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International audience; The aim of this work is to provide a mathematical model and analysis of the excitation and the resulting shear wave propagation in Acoustic Radiation Force (ARF)-based shear wave cardiac elastography. Our approach is based on asymptotic analysis; more precisely, it consists in considering a family of problems, parametrised by a small parameter inversely proportional to the excitation frequency of the probes, the viscosity and the velocity of pressure wave propagation. We derive a simplified model for the expression of the ARF by investigating the limit behaviour of the solution when the small parameter goes to zero. By formal asymptotic analysis - an asymptotic expansion of the solution is used - and energy analysis of the nonlinear elastodynamic problem, we show that the leading- order term of the expansion is solution of the underlying, incompressible, nonlinear cardiac mechanics. Subsequently, two corrector terms are derived. The first is a fast-oscillating pressure wave generated by the probes, solution of a Helmholtz equation at every time. The second corrector term consists in an elastic field with prescribed divergence, having a function of the first corrector as a source term. This field corresponds to the shear acoustic wave induced by the ARF. We also confirm that, in cardiac mechanics, the presence of viscosity in the model is essential to derive an expression of the shear wave propagation from the ARF, and that this phenomenon is related to the nonlinearity of the partial differential equation.

This PhD thesis concerns the mathematical modelling and numerical simulation of impulsive Acoustic Radiation Force (ARF)-driven Shear Wave Elastography (SWE) imaging in a prestressed soft tissue, with a specific reference to the cardiac setting. The first part of the manuscript deals with the mathematical modelling of the ARF, the resulting shear wave propagation, and the characterisation of the shear wave velocity in a general constitutive law for the myocardial tissue. We also show some applications to the extraction of fibre orientation in the myocardium and the detection of “synthetic pathologies”. One of the main contributions of this work is the derivation of an original mathematical model of the ARF. In more detail, starting from an accurate biomechanical model of the heart, and based on asymptotic analysis, we infer the governing equation of the pressure and the shear wave field remotely induced by the ARF, and we compute an analytical expression of the source term responsible for the generation of shear waves from an acoustic pressure pulse. In the second part of the PhD thesis, we propose efficient numerical tools for a realistic numerical simulation of an SWE experiment in a nearly-incompressible, pre-stressed, fibered soft tissue. The spatial discretisation is based on high-order Spectral Finite Elements (HO-SEM). Concerning the time discretisation, we propose a novel method adapted to incompressible elasticity. In particular, only the terms travelling at infinite velocity, associated with the incompressibility constraint, are treated implicitly by solving a scalar Poisson problem at each time step of the algorithm. Furthermore, we provide a novel matrix-free, high-order, fast method to solve the Poisson problem, based on the use of the Discrete Fourier Transform.; Les objectifs de cette thèse sont la modélisation mathématique et la simulation numérique de l’élastographie impulsionnelle basée sur la force de radiation acoustique (FRA) dans un tissu mou précontraint, et en particulier le myocarde. La première partie du manuscript concerne la modélisation mathématique de la FRA, la propagation d’ondes de cisaillement qui en résulte et la caractérisation de la vitesse des ondes de cisaillement pour une loi de comportement générale du tissu myocardique. Nous montrons aussi des applications pour l’estimation de l’orientation des fibres cardiaques dans le myocarde et l’évaluation de “pathologies synthétiques ”. Une des contributions principales de ce travail est le développement d’un modèle mathématique original de la FRA. En particulier, à partir d’un modèle biomécanique tridimensionnel du coeur, nous obtenons, à travers une approche asymptotique, les équations qui régissent les champs de pression et de cisaillement induits par la FRA. De plus, nous calculons une expression analytique du terme source responsable de la génération des ondes de cisaillement à partir d’une impulsion acoustique en pression. Dans la deuxième partie de la thèse, nous proposons des outils numériques efficaces pour une simulation numérique réaliste d’une expérience d’élastographie impulsionnelle dans un tissu quasi-incompressible, précontraint et fibré. La discrétisation en espace se base sur des éléments finis spectraux d’ordre élevé. Pour la discrétisation en temps, nous proposons une nouvelle méthode adaptée à l’élasticité incompressible. En particulier, seuls les termes correspondant à des vitesses infinies, associés à la contrainte d’incompressibilité, sont traités implicitement, à travers la resolution d’un problème de Poisson à chaque pas de temps de l’algorithme. En outre, nous proposons une nouvelle méthode d’ordre élevé et efficace pour la résolution d’un problème de Poisson, qui se base sur la transformée de Fourier discrète.

This PhD thesis concerns the mathematical modelling and numerical simulation of impulsive Acoustic Radiation Force (ARF)-driven Shear Wave Elastography (SWE) imaging in a prestressed soft tissue, with a specific reference to the cardiac setting. The first part of the manuscript deals with the mathematical modelling of the ARF, the resulting shear wave propagation, and the characterisation of the shear wave velocity in a general constitutive law for the myocardial tissue. We also show some applications to the extraction of fibre orientation in the myocardium and the detection of “synthetic pathologies”. One of the main contributions of this work is the derivation of an original mathematical model of the ARF. In more detail, starting from an accurate biomechanical model of the heart, and based on asymptotic analysis, we infer the governing equation of the pressure and the shear wave field remotely induced by the ARF, and we compute an analytical expression of the source term responsible for the generation of shear waves from an acoustic pressure pulse. In the second part of the PhD thesis, we propose efficient numerical tools for a realistic numerical simulation of an SWE experiment in a nearly-incompressible, pre-stressed, fibered soft tissue. The spatial discretisation is based on high-order Spectral Finite Elements (HO-SEM). Concerning the time discretisation, we propose a novel method adapted to incompressible elasticity. In particular, only the terms travelling at infinite velocity, associated with the incompressibility constraint, are treated implicitly by solving a scalar Poisson problem at each time step of the algorithm. Furthermore, we provide a novel matrix-free, high-order, fast method to solve the Poisson problem, based on the use of the Discrete Fourier Transform.; Les objectifs de cette thèse sont la modélisation mathématique et la simulation numérique de l’élastographie impulsionnelle basée sur la force de radiation acoustique (FRA) dans un tissu mou précontraint, et en particulier le myocarde. La première partie du manuscript concerne la modélisation mathématique de la FRA, la propagation d’ondes de cisaillement qui en résulte et la caractérisation de la vitesse des ondes de cisaillement pour une loi de comportement générale du tissu myocardique. Nous montrons aussi des applications pour l’estimation de l’orientation des fibres cardiaques dans le myocarde et l’évaluation de “pathologies synthétiques ”. Une des contributions principales de ce travail est le développement d’un modèle mathématique original de la FRA. En particulier, à partir d’un modèle biomécanique tridimensionnel du coeur, nous obtenons, à travers une approche asymptotique, les équations qui régissent les champs de pression et de cisaillement induits par la FRA. De plus, nous calculons une expression analytique du terme source responsable de la génération des ondes de cisaillement à partir d’une impulsion acoustique en pression. Dans la deuxième partie de la thèse, nous proposons des outils numériques efficaces pour une simulation numérique réaliste d’une expérience d’élastographie impulsionnelle dans un tissu quasi-incompressible, précontraint et fibré. La discrétisation en espace se base sur des éléments finis spectraux d’ordre élevé. Pour la discrétisation en temps, nous proposons une nouvelle méthode adaptée à l’élasticité incompressible. En particulier, seuls les termes correspondant à des vitesses infinies, associés à la contrainte d’incompressibilité, sont traités implicitement, à travers la resolution d’un problème de Poisson à chaque pas de temps de l’algorithme. En outre, nous proposons une nouvelle méthode d’ordre élevé et efficace pour la résolution d’un problème de Poisson, qui se base sur la transformée de Fourier discrète.