Search

ÖZET Bu tezde, konveks ve yıldızı İlık kavr anandan hareketle tanımlanan fonksiyon sınıflarını araştırdık. Birinci bölümde, D = -{z: zj < 1 } olmak üzere D' de analitik ve yalınkat, f = f ' (O) -1=0 koşulları ile normalize edilmiş fonksiyonların sınıfı olan S ve onun alt sınıfları olan konveks ve yıldızıl fonksiyon sınıflarının temel özelliklerini verdik. İkinci bölümde, konveks ve yıldızıllık kavramından hareketle tanımlanan fonksiyon sınıflarını tarihsel bir gelişim içerisinde inceleyerek, sınıflar arasındaki bağıntıları, katsayı hesaplamalarını, gösteriliş teoremlerini, ayrıntılı bir biçimde ele aldık. Bazı fonksiyon sınıflarında ise, yalnızca sınıfın tanımını ve yalınkat olduğunu göstererek diğer özelliklerin okuyucu tarafından önceki sınıf 1 ardaki ne benzer şekilde hesaplamalarla elde edebileceğini düşündük ve okuyucu açısından yararlı olacağı amacıyla bazı teoremleri ispatsız verdik. Üçüncü bölümde, konveks ve yıldızıl fonksiyonlarla indirekt olarak ilgili fonksiyon sınıflarını inceledik. Dördüncü bölümde, harmoni k yalınkat fonksiyonlar sınıfını tanıttık ve bu sınıfın bazı alt sınıflarından söz ettik. Bu sınıfta çalışmanın, S sınıfında çalışmaktan daha güç olduğunu ve bir çok açık problemin bulunduğunu belirttik. Bu konuda çalışan kimselere faydalı olmak amacıyla sınıfların incelenmesinde gerekli hesaplamaları yaptık ve buna karşılık okuyucuyu konuya çekmek için bazı teoremlerin ispatları yerine referanslarını vererek araştırmalarında yardımcı olmayı amaçladık. Ayrıca bu tezin konusu olan sınıflar hakkında en son ve en yeni çalışmaları mümkün olduğu ölçüde gözden geçirerek referanslara, dahil ettik. iv THE CLASS OF FUNCTIONS DEFINED BY MEANS OF THE CONCEPTS OF CONVEXITY AND STARLIKENESS SUMMARY In this thesis» we study the class of functions that are defined by means of the concepts of convexity and star-likeness. In the first chapter, we give the main properties of the classes S, convex and starlike functions. Here, S denotes the set of functions f, that are analytic, univalent in D = { z: z< 1 }. and normalized by f -1=0. The classes of convex and starlike functions are the set of functions f in S whose images are convex and starlike, respectively. In the second chapter, we study the function classes defined by means of the concepts of convexity and starlikeness in a chronological order and give some representation theorems, some coefficient estimates, and we investigate the relation between the classes in detail. In some function classes, we only give the definitions of the classes and show that the functions in the class are univalent, because the other properties can be obtained from similar calculations that appear in preceeding classes. In the third chapter, we investigate the function classes related indirectly to convex and starlike functions. In the fourth chapter, the class of harmonic univalent functions are introduced and some subclasses of this class are mentioned. It turns out that the problems are more difficult in this class than the problems on the class S, because we do not have the tools of analytic functions. We end this chapter by vmentioning some open problems in the class of harmonic univalent, functions. On one hand, to help readers studying on this field, we give the necessary calculations which transforms the defining geometric properties of the classes into analytic conditions. On the other hand, to influence readers first and then to be helpfull on their research we give a broad list of references in which the proofs of theorems can be, found. VI 134

Bu çalışma esas olarak beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, (C,1,1) toplanabilme metodunun ve bu metoda ilişkin Tauber tipi sonuçlar ile bunların istatistiksel genişlemelerinin $20.$ yüzyılın başlarından günümüze kadar uzanan yakın tarihi hakkında bazı açıklamalara yer verilmiştir. İkinci bölümde, iki katlı dizilere dair bazı temel kavramlara ve bu kavramlar arasındaki ilişkilere değinilmiştir. Üçüncü bölümde, iki katlı dizilerin çeşitli anlamlardaki üreteç dizileri ve Kronecker özdeşlikleri tanıtılmıştır. İki katlı diziler için (C,1,1) toplanabilmeden hareketle P-yakınsaklığın elde edildiği en kapsamlı gerekli ve yeterli olan koşullar ile bazı Tauber tipi koşullar incelenmiş ve bu koşullara ilişkin bazı sonuçlar verilmiştir. Dördüncü bölümde, iki katlı diziler için istatistiksel yakınsaklık kavramı tanıtılmıştır ve bu kavramın çeşitli karakterizasyonları sıralanmıştır. İstatistiksel olarak (C,1,1) toplanabilen iki katlı dizilerden P-yakınsak ve istatistiksel yakınsak dizilerin elde edildiği bazı Tauber tipi koşullar ile gerekli ve yeterli olan koşullar incelenmiş ve bu koşullara ilişkin bazı sonuçlar verilmiştir. Son bölümde, tez süresince yapılan tüm çalışmalar özetlenmiştir, bu çalışmalar neticesinde ortaya çıkan sonuçlardan kısaca bahsedilmiştir., This thesis essentially consists of five chapters. In the first chapter, some informations about the late history of (C,1,1) summability method and its Tauberian results with its statistical extensions, that is about the history from the early part of 20th century until these days are given. In the second chapter, some basic concepts with respect to double sequences and the relationship between these concepts are mentioned. In the third chapter, generator sequences and the Kronecker identities for double sequences in certain senses are introduced. The most comprehensive necessary and sufficient conditions and some Tauberian conditions for double sequences that P-convergence follows from the (C,1,1) summability are investigated and also some corollaries related to these conditions are presented. In the fourth chapter, the concept of statistical convergence for double sequences is introduced and various characterizations of this concept are organized. Some Tauberian conditions and necessary and sufficient conditions that P-convergent and statistical convergent sequences follow from statistically (C,1,1) summable double sequences are examined and some corollaries related to these conditions are obtained. In the last chapter, all studies done during the thesis are summarized, it is briefly mentioned the conclusions which reach as a result of this study.

Bu çalışma esas olarak üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, kısaca toplanabilme metotları ve Tauber teorisinin tarihsel gelişim sürecinden bahsedilerek, tek katlı ve iki katlı integrallerde Cesàro toplanabilme alanında yapılan çalışmalar özetlenecektir. Aynı zamanda tezde yapılacak çalışmalar hakkında bilgi verilecektir. İkinci bölümde, ilk olarak tek katlı integrallerin Cesàro toplanabilirliği hakkında temel bilgiler verilecektir. Ardından iki katlı integrallerin toplanabilirliği için bazı temel tanım ve ifadeler verilerek (C; 1; 1) toplanabilme metodu için Tauber tipi koşullar ispatlanacaktır. Üçüncü bölümde, iki değişkenli fonksiyonlar için Cesàro toplanabilme kavramı tanıtılacak ve daha sonra bu kavram kullanılarak Tauber tipi koşullar ispatlanacaktır., This thesis essentially consists of three chapters. In the first chapter, briefly, summability methods and the historical developments of Tauberian theory will be mentioned and studies on the subject of Cesàro summability for single and double integrals will be summarized. Also, there will be given information about the studies which will be done in the thesis. In the second chapter, firstly there will be given some basic information about the Cesàro summability of single integrals. And then, for the Cesàro summability of double integrals, some defi nitions and notations will be given and Tauberian conditions will be proved for (C; 1; 1) summability methods. In the third chapter, the concept of Cesàro summability for two variable functions will be presented and moreover Tauberian conditions will be proved by using this concept.

Bu çalışma esas olarak üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, Tauber teorisinin tarihsel gelişim sürecinden ve kısaca toplanabilme metotlarından bahsedilerek, tek katlı ve iki katlı dizilerde ağırlıklı ortalamar metodu için yapılan çalışmalar ile tezde yapılacak olan çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, ilk olarak tek katlı dizilerde ağırlıklı ortalamalar metodu için temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Ardından iki katlı diziler için ağırlıklı toplanabilme alanına ait kavramlar tanıtılarak Tauber tipi teoremler ispatlanmıştır. Üçüncü bölümde, iki katlı dizilerin üreteci kavramı tanıtılmış ve daha sonra bu üreteç kavramı kullanılarak Tauber tipi teoremler ispatlanmıştır., This thesis essentially consists of threee chapters. In the first chapter, the historical development of Tauberian theory and brief introduction of summability methods are mentioned, and then previous works on the weighted mean method of single and double sequences and the results obtained in this thesis are included. In the second chapter, firstly basic defitions and theorems with regard to weighted mean method of single sequences are given. Later, concepts related to the weighted mean summability of double sequnces are introduced and Tauberian theorems are demonstrated. In the third chapter, the concept of generator sequence for double sequences is presented and Tauberian theorems are proved by using generator sequences.

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, bu tezde kullanılan temel tanım, gösterim ve lemmalara yer verilmiş ve klasik Tauber tipi teoremler incelenmiştir. Üçüncü bölümde, logaritmik kuvvet serisi toplanabilme metodu (L) için Tauber tipi teoremler ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde, genelleştirilmiş logaritmik kuvvet serisi metodu (L,m) tanımlanmış ve üçüncü bölümde elde edilen sonuçlar (L,m) toplanabilirliğe genişletilmiştir. Beşinci bölümde, istatistiksel yakınsaklık ve istatistiksel (l,m) toplanabilirlik kavramları tanıtılmış ve ilişkili Tauber tipi teoremler araştırılmıştır. Altıncı bölümde, altdizisel yakınsaklık kavramı detaylıca ele alınmış ve sınırlı bir dizinin altdizisel yakınsaklığını elde etmek için yeterli Tauber koşulları bulunmuştur., This thesis consists of six chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, the basic de nitions, notations and lemmas used in the thesis are given and classical Tauberian theorems are examined. In the third chapter, Tauberian theorems for the logarithmic power series summability method (L) are proved. In the fourth chapter, the generalized logarithmic power series method (L;m) is de ned and the results in the third chapter are extended to (L;m) summability. In the fth chapter, the concepts of statistical convergence and statistical (`;m) summability are introduced and related Tauberian theorems are investigated. In the sixth chapter, the concept of subsequential convergence is discussed in detail and su cient Tauberian conditions are obtained to retrieve subsequential convergence of a sequence from its boundedness.

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, kısaca toplanabilme metotları ve Tauber teorisinin tarihsel gelişiminden bahsedilerek, tek katlı ve iki katlı diziler için Cesàro toplanabilme alanında yapılan çalışmalar özetlenecektir. Ayrıca tezde yapılacak çalışmalar hakkında bilgi verilecektir. İkinci bölümde, tek katlı dizilerin Cesàro toplanabilirliği hakkında özet niteliğinde bilgiler verilecektir. Ardından iki katlı diziler icin Cesàro toplanabilme alanına ait temel tanım ve ifadeler verilerek, (C,1,1) toplanabilme metodu için Tauber tipi teoremler ispatlanacaktır. Üçüncü bölümde, tek katlı ve iki katlı diziler için düzenli üretilen dizi kavramı verilecektir ve daha sonra düzenli üretilen dizi kavramı kullanılarak iki katlı diziler için Tauber tipi teoremler ispatlanacaktır., This thesis consists of three chapters. In the first chapter, briefly, summability methods and the historical developments of Tauber theory will be mentioned. For the single and double sequences, the studies done in the fields of Cesàro summability will be summarized. Also, there will be given information about the studies which will be done in the thesis. In the second chapter, there will be given information as a summary about the Cesàro summability of single sequences. And then, for the Cesàro summability of double sequences will be given basic definition and notations, Tauber type theorem will be proved for (C,1,1) summability methods. In the third chapter, for single and double sequence, the concept of the regularly generated sequences will be given and then, by using the concept of the regularly generated sequence, Tauber type theorems will be proved for double sequences.

Bu çalışma esas olarak üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, bulanık mantığın ortaya çıkışı, amacı ve yararlarından kısaca bahsedilmiştir. Ayrıca, bulanık kümeler, bulanık sayılar ve bulanık sayı dizileri ile ilgili çeşitli araştırmacılar tarafından yapılan çalışmalar ile tezde yapılacak olan çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, ilk olarak bulanık sayı ve bulanık sayı dizileri ile ilgili temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Ardından, klasik Tauber teorisinin gelişim sürecinden bahsedilmiş,toplanabilme teorisi ile ilgili tez boyunca kullanılacak olan temel tanım ve notasyonlar verilmiş ve son olarak bazı Tauber tipi koşullar incelenmiştir. Üçüncü bölümde, bulanık sayı dizileri kavramının ağırlıklı ortalama toplanabilme metoduna nasıl uygulandığı açıklanmış, metodun regüler olması için gerek ve yeter koşullar verilmiş ve bu metot için bazı Tauber tipi teoremler ispatlanmıştır., This thesis essentially consists of three chapters. In the first chapter, the dawn of fuzzy logic, its aim and advantages are shortly mentioned. Also, informations concerning studies which have done by several researchers with respect to fuzzy set, fuzzy numbers and its sequences and works which will be done in this thesis are given. In the second chapter, firstly basic definitions and theorems related with fuzzy number and its sequences are included. Later, development process of classical Tauberian theory is mentioned, basic definitions and notations which are going to be used throughout the thesis related with summability theory are given and finally some classical Tauberian conditions are investigated. In the third chapter, how the concept of sequences of fuzzy numbers has been applied to the weighted mean method of summability is explained, necessary and sufficient conditions for regularity of this method are given and some Tauberian theorems for this method are proved.

Bu tezde, ağırlıklı ortalama toplanabilme metodu tanımlanmıştır. Klasik kontrol modulo, genel kontrol modulo ve ağırlıklı üreteç dizisi kavramlari yardımıyla bu metot için Tauber tipi Teoremler elde edilmiştir. Tez, Giriş bölümü ile birlikte beş bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, kısaca toplanabilme metotları ve Tauber teorisinin tarihsel gelişiminden bahsedilmiştir.İkinci bölümde, tez kapsamında kullanılacak olan tanım ve gösterimler, klasik Tauber tipi Teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, ağırlıklı ortalama toplanabilme metodu için Tauber Teoremleri ve sonuçları verilmiştir. Dördüncü bölümde, ağırlıklı ortalama toplanabilme metodu için genel Tauber koşulları ve sonuçları verilmiştir. Beşinci bölümde, ağırlıklı ortalama toplanabilme metodu için genelleştirilmiş bir Tauber tipi Teorem verilmiştir.Anahtar sözcükler: Tauber tipi Teoremler, ağırlıklı ortalama metodu, yavaş salınımlı dizi, ağırlıklı klasik kontrol modülo, ağırlıklı genel kontrol modülo. In this thesis, weighted summability methods are defined. It is proved that certain conditions in terms of weighted classical control modulo, weighted general control modulo and weighted generator sequences are Tauberian conditions for the weighted mean summability method. Together with the introduction, this thesis consists of five chapters.In the first chapter, historical development of classical Tauberian theory and summability theory are mentioned, shortly.In the second chapter the definitions and notations, which are going to be used throughout the thesis, are given. Classical Tauberian theorems are investigated.In the third chapter, Tauberian theorems and results for the weighted mean methods of summability are given.In the fourth chapter, some genereal Tauberian conditions and results for the weighted mean method of summability are given.In the fifth chapter, a generalized Tauberian type theorem for the weighted mean method of summability is given.Keywords: Tauberian theorems, weighted mean method, slow oscillating sequence, weighted classical control modulo, weighted general control modulo. 58

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, toplanabilme metotları, Tauber tipi teoremler ve fuzzy sayılarının tarihsel gelişiminden bahsedilmiştir.İkinci bölümde,tez kapsamında kullanılacak temel tanım ve kavramlar verilmiştir.Üçüncü bölümde,Cesàro toplanabilir fuzzy sayı dizileri için Tauber tipi teoremlerden bahsedilmiştir.Dördüncü bölümde, yavaş azalan veya istatistiksel yakınsak olan fuzzy dizileri için gerekli Tauber tipi teoremler verilmiştir. This thesis consists of four chapters. In the first chapter, summability theory, Tauberian theorem and historical development of fuzzy numbers are mentioned.In the second chapter, the definitions and concepts, which are going to be used throughout the thesis, are given.In the third chapter, Tauberian theorems for Cesàro summable sequences of fuzzy numbers are mentioned.In the fourth chapter, Tauberian theorems for slowly deacreasing sequences or statisticsally convergence sequences of fuzzy numbers are given. 70

Bu tezde, bazı ayrık toplanabilme metotları tanımlanmıştır. Bu metotların regülerliği gösterilip Abel ve Tauber tipi teoremler ispatlanmıştır. Giriş bölümü ile birlikte altı bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, kısaca toplanabilme metotları ve Tauber teorisinin tarihsel gelişiminden bahsedilmiştir.İkinci bölümde, tez kapsamında kullanılacak olan temel tanım ve gösterimler verilmiştir. Üçüncü bölümde, ayrık ağırlıklı ortalama metotları tanımlanmış, Tauber teoremleri ve sonuçları verilmiştir. Dördüncü bölümde, yeni bir çeşit Cesàro ortalama metodu tanımlanmış, Abel sonucu ve Tauber sonuçları verilmiştir. Beşinci bölümde, ayrık kuvvet serileri metotları tanımlanmış ve bir Tauber teoremi verilmiştir.Altıncı bölümde, ayrık Abel toplanabilme metotları tanımlanmış, Abel ve Tauber sonuçları verilmiştir. In this thesis, some discrete summability methods are defined. Regularity of these methods is proved and Abel and Tauberian theorems are proved. Together with the introduction, this thesis consists of six chapters .In the first chapter, historical development of classical Tauberian theory and summability theory are mentioned, shortly.In the second chapter , the definitions and notations, which are going to be used throughout the thesis, are given. In the third chapter, discrete weighted mean methods are defined and Tauberian theorems and results are given. In the fourth chapter, a new type of Cesàro mean method is defined and Abel result and Tauberian results are given. In the fifth chapter, discrete power series methods are defined and a Tauberian theorem is given.In the sixth chapter, discrete Abel summability methods are defined and Abel and Tauberian results are given. 109

Bu tez kapsamında integrallerin Cesàro toplanabilmesi için bazı Tauber tipi teoremlerin verilmesi amaçlanmıştır. Giriş bölümüyle birlikte üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde klasik Tauber teorisinin kısa bir özeti verilmiştir.İkinci bölümde Cesàro toplanabilme metotu tanıtılıp, gerekli tanım ve gösterimler verilmiştir. Daha sonra ispatlarda kullanılacak Lemmalar ve ispatları verilmiştir.Son bölümde ise Cesàro toplanabilme metotu için öncelikle yavaş salınımlığın Tauber tipi koşul olduğu bazı teoremler ve sonuçları ispatlarıyla birlikte verilmiştir. Son olarak, salınım davranışlarının kontrol modülosu yardımıyla elde edilen bazı Tauber tipi teoremler ve ispatları verilmiştir. In this thesis, it is aimed to give some Tauberian theorems for Cesàro summability of integrals. With the introduction, the thesis consists of three chapters.In the first chapter, a short summary of classical Tauberian theory is given.In the second chapter, Cesàro summability is introduced and necessary definitions and notations are given. Later, lemmas used in the proofs and their proofs are given.In the last chapter, some theorems and their corollaries are given together with their proofs for which slow oscillation is a Tauberian condition for Cesàro summability method. Finally, some Tauberian theorems and their proofs are given by means of control modulo of oscillatory behavior. 53

Bu tezde, Karamata?nın temel teoremi ve sonucunun yardımıyla klasik Tauber teorisinde elde edilmiş sonuçların yeniden ispatlanması ve (A,k) toplanabilmeye genelleştirilmelerinin verilmesi amaçlanmıştır. Giriş bölümü ile birlikte beş bölümden oluşmaktadır.İkinci bölümde, Tauber teorisi ile ilgili temel tanımlar ve bazı teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, kontrol modülosu ılımlı salınımlı olan diziler için klasik Tauber teoremleri genelleştirilmiş ve sonuçları verilmiştir. Dördüncü bölümde, kontrol modülosu sınırlı olan diziler için klasik Tauber teoremleri genelleştirilmiş ve sonuçları verilmiştir. Beşinci bölümde, alt dizisel Tauber teorisi tanıtılıp, bununla ilgili Tauber teoremleri verilmiştir. In this thesis, it is aimed to prove once again the results obtained in the classical Tauberian theory by means of Karamata?s Hauptsatz and its corollary and to generalize them to (A,k) summability. With the introduction, the thesis consists of five chapters.In Chapter 2, basic definitions related to Tauberian theory and some theorems are given. In Chapter 3, classical Tauberian Theorems are generalized for sequences whose control modulo is slowly oscillating and their corollaries are given. In Chapter 4, classical Tauberian Theorems are generalized for sequences whose control modulo is bounded and their corollaries are given. In Chapter 5, subsequential Tauberian Theory is introduced then Tauber Theorems related to it are given. 52

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, kısaca toplanabilme metotları ve Tauber teorisinin tarihsel gelişiminden bahsedilmiştir.İkinci bölümde, tez kapsamında kullanılacak olan tanım ve gösterimler, klasik Tauber tipi teoremler ve Pati (2005) nin yapmış olduğu teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde, (A)(C, ?) toplanabilme metodu için Pati (2005) nin vermiş olduğu teoremlerin bir geliştirilmesi olan Tauber tipi teoremler verilmiştir.Dördüncü bölümde, (A)(C, ?) toplanabilme metodu için genelleştirilmiş bir Tauber tipi teorem ve gerekli lemmalar verilmiştir. This thesis consists of four chapters.In the first chapter, historical development of classical Tauberian theory and summability theory are mentioned, shortly.In the second chapter, the definitions and notations, which are going to be used throughout the thesis, are given. Classical Tauberian theorems and the theorems in Pati (2005) are investigated.In the third chapter, Tauberian theorems, which are given in Pati (2005) for (A)(C, ?) summability method, are generalized.In the fourth chapter, a generalized Tauberian type theorem and necessary lemmas for (A)(C, ?) summability method are given. 72

Dört bölümden oluşan bu çalışmanın amacı ağırlıklı toplanabilir integraller için Tauber tipi koşulları incelemektir. Birinci bölümde giriş kısmı verildi. İkinci bölümde (C,1) toplanabilir integraller için Tauber tipi koşullar verildi. İlk olarak reel değerli fonksiyonlar için tek taraflı Tauber tipi teorem verildi. Yavaş azalanlık (artanlık) kavramı gösterildi. İkinci olarak da kompleks değerli fonksiyonlar için iki taraflı Tauber tipi teorem verildi. Yavaş salınımlılık kavramı tanıtıldı. Üçüncü bölümde R+ da ağırlıklı ortalama toplanabilir integraller için gerek ve yeter Tauber tipi koşullar verildi. Bu bölümde de ilk olarak reel değerli fonksiyonlar için tek taraflı Tauber tipi teorem verildi. Daha sonra kompleks değerli fonksiyonlar düşünülerek iki taraflı Tauber tipi teorem verildi. Dördüncü bölümde R+ ağırlıklı ortalama toplanabilir integraller için gerek ve yeter Tauber tipi koşullar II verildi. Ağırlık fonksiyonu tanıtıldı. (W,P) toplanabilme metodu tanıtıldı. Bölümün sonunda da ağırlık fonksiyonunun özel seçimleri verildi. The main topic of this study, which consists of four chapters, is to investigate Tauberian conditions for weighted mean summable integrals. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, Tauberian conditions for (C,1) summable integrals were given. First, for real valued functions one-sided Tauberian theorem was given. Then the concept of slow decreasing (increasing) was shown. Second, for complex valued functions two-sided Tauberian theorem was given. The concept of slow oscillation was introduced. In the third chapter, necessary and sufficient Tauberian conditions in the case of weighted mean summable integrals over R+ were given. In this section first, for real valued function one-sided Tauberian theorem was given too. Later second, for complex valued functions two-sided Tauberian theorem was given. In the fourth chapter, necessary and sufficient Tauberian conditions in the case of weighted mean summable integrals over R+ II were given. The weight function was introduced. (W,P) summability method was introduced. At the end of the section particular choices of the weight function were given.

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, kısaca toplanabilme metodları ve Tauber teorisinin tarihsel gelişiminden bahsedilmiştir.İkinci bölümde, tez boyunca kullanılacak olan tanım ve gösterimler verilmiş, klasik Tauber tipi teoremler incelenmiştir.Üçüncü bölümde, Cesàro toplanabilme metodu için Tauber tipi teoremler verilmiştir.Dördüncü bölümde, Abel toplanabilme metodu için Tauber tipi teoremler verilmiştir. This thesis consists of four chapters.In the first chapter, historical development of classical Tauberian theory and summability theory are mentioned, shortly.In the second chapter, the definitions and notations, which are going to be used throughout the thesis, are given and classical Tauberian theorems are investigated.In the third chapter, Tauberian theorems for Cesàro summability method are given.In the fourth chapter, Tauberian theorems for Abel summability method are given. 59

Klasik Tauber teorisinin temel amac.lar³ndan biri, Abel'in gerek ko»sulu yada genelle»stirilmesi olarak bilinen limitin varl³~g³ndan ve sal³n³m davran³»slar³n³ kon- trol eden ko»sullar ile ³raksakl³~g³ kontrol edilebilen dizilerin yak³nsakl³~g³na ula»s³lma s³d³r. Bu ko»sullara Tauber ko»sullar³ ve bu tip teoremlere Tauber teoremleri denir. Stanojevi¶c taraf³ndan tan³mlanan tamsay³ mertebeli kontrol modÄulolar ile klasik Tauber teoremleri incelenecektir. Tauber, bir dizinin klasik kontrol modÄulosu s³f³r dizisi ise Abel'in gerek ko»sulundan dizinin yak³nsakl³~g³na ula»s³ld³~g³na gÄostermi»stir. Littlewood, Tauber'in ko»sulundan daha zay³f olan dizinin klasik kontrol modÄulosu nun s³n³rl³l³~g³ ile de~gi»stirebilece~gini gÄostermi»stir. Sonra Schmidt yava»s sal³n³ml³ dizileri tan³tm³»s ve genelle»stirilmi»s Littlewood teoremi olarak bilinen daha genel teoremi ispatlam³»st³r. Dik, Karamata'n³n temel toreminden yararlanarak ve Stano- jevi¶c taraf³ndan tan³t³lan dÄuzenli olarak Äuretilen dizi kavram³n³ kullanarak Abel limitleme metodu ic.in yeni Tauber tipi teoremler elde etmi»s ve klasik Tauber tipi teoremleri genelle»stirmi»stir. Dik ve C. anak dÄuzenli olarak Äuretilen dizi kavram³ yard³m³yla Abel limitleme metodu ic.in klasik ve klasik olmayan yeni Tauber tipi teoremler ispatlam³»st³r. C. anak ve Dik verilen bir dizinin Äuretec.lerinin yada geri farklar³n³n yava»s sal³n³ml³ olmas³ durumunda dizinin hangi ko»sullar alt³nda yak³nsak yada altdizisel yak³nsak oldu~gu ara»st³rm³»st³r. One of the main objectives of the classical Tauberian theory is to recover con- vergence of sequences, whose divergence is manageable, out of the existence of certain limits which is known as Abel's necessary condition or its generalizations, and certain additional conditions that control the oscillatory behavior. These conditions are called Tauberian conditions and this type of theorems are called Tauberian theorems. In terms of the control modulo of oscillatory behavior of integer order, introduced by Stanojevi¶c, we now summarize the classical results. Tauber proved that if the classical control modulo of a sequence is a null sequence, then one obtains convergence of sequence out of its Abel's necessary condition. Littlewood showed that Tauber's condition can be replaced by the boundedness of the classical control modulo of a sequence. Later Schmidt introduced the slowly oscillating sequences and proved the more general theorem, which is known as the generalized Littlewood theorem. Using Karamata's Hauptsatz and employing the concept of regularly generated sequences introduced by Stanojevi¶c, Dik ob- tained new Tauberian theorems and generalized classical Tauberian theorems for Abel limitable method. Dik ve C. anak proved classical and nonclassical Taube- rian theorems for Abel limitable method by the concept of regularly generated sequences. C. anak ve Dik investigated under which conditions sequences converges or converges subsquentially, provided that its generator sequence or sequence of its backword di®erences is slowly oscillating.

Klasik Tauber teorisinin temel amaclarından biri, Abel'in gerek koşulu yas.da genelleştirilmesi olarak bilinen limitin varlıËından ve salınım davranışlarınıs g skontrol eden ek koşullar ile ıraksaklıËı kontrol edilebilen dizilerin yakınsaklıËınıns g gyeniden elde edilmesidir. Bu koşullara Tauber koşulları ve bu tip teoremlere des sTauber teoremleri denir. Stanojevi´ (1998) tarafından tanıtılan tamsayı mer-ctebeli kontrol modülolar ile klasik Tauber teoremleri üzetlenecektir.u o Tauber(1897) dizinin klasik kontrol modülosu sıfır dizisi ise Abel'in gerek koşulundanu syakınsaklıËın elde edildiËini ispatlamıştır. Littlewood (1910), Tauber'in koşulunung g s sdizinin klasik kontrol modülosunun sınırlılıËı ile deËiştirebildiËini güstermiştir.u g gs g o sSonra, Schmidt (1925) yavaş salınımlı dizileri tanıtmış ve genelleştirilmiş Little-s s s swood teoremi olarak bilinen daha genel teoremi ispatlamıştır. Karamata (1930)starafından verilen teorem ünceki klasik Tauber teoremlerinin ispatlarınıobasitleştirmiş ve dizilerin salınım davranışlarının kontrol modülolarını iceren bazıs s s u .Tauber teoremlerinin yeniden elde edilebildiËini güstermiştir. Dik (2002b), Kara-g o smata'nın temel teoremini kullanarak ve Stanojevi´ (1999a) tarafından tanımlanancılımlı salınımlı dizi tanımından yararlanarak bir Tauber koşulu olarak dizininsyüksek mertebeden kontrol modülosunu iceren ceşitli teoremler ispatlamıştır.u u .s s.Dik (2002a), Abel'in gerek koşulunun varlıËından dizinin yakınsaklıËının bulu-s g gnamadıËı bazı koşulların varlıËını vurgulamıştır. Bu alt dizisel Tauber teorisig s g solarak adlandırılan farklı bir Tauber teorisi ceşidine yünlendirmiştir..s o s One of the main objectives of the classical Tauberian theory is to recoverconvergence of sequences, whose divergence is manageable, out of the existenceof certain limits, which is known as Abel?s necessary conditions or its general-izations, and certain additional conditions that control the oscillatory behavior.These conditions are called Tauberian conditions and this type of theorems arecalled Tauberian theorems. In terms of the control modulo of oscillatory behaviorof integer order, introduced by Stanojevi´ (1998), we now summarize the classicalcresults. Tauber (1897) proved that if the classical control modulo of a sequence isa null sequence, then one obtains convergence of sequence out of its Abel?s neces-sary condition. Littlewood (1910) showed that Tauber?s condition can be replacedby the boundedness of the classical control modulo of a sequence. Later, Schmidt(1925) introduced the slowly oscillating sequences and proved the more generaltheorem, which is known as the generalized Littlewood theorem. The theoremgiven by Karamata (1930) simpliï¬ed the proofs of the early classical Tauberiantheorems and provided viewpoint to obtain some Tauberian theorems that wasgiven in terms of control modulo of oscillatory behavior of a sequence. Using theKaramata?s Hauptsatz and employing the deï¬nition of moderately oscillating se-quences deï¬ned by Stanojevi´ (1999a), Dik (2002b) proved several theorems thatcadmitted the higher order control modulo of a sequence as a Tauberian condition.Dik (2002a) pointed out that there were some conditions that we could not inferconvergence of a sequence out of the existence of Abel?s necessary condition. Thismotivated a diï¬erent kind of Tauberian theory, so called subsequential Tauberiantheory. 55

ÖZET Toplanabilme metodlan, ıraksak bazı sonsuz serileri toplamak ya da yakınsak serilerin yakınsama hızını artırmak için tanımlanmışlardır. Toplanabilme metodlarına örnek olarak, Cesaro ve Abel toplanabilme metodlan verilebilir. Abel toplanabilmeden serinin yakınsaklığını elde etmek için gerekli koşul ilk.olarak Tauber (1897) tarafindan verilmiştir. Bu tip koşullar Tauber koşulları olarak bilinirler. Bu tip koşullan ihtiva eden teoremler de Tauber teoremleri adını alırlar. Tauber (1897), nan = o(l),«- »oo koşulunun Abel toplanabilme metodu için bir Tauber koşulu olduğunu göstermiş, Littlewood (1911) ise, Tauber' in nan = o(l), n -> oo koşulunu nan = 0(l), n ->? oo olarak değiştirmiştir. Schmidt(1925), yavaş değişimliliğin de bir Tauber koşulu olduğunu göstermiştir. Szâsz( 1 935), V` i/a/, p) = 0(l), n -> oo, p > 1 koşulunun Abel toplanabilme metodu için Tauber koşulu olduğunu göstermiştir. Renyi P`(a,l)=0(l),rc- »co koşulunun Abel toplanabilme için bir Tauber koşulu olmadığını gösteren bir örnek vermiştir. Landau(1929), tek taraflı koşulu kullanarak Abel toplanabilmeden yakınsaklığa geçişin mümkün olduğunu ispatlamıştır. (Sn(a)) dizisinin yavaş değişimli olması Abel toplanabilme için bir Tauber koşulu ise, (Vn{a,l)) üreteç dizisinin de yavaş değişimli olması Abel toplanabilme metodu için bir Tauber koşuludur. Bu, aşağıdaki koşullan sağlayan genel bir T toplanabilme metodu için de geçerlidir: 1. Toplamsallık 2. (S,Xa)) dizisinin '5' sayısına T toplanabilir olması, (l^n(a,l)) dizisinin '0' a T toplanabilir olmasını gerektirsin.-65- Klasik Tauber teorisi, Abel toplanabilmeden yakınsaklığın elde edilmesi için gerekli olan koşullan inceler. Fakat, Abel toplanabilmeden yakınsaklığın elde edilemeyeceği koşullar da vardır. Bu ise, Tauber teorisine farklı bir bakış açısı oo kazandırmıştır. Böylelikle, alt dizisel Tauber teorisi incelenmeye başlanmıştır. ]£a` n=0 serisinin ılımlı salınımlı olma özelliği ile, alt dizilerinin davranışı elde edilebilir. Çanak(1998), (-oo koşuluna ek olarak (S`{a)) ve (F`(a,l)) dizileri ılımlı salınımlı, Fr`(a,l) = 0(l),n->oo koşullarıyla da bir / aralığında {S`{aj) dizisinin z ye yakınsayan bir {S`^(a)j alt dizisinin olduğunu göstermiştir. J)-r*- yavaş değişimli, Stanojevic (2002), n>./ için wA(«AF^(a,l))> -M` olacak şekilde bir M~{Mn) dizisi ve n oo lm(l-x)lm VK^(a,T)x* limiti mevcut ise, Ya, serisinin yavaş değişimli olduğunu göstererek serilerin salınımlı davranışlarını yeniden ele almıştır. Stanojevic, dizisinin ılımlı saknımlılığının elde edilebileceğini göstermiştir. y/ - - dizisi ılımlı salınımlı alınırsa da aynı koşullarla {S`(aj) In k ) SUMMARY Summability methods have been given to sum some divergent series or to increase the speed of convergence of the series. C&saro and Abel summability methods are some examples of summability methods. The condition to obtain convergence of a series from its Abel summability was first given by Tauber(1897). These conditions are called Tauberian conditions. The theorems containing these conditions are Tauberian Theorems. Tauber(1897) showed that na` = o(l), n ->? oo is a Tauberian condition for Abel summability. Littlewood(1911) generalized Tauber's condition nan = o(l), n -> oo by na` = 0(l), n -> 00. Schmidt(1925) proved that slow oscillation is also a Tauberian condition. Szasz(1935), showed thatV`§a/,p) = 0(l),n->co,p>l is a Tauberian condition for Abel summability. Renyi gave an example showing that Fn(a,l)=ö(l))«-»ao is not a Tauberian condition to recover convergence of a series out of its Abel summability. Landau(1929) proved that it is possible to obtain convergence of a series out of its Abel summability with one sided conditions. If the slow oscillation of (Sn(aj) is a Tauberian condition for Abel summability, slow oscillation of the generator sequence (^(0,1)) is also a Tauberian condition for Abel summability method. This is also true for a general summability method T which satisfies the following conditions: 1. Additivity 2. T - summability of (S` (a)) implies T - summability of (F` (a,l)) to '0'. The classical Tauberian theory investigates the conditions to get convergence of a series out of its Abel summability. A new perspective to Tauberian theory brought up subsequential Tauberian theory. With the moderately oscillation of (Sn (a)), the subsequential convergence or divergence can be controlled.-67- Çanak(1998), showed that if («xj^a)) is Abel summable, (F`(a,l))is moderately oscillating, overall is a zero sequence, then there exists a subsequence (