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Diese Arbeit ist der Frage gewidmet, wie die Stabilität eines Stromnetzes mit seiner Topologie zusammenhängt. Stabilität wird hier mit Hilfe von Bassin-Stabilität vermessen, einer nichtlokalen und nichtlinearen Methode, mit der sich quantifizieren lässt, wie stabil ein Stromnetz gegen große Störungen ist. Netzartige Systeme werden mit den Methoden der Theorie komplexer Netzwerke beschrieben. Bassin-Stabilität wird zunächst formal eingeführt. Dann wird die Methode angewendet, und zwar einmal auf abstrakte und einmal auf konkrete Weise. Der abstrakte Ansatz ist dadurch motiviert, dass die Funktion eines Stromnetzes auf dem synchronen Zusammenwirken seiner Komponenten beruht. Er betrifft die Frage, wie generelle dynamische Netzwerke strukturiert sein sollten, um stabile Synchronisation zu unterstützen. Es stellt sich heraus, dass Netzwerke mit maximaler Bassin-Stabilität am entgegengesetzten Ende eines gewissen netzwerktheoretischen Spektrums angesiedelt sind als Netzwerke, die optimal sind in Hinsicht auf lokale Stabilität. Dies deutet darauf hin, dass in der Entwicklung von synchron funktionierenden Systemen die Optimierung auf lokale Stabilität hin und die gleichzeitige Optimierung auf nichtlokale Stabilität hin als entgegengesetzte Kräfte gewirkt haben. Der konkrete Ansatz geht aus von einem Stromnetzmodell aus der Ingenieuersliteratur. Bassin-Stabilität wird komponentenweise eingesetzt, um zu untersuchen, wie der Grad der Stabilität eines Stromnetzes gegen große Einzelknoten-Störungen beeinflusst wird von gewissen Mustern in der Netztopologie. Simulationen in einem Ensemble von Stromnetzen bringen diverse Statistiken hervor, die alle eine wesentliche Beobachtung stützen: Ausgerechnet das kostengünstigste und weitverbreitetste Anschlussschema - bestehend aus Stichleitungen - vermindert die Netzstabilität beträchtlich. Es lässt sich ein fundamentales Designprinzip ableiten: Vermeide Stichleitungen. This thesis addresses the question how the stability of a power grid depends on the network topology. Stability is assessed here by means of basin stability, a nonlocal and nonlinear inspection scheme that allows to quantify how stable a power grid is against large perturbations. Networked systems are characterized using the instruments of complex network theory. A rigorous definition of basin stability is provided. Then, basin stability is applied once in an abstract and once in a more applied way. The abstract approach is motivated by the fact that power grids rely on the synchronous operation of their components, and focusses on the problem how general dynamical networks should be structured to support a stable synchronous state. It turns out that networks with maximum basin stability are located at the opposite end of a certain network-theoretical spectrum than networks optimal with respect to local stability. This suggests that, during the evolution of synchronizing networks, the optimization for local stability and the simultaneous optimization for nonlocal stability have acted as opposing forces. The more applied approach draws on a power grid model from the engineering literature. A component-wise version of basin stability is used to assess how a grid''s degree of stability against large single-node perturbations is influenced by certain patterns in the wiring topology. Simulations in an ensemble of power grids yield various statistics that all support one main finding: The widespread and cheapest of all connection schemes, so-called dead ends and dead trees, strongly diminish stability. The inverse is also true: `Healing'' dead ends by addition of transmission lines substantially enhances stability. This indicates a basic design principle for future power grids: avoid dead ends.

Netzwerke sind überall, von der elektrischen Stromversorgung über die Biochemie der Zellen, das Internet bis hin zu sozialen Netzen. Netzwerke als mathematisches Konzept haben sich in den letzten Jahren zu einem wichtigen Werkzeug der Beschreibung komplexer Systeme entwickelt. Ihre grundlegende Eigenschaft ist, dass sie aus einer grö{ss}en Anzahl dynamischer Elemente bestehen, die sich gegenseitig beeinflussen und dabei nicht linear gekoppelt sind. Die moderne Netzwerkwissenschaft will die Wechselwirkung zwischen den einzelnen Untereinheiten erklären und davon ausgehend verständlich machen, auf welche Weise Prozesse auf einem Netzwerk stattfinden können. Zum Beispiel wird untersucht, wie die Struktur sozialer Netze die Ausbreitung von Information oder von Krankheiten beeinflusst, wie die Topologie des World Wide Web das Surf-Verhalten oder die Funktionalität von Suchmaschinen beeinträchtigt oder welche Auswirkungen die Hierarchie in ökologischen Nischen auf die Populationsdynamik der einzelnen Spezies hat. Darüber hinaus gilt es herauszufinden, welche grundlegenden Prinzipien der Evolution realer Netzwerke zugrunde liegen, das heißt nach welchen Regeln sich einerseits die Untereinheiten entwickeln und welchen Einfluss andererseits deren Vernetzung hat. Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich sowohl mit der Topologie verschiedener Netzwerke als auch mit den der Evolution zugrunde liegenden Prinzipien. Schwerpunkte liegen dabei auf den folgenden zwei Aspekten: erstens dem Einfluss von so gennanten ``vertex-pair correlations'''', das heißt Korrelationen zwischen den Untereinheiten, auf die Topologie und zweitens der Auswirkung der Geographie auf die Netzwerkentwicklung. Es wird der bedeutende Einfluss aufgezeigt, den die Korrelationen auf wichtige statistische Größen der Netzwerke haben. Weiterhin analysieren wir die Perkolationseigenschaften, die Aufschluss über die Empfindlichkeit gegenüber Störungen in der Vernetzung geben. Damit können zum Beispiel Fragen aus der Epidemiologie diskutiert werden. Es zeigt sich, dass die Topologie vieler Netzwerke und ihre Perkolationseigenschaften deutlich von Korrelationen beeinflusst werden. Schließlich untersuchen wir im letzten Teil dieser Arbeit, wie die Einbettung von Netzwerken in eine endlich-dimensionale Geographie auf die Modellierung und Entwicklung Web-ähnlicher Systeme Einfluss nimmt., Networks are all around us, from electrical power grids to the biochemistry of cells, from the Internet to social webs. The mathematical concept of network has recently been turned into an important tool for describing complex systems, whose principal characteristic is that they consist of a large number of mutually interacting dynamical parts which are coupled in a nonlinear fashion. Modern network science attempts to explain the structure of interactions between the subunits of a system in order to understand their functioning and the processes taking place in them. It tries, for instance, to grasp how the structure of social networks affects the spread of information or human diseases, how the structure of the World Wide Web influences the search engines and surfing behavior, or how the hierarchy of ecological niches affects population dynamics. Beyond this, the ultimate goal of network science is to discover what generating principles exist behind the evolution of real systems. It tries to find the fundamental principles under which the subunits evolve, and the wiring of interactions. This thesis centres both on the study of the topological structure of networks and the analysis of the underlying principles responsible for their evolution. More specifically, it concentrates on the following aspects: the influence of vertex-pair correlations on network topology, the network percolation problem, which is closely related to the spreading of epidemics and the robustness of networks, and the effects of geography as a generating element. We show that important topological and percolation properties change considerably when modifying the connection probabilities between vertices, and that geography as well plays a crucial role in the modeling of evolving real web-like systems.