almost every function is multifractal, as its Hölder exponent changes widely from point to point. We also make the link between the same result in an intersection of Besov spaces and the multifractal formalism given by applications. On the other hand, we compare notions of genericity, testing them with the previous example but also with classical problems from functional analysis., L'étude de phénomènes d'irrégularité à l'aide des catégories de Baire date du début des années 1930. Cette notion de généricité donnée par Baire est de nature purement topologique et ne permet donc pas de quantifier la taille d'un ensemble. C'est pour remédier à cette lacune que Christensen définit une autre notion de généricité basée sur la théorie de la mesure, la prévalence. D'autres notions de généricité liées à ces deux premières ont vu le jour. Cette thèse a deux buts. Tout d'abord, regarder la régularité des fonctions d'un espace de Sobolev dans le cadre de la prévalence. Nous montrons que presque-toutes les fonctions sont multifractales, leur exposant de Hölder varie en effet d'un point à un autre. Le même résultat dans des espaces de Besov nous donne le formalisme multifractal utilisé dans les applications. Dans un second temps, nous comparons les différentes notions de généricité en les appliquant au problème déjà cité ou à des problèmes classiques d'analyse fonctionnelle.

The first result involving Hölder regularity and the Baire's categories theorem goes back to 1931. This first notion of genericity supplied by Baire's categories is of a topological nature, and can not permit to understand the size of sets considered. To fill this gap, Christensen defined the measure-theoretic notion of prevalence. There exist also stronger notions of genericity linked with those two first ones. This thesis has two purposes. On one hand, we want to know how smooth are functions in a Sobolev space, for a prevalent set. We show that almost every function is multifractal, as its Hölder exponent changes widely from point to point. We also make the link between the same result in an intersection of Besov spaces and the multifractal formalism given by applications. On the other hand, we compare notions of genericity, testing them with the previous example but also with classical problems from functional analysis.; L'étude de phénomènes d'irrégularité à l'aide des catégories de Baire date du début des années 1930. Cette notion de généricité donnée par Baire est de nature purement topologique et ne permet donc pas de quantifier la taille d'un ensemble. C'est pour remédier à cette lacune que Christensen définit une autre notion de généricité basée sur la théorie de la mesure, la prévalence. D'autres notions de généricité liées à ces deux premières ont vu le jour. Cette thèse a deux buts. Tout d'abord, regarder la régularité des fonctions d'un espace de Sobolev dans le cadre de la prévalence. Nous montrons que presque-toutes les fonctions sont multifractales, leur exposant de Hölder varie en effet d'un point à un autre. Le même résultat dans des espaces de Besov nous donne le formalisme multifractal utilisé dans les applications. Dans un second temps, nous comparons les différentes notions de généricité en les appliquant au problème déjà cité ou à des problèmes classiques d'analyse fonctionnelle.

This thesis deals with non parametric statistics and is related to classification and discrimination in high dimension, and more particularly on variable selection. A first part is devoted to variable selection through CART, both on the regression and binary classification frameworks. The proposed exhaustive procedure is based on model selection which leads to ``oracle'' inequalities and allows to perform variable selection by penalized empirical contrast. A second part is motivated by an industrial problem. Il consists of determining among the temporal signals, measured during experiments, those able to explain the subjective drivability, and then to define the ranges responsible for this relevance. The adopted methodology is articulated around the preprocessing of the signals, dimensionality reduction by compression using a common wavelet basis and selection of useful variables involving CART and a strategy step by step. A last part deals with functional data classification with the k-nearest neighbors. The procedure consists of applying k-nearest neighbors on the coordinates of the projection of the data on a suitable chosen finite dimensional space. The procedure involves selecting simultaneously the space dimension and the number of neighbors. The traditional version of k-nearest neighbors and a slightly penalized version are theoretically considered. A study on real and simulated data shows that the introduction of a small penalty term stabilizes the selection while preserving good performance.; Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la statistique non paramétrique et porte sur la classification et la discrimination en grande dimension, et plus particulièrement sur la sélection de variables. Une première partie traite de la sélection de variables à travers CART, dans un cadre de régression et de classification binaire. La procédure exhaustive développée s'appuie sur le principe de la sélection de modèle qui permet d'obtenir des inégalités ``oracle'' et de réaliser la sélection de variables par contraste pénalisé. Une seconde partie est motivée par un problème industriel. Il s'agit de déterminer parmi les signaux temporels, mesurés au cours d'essais, ceux capables d'expliquer le ressenti de confort du conducteur, puis d'identifier les pages temporelles responsables de cette pertinence. La démarche adoptée s'articule autour du prétraitement des signaux, de la réduction de la dimension par projection dans une base d'ondelettes commune, et de la sélection de variables en mêlant CART et une stratégie pas à pas. Une dernière partie aborde le thème de la classification de données fonctionnelles au moyen des k-plus proches voisins. La procédure consiste à appliquer les k-plus proches voisins sur les coordonnées de la projection des données dans un espace fini dimensionnel. Cette procédure implique de déterminer simultanément la dimension de l'espace de projection et le nombre de voisins. La version usuelle des k-plus proches voisins et une version légèrement pénalisée sont considérées théoriquement. Un travail sur données réelles et simulées semble montrer qu'un faible terme de pénalité stabilise la sélection en conservant de bonnes performances.

The goal of this thesis is to study and develop methods for density estimation and curve classification in higher dimensions. This study is structured into three parts.The first part, entitled complements on modified histograms, is organized in two chapters and is devoted to the study of a family of nonparametric density estimates, namely modified histograms. These estimates are known to have good consistency properties according to information theoretic criteria. In the first chapter, these estimates are viewed as dynamical systems with infinite dimensional state space. The second chapter deals with the study of these estimates for dimensions greater than one.The second part of this thesis, entitled combinatorial methods in density estimation, is divided into two chapters. We are interested in nonasymptotic error bounds for density estimates selected within a family of candidates (not necessary finite). In the first chapter, we study the performance of these methods in selecting the free parameters of the modified histograms. We continue, in the second chapter, with the selection of kernel density estimates using bandwidths which vary with the location and the data.The third and last part, more applied and independent of the preceding ones, provides a new method which allows us to classify curves by expanding the sample data on a wavelet basis.; L'objectif de cette thèse consiste étudier et approfondir des techniques d'estimation de la densité et de classification dans des espaces de dimension élevée. Nous avons choisi de structurer notre travail en trois parties.La première partie, intitulée compléments sur les histogrammes modifiés, est composée de deux chapitres consacrés l'étude d'une famille d'estimateurs non paramétriques de la densité, les histogrammes modifiés, connus pour posséder de bonnes propriétés de convergence au sens des critères de la théorie de l'information. Dans le premier chapitre, ces estimateurs sont envisagés comme des systèmes dynamiques espace d'états de dimension infinie. Le second chapitre est consacré l'étude de ces estimateurs pour des dimensions suprieures un.La deuxième partie de la thèse, intituleé méthodes combinatoires en estimation de la densité, se divise en deux chapitres. Nous nous intéressons dans cette partie aux performances distance finie d'estimateurs de la densité sélectionnés à l'intérieur d'une famille d'estimateurs candidats, dont le cardinal n'est pas nécessairement fini. Dans le premier chapitre, nous étudions les performances de ces méthodes dans le cadre de la sélection des différents paramètres des histogrammes modifiés. Nous poursuivons, dans le deuxième chapitre, par la sélection d'estimateurs à noyau dont le paramètre de lissage s'adapte localement au point d'estimation et aux données.Enfin, la troisième et dernière partie, plus appliquée et indépendante des précédentes, présente une nouvelle méthode permettant de classer des courbes partir d'une décomposition des observations dans des bases d'ondelettes.

This work is devoted to the construction of new numerical wavelet-based methods for the resolution of Partial Differential Equations and for image compression. In the first part, we define and analyse a numerical algorithm that couples wavelet approximations with fictitious domain approach for the approximation of parabolic equations on a general 2D domain. We provide a mathematical analysis that proves the efficiency of this approach in terms of quality of results (error bound, local refinement), numerical efficiency (condition number, simple diagonal preconditioning) and tractability (fast and efficient computation). Two applications to the resolution of the heat equation defined on non-polygonal domains or evolving-in-time domains are presented. The second part deals with the construction of a new compression algorithm adapted to the geometry of the image. We start by introducing 1D multi-scale analyses of Harten's type depending on a family of points. These analyses lead to efficient multi-scale decompositions for discontinuous signals. This approach is then generalized to the 2D case and a compression algorithm depending on the edges of the image is introduced. It uses a map of edges previously obtained. Several comparisons between this new approach and other approaches are then presented., Ces travaux sont dédiés au développement de méthodes numériques à base d'ondelettes pour la résolution d'équations aux dérivées partielles et pour le traitement d'images. La première partie est consacrée à la construction d'une nouvelle méthode couplant ondelettes et domaines fictifs pour la résolution d'équations paraboliques 2D définies sur un domaine quelconque. Une analyse complète de la méthode est fournie; elle montre l'efficacité de cette approche en terme de qualité des résultats (borne d'erreur, raffinement local), d'efficacité numérique (conditonnement, préconditionnement simple) et de flexibilité de l'implémentation (implémentation rapide et efficace). Deux applications numériques à la résolution de l'équation de la chaleur définie sur des domaines non polygonaux ou à frontière mobile (problème de Stefan) sont présentées. La seconde partie est consacrée à la construction d'un nouvel algorithme de compression d'images adapté aux contours. On commence par introduire des analyses multi-échelles 1D du type Harten, dépendant d'une famille de points. Ces analyses conduisent à des décompositions multi-échelles efficaces pour la représentation de signaux discontinus. Cette approche est ensuite généralisée au cas bi-dimensionnel et un algorithme de compression multi-directionnel dépendant des contours de l'image est introduit. Il utilise une carte des contours obtenue préalablement. Plusieurs comparaisons avec d'autres approches sont ensuite présentées.

In the framework of a wavelet analysis, we study the statistical meaning of many classes of procedures. More precisely, we aim at investigating the maximal spaces (maxisets) where these procedures attain a given rate of convergence. The maxiset approach allows to bring theoretical explanations on some phenomena observed in the practical setting which are not explained by the minimax approach. Indeed, we show that data-driven thresholding rules outperform non random thresholding rules. Then, we prove that procedures which consist in thresholding coefficients by groups, as tree rules (close to Lepski's rule) or block thresholding rules, are often better in the maxiset sense than procedures which consist in thresholding coefficients individually. Otherwise, as many Bayesian rules built on heavy tailed densities, classical Bayesian rules built on Gaussian densities with large variance are proved to have maxisets which coincide with hard thresholding rules ones and to have very good numerical performances., Dans le cadre d'une analyse par ondelettes, nous étudions les propriétés statistiques de diverses classes de procédures. Plus précisément, nous cherchons à déterminer les espaces maximaux (maxisets) sur lesquels ces procédures atteignent une vitesse de convergence donnée. L'approche maxiset nous permet alors de donner une explication théorique à certains phénomènes observés en pratique et non expliqués par l'approche minimax. Nous montrons en effet que les estimateurs de seuillage aléatoire sont plus performants que ceux de seuillage déterministe. Ensuite, nous prouvons que les procédures de seuillage par groupes, comme certaines procédures d'arbre (proches de la procédure de Lepski) ou de seuillage par blocs, ont de meilleures performances au sens maxiset que les procédures de seuillage individuel. Par ailleurs, si les maxisets des estimateurs Bayésiens usuels construits sur des densités à queues lourdes sont de même nature que ceux des estimateurs de seuillage dur, nous montrons qu'il en est de même pour ceux des estimateurs Bayésiens construits à partir de densités Gaussiennes à grande variance et dont les performances numériques sont très bonnes.

This thesis is devoted to the algorithmic analysis of hybrid systems. We consider several problems linked to the study and the control of piecewise linear hybrid systems. In the first part, we introduce the fundamental notions of the theory. These are illustrated by numerous examples. The second part is devoted to the computation of the executions accepted by a hybrid system. A method for event detection is proposed. The case of periodic executions is also examinated. In the third part, we consider the problem which consists in computing the reachable set of a hybrid system. Particularly, we propose a method for the systems where the continuous dynamics are given by uncertain differential equations. In the fourth part, we propose an approach for the control of hybrid systems. We construct a multiresolution analysis of the set of inputs of a linear system and compute an associated set of wavelets. The properties of this basis are interesting for the synthesis of input signals of a hybrid system. In the last part, we show that the methods developped for piecewise linear hybrid systems can be used to analyse non-linear dynamical systems.; Cette thèse est consacrée à l'analyse algorithmique des systèmes hybrides. Nous examinons plusieurs problèmes liés à l'étude et au controle des systèmes hybrides linéaires par morceaux. Dans une première partie, nous présentons les notions de base de la théorie. Nous illustrons notre propos grace à de nombreux exemples. La deuxième partie est dédiée au calcul algorithmique des exécutions acceptées par un système hybride. Une méthode de détection des événements (changement de valeur de la variable discrète du système) est proposée. Le cas des exécutions périodiques est également examiné. Dans la troisième partie, nous abordons le problème du calcul de l'ensemble atteignable des systèmes hybrides. Nous apportons un soin particulier aux systèmes où les dynamiques continues sont connues de manière incertaine. Dans la quatrième partie, nous nous intéressons au controle des systèmes hybrides. Nous construisons une analyse multirésolution de l'espace des entrées d'un système linéaire et calculons une base d'ondelettes associée. Les propriétés de cette base se révèlent intéressantes pour la synthèse de signaux d'entrée d'un système hybride. Dans la dernière partie nous montrons que les techniques développées pour les systèmes hybrides linéaires par morceaux peuvent etre utilisées pour analyser des systèmes dynamiques non-linéaires.

Autres membres du jury: Jean-Michel Bony (Président), Ingrid Daubechies et Stéphane Jaffard (Rapporteurs), Albert Cohen et Yves Meyer (Examinateurs); In many scientific domains (signal and image processing, fully developed turbulence), it is important both from a theoretical and a practical viewpoint to be able to detect and to characterize thesingularities of an object. This object can either be a function, adistribution, a measure or a process.The first part of my work is focused on the characterization of thelocal regularity of a function. One often measures the local regularity of a function $f$ around a point $x_0$ by computing the(\em pointwise \ho exponent) of $f$ at $x_0$, denoted by $\alp(x_0)$. Unfortunately this exponent does not describe completely the behavior of $f$ around $x_0$.The local \ho exponent of $f$ at $x_0$, denoted by $\all(x_0)$,brings new informations on this behavior. I studied the functions$x\mapsto \all(x)$ and $x\mapsto \alp(x)$, and their mutualrelationships: they must coincide on an uncountable dense set, butthey can differ everywhere except on a set of Hausdorff dimension0. This shows that these exponents are somehow complementary. Theproof of these results involves wavelet coefficients.The 2-microlocal spaces introduced by J.M. Bony, denoted by $\css'$, allow us to generalize the notion of regularity exponents for a distribution.I first found a new spatial characterization of these spaces, valid for the functions $f\in C^\ep$ ($\ep>0$). This characterization appears to be useful in signal processing, since it is very accessible from a numerical point of view.Using 2-microlocal spaces $\css'$, one can associate with every point $x_0$ not only a single exponent, but a whole curve in $\R^2$. This curve $\Gamma$, called 2-microlocal frontier, possesses remarkable properties: it is convex, with a derivative always smaller than -1, and all the usual regularity exponents can be recovered from the knowledge of $\Gamma$. It thus yields a geometrical description of the local regularity of a distribution at a point. With J. Lévy Véhel, I proved that the 2-microlocal frontier of a distribution $f$ at $x$ is the Legendre transform of a function called 2-microlocal spectrum (denoted by $\chi_(x_0)$): this relationship is called 2-microlocal formalism, by analogy with the multifractal formalism. $\chi_(x_0)$ is related to the value of the wavelet coefficients of $f$ around $x_0$. The study of this function $\chi_(x_0)$ and of the 2-microlocal formalism brings in fact a new and unifying point of view on the local regularity analysis of continuous functions, and is fruitful: for instance, we investigated the relations with the usual exponents, we discovered new properties and new compatibility conditions between 2-microlocal frontiers. The explicit computation of $\chi_(x_0)$ is performed for several famous functions: a ``chirp'', a ``cusp'', the Weierstrass Function, the ``non-differentiable'' Riemann function.Another part of my work is devoted to multifractal analysis ofmeasures and functions. With J. Barral, I constructed multifractal functions and processes as follows. Let $\mu$ be a positive Borel measure, and let $s_0$ and $p_0$ be two positive real numbers. We define the functions $F_\mu$ by $$F_\mu(x)=\sum_(j\geq 0) \sum_(k\in \mathbb(Z)) \pm2^(-j(s_0-\frac(1)(p_0))) |\mu\big ([k2^(-j),(k+1)2^(-j))\big)|^(\frac(1)(p_0)) \psijk(x).$$ We proved that if $\mu$ satisfies some multifractal formalism (for measures), then $F_\mu$ alsosatisfies a multifractal formalism (for functions). This resultapplies to classical families of measures: Quasi-Bernoulli, RandomCascades, Mandelbrot Cascades, ... This theorem also brings an answer to a conjecture of Arnéodo, Bacry, Muzy on the value of the multifractal spectrum of ``Random Wavelet Cascades'', which serve as a model for a turbulent fluid.Finally I investigated, for a function $f$, in the relationships between verification of the multifractal formalism and presence of fast oscillations. This work has an unexpected consequence: I showed that a threshold (comparable to the hard threshold) applied on the wavelet coefficients can create oscillations and can make the multifractal formalism fail.; Il est fondamental, dans beaucoup de domaines (étude de laturbulence , traitement du signal), mais également d'un point de vue théorique, de pouvoir détecter et caractériser les singularités d'une fonction ou d'une distribution. Pour mesurer la régularité autour d'un point $x_0$ d'une fonction $f$, on utilise souvent l'exposant ponctuel de \ho de $f$ en $x_0$, noté $\alp(x_0)$. Mais cet exposant n'est pas suffisant pour décrire entièrement les comportements locaux.L'exposant de \ho local, noté $\all(x_0)$, permet de compléter lesinformations procurées par $\alp(x_0)$. Les relations entre lesfonctions $x\ra \all(x)$ et $x\ra\alp(x)$ sont complètement mises ajour.Les espaces 2-microlocaux, notés $\css'$, permettent de généraliser la notion d'exposant de régularité. Une caractérisation temporelle des espaces $\css'$ pour les fonctions $C^\ep$ ($\ep>0$) est démontrée. Cela s'avère utile en traitement du signal, car accessible numériquement (FRACLAB).Les espaces $\css'$ permettent d'associer à un point non plus un ouplusieurs exposants, mais une courbe dans $\R^2$ appelée frontière2-microlocale. Cette dernière englobe les exposants cités plushaut, et donne une description géométrique de la régularitélocale. On montre que la frontière 2-microlocale d'une distribution $f$ en $x_0$ est la transformée de Legendre d'une fonction $\chi_(x_0)$ appelée (\em spectre 2-microlocal): on parle du formalisme 2-microlocal. $\chi_(x_0)$ est lié au comportement des coefficients d'ondelettes de $f$ autour de $x_0$. L'étude de$\chi_(x_0)$ et du formalisme 2-microlocal s'avère fructueuse: lesliens avec les exposants sont explicités, des propriétésnouvelles de la régularité sont mises en évidence. Le calcul de$\chi_(x_0)$ est effectué pour plusieurs fonctions classiques ouoriginales.Deux applications du spectre 2-microlocal à l'analyse multifractalesont présentées. Nous proposons la construction de fonctions etprocessus multifractals. étant donnée une mesure de Borel positive$\mu$ et deux réels positifs $s_0$ et $p_0$ vérifiant$s_0-1/p_0>0$, on étudiera la fonction $F_\mu$ $$F_\mu(x)=\sum_(j\geq 0) \sum_(k\in \mathbb(Z)) \pm2^(-j(s_0-\frac(1)(p_0))) |\mu\big ([k2^(-j),(k+1)2^(-j))\big)|^(\frac(1)(p_0)) \psijk(x).$$ Si $\mu$ satisfait un certainformalisme multifractal (proche du formalisme usuel) pour les mesures, alors la fonction $F_\mu$ satisfait au formalisme multifractal pour les fonctions. Ce résultat s'applique aux grandes classes de mesures multifractales: quasi-Bernoulli, cascades de Mandelbrot, ... En particulier, on résout ainsi la conjecture de Arnéodo, Bacry, Muzy sur la valeur du spectre de leurs cascades aléatoires d'ondelettes, qui servaient de modèle à un fluide turbulent.Enfin la relation entre présence d'oscillations et validité duformalisme multifractal est étudiée. Ce travail a une conséquenceinattendue: on montre qu'un seuillage effectué sur les coefficientsd'ondelettes peut créer des singularités oscillantes et faireéchouer le formalisme.

Présidente : Mme Valérie Perrier Rapporteur : M. Jean-Michel Poggi Rapporteur : M. Jean-Louis Merrien Directrice de thèse : Mme Marie-Laurence Mazure Directeur de thèse : M. Anestis Antoniadis Examinateur : M. Gérard Grégoire; The principal aim of this thesis is to propose methods for the reconstruction of functions from noisy, random or deterministic nonequispaced data. Two of them rely on first generation wavelets. They consist in a preconditioning / interpolation on a equispaced design of the randomly designed data, folowed by wavelet shrinkage. We show that the resulting estimates are near-minimax on Holder class functions, respectively on Besov balls. We also investigate a method relying on second generation, design adapted wavelets. As a first step, yet independent, we prove that under some conditions the irregular Lagrange subdivision schemes converge and produce functions having the same number of continuous derivatives as the limit functions of the regular schemes of the same degree. Then we show the existence of design adapted multiresolution analysis and wavelet biorthogonal systems, constructed by average-interpolating subdivision. We conclude with some numerical simulations, illustrating the finite sample behaviour of the three methods.; Cette thèse porte sur la restauration des signaux bruités observés sur des plans d'expérience aléatoires. Trois méthodes sont proposées. Dans les deux premières, on se ramène (soit par préconditionnement des données initiales, soit par régression polynomiale locale), à un problème de régression sur grille régulière. Des majorations asymptotiques de l'erreur d'estimation sont données pour les deux méthodes, sur des classes de fonctions holderiennes pour la première et sur des boules d'espaces de Besov pour la deuxième. La vitesse de décroissance de l'erreur est dans les deux cas très proche de la vitesse optimale. Un troisième algorithme concerne les plans d'expérience déterministes et utilise les ondelettes adaptées à la grille. Elles sont construites par des schémas de subdivision non réguliers, dont on étudie la convergence et les propriétés. Des nombreuses simulations et une étude comparative illustrent le comportement des trois algorithmes quand ils sont appliqués à des échantillons de taille finie.

The principal aim of this thesis is to propose methods for the reconstruction of functions from noisy, random or deterministic nonequispaced data. Two of them rely on first generation wavelets. They consist in a preconditioning / interpolation on a equispaced design of the randomly designed data, folowed by wavelet shrinkage. We show that the resulting estimates are near-minimax on Holder class functions, respectively on Besov balls. We also investigate a method relying on second generation, design adapted wavelets. As a first step, yet independent, we prove that under some conditions the irregular Lagrange subdivision schemes converge and produce functions having the same number of continuous derivatives as the limit functions of the regular schemes of the same degree. Then we show the existence of design adapted multiresolution analysis and wavelet biorthogonal systems, constructed by average-interpolating subdivision. We conclude with some numerical simulations, illustrating the finite sample behaviour of the three methods., Cette thèse porte sur la restauration des signaux bruités observés sur des plans d'expérience aléatoires. Trois méthodes sont proposées. Dans les deux premières, on se ramène (soit par préconditionnement des données initiales, soit par régression polynomiale locale), à un problème de régression sur grille régulière. Des majorations asymptotiques de l'erreur d'estimation sont données pour les deux méthodes, sur des classes de fonctions holderiennes pour la première et sur des boules d'espaces de Besov pour la deuxième. La vitesse de décroissance de l'erreur est dans les deux cas très proche de la vitesse optimale. Un troisième algorithme concerne les plans d'expérience déterministes et utilise les ondelettes adaptées à la grille. Elles sont construites par des schémas de subdivision non réguliers, dont on étudie la convergence et les propriétés. Des nombreuses simulations et une étude comparative illustrent le comportement des trois algorithmes quand ils sont appliqués à des échantillons de taille finie.

In many scientific domains (signal and image processing, fully developed turbulence), it is important both from a theoretical and a practical viewpoint to be able to detect and to characterize thesingularities of an object. This object can either be a function, adistribution, a measure or a process.The first part of my work is focused on the characterization of thelocal regularity of a function. One often measures the local regularity of a function $f$ around a point $x_0$ by computing the(\em pointwise \ho exponent) of $f$ at $x_0$, denoted by $\alp(x_0)$. Unfortunately this exponent does not describe completely the behavior of $f$ around $x_0$.The local \ho exponent of $f$ at $x_0$, denoted by $\all(x_0)$,brings new informations on this behavior. I studied the functions$x\mapsto \all(x)$ and $x\mapsto \alp(x)$, and their mutualrelationships: they must coincide on an uncountable dense set, butthey can differ everywhere except on a set of Hausdorff dimension0. This shows that these exponents are somehow complementary. Theproof of these results involves wavelet coefficients.The 2-microlocal spaces introduced by J.M. Bony, denoted by $\css'$, allow us to generalize the notion of regularity exponents for a distribution.I first found a new spatial characterization of these spaces, valid for the functions $f\in C^\ep$ ($\ep>0$). This characterization appears to be useful in signal processing, since it is very accessible from a numerical point of view.Using 2-microlocal spaces $\css'$, one can associate with every point $x_0$ not only a single exponent, but a whole curve in $\R^2$. This curve $\Gamma$, called 2-microlocal frontier, possesses remarkable properties: it is convex, with a derivative always smaller than -1, and all the usual regularity exponents can be recovered from the knowledge of $\Gamma$. It thus yields a geometrical description of the local regularity of a distribution at a point. With J. Lévy Véhel, I proved that the 2-microlocal frontier of a distribution $f$ at $x$ is the Legendre transform of a function called 2-microlocal spectrum (denoted by $\chi_(x_0)$): this relationship is called 2-microlocal formalism, by analogy with the multifractal formalism. $\chi_(x_0)$ is related to the value of the wavelet coefficients of $f$ around $x_0$. The study of this function $\chi_(x_0)$ and of the 2-microlocal formalism brings in fact a new and unifying point of view on the local regularity analysis of continuous functions, and is fruitful: for instance, we investigated the relations with the usual exponents, we discovered new properties and new compatibility conditions between 2-microlocal frontiers. The explicit computation of $\chi_(x_0)$ is performed for several famous functions: a ``chirp'', a ``cusp'', the Weierstrass Function, the ``non-differentiable'' Riemann function.Another part of my work is devoted to multifractal analysis ofmeasures and functions. With J. Barral, I constructed multifractal functions and processes as follows. Let $\mu$ be a positive Borel measure, and let $s_0$ and $p_0$ be two positive real numbers. We define the functions $F_\mu$ by $$F_\mu(x)=\sum_(j\geq 0) \sum_(k\in \mathbb(Z)) \pm2^(-j(s_0-\frac(1)(p_0))) |\mu\big ([k2^(-j),(k+1)2^(-j))\big)|^(\frac(1)(p_0)) \psijk(x).$$ We proved that if $\mu$ satisfies some multifractal formalism (for measures), then $F_\mu$ alsosatisfies a multifractal formalism (for functions). This resultapplies to classical families of measures: Quasi-Bernoulli, RandomCascades, Mandelbrot Cascades, ... This theorem also brings an answer to a conjecture of Arnéodo, Bacry, Muzy on the value of the multifractal spectrum of ``Random Wavelet Cascades'', which serve as a model for a turbulent fluid.Finally I investigated, for a function $f$, in the relationships between verification of the multifractal formalism and presence of fast oscillations. This work has an unexpected consequence: I showed that a threshold (comparable to the hard threshold) applied on the wavelet coefficients can create oscillations and can make the multifractal formalism fail., Il est fondamental, dans beaucoup de domaines (étude de laturbulence , traitement du signal), mais également d'un point de vue théorique, de pouvoir détecter et caractériser les singularités d'une fonction ou d'une distribution. Pour mesurer la régularité autour d'un point $x_0$ d'une fonction $f$, on utilise souvent l'exposant ponctuel de \ho de $f$ en $x_0$, noté $\alp(x_0)$. Mais cet exposant n'est pas suffisant pour décrire entièrement les comportements locaux.L'exposant de \ho local, noté $\all(x_0)$, permet de compléter lesinformations procurées par $\alp(x_0)$. Les relations entre lesfonctions $x\ra \all(x)$ et $x\ra\alp(x)$ sont complètement mises ajour.Les espaces 2-microlocaux, notés $\css'$, permettent de généraliser la notion d'exposant de régularité. Une caractérisation temporelle des espaces $\css'$ pour les fonctions $C^\ep$ ($\ep>0$) est démontrée. Cela s'avère utile en traitement du signal, car accessible numériquement (FRACLAB).Les espaces $\css'$ permettent d'associer à un point non plus un ouplusieurs exposants, mais une courbe dans $\R^2$ appelée frontière2-microlocale. Cette dernière englobe les exposants cités plushaut, et donne une description géométrique de la régularitélocale. On montre que la frontière 2-microlocale d'une distribution $f$ en $x_0$ est la transformée de Legendre d'une fonction $\chi_(x_0)$ appelée (\em spectre 2-microlocal): on parle du formalisme 2-microlocal. $\chi_(x_0)$ est lié au comportement des coefficients d'ondelettes de $f$ autour de $x_0$. L'étude de$\chi_(x_0)$ et du formalisme 2-microlocal s'avère fructueuse: lesliens avec les exposants sont explicités, des propriétésnouvelles de la régularité sont mises en évidence. Le calcul de$\chi_(x_0)$ est effectué pour plusieurs fonctions classiques ouoriginales.Deux applications du spectre 2-microlocal à l'analyse multifractalesont présentées. Nous proposons la construction de fonctions etprocessus multifractals. étant donnée une mesure de Borel positive$\mu$ et deux réels positifs $s_0$ et $p_0$ vérifiant$s_0-1/p_0>0$, on étudiera la fonction $F_\mu$ $$F_\mu(x)=\sum_(j\geq 0) \sum_(k\in \mathbb(Z)) \pm2^(-j(s_0-\frac(1)(p_0))) |\mu\big ([k2^(-j),(k+1)2^(-j))\big)|^(\frac(1)(p_0)) \psijk(x).$$ Si $\mu$ satisfait un certainformalisme multifractal (proche du formalisme usuel) pour les mesures, alors la fonction $F_\mu$ satisfait au formalisme multifractal pour les fonctions. Ce résultat s'applique aux grandes classes de mesures multifractales: quasi-Bernoulli, cascades de Mandelbrot, ... En particulier, on résout ainsi la conjecture de Arnéodo, Bacry, Muzy sur la valeur du spectre de leurs cascades aléatoires d'ondelettes, qui servaient de modèle à un fluide turbulent.Enfin la relation entre présence d'oscillations et validité duformalisme multifractal est étudiée. Ce travail a une conséquenceinattendue: on montre qu'un seuillage effectué sur les coefficientsd'ondelettes peut créer des singularités oscillantes et faireéchouer le formalisme.

The purpose of multifractal analysis is to compute the dimension of the sets where a function has a given pointwise Holder regularity. This computation can't be done directly on real signals (signal of the velocity in fully developped turbulence...) and a formula called multifractal formalism has been introduced to compute these dimensions from quantities obtained directly by signal processing. It is not true in all generality and we study in these PHD several situations where the multifractal formalism doesn't hold., L'objectif de l'analyse multifractale (introduite dans le cadre de la turbulence pleinement developpee) est de déterminer la dimension des ensembles de points où une fonction a une régularité hölderienne fixée. Cette information ne peut être calculée directement sur les signaux réels et une formule appelée formalisme multifractal a été introduite pour calculer ces dimensions à partir de quantités obtenues directement par traitement du signal. Elle n'est pas vraie en toute généralité et nous étudions dans cette thèse différentes situations dans lesquelles le formalisme multifractal n'est pas valide.Des résultats de type " Baire " démontrent que le formalisme multifractal est vrai quasi-sûrement pour de petites valeurs de l'exposant de Hölder et faux pour les autres valeurs. Nous montrons que cela est dû à la présence de singularités oscillantes.D'autre part le formalisme multifractal ne s'applique qu'aux fonctions continues. Nous montrons qu'il est possible de généraliser la formule, en passant d'un critère de régularité ponctuelle hölderienne à un critère plus faible, à des fonctions qui peuvent ne plus être continues.Enfin nous étudions un cas particulier de phénomène oscillant en dimension 2 qui n'est pas caractérisé par les critères de régularité ponctuelle précédents. Nous proposons une méthode d'analyse de ce comportement à base d'un algorithme de traitement de l'image.

In the framework of a wavelet analysis, we study the statistical meaning of a special class of Lorentz spaces: the weak Besov spaces are naturally appearing in the maxiset theory. With 'Gaussian white noise' type assumptions, we show, using Bayesian tools, that the minimax rates associated with strong or weak Besov spaces are the same. We exhibit the least favorable priors for each weak Besov space. They are associated with Pareto distributions and highly differ from the priors of strong Besov spaces that are Gaussian. Using simulations of these distributions, we build visual representations of the 'typical enemies'. Finally, we exploit these distributions to build a minimax thresholding estimation procedure, called ParetoThresh, that we study from a practical point of view. Subsequently, we consider the heteroscedastic white noise model and under the maxiset approach, we prove that linear estimators are outperformed by adaptive thresholding ones. Finally, we investigate the best way to modelize the sparsity of a sequence throughout a Bayesian approach. For this purpose, we study the maxisets of the classical estimators - median, mean - associated with a model built on heavy tailed densities. The maximal spaces for these rules are Lorentz spaces, and coincide with maxisets associated with thresholding estimators. This result is reinforced by a necessary and sufficient condition on the parameters of the model in order to make sure that the prior is almost surely concentrated on a precise Lorentz space., Dans le cadre d'une analyse par ondelettes, nous nous intéressons à l'étude statistique d'une classe particulière d'espaces de Lorentz : les espaces de Besov faibles qui apparaissent naturellement dans le contexte de la théorie maxiset. Avec des hypothèses de type "bruit blanc gaussien", nous montrons, grâce à des techniques bayésiennes, que les vitesses minimax des espaces de Besov forts ou faibles sont les mêmes. Les distributions les plus défavorables que nous exhibons pour chaque espace de Besov faible sont construites à partir des lois de Pareto et diffèrent en cela de celles des espaces de Besov forts. Grâce aux simulations de ces distributions, nous construisons des représentations visuelles des "ennemis typiques". Enfin, nous exploitons ces distributions pour bâtir une procédure d'estimation minimax, de type "seuillage" appelée ParetoThresh, que nous étudions d'un point de vue pratique. Dans un deuxième temps, nous nous plaçons sous le modèle hétéroscédastique de bruit blanc gaussien et sous l'approche maxiset, nous établissons la sous-optimalité des estimateurs linéaires par rapport aux procédures adaptatives de type "seuillage". Puis, nous nous interrogeons sur la meilleure façon de modéliser le caractère "sparse" d'une suite à travers une approche bayésienne. À cet effet, nous étudions les maxisets des estimateurs bayésiens classiques - médiane, moyenne - associés à une modélisation construite sur des densités à queues lourdes. Les espaces maximaux pour ces estimateurs sont des espaces de Lorentz, et coïncident avec ceux associés aux estimateurs de type "seuillage". Nous prolongeons de manière naturelle ce résultat en obtenant une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres du modèle pour que la loi a priori se concentre presque sûrement sur un espace de Lorentz précis.

A flexible construction of second generation wavelets allowing two distinct interpretations is presented. The first one, called the subdivision framework, focuses on the well-known relationship between subdivision schemes and multiresolution analysis. The second one, called the non-nested framework, introduces so-called approximating spaces, which play the role of the traditional scaling spaces but with the nestedness property relaxed. The first part of the manuscript describes the algebraic construction of the multiresolution framework, as well as several analytical results, most of them related to the non-nested framework. In particular, various techniques for the design of the analysis or synthesis operators are presented and discussed. The second part of the thesis is devoted to applications. The non-nested framework is used to design a multiresolution description for piecewise constant or linear functions defined over irregular planar or spherical triangulations, thus enabling progressive visualization of huge such datasets. Decomposition and reconstruction algorithms are presented in detail, especially those aspects related to their effective implementation, which turns out to be significantly more complicated than in the classical case. Traditional wavelet-based applications such that data compression or level-of-detail editing are also extended to these functions. On top of that, the use of the non-nested framework to deal with the analysis and reconstruction of functions defined over 3D meshes in a decimation-based multiresolution representation is also discussed. Eventually, it is shown on several occasions how the non-nested framework allows an unified approach of wavelet-based and decimation-based algorithms, which are two techniques usually opposed.; Cette thèse présente une construction générale d'ondelettes de seconde génération dont l'originalité est de distinguer deux points vues complémentaires : le point de vue de subdivision, qui souligne le lien bien connu entre les schémas de subdivision et l'analyse multirésolution, et d'autre part le point de vue non emboîté, dans lequel les espaces d'approximation, qui remplacent les espaces d'échelle traditionnels, ne sont plus nécessairement imbriqués. Dans la première partie de la thèse, le cadre multirésolution est présenté puis divers aspects théoriques, essentiellement relatifs au point de vue non emboîté, sont étudiés. En particulier, plusieurs techniques de constructions des opérateurs d'analyse ou de synthèse sont présentées. La deuxième partie de la thèse est consacrée aux applications. Le point de vue non emboîté est utilisé pour développer un cadre multirésolution pour fonctions constantes ou linéaires par morceaux définies sur des triangulations irrégulières d'un domaine planaire ou sphérique, permettant notamment la visualisation progressive de grands volumes de données. Les algorithmes de décomposition et de reconstruction des données sont discutés en détails notamment du point de vue de leur implémentation effective, plus délicate que dans le cas des ondelettes classiques. Des applications traditionnelles telles que la compression ou l'édition à différents niveaux de détails sont également généralisées à ces fonctions. D'autre part, est également discutée l'utilisation du cadre non emboîté pour l'approximation et la reconstruction de fonctions définies sur des maillages surfaciques construits via des modèles multirésolution basés sur les techniques de décimation de maillages. Enfin, on montre à diverses reprises que le point de vue non emboîté permet un abord unifié des algorithmes basés sur les ondelettes et des techniques décimatoires, traditionnellement opposées.

Ce travail a consisté en la présentation et la validation d'une nouvelle méthode ayant pour thème la simulation de la propagation d'ondes. Le problème analysé est celui de la diffraction d'ondes en régime harmonique par des obstacles tridimensionnels quelconques. Pour modéliser ces phénomènes, nous nous sommes intéressés aux équations intégrales. La méthodes proposée a pour objectif de les utiliser à hautes fréquences en réduisant la complexité du calcul et surtout en stockage mémoire. Son originalité réside en une approche en deux temps de la solution cherchée. Dans un premier temps, on utilise une discrétisation microlocale. Dans un second temps, on propose une transformation par ondelettes. L'approche microlocale, qui repose sur l'usage systèmatique d'une localisation en espace et en direction de propagation, conduit à inverser des matrices creuses mais très mal conditionnées. Pour surmonter cette difficulté, nous aovns considéré la seconde approche qui consiste à opérer un filtrage par ondelettes. Ces approximations se sont avérées particulièrement efficaces pour diminuer le remplissage et la taille des matrices issues de la résolutions d'équations intégrales.Le développement et la mise au point d'un code ont été effectués au CERMICS-INRIA Sophia-Antipolis. La vérification de la validité de notre code s'appuie sur des calculs de surface équivalente radar. Des résultats numériques encourageants sont présentés pour des obstacles convexes et non-connexes.La méthode est ensuite étendue aux opérateurs pseudo-différentiels et Fourier-intégraux. Ils interviennent dans le cas de milieux hétérogènes et anisotropes.

This dissertation is concerned with the problem of regression and hasard function estimation under the regression models as well as the survival analysis ones. As a contribution to solve this kind of problems, we introduce new adaptive non linear methods obtained via a decomposition on wavelet and wave-packet bases defined on a real multiscale. Our estimators are based on the tree regression or thresholding and the linear projection approaches...., Dans ce travail, nous proposons de nouvelles approches d'estimation fonctionnelle pour des problèmes de régression et d'analyse de données de survie, et ce par l'utilisation de techniques adaptatives et non linéaires, fondées sur des décompositions en ondelettes. Les estimateurs qui en découlent, combinent les techniques d'estimation par projection orthogonale et celles de seuillage ou arbre de régression. Tout au long de ce travail, l'accent est mis sur l'importance que revêt le choix de la base optimale parmi une famille de bases d'ondelettes ou de paquets d'ondelettes exploitant au mieux la structure d'analyse multiéchelle qui leur est associée....

Cette these presente des travaux sur les aspects theoriques de la transformation en ondelettes et quelques applications en imagerie et en calcul de surface. Nous presentons trois approches de construction d'une base d'ondelettes, a savoir l'approche theorie des groupes. l'approche analyse multiresolution et l'approche banc de filtres. Les applications de la transformee en ondelettes portent sur la compression d'image, la representation de courbes discretes et le calcul de l'approximation d'une surface par les fonctions radiales. Nous commencons par un survol de differentes techniques de compression. Nous montrons graphiquement et numeriquement que les transformations en ondelettes, comparativement aux autres methodes pyramidales (Brt et Adelson) permettent d'anvisager de tres bons resultats de compression. On montre que parmi les representations hierarchiques, la representation par ondelettes est celle qui permet de preserver au mieux les indices visuels dans le cadre de la construction d'un modele numerique de terrain par exemple. En ce qui concerne la representation des courbes discrete, nous avons mis au point un algorithme d'analyse et de synthese multi-echelles. Ce nouvel algorithme s'applique a des directions elementaires correspondant a une suite de Freeman representant un contour discret ou une courbe discrete. On montre que l'ondelette de Haar permet d'obtenir une bonne representation multi-echelle d'une courbe discrete avec une taille memoire faible et un cout de calcul minimal. Enfin, apres avoir pose dans le cadre general le probleme d'interpolation par les fonctions radiales et presente une analyse des conditions d'existence de la solution, nous proposons une nouvelle approche de resolution de systeme lineaire qui definit les parametres du probleme. Notre approche est fondee sur la transformation en ondelettes et permet de rendre creuse la matrice du systeme. nous montrons la performance de cette approche surtout quand le nombre de donnees est important. Les resultats d'interpolation d'une surface par une spline de type plaque mince ou multiquadratique sont presentes. En particulier, nous avons teste les ondelettes splines, les ondelettes a support compact et les ondelettes biorthogonales. Les resultats graphiques sont accompagnes des estimations numeriques des erreurs, ceci permettant une meilleure appreciation des demarches proposees.