Search

This doctoral dissertation is devoted to the study of the quotient algebra of compact-by-approximable operators (the compact-by-approximable algebra) on Banach spaces and related quotient algebras of linear operators. The compact-by-approximable algebra is a radical Banach algebra that is non-trivial only within the class of Banach spaces failing the approximation property, and it has not been much studied prior to this thesis. The primary focus is on questions about size, closed ideals, and other structural properties of such quotient algebras. We also study non-classical approximation properties associated to explicit Banach operator ideals. In the first of four research articles included in the dissertation, we show that the compact-by-approximable algebra is large for many Banach spaces. In fact, there is a linear isomorphic embedding from the space of all null sequences of scalars into the compact-by-approximable algebra for various Banach spaces, including particular closed subspaces of classical sequence spaces and specific Banach spaces due to George Willis (1992) and William B. Johnson (1972). We also exhibit an example of a non-separable compact-by-approximable algebra. The second article studies closed ideals and related properties of the compact-by-approximable algebra. We exhibit various examples of Banach spaces for which the compact-by-approximable algebra carries explicit closed ideals, where many - but not all - of the ideals are induced by Banach operator ideals. We also discuss the existence of compact non-approximable operators between closed subspaces of classical sequence spaces. The first and second article are joint works with Hans-Olav Tylli. The compact-by-approximable algebra can be generalised by considering an analogous quotient algebra associated to a general Banach operator ideal and its approximative kernel. The third article investigates such a quotient algebra for two classes of Banach operator ideals; namely, for the class of quasi p-nuclear operators introduced by Arne Persson and Albrecht Pietsch (1969), and for the class of Sinha-Karn p-compact operators of Deba P. Sinha and Anil K. Karn (2002). Our focus here is on questions about size, nilpotency, and closed ideals. The results also yield new examples of closed ideals of the compact-by-approximable algebra. Some of the results in the second and third article involve non-classical approximation properties associated to Banach operator ideals. Such approximation properties were introduced by Eve Oja (2012) and they have recently been studied for various Banach operator ideals. The fourth article focuses on approximation properties related to the Banach operator ideals of unconditionally p-compact operators introduced by Ju Myung Kim (2014) and the aforementioned Sinha-Karn p-compact operators. For instance, we show that the respective approximation properties associated to unconditionally 1-compact operators and Sinha-Karn 1-compact operators are strictly weaker properties than the classical approximation property. All four research articles use various factorisation techniques for linear operators and results from Banach space theory. A comprehension of the constructions of various Banach spaces failing the approximation property is also essential for many of the results. This doctoral dissertation contributes to the branch of functional analysis in pure mathematics, and hopes to bring new insights towards a better understanding of the elusive gap between the compact operators and the bounded finite-rank operators on infinite-dimensional Banach spaces. Denna doktorsavhandling behandlar frågor om strukturen av kompakta operatorer på Banachrum som saknar approximationsegenskapen. Ämnesområdet tillhör funktionalanalysen som är en central gren inom den moderna matematiken. Avhandlingen studerar en specifik kvotalgebra som genereras av kollektionen av alla kompakta operatorer på ett Banachrum, där två kompakta operatorer associeras med samma element i kvotalgebran om deras differens är approximerbar. Här är en linjär operator approximerbar om den kan approximeras i operatornormen med en följd av begränsade operatorer med ändlig rang. Det primära fokuset ligger på frågor om storleken, existensen av specifika slutna ideal samt andra algebraiska strukturer av den ovannämnda kvotalgebran. Bland annat så visar vi att kvotalgebran har oändlig dimension för diverse klasser av Banachrum. Avhandlingen studerar även andra liknande kvotalgebror som genereras av specifika operatorideal, samt relaterade icke-klassiska approximationsegenskaper hos Banachrum. Gemensamt för de kvotalgebror som studeras är att de är icke-triviala endast inom klassen av Banachrum som saknar approximationsegenskapen. Doktorsavhandlingen består av en inledande sammanfattning och fyra vetenskapliga artiklar.

The topics of this thesis in mathematics belong to the area of operator theory which, in general, studies linear transformations between complete normed vector spaces. Here, all operators considered are bounded and act on complex separable infinite-dimensional Hilbert space. A prototypical example of Hilbert spaces is formed by the square summable sequences of complex numbers. Other common Hilbert spaces consist of functions which are analytic on some open domain of the complex plane. The characteristic property of analytic functions is that they are locally given by a convergent power series and so the behaviour of such functions is rather rigid. Thesis consists of the introductory part and three research articles, the first and the third being co-authored with, respectively, E. A. Gallardo-Gutiérrez and H.-O. Tylli. Our focus in the first two articles is in the spectral properties of composition operators which are induced by linear fractional transformations (also known as Möbius maps). As the name suggests, a composition operator composes a function with a fixed mapping called the inducing map. In studying these operators we can take advantage of function theoretic tools, and it is not surprising that the properties of composition operator depend intricately on the inducing map. The spectrum of an operator acting on an infinite-dimensional space generalizes the concept of eigenvalues of a finite matrix. In general, determining the spectrum of a given operator is not an easy task. In the first article we compute the spectra of composition operators induced by certain linear fractional self-maps of the unit disc. Here the operators act on the whole range of weighted Dirichlet spaces which are Hilbert spaces of analytic functions on the unit disc. Earlier results in this context cover e.g. the classical Hardy space, the weighted Bergman spaces and the classical Dirichlet space. Our results complete the spectral picture of linear fractional composition operators on the weighted Dirichlet spaces. In particular, we found a way to compute the spectra of parabolic and invertible hyperbolic composition operators on the spaces that are contained in the classical Dirichlet space. The second article continues the study of the spectral properties of linear fractional composition operators in the corresponding setting on the upper half-plane. The analogous spaces of the half-plane differ significantly from their counterparts in the unit disc; for instance, not all linear fractional self-maps of the half-plane induce bounded composition operators. We were able to compute the spectra of all bounded linear fractional composition operators acting on the Hardy, and the weighted Bergman spaces of the upper half-plane. Moreover, we show that the essential spectra coincide with the spectra on all cases. One of the main tools is the Paley-Wiener theorem along with its generalizations which allow us to transfer the computations to certain Hilbert spaces defined on the positive real line. An operator is called universal if it has such a rich lattice of invariant subspaces that it models any given operator (up to a constant multiple) when restricted to some of its invariant subspaces. The definition of universal operators can be generalized to commuting n-tuples of operators. In the third article we consider general properties of universal operators on separable infinite-dimensional Hilbert spaces. The task of finding and analysing concrete universal operators have gained a lot of attention since they could help in answering the question whether every operator on a separable infinite-dimensional Hilbert space has a non-trivial invariant subspace. We study the properties of the whole class of universal operators and as one of our main results we prove that universal operators have a big essential spectrum containing the origin. In addition, we give new examples of universal operators and universal commuting pairs. Väitöskirja kuuluu matemaattisen (funktionaali)analyysin ja tarkemmin operaattoriteorian piiriin. Operaattoriteoria tutkii lineaarisia kuvauksia normitetuilta vektoriavaruuksilta toisille. Tyypillisiä vektoriavaruuksia ovat mm. tietyt lukujonojen tai funktioiden muodostamat joukot. Operaattori on lineaarinen muunnos, joka kuvaa vektorin toiseksi vektoriksi. Vektoriavaruuden normi puolestaan mittaa vektoreiden etäisyyksiä toisistaan ja vektorin koko määritellään sen etäisyytenä nollavektorista. Peruskysymyksiä operaattoriteoriassa on selvittää onko annettu operaattori annetussa avaruudessa rajoitettu ja mikä on sen spektri. Ääretönulotteisissa avaruuksissa spektri on äärellisen matriisin ominaisarvojen yleistys, joskin yleisesti ottaen matriisin ominaisarvoja paljon hankalampi selvittää. Rajoitettujen operaattoreiden spektri on aina suljettu ja rajoitettu kompleksitason osajoukko ja itse operaattorin lisäksi se riippuu myös avaruudesta, jossa operaattori toimii. Väitöskirja sisältää kolme tutkimusartikkelia sekä johdanto-osion. Väitöskirjan kahdessa ensimmäisessä artikkelissa tarkastellaan Möbius-kuvausten indusoimien kompositio-operaattoreiden spektrejä kompleksisissa Hilbertin funktio-avaruuksissa. Hilbertin avaruus on tietyssä mielessä lähellä Euklidista kotiavaruuttamme, sillä se on sisätuloavaruus: sisätulo määrittää avaruuden normin ja mahdollistaa vektoreiden välisten kulmien ja kohtisuoruuden määrittämisen. Tarkastelussa olevat funktioavaruudet koostuvat funktioista, jotka ovat analyyttisiä kompleksitason yksikkökiekossa tai puolitasossa. Analyyttisyys takaa funktiolle monia hyviä ominaisuuksia ja määrittää sen käyttäytymistä. Kompositio-operaattori muuntaa annetun funktion kahden funktion yhdistetyksi funktioksi: yhdisteessä on annetun funktion lisäksi operaattorin indusoiva, kiinnitetty funktio. Kompositio-operaattorit ovat tärkeä, konkreettinen operaattoriluokka, joilla on paljon sovelluskohteita mm. dynaamisissa systeemeissä. Ensimmäinen artikkeleista on laadittu yhteistyössä E. A. Gallardo-Gutiérrezin kanssa ja siinä selvitetään Möbius-kuvausten indusoimien kompositio-operaattoreiden spektrejä tietyn tyyppisissä yksikkökiekossa määriteltyjen analyyttisten funktioiden muodostamissa avaruuksissa. Kaikki Möbius-kuvaukset, jotka kuvaavat yksikkökiekon itselleen, indusoivat rajoitetun kompositio-operaattorin tarkastelussa olevissa avaruuksissa. Tuloksemme täydentävät jo tunnettujen tulosten kanssa kokonaiskuvan kyseisten operaattoreiden spektreistä koko skaalalla painotettuja Dirichlet n avaruuksia. Osa uusista tuloksista on aiempiin tuloksiin verrattuna yllättäviä ja osa odotettavissa olevia; joka tapauksessa tietty säännönmukaisuus näiden avaruuksien suhteen ja spektrin riippuvuus indusoivan kuvauksen derivaatasta kiintopisteessä tulevat vahvasti esille. Toisessa artikkelissa lasketaan niin ikään Möbius-kuvausten indusoimien kompositio-operaattoreiden spektrejä, mutta tällä kertaa vastaavissa puolitason avaruuksissa. Puolitason avaruudet ovat hyvin erilaisia verrattuna yksikkökiekossa määriteltyihin ja kaikki Möbius-kuvaukset, jotka kuvaavat puolitason itselleen, eivät indusoi rajoitettua kompositio-operaattoria näissä avaruuksissa. Myös toisen artikkelin spektrituloksista nähdään, että samaa tyyppiä olevan Möbius-kuvauksen indusoimat kompositio-operaattorit käyttäytyvät eri tavalla puolitason tilanteessa verrattuna yksikkökiekkoon. Kolmannessa artikkelissa, joka on laadittu yhteistyössä H.-O. Tyllin kanssa, tarkastelemme niin kutsuttujen universaalien operaattoreiden luokkaa yleisessä Hilbertin avaruudessa. Universaaleiden operaattoreiden tunnusomainen piirre on, että niillä on paljon invariantteja aliavaruuksia, eli aliavaruuksia jotka operaattori kuvaa itselleen. Tietyssä mielessä universaalit operaattorit mallintavat mitä tahansa annettua operaattoria. Artikkelissa osoitetaan välttämätön, spektriä koskeva ehto universaalille operaattorille ja lisäksi annetaan uusia konkreettisia esimerkkejä universaaleista operaattoreista sekä universaaleista pareista.

The topic of this dissertation is the geometric and isometric theory of Banach spaces. This work is motivated by the known Banach-Mazur rotation problem, which asks whether each transitive separable Banach space is isometrically a Hilbert space. A Banach space X is said to be transitive if the isometry group of X acts transitively on the unit sphere of X. In fact, some weaker symmetry conditions than transitivity are studied in the dissertation. One such condition is an almost isometric version of transitivity. Another investigated condition is convex-transitivity, which requires that the closed convex hull of the orbit of any point of the unit sphere under the rotation group is the whole unit ball. Following the tradition developed around the rotation problem, some contemporary problems are studied. Namely, we attempt to characterize Hilbert spaces by using convex-transitivity together with the existence of a 1-dimensional bicontractive projection on the space, and some mild geometric assumptions. The convex-transitivity of some vector-valued function spaces is studied as well. The thesis also touches convex-transitivity of Banach lattices and resembling geometric cases. Tämä matematiikan väitöskirja käsittelee Banach-avaruuksien geometristä ja isometristä teoriaa. Työtä motivoi tunnettu Banach-Mazurin rotaatio-ongelma, joka on ollut avoinna vuodesta 1932. Väitöskirjassa tutkitaan siis Banach-avaruuksien symmetrioita. Banach-avaruus on metrisessä mielessä täydellinen normiavaruus, jonka yleensä ajatellaan olevan ääretönulotteinen. Banach-avaruuden rotaatio on lineaarinen, normin säilyttävä bijektio avaruudelta itselleen. Banach-avaruutta kutsutaan transitiiviseksi, jos mille tahansa kahdelle pisteelle, joiden normi on 1, löytyy rotaatio joka vie näistä pisteistä yhden pisteparin toiselle pisteelle. Rotaatio-ongelma kysyy onko jokainen separoituva transitiivinen Banach-avaruus itseasiassa Hilbert-avaruus. Avaruus on separoituva jos se sisältää tiheän numeroituvan osajoukon. Väitöskirjan tulokset liittyvät avaruuksiin, joissa on lähtökohtaisesti vähemmän symmetrioita kuin rotaatio-ongelma edellyttää mutta toisaalta tässä tutkituilta avaruuksilta edellytetään lisäksi rakenteellisia ominaisuuksia, jotka liittyvät yksikköpallon geometriaan ja avaruuden ortogonaalistyyppisiin hajoitelmiin. Lisäksi tutkitaan myös vektoriarvoisten funktioavaruuksien rotaatioita, jossa nämä funktioavaruudet tunnetaan ennalta epäisomorfisiksi Hilbert-avaruuden kanssa.

A composition operator is a linear operator between spaces of analytic or harmonic functions on the unit disk, which precomposes a function with a fixed self-map of the disk. A fundamental problem is to relate properties of a composition operator to the function-theoretic properties of the self-map. During the recent decades these operators have been very actively studied in connection with various function spaces. The study of composition operators lies in the intersection of two central fields of mathematical analysis; function theory and operator theory. This thesis consists of four research articles and an overview. In the first three articles the weak compactness of composition operators is studied on certain vector-valued function spaces. A vector-valued function takes its values in some complex Banach space. In the first and third article sufficient conditions are given for a composition operator to be weakly compact on different versions of vector-valued BMOA spaces. In the second article characterizations are given for the weak compactness of a composition operator on harmonic Hardy spaces and spaces of Cauchy transforms, provided the functions take values in a reflexive Banach space. Composition operators are also considered on certain weak versions of the above function spaces. In addition, the relationship of different vector-valued function spaces is analyzed. In the fourth article weighted composition operators are studied on the scalar-valued BMOA space and its subspace VMOA. A weighted composition operator is obtained by first applying a composition operator and then a pointwise multiplier. A complete characterization is given for the boundedness and compactness of a weighted composition operator on BMOA and VMOA. Moreover, the essential norm of a weighted composition operator on VMOA is estimated. These results generalize many previously known results about composition operators and pointwise multipliers on these spaces. Väitöskirjassa tutkitaan kompositio-operaattoreita kompleksitason yksikkökiekon analyyttisten ja harmonisten funktioiden avaruuksissa. Kompositio-operaattori on lineaarinen kuvaus, joka yhdistää funktioon sisältä päin symbolin eli jonkin analyyttisen kuvauksen yksikkökiekolta itselleen. Tutkimuksen tavoitteena on kuvata kompositio-operaattorin ominaisuuksia symbolin funktioteoreettisten ominaisuuksien avulla. Viimeisten vuosikymmenien aikana kompositio-operaattoreita on tutkittu aktiivisesti eri funktioavaruuksissa. Tutkimus sijoittuu kahden keskeisen matemaattisen analyysin osa-alueen, funktioteorian ja operaattoriteorian leikkaukseen. Väitöskirja koostuu neljästä artikkelista ja yhteenveto-osasta. Ensimmäisessä ja kolmannessa artikkelissa annetaan riittäviä ehtoja kompositio-operaattorin heikolle kompaktisuudelle vektoriarvoisissa BMOA-avaruuksissa ja sen eri versioissa. Toisessa artikkelissa karakterisoidaan operaattorin heikko kompaktisuus vektoriarvoisissa harmonisissa Hardy-avaruuksissa ja Cauchy-muunnosten avaruuksissa. Kompositio-operaattoreita tutkitaan myös näiden avaruuksien heikoissa versioissa. Lisäksi eri avaruuksien välisiä eroja valaistaan esimerkein. Viimeisessä artikkelissa tutkitaan painotettuja kompositio-operaattoreita skalaariarvoisessa BMOA-avaruudessa ja sen aliavaruudessa VMOA. Painotettu kompositio-operaattori saadaan soveltamalla ensin kompositio-operaattoria ja sitten pisteittäistä multiplikaattoria. Työssä karakterisoidaan painotetun kompositio-operaattorin kompaktisuus BMOA-avaruudessa ja annetaan arvio operaattorin olennaiselle normille VMOA-avaruudessa. Nämä tulokset yleistävät monia aikaisemmin tunnettuja kompositio-operaattoreita ja multiplikaattoreita koskevia tuloksia.