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Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) Determinar as raízes de uma função polinomial nem sempre é uma tarefa fácil, existem métodos analíticos que podem ser utilizados para determinar as raízes de funções específicas, no entanto, para a maioria das funções polinomiais não existem métodos analíticos ou ainda o método existente pode requerer uma grande quantidade de cálculos. Existem métodos numéricos que buscam uma aproximação para cada raiz das funções polinomiais de modo iterativo, os métodos numéricos apresentam uma solução aproximada tanto quanto se espera que ela seja. Neste trabalho, apresentaremos algumas soluções analíticas e realizaremos uma abordagem sobre os métodos numéricos da bissecção, da falsa posição, da secante e o método numérico de Newton. Tais métodos serão abordados utilizando-se de planilhas eletrônicas de forma que os professores da Educação Básica possam utilizar deste material com estudantes do Ensino Médio. Determine the roots of a polynomial function is not always an easy task, there are analytical methods that can be used to determine the roots of specific functions, however, for most polynomial functions there are no analytical methods or the existing method may require a large number of calculations. There are numerical methods that seek an approximation for each root of the polynomial functions in an iterative way, the numerical methods present an approximate solution as much as one expects it to be. In this work, we will present some analytical solutions and approach the numerical methods of bisection, false position, secant and Newton’s numerical method. Such methods will be addressed using electronic spreadsheets, só that Basic Education teachers can use this material with high school students.

Orientador : Prof. Dr. Ademir Alves Ribeiro Coorientador : Profª. Drª. Gislaine Aparecida Periçaro Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia. Defesa: Curitiba, 08/06/2016 Inclui referências : f. 60-64 Área de concentração : Progressão matemática Resumo: Neste trabalho propomos algoritmos para resolver uma formulação primal-dual geral de ponto fixo aplicada ao problema de Ridge Regression. Estudamos a formulação primal para problemas de quadrados mínimos regularizado, em especial na norma L2, nomeados Ridge Regression e descrevemos a dualidade convexa para essa classe de problemas. Nossa estratégia foi considerar as formulações primal e dual conjuntamente, e minimizar o gap de dualidade entre elas. Estabelecemos o algoritmo de ponto fixo primal-dual, nomeado SRP e uma reformulação para esse método, contribuição principal da tese, a qual mostrou-se mais eficaz e robusta, designada por método acc-SRP, ou versão acelerada do método SRP. O estudo teórico dos algoritmos foi feito por meio da análise de propriedades espectrais das matrizes de iteração associadas. Provamos a convergência linear dos algoritmos e apresentamos alguns exemplos numéricos comparando duas variantes para cada algoritmo proposto. Mostramos também que o nosso melhor método, acc-SRP, possui excelente desempenho numérico na resolução de problemas muito mal-condicionados quando comparado ao Método de Gradientes Conjugados, o que o torna computacionalmente mais atraente. Palavras-chave: Métodos primais-duais, Ridge Regression, ponto fixo, dualidade, métodos acelerados Abstract: In this work we propose algorithms for solving a fixed-point general primal-dual formulation applied to the Ridge Regression problem. We study the primal formulation for regularized least squares problems, especially L2-norm, named Ridge Regression and then describe convex duality for that class of problems. Our strategy was to consider together primal and dual formulations and minimize the duality gap between them. We established the primal-dual fixed point algorithm, named SRP and a reformulation for this method, the main contribution of the thesis, which was more efficient and robust, called acc-SRP method or accelerated version of the SRP method. The theoretical study of the algorithms was done through the analysis of the spectral properties of the associated iteration matrices. We proved the linear convergence of algorithms and some numerical examples comparing two variants for each algorithm proposed were presented. We also showed that our best method, acc-SRP, has excellent numerical performance for solving very ill-conditioned problems, when compared to the conjugate gradient method, which makes it computationally more attractive. Key-words: Primal-dual methods, ridge regression, fixed point, duality, accelerated methods.