Search

Straipsnyje apžvelgiamas Lietuvos matematikų muziejaus įkūrėjo ir ilgamečio vadovo doc. Henriko Jasiūno (1925–2015) gyvenimas ir veikla. Trumpai aptariamos pagrindinės muziejaus darbo kryptys įvairiais laikotarpiais, atskleidžiama šios kultūros įstaigos visuomeninė reikšmė. In the paper, a survey on the life and activity of the former and longtime chief of the Lithuanian museum of mathematicians Doc. Henrikas Jasiūnas (1925–2015) is given. The main directions of the museum work in variuos periods are shortly discussed, the public importance of this cultural institution is disclosed.

In the paper, a limit theorem for weakly convergent probability measures on the complex plane for twisted with Dirichlet character L-functions of elliptic curves with an increasing modulus of the character is proved.

In the paper, a limit theorem for the argument of twisted with Dirichlet character L-functions of elliptic curves with an increasing modulus of the character is proved.

A joint universality theorem in the Voronin sense for L-functions of elliptic curves over the field of rational numbers is proved.

Magistro baigiamajame darbe išnagrinėta antros eilės paprastoji diferencialinė lygtis naudojant faktorizacijos bei konstantų variavimo metodus. Antros eilės diferencialinė lygtis suvesta į integralinę lygtį. Išnagrinėti du kraštiniai uždaviniai šiai lygčiai ir abiem atvejais sukonstruotos kraštinio uždavinio Gryno funkcijos. In this work, we study the second – order ordinary differential equation, using the factorization and variation of constant methods. The second – order differential equation boils down to the integral equation. Two boundary value problems have been analyzed and the boundary value problems Greenˊs functions have been constructed in both cases.

Rusų matematikas S. M. Voroninas įrodė, kad vienos funkcijos pagalba galima aproksimuoti norimu tikslumu tam tikros srities kompleksinėse aibėse bet kurią analizinę funkciją. Tačiau neįrodė 1 teoremos analogo Dirichlė L funkcijoms. Darbo tikslas pateikti šios teoremos pilną įrodymą. Russian mathematician S.M. Voronin proved, that any function can be approximated to the desired accuracy by one function in a specific sets in complex plane. But failed to theorem 1 analogue Dirichlet L-functions. The aim of this to provide a complete proof of the theorem.

Darbe nagrinėjamas paprastųjų Dirichlė eilučių, turinčių polinominę Oilerio sandaugą, analizinį pratęsimą, Rymano tipo funkcinę lygtį bei tenkinančių Ramanudžano hipotezę, klasės funkcijų reikšmių pasiskirstymas. Įrodyta ribinė teorema silpnojo tikimybinių matų konvergavimo prasme šios klasės funkcijoms, meromorfinių funkcijų erdvėje pateiktas išreikštinis ribinio mato pavidalas. The paper examines ordinary Dirichlet series with Euler product of a polynomial, analytical continuation, the Riemann-type functional equation and satisfying Ramanudžano hypothesis class distribution function values​​. Been shown to limit theorem of the weak convergence of probability measures in terms of the class functions meromorfinių functions in the explicit marginal visible form.

Magistro darbe nagrinėjamos periodinės dzeta funkcijos ir periodinės Hurvico dzeta funkcijos jungtinis reikšmių pasiskirstymas ir jungtinė ribinė teorema tikimybinių matų silpno konvergavimo prasme kompleksinėje plokštumoje. Master's thesis the periodic zeta functions and zeta functions of periodic Hurwitz joint distribution of the values ​​and the joint limit theorem of probability measures converge weak sense of the complex plane.

Nagrinėjama antrosios eilės diferencialinė lygtis su skirtingomis potencialo reikšmėmis. We have the second order equation with different potential.

Šio darbo tikslas ištirti atsitiktinių procesų prognozavimo matematinius metodus ir nustačius nehomogeninio Puasono proceso algoritmą jį pritaikyti konkretiems atvejams. In the first part of this work is theory, which focuses on random processes of prediction. In the second part of a non-homogeneous Poisson process explored prediction. In order to obtain the non-homogeneous Poisson process, we have a complete and sufficient statistics in three cases, the fourth complex cases such statistics didn’t exist. Taking advantage of these results were obtained by a non-homogeneous Poisson process uniformly minimum dispersion unbiased prediction in three of the cases examined, when the corresponding parameter is known or unknown. Along submitted analytical predictions expression.

Sakykime, kad F yra normuota parabolinė tikrinė forma pilnosios modulinės grupės atžvilgiu, L(s, F) yra susieta su L funkcijos sąsūka L(s, F, χ) su Dirichlė charakteriu moduliu q, kai q yra pirminis skaičius. Bakalauro darbe įrodyta ribinė teorema L funkcijų sąsūkų argumentui arg L(s, F, χ). Let F(z) a holomorfic normalized Hecke eigen cups form of weight κ for the full modular group, L(s, F), s = σ + it, be the L-function attached to the form F. Let L(s, F, χ) denote a twist of L(s, F) with a Dirichlet character χ modulo q, by the Dirichlet series and can be analytically continued to an entire function. It has an Euler product over prime numbers. We obtain the weak dinvergence for probability measures μQ(arg L(s, F, χ) ∈ A), A ∈ B(γ), where γ is the unit circle on the complex plane, as Q → ∞. For the proof, the method of characteristic transforms and the limit measures in limit theorems obtained are defined characteristic transforms.

Disertaciją sudaro darbai, autoriaus atlikti 2006-2013 metais. Šiuos darbus jungianti tema yra algebrinių kreivių, apibrėžtų virš racionaliųjų skaičių, šeimos, einančios per taškus, kurių koordinatės priklauso duotam skaičių kūnui ar jo sveikųjų skaičių žiedui. Pirmoje disertacijos dalyje yra gaunama vidutinio mažo aukščio racionaliųjų taškų kiekio ant fiksuoto žanro hiperelipsinių kreivių asimptotika. Antroje dalyje šis rezultatas išplečiamas, apibūdinant vidutinį homogeninių daugianarių reikšmių taškuose, kurių koordinatės yra mažo aukščio tarpusavyje pirminiai skaičiai, sutampančių su duoto vieno kintamojo daugianario reikšmėmis sveikuosiuose taškuose, skaičių. Trečioje dalyje sukonstruojamos nedidelės kreivių, apibrėžtų virš racionaliųjų skaičių ir išvengiančių taškų, kurių koordinatės priklauso duotam skaičių kūnui, šeimos. Ketvirtoje dalyje nagrinėjamos kongruenčių skaičių kreivės. Įrodoma, kad bent pusė pirminių skaičių p, kurie lieka inertiški cikliniame skaičių kūne K, atitinka kreives 16p^2 = x^4 - y^2, neturinčias netrivialių taškų su koordinatėmis to kūno sveikųjų skaičių žiede. Paskutinėje dalyje iliustruojamas Gauso sveikųjų skaičių skaidymosi daugikliais vienatinumo taikymas įrodant, kad konkreti hiperelipsinė kreivė neturi taškų su sveikosiomis koordinatėmis. In this document, the author collected his work that ranges through the years 2006-2013. The common theme that occurs in its five separate parts is that of families of algebraic curves defined over the rational numbers with points over a number field or over its ring of integers. In the first part, average number of rational points of small height on hyperelliptic curves of fixed genus is described. In the second part, this result is extended to describing how often, on average, values of homogeneous polynomials at pairs of small coprime integers are values of a given univariate polynomial with integer coefficients. Further, small families of curves that are defined over the rational numbers and do not have points over a given number field are constructed. In the subsequent part, congruent number curves are investigated. It is shown that, given a cyclic number field K, at least half of the prime numbers p that remain inert in K correspond to curves 16p^2 = x^4 - y^2 that do not have nontrivial points over the ring of integers of K. In the last part, a short exposition to a classical technique of showing that a particular curve does not have integral points is given.

In this document, the author collected his work that ranges through the years 2006 - 2013. The common theme that occurs in its five parts is that of families of algebraic curves defined over the rational numbers with points over a number field or over its ring of integers. In the first part, average number of rational points of small height on hyperelliptic curves of fixed genus is described. In the second part, this result is extended to describing how often, on average, values of homogeneous polynomials at pairs of small coprime integers are values of a given univariate polynomial with integer coefficients. Further, small families of curves that are defined over the rational numbers and do not have points over a given number field are constructed. In the subsequent part, congruent number curves are investigated. It is shown that, given a cyclic number field K, at least half of the prime numbers p that remain inert in K correspond to curves 16p^2 = x^4 - y^2 that do not have nontrivial points over the ring of integers of K. In the last part, a short exposition to a classical technique of showing that a particular curve does not have integral points is given. Disertaciją sudaro darbai, autoriaus atlikti 2006-2013 metais. Šiuos darbus jungianti tema yra algebrinių kreivių, apibrėžtų virš racionaliųjų skaičių, šeimos, einančios per taškus, kurių koordinatės priklauso duotam skaičių kūnui ar jo sveikųjų skaičių žiedui. Pirmoje disertacijos dalyje yra gaunama vidutinio mažo aukščio racionaliųjų taškų kiekio ant fiksuoto žanro hiperelipsinių kreivių asimptotika. Antroje dalyje šis rezultatas išplečiamas, apibūdinant vidutinį homogeninių daugianarių reikšmių taškuose, kurių koordinatės yra mažo aukščio tarpusavyje pirminiai skaičiai, sutampančių su duoto vieno kintamojo daugianario reikšmėmis sveikuosiuose taškuose, skaičių. Trečioje dalyje sukonstruojamos nedidelės kreivių, apibrėžtų virš racionaliųjų skaičių ir išvengiančių taškų, kurių koordinatės priklauso duotam skaičių kūnui, šeimos. Ketvirtoje dalyje nagrinėjamos kongruenčių skaičių kreivės. Įrodoma, kad bent pusė pirminių skaičių p, kurie lieka inertiški cikliniame skaičių kūne K, atitinka kreives 16p^2 = x^4 - y^2, neturinčias netrivialių taškų su koordinatėmis to kūno sveikųjų skaičių žiede. Paskutinėje dalyje iliustruojamas Gauso sveikųjų skaičių skaidymosi daugikliais vienatinumo taikymas įrodant, kad konkreti hiperelipsinė kreivė neturi taškų su sveikosiomis koordinatėmis.

The main objects studied in this thesis are linear recurrence sequences of composite numbers. We have studied the second order (binary) linear recurrence, tribonacci – like and higher order sequences. Many examples have been given. Disertacijoje nagrinėjamos tiesinės rekurenčiosios sekos. Ieškoma tokių pradinių narių, kurie generuotų rekurenčiąsias sekas sudarytas iš sudėtinių skaičių. Pilnai išnagrinėtos antros eilės tiesinės rekurenčiosos ir tribonačio tipo sekos, patiekiami pavyzdžiai. Gauti rezultatai ir k-bonačio tipo sekoms.

Disertacijoje nagrinėjamos tiesinės rekurenčiosios sekos. Ieškoma tokių pradinių narių, kurie generuotų rekurenčiąsias sekas sudarytas iš sudėtinių skaičių. Pilnai išnagrinėtos antros eilės tiesinės rekurenčiosos ir tribonačio tipo sekos, patiekiami pavyzdžiai. Gauti rezultatai ir k-bonačio tipo sekoms. The main objects studied in this thesis are linear recurrence sequences of composite numbers. We have studied the second order (binary) linear recurrence, tribonacci – like and higher order sequences. Many examples have been given.

Disertacijoje nagrinėjamos aritmetinės prigimties aibių, tokių kaip sumų aibė, poaibių sumų aibė ar Sidon aibė, savybės bei aritmetinę struktūrą atspindintys dydžiai, tokie kaip adityvioji energija ar maksimali reprezentacinės funkcijos reikšmė. Disertacijos mokslinė problema yra šių aibių, tenkinančių ekstremalias kombinatorine prasme sąlygas, egzistavimo, dydžio ir struktūros nustatymas. In the dissertation various phenomena and concepts of arithmetic nature, such as sumsets, additive energy and Sidon sets are investigated. The main problem of the dissertation is finding extremal (in the combinatorial sense) sets, their size and structure.

Darbe įrodyta, kad Hurvico dzeta funkcijai su algebriniu parametru yra teisinga ribinė teorema su svoriu kompleksinėje plokštumoje. Pagrindinis šio darbo rezultatas yra suformuluotas teorema. Proof of limit theorem with weight for the Hurwitz zeta-function with an algebraic irrational parameter. The rezult formulated by theorem.

Bakalauro darbe kompiuterine programa Matchad ištirta trigometrinės sumos fiksuotiems lambda ir sigma, reikšmių priklausomybė nuo sumuojamų dėmenų skaičiaus, mažiausių kvadratų metodu užrašyta aproksimacinė funkcija ir įvertinta paklaida, gauti rezultatai pateikti grafiškai. In this work, by the program Mathcad, the dependence of the sum from the number of summands, for fixed parameters sigma and lambda, is obtained. By the method of the smallest squares, approximation function is given. Also all results are presented by graphics. .

Bakalauro darbe nagrinėjama nehomogeninė šilumos laidumo lygtis. Darbo tikslas rasti lygties bendruosius sprendinius, kurie tenkintų duotąją pradinę ir kraštines sąlygas. Ieškant sprendinių mišrusis uždavinys nehomogeninei lygčiai su nehomogenine pradine sąlyga suvestas į du mišriuosius uždavinius - homogeninei lygčiai su nehomogenine pradine sąlyga ir nehomogeninei lygčiai su homogenine pradine sąlyga. Remdamiesi gautais šių uždavinių sprendiniais, gavome mišriojo uždavinio nehomogeninei šilumos laidumo lygčiai sprendinius. There was analyzed non-homogeneous heat conduction equation in the bachelor work. This work objective is to find equation general solutions, which have to fulfill of the given initial and boundaries conditions. The mixed problem to non-homogeneous equation with non-homogeneous initial was piece together in two mixed problems – to homogeneous equation with non-homogeneous initial and to non-homogeneous equation with homogeneous initial when we were searching solutions. Based on the obtained these solutions, we got solutions of the mixed problem to non-homogeneous heat conduction equation.

Sudėtinės funkcijos universalumo įrodymas. Bachelor thesis about universality of one composite function.

Studentų pažangą geriausiai nusako jų studijų dalykų bei bakalauro darbo vertinimai. Šiaulių universitete Matematikos ir informatikos fakultete Matematikos bei Matematikos ir informatikos bakalauro studijų programose pagrindiniai studijų dalykai yra: Matematinė analizė, Algebra, Fizika, Geometrija, Kompiuterinės matematikos sistemos ir Programavimo pagrindai. Bakalauro darbe analizuojame Šiaulių universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto Matematikos bei Matematikos ir informatikos bakalauro studijų programų studentų įstojusių 2004–2008 pasiekimus. Šio darbo tikslas yra nustatyti, kuris iš pagrindinių studijų dalykų vertinimų labiausiai susijęs su baigiamojo bakalauro darbo vertinimu. Šiam ryšiui nustatyti naudojame koreliacinę analizę bei tiesinę regresiją. Students’ advancement is described by their evaluation of study subjects and Bachelor's work. Basic subjects in Bachelor's degree program at Siauliai University, Faculty of Mathematics and Informatics are: Mathematical analysis, Algebra, Geometry, Physics, Computer mathematics system and Programming fundamentals. In Bachelor's work, we investigate a relation between 6 study subjects and Bachelor's work evaluations of students who entranced in 2004–2008. To describe this relation we use correlation analysis and linear regression.

Gyventojų mirtingumas Lietuvoje kasmet vis didėja, todėl bandysime surasti, kas tam daro didžiausią įtaką. Tiriami sveikatos apsaugos sistemos faktoriai: išlaidos sveikatos priežiūrai (mln. Lt), gydytojų (sveikatos priežiūros specialistų) skaičius ir lovų skaičius ligoninėse. Šiame darbe ieškome priklausomybės tarp gyventojų mirtingumo ir paminėtų sveikatos apsaugos sistemos faktorių. Tyrimas paremtas 1996–2011 metų duomenimis iš Lietuvos statistikos departamento svetainės (www.stat.gov.lt). Darbe tikrinamos įvairios hipotezės, tyrimui atlikti naudojama koreliacinė analizė ir tiesinė regresija. Taip pat bandoma prognozuoti, koks bus mirusių gyventojų skaičius ateityje. People mortality in Lithuania is increasing every year, so we are going to try to identify, what things make the biggest influence. Investigated factors of health protection system are: expenses on health care, quantity of doctors (health care professionals) and number of hospital beds in Lithuania. In Bachelor thesis, we are searching for a dependence between people mortality and those 3 factors of health protection system mentioned before. This investigation is based on data from 1996–2011 (www.stat.gov.lt). In this work we are testing several hypothesis and for investigation we use correlation analysis and linear regression. Also trying to predict people mortality in the near future.

Šis darbas yra apie periodinės dzeta funkcijos reikšmių sandaugos formulės radimą. In the bachelor work, we consider the function zeta[lemda](s) with rational parameter lemda.

Šiame darbe nagrinėta išsigimstanti dalinių išvestinių diferencialinių lygčių sistema su laipsniniu eilės išsigimimu. Rasti sistemos sprendiniai yra analizinės funkcijos išsigimimo daugdarų taškų aplinkose. Sprendiniai išskleisti laipsninėmis eilutėmis, kintamojo pagal kurį išsigimsta sistemos eilė laipsniais. In this work, there was analyzed the system of partial differential equations with gradual degeneration of row. There were found the solutions of analytical function in manifold point environments. The solutions are expanded by gradual lines, by variable where system number of degrees degenerates.

Elipsinių kreivių L funkcijų išvestinės universalumo teoremos įrodymas remiasi ribinėmis teoremomis analizinių funkcijų erdvėje, tikimybinio mato silpno konvergavimo prasme. The proof of the universality of the derivatives of L-functions of elliptic curves is based on a limit theorem in the sense of weak convergence of probability measures in the space of analytic functions.

Markovo proceso tikimybinio mato absoliutaus tolydumo nesudėtingos sąlygos leidžia gauti atitinkamų statistinių eksperimentų tikėtinumo santykio pavidalą, kurio asimptotinės savybės susijusios su dviejų paprastų hipotezių asimptotiniais atskyrimo uždaviniais, kai yra taikomas maksimalaus tikėtinumo arba minimakso kriterijus. Tų paprastų hipotezių asimptotinis atskyrimas yra charakterizuojamas 1-os ir 2-os rūšies klaidos tikimybėmis, kurių asimptotinis elgesys priklausomai nuo optimalaus statistinio kriterijaus parinkimo užsirašo dvejomis formulėmis. Maksimalaus kriterijaus atveju tokia formulė buvo gauta bendriausiu atveju, tik nebuvo pritaikyta Markovo procesui su dideliu būsenų skaičiumi. Šiame darbe kaip tik parodyti šie taikymai. Taikant maksimalaus tikėtinumo kriterijų (Neimono-Pirsono) atitinkamas rezultatas buvo gautas tik tuo atveju, kai stebėjimai yra nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę. Analogiškas rezultatas gautas bendriausiu atveju – gautos sąlygos, kada galioja atitinkama asimptotinė formulė. Kartu, pavyzdžiuose yra parodyti šios asimptotinės formulės taikymai, kai stebimas Markovo procesas su dideliu būsenų skaičiumi. Absolute continuity simple conditions of probabilistic measure of Markov process allows you to get relevand statistical experiments likelihood ratio form, which asymptotic properties is associated with the asymptotic separation of the two simple hypotheses tasks, when is applied maximum likelihood (Neiman-Pirson) or minimax criterion. That asymptotic separation of the two simple hypothesis is characterized by type I and type II errors of probability, which asymptotic behavior depending on the optimal statistical criterion selection note down by two formulas. In maximum likelihood criterion case, formula was obtained on a very general case, not only been applied of the Markov process with a large number of states. These applications are shown at this work. Using maximum likelihood criterion (Neiman-Pirson) corresponding result was obtained only in that case, when observations are independent and identically distributed. Analogous result were obtained on a very general case – from conditions, when is valid the asymptotic formula. In examples of this work are shown that asymptotic formula applications, when is observed Markov process with a large number of states.

Šiame darbe yra sudaryta ir analiziškai išspręsta spindulių eigos idealiuose lęšiuose, diferencialinė lygtis. Rastas paviršius, į kurį kritę spinduliai po lūžimo eina lygiagrečiai simetrijos ašiai. Aprašyta, kaip sklinda perėję per idealųjį lęšį iš idealaus ir ne iš idealaus taškinio šaltinio išėję šviesos spinduliai. In the present work, the differential equation is being structured and solved by analysis of beams motion in ideal lenses. There was a surface on witch motioned beams, after the refraction, come in parallel with symmetric axis. Also it includes how to gleams spread after passing through the ideal lens from ideal and non-ideal spot source witch they came from.

Šiame darbe matematine sistema MathCAD sukūrėme programą dideliems pirminiams skaičiams rasti. Išanalizavome pirminių, netikrų pirminių ir pseudopirminių skaičių pasiskirstymą. In this thesis by mathematical system MathCAD we created the program for finding large prime numbers. Also, we analysed distribution of unreal prime, pseudoprime and prime numbers.

Darbe yra įrodomas jungtinis universalumas periodinėms Hurvico dzeta funkcijoms, taip pat bendras universalumas su Rymano dzeta funkcija ir normuotų parabolinių formų dzeta funkcija. In the thesis, the joint universality of periodic Hurwitz zeta-functions as well as that jointly with the Riemann zeta-function or zeta functions of normalized cusp forms is obtained.

In the thesis, the joint universality of periodic Hurwitz zeta-functions as well as that jointly with the Riemann zeta-functions of normalized cusp forms is obtained. Darbe yra įrodomas jungtinis universalumas periodinėms Hurvico dzeta funkcijoms, taip pat bendras universalumas su Rymano dzeta funkcija ir normuotų parabolinių formų dzeta funkcija.

In mathematics, analytic number theory is a branch of number theory that uses methods from mathematical analysis to solve problems that concern the integers. It is often said to have begun with Dirichlet's introduction of Dirichlet L-functions. In analytic number theory one of the main investigation objects is the Riemann zeta function. The Riemann hypothesis states that all non-trivial zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line. In the thesis we investigate value distribution of the Riemann zeta function on the critical line. To do so we use the curve of the Riemann zeta function on the critical line. A problem connected to the curve asks the question whether the curve is dense in the complex plane. We prove that the curve expands to all directions on the complex plane. A separete case of the main result can be stated as follows Riemann zeta function has infinetly many negative values on the critical line and they are unbounded. Analizinė skaičių teorija yra skaičių teorijos dalis, kuri, naudodama matematinės analizės ir kompleksinio kintamojo funkcijų tyrimo metodus, sprendžia uždavinius susijusius su sveikaisiais skaičiais. Manoma, kad analizinės skaičių teorijos pradžią žymi Dirichlet eilučių ir Dirichlet L-funkcijų taikymai. Vienas iš pagrindinių analizinės skaičių teorijos tyrimo objektų yra Riemann’o dzeta funkcija. Riemann’o hipotezė teigia, kad visi netrivialieji nuliai yra ant kritinės tiesės. Disertacijoje nagrinėjamas Riemann’o dzeta funckijos reikšmių pasiskirstymas ant kritinės tiesės. Tam pasitelkiama Riemann’o dzeta funkcijos kreivė. Svarbus klausimas susijęs su kreive yra ar ši kreivė yra visur tiršta kompleksinių skaičių plokštumoje. Disertacijoje įrodoma, kad kreivė plečiasi į visas puse kompleksinių skaičių plokštumoje. Atskiras disertacijos pagrindinio rezultato atvejis gali būti formuluojamas taip – Riemann’o dzeta funkcija ant kritinės tiesės įgyja be galo daug neigiamų reikšmių, kurios yra neaprėžtos.

Analizinė skaičių teorija yra skaičių teorijos dalis, kuri, naudodama matematinės analizės ir kompleksinio kintamojo funkcijų tyrimo metodus, sprendžia uždavinius susijusius su sveikaisiais skaičiais. Manoma, kad analizinės skaičių teorijos pradžią žymi Dirichlet eilučių ir Dirichlet L-funkcijų taikymai. Vienas iš pagrindinių analizinės skaičių teorijos tyrimo objektų yra Riemann’o dzeta funkcija. Riemann’o hipotezė teigia, kad visi netrivialieji nuliai yra ant kritinės tiesės. Disertacijoje nagrinėjamas Riemann’o dzeta funckijos reikšmių pasiskirstymas ant kritinės tiesės. Tam pasitelkiama Riemann’o dzeta funkcijos kreivė. Svarbus klausimas susijęs su kreive yra ar ši kreivė yra visur tiršta kompleksinių skaičių plokštumoje. Disertacijoje įrodoma, kad kreivė plečiasi į visas puse kompleksinių skaičių plokštumoje. Atskiras disertacijos pagrindinio rezultato atvejis gali būti formuluojamas taip – Riemann’o dzeta funkcija ant kritinės tiesės įgyja be galo daug neigiamų reikšmių, kurios yra neaprėžtos. In mathematics, analytic number theory is a branch of number theory that uses methods from mathematical analysis to solve problems that concern the integers. It is often said to have begun with Dirichlet's introduction of Dirichlet L-functions. In analytic number theory one of the main investigation objects is the Riemann zeta function. The Riemann hypothesis states that all non-trivial zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line. In the thesis we investigate value distribution of the Riemann zeta function on the critical line. To do so we use the curve of the Riemann zeta function on the critical line. A problem connected to the curve asks the question whether the curve is dense in the complex plane. We prove that the curve expands to all directions on the complex plane. A separete case of the main result can be stated as follows Riemann zeta function has infinetly many negative values on the critical line and they are unbounded.

Jono Jankausko disertacijos "Polinomų aukščiai" matematikos Disertacijoje yra sprendžiami matematiniai uždaviniai susiję su polinomų (algebrinių daugianarių) aukščiais. Nagrinėjami vieno kintamojo polinomai su realiais ir kompleksiniais koeficientais. Polinomo aukštis, bendriausia prasme, yra dydis kuriuo matuojame polinomo sudėtingumą. Yra keletas plačiai naudojamų polinomų aukščių: naivusis aukštis H(P), polinomo ilgis L(P), Euklidinė norma ||P||, Malerio matas M(P) bei integralinės normas ||P||s. Polinomų aukščiai yra labai svarbūs šiuolaikinėje skaičių teorijoje, ypač diofantinėje analizėje bei įvairiose matematinės analizės šakose: aproksimavimo teorijoje erdvėse Ls ir C, Fourier analizėje, funkcinėje analizėje, ir kitur. Polinomų aukščiai turi praktinių taikymų signalų apdorojimo teorijoje, kur jie yra naudojami matuojant signalo energiją. Disertacijos mokslinių tyrimų problema: kaip daugianarių aukščiai įtakoja daugianarių savybes -- daugianarių dalumą, realiųjų daugianarių ir sveikųjų daugianarių žieduose R[x] ir Z[x], redukuojamumą, daugianarių ekstremalias reikšmes. Disertacijoje tiriamos algebrinių skaičių aritmetinės savybės, kurios priklauso nuo tų skaičių minimalių polinomų aukščių. Nagrinėjama daugianarių su mažais koeficientais {-1, 0, 1} kompleksinių šaknų aibė. Konstruojamos skaičiavimo sistemos algebrinių skaičių žieduose bei tiriami metriniai Malerio matai. Įrodomos nelygybės daugianarių ir jų išvestinių Malerio matams bei jų normoms erdvėje Ls... [toliau žr. visą tekstą] The doctoral dissertation deals with mathematical problems related to various heights of polynomials. The height of a polynomial, in the most general sense, is a quantity by which we measure the complexity of the polynomial P. There are several different types of heights: the naive height H(P), the length L(P), the Euclidean norm ||P||, the Mahler measure M(P) or the integral norms ||P||s. The doctoral dissertation is devoted to study algebraic, analytical and number theoretical properties of polynomials which depend on heights. We consider the height reduction problem for polynomials in R[x] and maxima of polynomials with restricted coefficients on the unit circle. The properties of algebraic numbers whose minimal polynomials have small integer coefficients {-1, 0, 1} are investigated with a special attention to Newman and Littlewood polynomials. We explore the arithmetic and geometric properties of algebraic numbers which are roots of trinomial or quadrinomial equations in connection with the intersection problem of the geometric and arithmetic progressions of real numbers. The reducibility problem of Walsh is solved. The problem of construction of number systems in the rings Z[α] is studied for expanding algebraic integers α, together with metric versions of Mahler measures. We prove inequalities for the Mahler measures and Ls norms of the derivatives of self – inversive polynomials. Polynomials which are related to Barker sequences are investigated. A composition equation... [to full text]

The topics examined in this thesis were the subject of my research as a PhD student at the Faculty of Mathematics and Informatics of Vilnius University. The presented investigation concerns the existence of composite numbers in some special sequences, such as the sequence of integer parts of powers of a fixed number and a linear recurrence sequence consisting of integer numbers. The thesis consists of the introduction, 3 sections, conclusions and bibliography. In Section 1 we consider composite numbers in the sequences of integer parts of powers of rational numbers and prove that the sequence [ξ(5/4)^n], n=1,2,..., where ξ is an arbitrary positive number, contains infinitely many composite numbers. Furthermore, it is shown that there are infinitely many positive integers n such that ([ξ(5/4)^n]; 6006)>1, where 6006 = 2•3•7•11•13. Similar results are obtained for shifted powers of some other rational numbers. In particular, the same is proved for the sets of integers nearest to ξ(5/3)^n and to ξ(7/5)^n, n=1,2,.... The corresponding sets of possible divisors are also described. In Section 2 we consider composite numbers in the binary linear recurrence sequences and prove that for every pair of integer numbers (a; b), where b≠0 and (a; b)≠(±2; -1), there exist two positive relatively prime composite integers x_1, x_2 such that the sequence given by x_{n+1}=ax_n+bx_{n-1}, n=2,3,..., consists of composite terms only, i.e., the absolute value of each term is a composite integer... [to full text] Temos, nagrinėjamos šioje disertacijoje, buvo doktorantūros studijų Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakultete objektas. Pateikti tyrimai yra susiję su sudėtinių skaičių egzistavimu tokiose sekose kaip fiksuoto skaičiaus laipsnių sveikųjų dalių seka bei tiesinė rekurentinė seka, sudaryta iš sveikųjų skaičių. Disertaciją sudaro įvadas, 3 skyriai, išvados ir literatūros sąrašas. Pirmame skyriuje nagrinėjami sudėtiniai skaičiai racionaliųjų skaičių laipsnių sveikųjų dalių sekoje bei yra įrodoma, kad sekoje [ξ(5/4)^n], n=1,2,..., kur ξ yra bet koks teigiamas skaičius, yra be galo daug sudėtinių skaičių. Be to, įrodoma, kad yra be galo daug tokių natūraliųjų skaičių n, kad ([ξ(5/4)^n]; 6006)>1, čia 6006 = 2•3•7•11•13. Įrodoma panašių rezultatų pastumtoms kai kurių kitų racionaliųjų skaičių sekoms. Pavyzdžiui, tas pats įrodoma sveikųjų skaičių, esančių arčiausiai ξ(5/3)^n bei ξ(7/5)^n, n=1,2,..., sekoms. Vėlgi nurodomos atitinkamos galimų daliklių aibės. Antrame skyriuje nagrinėjami sudėtiniai skaičiai antros eilės tiesinėse rekurentinėse sekose bei įrodoma, kad kiekvienai tokiai sveikųjų skaičių porai (a; b), kad b≠0 ir (a; b)≠(±2; -1), egzistuoja tokie du natūralieji tarpusavyje pirminiai skaičiai x_1, x_2, kad sekoje, apibrėžtoje lygtimi x_{n+1}=ax_n+bx_{n-1}, n=2,3,..., visų narių moduliai yra sudėtiniai skaičiai. Trečiame skyriuje egiptietiškų trupmenų kontekste nagrinėjamos skaičių, užrašomų tam tikru tiesiniu pavidalu, aibės. Ieškoma, kokie skaičiai... [toliau žr. visą tekstą]

Temos, nagrinėjamos šioje disertacijoje, buvo doktorantūros studijų Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakultete objektas. Pateikti tyrimai yra susiję su sudėtinių skaičių egzistavimu tokiose sekose kaip fiksuoto skaičiaus laipsnių sveikųjų dalių seka bei tiesinė rekurentinė seka, sudaryta iš sveikųjų skaičių. Disertaciją sudaro įvadas, 3 skyriai, išvados ir literatūros sąrašas. Pirmame skyriuje nagrinėjami sudėtiniai skaičiai racionaliųjų skaičių laipsnių sveikųjų dalių sekoje bei yra įrodoma, kad sekoje [ξ(5/4)^n], n=1,2,..., kur ξ yra bet koks teigiamas skaičius, yra be galo daug sudėtinių skaičių. Be to, įrodoma, kad yra be galo daug tokių natūraliųjų skaičių n, kad ([ξ(5/4)^n]; 6006)>1, čia 6006 = 2•3•7•11•13. Įrodoma panašių rezultatų pastumtoms kai kurių kitų racionaliųjų skaičių sekoms. Pavyzdžiui, tas pats įrodoma sveikųjų skaičių, esančių arčiausiai ξ(5/3)^n bei ξ(7/5)^n, n=1,2,..., sekoms. Vėlgi nurodomos atitinkamos galimų daliklių aibės. Antrame skyriuje nagrinėjami sudėtiniai skaičiai antros eilės tiesinėse rekurentinėse sekose bei įrodoma, kad kiekvienai tokiai sveikųjų skaičių porai (a; b), kad b≠0 ir (a; b)≠(±2; -1), egzistuoja tokie du natūralieji tarpusavyje pirminiai skaičiai x_1, x_2, kad sekoje, apibrėžtoje lygtimi x_{n+1}=ax_n+bx_{n-1}, n=2,3,..., visų narių moduliai yra sudėtiniai skaičiai. Trečiame skyriuje egiptietiškų trupmenų kontekste nagrinėjamos skaičių, užrašomų tam tikru tiesiniu pavidalu, aibės. Ieškoma, kokie skaičiai... [toliau žr. visą tekstą] The topics examined in this thesis were the subject of my research as a PhD student at the Faculty of Mathematics and Informatics of Vilnius University. The presented investigation concerns the existence of composite numbers in some special sequences, such as the sequence of integer parts of powers of a fixed number and a linear recurrence sequence consisting of integer numbers. The thesis consists of the introduction, 3 sections, conclusions and bibliography. In Section 1 we consider composite numbers in the sequences of integer parts of powers of rational numbers and prove that the sequence [ξ(5/4)^n], n=1,2,..., where ξ is an arbitrary positive number, contains infinitely many composite numbers. Furthermore, it is shown that there are infinitely many positive integers n such that ([ξ(5/4)^n]; 6006)>1, where 6006 = 2•3•7•11•13. Similar results are obtained for shifted powers of some other rational numbers. In particular, the same is proved for the sets of integers nearest to ξ(5/3)^n and to ξ(7/5)^n, n=1,2,.... The corresponding sets of possible divisors are also described. In Section 2 we consider composite numbers in the binary linear recurrence sequences and prove that for every pair of integer numbers (a; b), where b≠0 and (a; b)≠(±2; -1), there exist two positive relatively prime composite integers x_1, x_2 such that the sequence given by x_{n+1}=ax_n+bx_{n-1}, n=2,3,..., consists of composite terms only, i.e., the absolute value of each term is a composite integer... [to full text]

The doctoral dissertation deals with mathematical problems related to various heights of polynomials. The height of a polynomial, in the most general sense, is a quantity by which we measure the complexity of the polynomial P. There are several different types of heights: the naive height H(P), the length L(P), the Euclidean norm ||P||, the Mahler measure M(P) or the integral norms ||P||s. The doctoral dissertation is devoted to study algebraic, analytical and number theoretical properties of polynomials which depend on heights. We consider the height reduction problem for polynomials in R[x] and maxima of polynomials with restricted coefficients on the unit circle. The properties of algebraic numbers whose minimal polynomials have small integer coefficients {-1, 0, 1} are investigated with a special attention to Newman and Littlewood polynomials. We explore the arithmetic and geometric properties of algebraic numbers which are roots of trinomial or quadrinomial equations in connection with the intersection problem of the geometric and arithmetic progressions of real numbers. The reducibility problem of Walsh is solved. The problem of construction of number systems in the rings Z[α] is studied for expanding algebraic integers α, together with metric versions of Mahler measures. We prove inequalities for the Mahler measures and Ls norms of the derivatives of self – inversive polynomials. Polynomials which are related to Barker sequences are investigated. A composition equation... [to full text] Disertacijoje yra sprendžiami matematiniai uždaviniai susiję su polinomų (algebrinių daugianarių) aukščiais. Nagrinėjami vieno kintamojo polinomai su realiais ir kompleksiniais koeficientais. Polinomo aukštis, bendriausia prasme, yra dydis kuriuo matuojame polinomo sudėtingumą. Yra keletas plačiai naudojamų polinomų aukščių: naivusis aukštis H(P), polinomo ilgis L(P), Euklidinė norma ||P||, Malerio matas M(P) bei integralinės normas ||P||s. Polinomų aukščiai yra labai svarbūs šiuolaikinėje skaičių teorijoje, ypač diofantinėje analizėje bei įvairiose matematinės analizės šakose: aproksimavimo teorijoje erdvėse Ls ir C, Fourier analizėje, funkcinėje analizėje, ir kitur. Polinomų aukščiai turi praktinių taikymų signalų apdorojimo teorijoje, kur jie yra naudojami matuojant signalo energiją. Disertacijos mokslinių tyrimų problema: kaip daugianarių aukščiai įtakoja daugianarių savybes -- daugianarių dalumą, realiųjų daugianarių ir sveikųjų daugianarių žieduose R[x] ir Z[x], redukuojamumą, daugianarių ekstremalias reikšmes. Disertacijoje tiriamos algebrinių skaičių aritmetinės savybės, kurios priklauso nuo tų skaičių minimalių polinomų aukščių. Nagrinėjama daugianarių su mažais koeficientais {-1, 0, 1} kompleksinių šaknų aibė. Konstruojamos skaičiavimo sistemos algebrinių skaičių žieduose bei tiriami metriniai Malerio matai. Įrodomos nelygybės daugianarių ir jų išvestinių Malerio matams bei jų normoms erdvėje Ls. Nagrinėjami daugianariai, susiję su Barkerio sekomis bei sprendžiama... [toliau žr. visą tekstą]

Darbo tikslas: • Išanalizuoti šviesos spindulio diferencialinių lygčių sferiškai simetriškus sprendinius. Darbo uždaviniai: • Užrašyti ir išspęsti konkrečioje koordinačių sistemoje šviesos spindulio sklidimo diferencialines lygtis. • Iliustruoti sprendinius su Mathcad programa. Work is to analyze the differential equations spherically symmetric solutions. Recorded and resolved in a particular coordinate system the light specific propagation in differential equations.Using the original beam equations found in specific cases spread radius of the sphere in which the refractive index depends only on the distance on the center. Derived formulas we framed when the beam trajectory equations given different refractive index dependence on the distance to the center of spherical symmetry.

Baigiamajame darbe nagrinėjama paprastoji antros eilės diferencialinė lygtis. Jos sprendinių gavimui ir analizei naudojamas faktorizacijos metodas – ieškomosios funkcijos skaidymas dauginamaisiais bei kiti tradiciniai paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimo metodai: nepriklausomo kintamojo keitimo metodas, konstantų varijavimo metodas. In this work is analyzed second-order differential equation. I use factorization method and other traditional ordinary differential equations approaches as an example: independent variable exchange method, variation of constants method and direct integration, to find solutions of the equation.

Šis darbas pratęsia 2010 m. autorės atlikto bakalauro darbo „Elipsinio tipo B-erdvių beveik kontaktiniai metriniai hiperpaviršiai“ tyrinėjimus, apibendrina šio darbo rezultatus kitų tipų ir rūšių -struktūroms ir pritaiko juos liečiamųjų sluoksniuočių paviršių teorijoje. In the work, the generalized (φ, ξ, η, g)-structures in normalized hypersurfaces M2n-1 T(En) are found and its properties are investigated. Geometric meaning in basis En of some interesting hypersurfaces (hypersphere, hyperplane, hypercone,…) is explained.

Darbe nagrinėjamos Hurvico dzeta funkcijos _dzeta(s; alfa_), s = _alfa +it su algebriniu iracionaliuoju parametru _alfa, 0 < alfa_ ≤ 1 diskretusis reikšmių pasiskirstymas. Įrodyta, jog funkcijai _(s; alfa_) galioja diskrečioji ribinė teorema su svoriu kompleksinėje plokštumoje C. Master’s work is devoted to the investigation of value distribution of Hurwitz zeta-function _(s; alfa_), s = alfa_ + it with algebraic irrational parameter alfa_, 0 < alfa_ ≤ 1. It is proved that for the function _(s; alfa_) valid discrete limit theorem with weight in the complex plane.

Darbe nagrinėjami taškiniai procesai (nehomogeninis Puasono procesas ir atstatymo procesas), randamos bendrosios sąlygos, kad būtų patenkintas lokalus asimptotinis normalumas. The purpose of this work is to determine general conditions for local asymptotic normality to be assured.The point processes (renewal process and non-homogenous Poisson process) and their properties are examined in the first part of work. Then the conditions for the local asymptotic normality have been investigated. In the second part of work it is shown how these conditions are satisfied in the cases of the renewal process and non-homogenous Poisson process.

Tegul X dirichlė charakteris moduliu q, s=o+it kompleksinis skaičius. Dirichlė L funkcija L(s, X) pusplokštumėje o>1 yra apibrėžiama Dirichlė eilute. Gerai žinome, kad funkcija L(s, X) kai X nėra pagrindinis charakteris, yra analiziškai pratęsiama į visą kompleksinę plokštum, tai yra, ji yra sveikoji funkcija. Jei X yra pagrindinis, tai tuomet funkcija turi paparastąjį polių su reziduumu. 1975 m S. M. Voroninas atrado labai įdomią funkcijų L(s, X) universalumo savybę. Grubiai kalbant ši savybė reiškia, kad kiekviena analizinė funkcija tam tikroje srityje gali būti norimu tikslumu aproksimuojama L funkcijų postūmiais L(s+it, X). Pastaruoju metu yra žinomas šiek tiek bendresnis teoremos variantas, kai X_1,...,X_r yra Dirichlė charakteriai,tenkinantyts 1 teoremos sąlygas, tačiau šio variano įrodymas nėra niekur paskeltas. Todėl magistro darbo tikslas yra pateikti tokios jungtinės universalumo teoremos Dirichlė L funkcijoms įrodymą. Let X be a Dirichlet character modulo q, and s=o+it be a complex variable. A Dirichlet L-function L(s,X) is defined, for o>1, by Dirichlet serie and is analitic continued to the whole comples plane. It is knowen that the function L(s,X) is universal in the sense that the shifts L(s+it, X) approximate any analytic function. Also, Dirichlet L-function are jointly collection of given analytic functions. The master work is devoted to the proof of a modern joint universality theorem for Dirichlet L-function. This theorem is knowen,howerver , its proof is not given in literature.We remove this gap, and prove the following theorem.

Baigiamajame darbe išnagrinėta antros eilės paprastoji diferencialinė lygtis. Tam panaudojant faktorizacijos metodą. Taip pat sukonstruota sprendinių struktūra. Gautus sprendinius apibendrina suformuotos teoremos. In this work, we study the ordinary differential equation of the second – order. Using the factorization method. We constructed the structure of solutions. At the result summarize the theorems.