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This thesis is divided into two parts. The first part explains the theoretical background of option valuation and guides through the actual derivation of the Heston Model. The model is explained, examined and optimized. To value American options in the Heston model as well, the Finite Difference Method is applied in the Heston Model. For a comparison, the Black-Scholes-Merton Model and the Cox-Ross-Rubinstein Model are introduced. The second part deals with more practical topics: a parameter analysis, the calibration of the model using real market data and the actual calculation of European and American option prices with the Heston Model and mentioned peer models. For the application of the model and the derivation of all graphical content, the MATLAB program is used. The general focus lies in the determination of the quality of the model, which be examined by comparing the Heston values to the real market data and the peer model values. The results are critically evaluated in terms of accuracy and effort. Finally, advantages and disadvantages of the Heston Model will be discussed in extension. Esta tese está dividida em duas partes. A primeira parte explica os fundamentos teóricos da avaliação de opções e explica a derivação do modelo de Heston. O modelo é derivado, examinado e otimizado. Para avaliar as opções americanas também no modelo de Heston, o Método das Diferenças Finitas é aplicado no modelo de Heston. Para comparação, são apresentados o modelo Black-Scholes-Merton e o modelo de Cox-Ross-Rubinstein. A segunda parte trata de tópicos mais práticos: uma análise de parâmetros, a calibração do modelo usando dados reais de mercado e o cálculo real de preços de opções europeias e americanas com o modelo de Heston e os modelos alternativos mencionados. Para a aplicação do modelo e a derivação de todo o conteúdo gráfico, é utilizado o programa MATLAB. O foco geral está na determinação da qualidade do modelo, que será examinada comparando os valores de Heston com os dados reais do mercado e os valores dos modelos que assumem um movimento Browniano geométrico. Os resultados são avaliados criticamente em termos de precisão e esforço computacional. Por fim, vantagens e desvantagens do modelo de Heston serão discutidas.

This thesis explores the Repeated Richardson extrapolation technique when applied to static replication methodologies in the valuation of European-style barrier options under both the constant elasticity of variance (CEV) model and the jump to default extended constant elasticity of variance (JDCEV) model. The Richardson extrapolation is a computational tool used throughout the literature in order to improve the effciency of numerous numerical methods. In this thesis is going to be studied the benefits of its use when applied to static replication methods. Esta tese explora a repeated Richardson extrapolation technique quando aplicada a metodologias de replicação estáticas na avaliação de opções com barreira europeias utilizando o modelo constant elasticity of variance (CEV) e o modelo jump to default extended constant elasticity of variance (JDCEV). A extrapolação de Richardson é uma ferramenta computacional usada para melhorar a eficiência de vários métodos numéricos. Nesta tese os seus benefícios vão ser explorados ao ser aplicada a métodos de replicação estática.

This thesis addresses option pricing problem in three separate and self-contained papers: A. The Binomial CEV Model and the Greeks This article compares alternative binomial approximation schemes for computing the option hedge ratios studied by Pelsser and Vorst (1994), Chung and Shackleton (2002), and Chung et al. (2011) under the lognormal assumption, but now considering the constant elasticity of variance (CEV) process proposed by Cox (1975) and using the continuous-time analytical Greeks recently offered by Larguinho et al. (2013) as the benchmarks. Among all the binomial models considered in this study, we conclude that an extended tree binomial CEV model with the smooth and monotonic convergence property is the most efficient method for computing Greeks under the CEV diffusion process because one can apply the two-point extrapolation formula suggested by Chung et al. (2011). B. Valuing American-Style Options under the CEV Model: An Integral Representation Based Method This article derives a new integral representation of the early exercise boundary for valuing American-style options under the constant elasticity of variance (CEV) model. An important feature of this novel early exercise boundary characterization is that it does not involve the usual (time) recursive procedure that is commonly employed in the so-called integral representation approach well known in the literature. Our non-time recursive pricing method is shown to be analytically tractable under the local volatility CEV process and the numerical experiments demonstrate its robustness and accuracy. C. A Note on Options and Bubbles under the CEV Model: Implications for Pricing and Hedging The discounted price process under the constant elasticity of variance (CEV) model is not a martingale for options markets with upward sloping implied volatility smiles. The loss of the martingale property implies the existence of (at least) two option prices for the call option, that is the price for which the put-call parity holds and the price representing the lowest cost of replicating the payoff of the call. This article derives closed-form solutions for the Greeks of the risk-neutral call option pricing solution that are valid for any CEV process exhibiting forward skew volatility smile patterns. Using an extensive numerical analysis, we conclude that the differences between the call prices and Greeks of both solutions are substantial, which might yield significant errors of analysis for pricing and hedging purposes. Esta tese aborda a avaliação de opções em três artigos distintos: A. The Binomial CEV Model and the Greeks Este artigo compara diferentes aproximações binomiais para o cálculo dos Greeks das opções estudadas por Pelsser and Vorst (1994), Chung and Shackleton (2002), e Chung et al. (2011), no âmbito da distribuição lognormal, mas agora considerando o processo constant elasticity of variance (CEV) proposto por Cox (1975), utilizando os Greeks analíticos em tempo contínuo, recentemente propostos por Larguinho et al. (2013) como referência. Entre os modelos binomiais considerados neste estudo, concluímos que um modelo extended tree binomial CEV com uma aproximação convergente e monótona é o método mais eficiente para o cálculo dos Greeks no âmbito do processo de difusão CEV porque podemos aplicar a fórmula de extrapolação de dois pontos, sugerido por Chung et al. (2011). B. Valuing American-Style Options under the CEV Model: An Integral Representation Based Method Este artigo deriva uma nova representação integral da barreira de exercício antecipado para a avaliação das opções Americanas no âmbito do modelo constant elasticity of variance (CEV), um importante aspecto desta nova caracterização da barreira de exercício antecipado é que este não envolve o usual processo recursivo que é habitualmente aplicado e conhecido na literatura como a abordagem de representação integral. O nosso método de avaliação não recursivo é de fácil tratamento analítico sob o processo de difusão CEV e os resultados numéricos demonstram a sua robustez e precisão. C. A Note on Options and Bubbles under the CEV Model: Implications for Pricing and Hedging O processo de desconto de preço no âmbito do modelo constant elasticity of variance (CEV) não é um martingale para os mercados de opções com uma volatility smile de inclinação ascendente. A perda da propriedade martingale implica a existência de (pelo menos) dois preços de opção para a opção de compra, que é o preço para qual se verifica a paridade put-call e este preço representa o menor custo de replicação do payoff da call. Este artigo deriva as soluções em fórmula fechada para os Greeks da opção call no risco neutral que são válidas para qualquer processo CEV que possui padrões de enviesamento ascendentes. Tendo por base uma analise numérica extensiva, concluímos que a diferença entre os preços da call e os Greeks de ambas as soluções são substanciais, o que pode gerar erros significativos de análises no cálculo do preço da call e dos Greeks.

This thesis empirically analyses and compares the performance of three option pricing models regarding their efficiency replicating market prices. The models Black and Scholes (1973) and Merton (1973), Constant Elasticity of Variance (1975) and Heston (1993) were applied on MATLAB so financial option prices could be computed based on each one of these models. Therefore, European-style options issued on regulated market with indexes S&P 500, EURO STOXX 50 and Nikkei 225 as underlying were gathered into a sample. The main goal for this empirical study is based on concluding about the performance of each model following historical market prices of the options retrieved, under different time to maturities, kind of option and ratio underlying price/strike price. Advantages and disadvantages applying each model are detailed and discussed, as well as their individual performance. Finally, the model which shows the best overall performance will be found. Esta tese analisa e compara empiricamente a performance de três modelos de precificação de opções quanto à sua eficiência em replicar preços de mercado. Os modelos Black and Scholes (1973) and Merton (1973), Constant Elasticity of Variance (1975) e Heston (1993) foram aplicados no MATLAB para que o preço de opções financeiras pudesse ser calculado com base em cada um destes modelos. Assim, foram recolhidas como amostra opções de estilo europeu emitidas em mercado regulado com os índices S&P 500, EURO STOXX 50 e Nikkei 225 como ativos subjacentes. O objetivo principal deste estudo empírico baseia-se em concluir quanto à performance de cada modelo em acompanhar os preços históricos de mercado das opções recolhidas, em diferentes prazos até à maturidade, tipo de opção e rácios Preço do ativo subjacente/Valor da opção de compra. Vantagens e desvantagens na aplicação de cada modelo são detalhadas e discutidas, assim como a sua performance individual. Finalmente, será encontrado o modelo que demonstre a melhor performance geral.

A avaliação de opções Americanas é um problema financeiro tradicional. A derivação de uma fórmula directa para avaliar opções Europeias já foi conseguida mas a característica de exercício antecipado das opções Americanas complica o cálculo do seu preço e ainda não se conseguiu derivar uma fórmula directa para este tipo de opções. Esta tese apresenta em detalhe o trabalho de Kim (1990) que procura encontrar um método de aproximação baseado numa representação integral da característica de exercício antecipado das opções Americanas. Outros dois métodos, o método Static Hedging Approach de Chung and Shih (2009) e o método de perturbação derivado por Zhang and Li (2010) são também apresentados. A performance dos métodos é depois comparada com o método binomial de referência proposto por Cox et. al (1979). Todos os métodos foram programados no software Matlab e a performance foi medida através da convergência, barreira de exercício óptimo, precisão e velocidade computacional. Os resultados mostram que tanto o método Static Hedging Approach de Chung and Shih (2009) como o método proposto por Kim (1990) têm boas propriedades de convergência e conseguem avaliar as opções americanas aqui testadas com precisão. O método proposto por Zhang and Li (2010) mostra ter uma velocidade computacional muito mais elevada mas apresenta um erro Root Mean Square muito maior. The American options pricing is a traditional financial problem. Closed formulas to price European options have already been achieved but the early exercise feature of American options complicates their price calculation and no closed formula has been derived yet to price this kind of options. For this reason, there are many approximation methods and the assessment of their performance is an import subject of study. This thesis presents in detail the work of Kim (1990) to find an approximation method based on an integral representation of the American option early exercise feature. Two other methods, the Chung and Shih (2009) Static Hedging Approach and the Zhang and li (2010) perturbation method are also presented. The performance of the methods is then compared with the benchmark binomial method proposed by Cox et. al (1979). All the methods were programmed and run in Matlab and the performance was measured through their convergence, optimal exercise boundary, accuracy, and computation speed. The results show that both the Chung and Shih (2009) Static Hedging Approach and the Kim (1990) methods have good convergent properties and can accurately price the options here tested. The Zhang and Li (2010) method proves to be much faster in terms of computation speed but has a much larger Root Mean Square error.

Classificação: G13 Esta tese aborda a avaliac¸ ˜ao de opc¸ ˜oes de estilo Americano, com e sem barreira, em tr ˆes artigos distintos: A. Pricing and Static Hedging of American-style Options under the Jump to Default Extended CEV Model Este artigo avalia (e faz o hedging) de opc¸ ˜oes de estilo Americano atrav´es do static hedge approach (SHP) proposto por Chung and Shih (2009) e estende a literatura em duas direc¸ ˜oes. Primeiramente, o SHP ´e adaptado ao modelo jump to default extended CEV (JDCEV) de Carr and Linetsky (2006), e s˜ao avaliadas opc¸ ˜oes de estilo Americano sem barreira sobre activos com possibilidade de fal ˆ encia. A robustez e a efici ˆencia das soluc¸ ˜oes de avaliac¸ ˜ao propostas, s˜ao comparadas com o optimal stopping approach de Nunes (2009), no ˆambito dos modelos JDCEV e constant elasticity of variance (CEV) de Cox (1975), considerando diferentes valores para o parˆametro de elasticidade. Em segundo lugar, tanto o SHP como o optimal stopping approach s˜ao estendidos para a avaliac¸ ˜ao de opc¸ ˜oes de estilo Americano com um cap. B. General Put-Call Symmetry for American-style Barrier Options Este artigo deriva relac¸ ˜oes de simetria put-call para opc¸ ˜oes de estilo Americano com uma e duas barreiras. Usando a t ´ecnica de mudanc¸a de numer´ ario proposta por Geman et al. (1995) e Schroder (1999) estas simetrias s˜ao derivadas sem impor restric¸ ˜oes pr ´evias sobre o processo estoc´ astico seguido pelo activo subjacente. Os resultados s˜ao testados atrav´es de uma extensa an´ alise num´ erica sob o modelo constant elasticity of variance. C. In-Out Parity Relations and Early Exercise Boundaries for American-style Barrier Options Este artigo deriva novas relac¸ ˜oes de paridade in-out para puts de estilo Americano com uma barreira inferior e calls de estilo Americano com uma barreira superior. Mais importante, ´e proposta uma nova representac¸ ˜ao da fronteira de exerc´ıcio antecipado para opc¸ ˜oes de estilo Americano com dupla barreira knock-out, em termos da fronteira de exerc´ıcio ´optimo de uma opc¸ ˜ao de estilo Americano com uma s´o barreira. Assim sendo, o m´etodo static hedge portfolio ´e estendido para a avaliac¸ ˜ao de opc¸ ˜oes de estilo Americano com dupla barreira knock-out. Os resultados s˜ao testados atrav´es de uma extensa an´ alise num´ erica sob os modelos geometric Brownian motion e constant elasticity of variance. This thesis addresses the valuation of American-style standard and barrier options in three separate and self-contained papers: A. Pricing and Static Hedging of American-style Options under the Jump to Default Extended CEV Model This paper prices (and hedges) American-style options through the static hedge approach (SHP) proposed by Chung and Shih (2009) and extends the literature in two directions. First, the SHP approach is adapted to the jump to default extended CEV (JDCEV) model of Carr and Linetsky (2006), and plain-vanilla American-style options on defaultable equity are priced. The robustness and efficiency of the proposed pricing solutions are compared with the optimal stopping approach offered by Nunes (2009), under both the JDCEV framework and the nested constant elasticity of variance (CEV) model of Cox (1975), using different elasticity parameter values. Second, both the SHP and the optimal stopping approaches are extended to the valuation of American-style capped options. B. General Put-Call Symmetry for American-style Barrier Options This paper derives put-call symmetries for American-style single and double barrier options. Using the change of numeraire technique proposed by Geman et al. (1995) and Schroder (1999) we are able to derive these symmetries without imposing previous assumptions on the process followed by the underlying asset. Our results are tested through an extensive numerical analysis run under the constant elasticity of variance model. C. In-Out Parity Relations and Early Exercise Boundaries for American-style Barrier Options This paper derives new in-out parity relations for American-style puts with a down barrier and American-style calls with an up barrier. More importantly, we also propose a novel representation for the early exercise boundary of American-style double knock-out options in terms of the simpler optimal stopping boundary for a nested single barrier American-style option. Therefore, we are able to extend the static hedge portfolio approach to the valuation of American-style double barrier knockout options. Our results are tested through an extensive numerical analysis run under the geometric Brownian motion (GBM) and the constant elasticity of variance models.

The European Union’s Emissions Trading Scheme (EU ETS) is the world’s largest carbon market operating and an important piece for European environmental policy. Launched in 2005, this market-scheme trades allowances and derivatives’ contracts that represent the right to emit a certain amount of pollutant gases. This work intends to understand the role of carbon markets in general, and the pricing of derivatives’ contracts traded in the EU ETS. It was taken as basis the Black-Scholes (1973) model and its further extensions by Merton (1973) and Merton (1976), applying then a model suggested by Daskalakis, Psychoyios and Markellos (2009) to value a call option written on emission allowances. The numerical results suggest that time to maturity and the moneyness degree had influence in the options’ price, while the jump intensity did not have an influence in the obtained results Based on the application of the model, it was then derived, using the put-call parity, the value of a put option under the same basic features. It was also conducted a sensitivity analysis to the call option, in which it was concluded that, under the model specifications, volatility shows a strong influence within the studied call options’ value. O Sistema Europeu de Comércio de Emissões (EU ETS) é o maior mercado de emissões em funcionamento a nível mundial e uma peça chave em termos de política ambiental na Europa. Lançado em 2005, este sistema de mercado é utilizado para a comercialização de direitos e produtos derivados sobre a emissão de uma certa quantidade de gases poluentes. Este trabalho procura compreender a função dos mercados de carbono em geral e a valorização de produtos derivados em comercialização no EU ETS. Para tal tomou-se por base o modelo de Black-Scholes (1973) e suas extensões por Merton (1973) e Merton (1976), aplicando-se depois o modelo sugerido por Daskalakis, Psychoyios e Markellos (2009) de modo a valorizar uma opção call sobre direitos de emissões. Os resultados alcançados sugerem que o tempo até à maturidade e o nível do preço de exercício contribuíram para a alteração no valor da opção, ao passo que a intensidade do “salto” não teve influência nos resultados alcançados. Com base na aplicação deste modelo, foi igualmente obtido o valor de uma opção put com as mesmas características, através da paridade put-call. Foi ainda feita uma análise de sensibilidade à opção call, na qual se concluiu que, de acordo com as especificações do modelo, a volatilidade tem uma forte influência no valor das opções call estudadas.

The Net Present Value is the most well known measure of project valuation for managers. However it requires an investment decision made in the moment as well as the cash outflow of the investment. However, a manager has different levels of flexibility in the exercise of his functions that the classic Net Present Value valuation does not take in account. An investment can be delayed to a pre-committed date, can have the decision delayed by a certain or an endlessly period of time, and can be reverted. Despite not applicable to all parameters, the numerical analysis made in this thesis has a pretty straight-forward conclusion, the higher the flexibility a manager can dispose, the value of the project for the manager rises. A project value is not only affected by its parameters and by the flexibility disposed to the manager. The model dynamic in which a project is calculated is also a very important tool for managers to consider. The most used model dynamic to value real options is the Geometric Brownian Motion, which assumes constant volatility. Constant volatility is not a legit assumption to take, since a wide range of assets and markets do not have constant volatility. To overcome this flaw, the Constant Elasticity of Variance diffusion model is considered in this thesis. Numerical analysis made in this thesis proves that a manager is exposed to real options valuation errors by assuming constant volatility. O Valor Atualizado Líquido é a mais conhecida medida de avaliação de projetos para gestores. No entanto, requer uma decisão de investimento imediatamente assim como o cash outflow do investimento. Contudo, um gestor tem diferentes níveis de flexibilidade no exercício das suas funções, flexibilidade essa que a avaliação com o clássico Valor Atualizado Líquido não tem em conta. Um investimento pode ser adiado para uma data pré-acordada, pode ser adiada a decisão até um certo ou um indefinido período de tempo, e pode ser revertido. Apesar de não ser aplicável para todos os parâmetros, a análise numérica feita nesta tese tem uma conclusão clara, quanto maior a flexibilidade que um gestor dispõe, maior o valor do projeto para o gestor. O valor de um projeto não é só afetado pelos seus parâmetros e pela flexibilidade à disposição do gestor. A dinâmica do modelo no qual o projeto é calculado é também um fator muito importante para o gestor ter em conta. O modelo mais usado para avaliar opções reais é o movimento Browniano geométrico, que assume uma volatilidade constante. Volatilidade constante não é uma assunção legítima de fazer, visto que um largo espectro de ativos e mercados não têm volatilidade constante. Para superar esta falha, o modelo de difusão da Constante Elasticidade da Variância é considerado nesta tese. A análise numérica feita nesta tese prova que um gestor na avaliação de opções está exposto a erros por assumir a volatilidade constante.