Lebende Zellen bilden ein faszinierendes System, das sich ernährt, wächst, sich selbst repliziert, selbstorganisiert und bewegt. Abhängig vom Zelltyp und den Umgebungsbedingungen können unterschiedliche Arten der Bewegung identifiziert werden. Dictyostelium discoideum, eine spezielle Art aus der Klasse der Schleimpilze, kriecht auf festen Unterlagen durch die Ausbildung und das Zurückziehen von Ausstülpungen am Leitsaum der Zelle. Die dabei entstehenden unregelmäßigen Bewegungsmuster werden als amöboidale Bewegung charakterisiert. Eine entscheidende Rolle bei der Bewegung von Zellen spielt das Zytoskelett, ein hochdynamisches Netzwerk fadenförmiger Polymere, das sich dauerhaft außerhalb des thermodynamischen Gleichgewichts befindet. Viele experimentelle Ergebnisse der letzten Jahre deuten darauf hin, dass die Entstehung der Ausstülpungen durch Polymerisation von Aktinfilamenten, eines der Polymere des Zytoskeletts, hervorgerufen wird. Bei der Organisation des Aktinnetzwerkes werden in diesem Zusammenhang propagierende Wellen beobachtet. Diese Wellen könnten für die Organisation der einzelnen Komponenten des Zytoskeletts während der Zellbewegung verantwortlich sein. In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir einen spezifischen Mechanismus zur Erzeugung spontaner Wellen im Kontext der Zellbewegung. Ein wichtiger Aspekt ist hierbei die Wechselwirkung der Polymerisationswellen mit der Zellmembran, die mit Hilfe eines Phasenfeld-Ansatzes untersucht wird. Neben den Zuständen gerichteter Bewegung zeigen die numerischen Lösungen ein unregelmäßiges Muster scheinbar zufälliger Bewegung, das mit Spiralwellen in der Aktinverteilung verknüpft ist. Diese Art der Fortbewegung erinnert stark an die Bewegung kriechender Zellen und wurde in Dictyostelium discoideum und dendritischen Zellen experimentell beobachtet. Weiterhin lässt sich konstatieren, dass amöboidale Bewegung im Wesentlichen durch die deterministische, chaotische Dynamik der Aktinfilamente hervorgerufen wird. Wir zeigen darüber hinaus, dass die Zelle in der Lage ist, mit Hilfe spontaner Polymerisationswellen des Zytoskeletts topographische Strukturen zu erspüren und ihre Bewegung durch die Geometrie der Struktur geleitet wird. Living cells constitute a fascinating system that feeds, grows, replicates, self-organizes and moves. Depending on the cell type and environmental conditions, different kinds of motion can be identified. Dictyostelium discoideum, a slime mold, can crawl on solid substrates using protrusions along the cell periphery. The resulting irregular patterns of motion are characterized as amoeboidal cell crawling. The cell’s ability to crawl depends to a large extent on the cytoskeleton, a highly dynamic network of filamentous polymers, that is constantly kept out of thermodynamic equilibrium. A large number of recent experimental evidence indicates that the protrusions result from polymerization of actin filaments, one of the polymers of the cytoskeleton. Spontaneous formation of actin polymerization waves has been observed. These waves have been proposed to orchestrate the cytoskeletal dynamics during cell crawling. In this thesis we investigate a specific mechanism of actin wave generation in the context of cell migration. An important aspect is the interaction between polymerization waves and the cell membrane, which we study using a phase-field approach. Numerical solutions show two distinct modes of motion. Firstly, a state of directed motion and secondly, a pattern of seemingly random motion that is connected to spiral actin waves in the cell interior. This kind of motion is reminiscent of amoeboidal cell crawling and has been observed experimentally in Dictyostelium discoideum and dendritic cells. We show further that amoeboidal motion results from a deterministic, chaotic dynamic of actin filaments and does not require noise. In addition, we show that polymerization waves are able to sense topographical structures and are capable of adapting the cell’s motion to the constraints given by this environment.