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In this thesis, we are interested in theoretical and applied geometric control theory. The first part of the thesis is dedicated to the problem of equivalence of submanifolds of the tangent bundled to submanifolds described by a quadratic equation (with respect to velocities). We study this problem with the help of feedback equivalence of control systems (non-linear and affine) and we develop a theory of quadratic control systems, in particulr, we provide normal forms. In the second part of the thesis, we study the motion planning problem (MPP), that is the study of algorithms that compute controls achieving a certain target path. We propose a regularisation of the continuation method introduced by Chitour and Sussmann. We give a necessary condition for our regularised method to converge to a solution of the motion planning problem. Finally, we illustrate the potential of our method through several numerical examples., Dans cette thèse, nous nous intéressons à la théorie et aux applications du contrôle géométrique. La première partie de la thèse est dédiée au problème d'équivalence des sous-variétés du fibré tangent à des sous-variétés décrites par une équation quadratique (par rapport aux vitesses). Nous étudions ce problème par le biais de l’équivalence par bouclage des systèmes de contrôle (non-linéaire et affine). Ainsi, nous développons une théorie des systèmes de contrôle quadratiques. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions le problème de planification de trajectoire (PPT), c'est-à-dire l'étude d'algorithmes qui calculent des contrôles réalisant une certaine trajectoire cible. Nous proposons une régularisation de la méthode de continuation introduite par Chitour et Sussmann. Nous donnons une condition nécessaire pour que notre méthode régularisée converge vers une solution du PPT. Finalement, nous illustrons le potentiel de notre méthode à travers plusieurs exemples numériques.

[Departement_IRSTEA]Ecotechnologies [TR1_IRSTEA]INSPIRE; International audience; This paper addresses the problem of path generation and motion control for the autonomous maneuvers of a farm vehicle in headland. A reverse turn planner is firstly investigated, based on primitives connected together to easily generate the reference motion. Then, both steering and speed control algorithms are presented to accurately guide the vehicle. They are based on a kinematic model extended with additional sliding parameters and on model predictive control approaches. Real world experiments have been carried out on a low adherent terrain with an experimental mobile robot. At the end of each row, the reverse turn is automatically generated to connect the next reference track, and the maneuver is autonomously performed by the vehicle. Reported experiments demonstrate the capabilities of the proposed algorithms.

Article dans revue scientifique avec comité de lecture.; International audience; In this paper, we consider the problem of computing shortest paths of bounded curvature amidst obstacles in the plane. More precisely, given two prescribed initial and final configurations (specifying the location and the direction of travel) and a set of obstacles in the plane, we want to compute a shortest $C^1$ path joining those two configurations, avoiding the obstacles, and with the further constraint that, on each $C^2$ piece, the radius of curvature is at least 1. In this paper, we consider the case of moderate obstacles (as introduced by Agarwal et al.) and present a polynomial-time exact algorithm to solve this problem.

Article dans revue scientifique avec comité de lecture.; It has recently been shown that any polygonal chain in the plane can be reconfigured to lie on a straight line, and any polygon can be reconfigured to be convex. This result cannot be extended to tree linkages: we show that there are trees with two configurations that are not connected by a motion. Indeed, we prove that an $N$-link tree can have $2^{Omega(N)}$ equivalence classes of configurations.

Flatness has been already well defined and widely studied for finite dimensional dynamical systems. One of the remarquable consequences of this property is to allow parametrization of trajectories (both state and control) by free functions and their derivatives. It therefore provides an easy solution to an important problem in control theory : motion planning. For linear finite dimensional systems, flatness is exactly equivalent to controllability, via the Brunovsky canonical decomposition. This work proposes a definition of flatness for a class of infinite dimensional systems and extends Brunovsky canonical decomposition to infinite dimension. Following this new definition, the problem of flatness for a general linear 1-D diffusion equation is completely studied. A method allowing the effective computation of flat trajectories is given, and the canonical nature of this representation of trajectories is proved. Other example are studied, including the linear Kortewerg De Vries 1-D equation and a 2-D diffusion equation, which shows that the method is applicable to a wide range of problems.; La notion de platitude aété bien définie et largement étudiée pour les systèmes dynamiques de dimension finie. Une des conséquences marquantes de cette propriété est de permettre la paramétrisation des trajectoires (état et commande) par des fonctions libres et leurs dérivées, rendant ainsi aisée la solution d'un problème important en contrôle des systèmes dynamiques: la planification de trajectoires. Pour les systèmes linéaires de dimension finie, on a coïncidence exacte entre platitude et commandabilité, via la mise sous forme de Brunovsky. La possibilité de définir une notion convenable de platitude en dimension infinie, et d'étendre la notion de forme de Brunovsky à certaines classes de systèmes de dimension infinie est examinée, et une définition de la platitude est proposée pour ces systèmes. L'étude de la platitude de l'équation générale de diffusion à une variable d'espace est complètement traitée. Une méthode d'obtention d'une paramétrisation d'une famille dense de trajectoires est proposée, et la canonicité de la représentation de ces trajectoires est démontrée. Divers cas d'étude sont proposés, avec des applications à la planification de trajectoires. L'étude complète de l'équation de Korteweg-De Vries mono-dimensionnelle linéaire est réalisée, ainsi que celle d'un problème de diffusion à deux variables d'espace, montrant les possibilités d'extension de la méthode à un cadre beaucoup plus général.

Flatness has been already well defined and widely studied for finite dimensional dynamical systems. One of the remarquable consequences of this property is to allow parametrization of trajectories (both state and control) by free functions and their derivatives. It therefore provides an easy solution to an important problem in control theory : motion planning. For linear finite dimensional systems, flatness is exactly equivalent to controllability, via the Brunovsky canonical decomposition. This work proposes a definition of flatness for a class of infinite dimensional systems and extends Brunovsky canonical decomposition to infinite dimension. Following this new definition, the problem of flatness for a general linear 1-D diffusion equation is completely studied. A method allowing the effective computation of flat trajectories is given, and the canonical nature of this representation of trajectories is proved. Other example are studied, including the linear Kortewerg De Vries 1-D equation and a 2-D diffusion equation, which shows that the method is applicable to a wide range of problems., La notion de platitude aété bien définie et largement étudiée pour les systèmes dynamiques de dimension finie. Une des conséquences marquantes de cette propriété est de permettre la paramétrisation des trajectoires (état et commande) par des fonctions libres et leurs dérivées, rendant ainsi aisée la solution d'un problème important en contrôle des systèmes dynamiques: la planification de trajectoires. Pour les systèmes linéaires de dimension finie, on a coïncidence exacte entre platitude et commandabilité, via la mise sous forme de Brunovsky. La possibilité de définir une notion convenable de platitude en dimension infinie, et d'étendre la notion de forme de Brunovsky à certaines classes de systèmes de dimension infinie est examinée, et une définition de la platitude est proposée pour ces systèmes. L'étude de la platitude de l'équation générale de diffusion à une variable d'espace est complètement traitée. Une méthode d'obtention d'une paramétrisation d'une famille dense de trajectoires est proposée, et la canonicité de la représentation de ces trajectoires est démontrée. Divers cas d'étude sont proposés, avec des applications à la planification de trajectoires. L'étude complète de l'équation de Korteweg-De Vries mono-dimensionnelle linéaire est réalisée, ainsi que celle d'un problème de diffusion à deux variables d'espace, montrant les possibilités d'extension de la méthode à un cadre beaucoup plus général.

We study the problem of computing the free space F of a simple legged robot called the spider robot. The body of this robot is a single point and the legs are attached to the body. The robot is subject to two constraints: each leg has a maximal extension R (accessibility constraint) and the body of the robot must lie above the convex hull of its feet (stability constraint). Moreover, the robot can only put its feet on some regions, called the foothold regions. The free space F is the set of positions of the body of the robot such that there exists a set of accessible footholds for which the robot is stable. We present an efficient algorithm that computes F in O(n2 log n) time using O(n2 alpha(n)) space for n discrete point footholds where alpha(n) is an extremely slowly growing function (alpha(n), 29 pages, 22 figures, prelininar results presented at WAFR94 and IEEE Robotics & Automation 94

The work presented in this thesis deals with optimal motion planning, in the presence of obstacles, of car-like robots and legged robots. The model of car-like robot studied is the one of Dubins. That is, roughly speaking, a car moving forward with a minimum turning radius. We consider the problem of computing a convex hull of bounded curvature of a set S of points in the plane, that is a set containing S and whose boundary is a curve of bounded curvature of minimal length. We prove that, if the radius of the smallest disk that contains S is greater than 1, such a hull is unique. We show that the computation of a convex hull of bounded curvature reduces to convex programming or to solving a set of algebraic systems. We also present an exact polynomial-time algorithm for computing a shortest path for the Dubins robot moving amidst moderate obstacles, that is obstacles whose boundaries are curves of bounded curvature made of line segments and arcs of circle. Such obstacles can be found by computing convex hulls of bounded curvature of polygonal obstacles. The algorithm computes a graph and finds a shortest path in this graph. The graph is computed using computational geometry methods and resolution of algebraic systems. We also worked on the motion planning problem of a legged robot whose body is a single point and whose legs are attached to the body. The legs have a bounded length and the robot can only put its feet in some polygonal regions of the plane. We present an almost optimal time algorithm for computing the set of stable placements of the body of the robot. By a clever transformation, we turn the problem into the computation of the free space of a half-disk robot moving amidst obstacles.; Les travaux présentés dans cette thèse s'inscrivent dans la cadre de la planification de trajectoires optimales en présence d'obstacles pour des robots mobiles de type voiture et pour des robots à pattes. Le modèle de robot de type voiture étudié est celui de Dubins. Il s'agit grossièrement d'une voiture se déplaçant en marche avant uniquement et dont le rayon de braquage est minoré par 1. Nous avons considéré le problème du calcul d'une enveloppe convexe de courbure bornée d'un ensemble S de points du plan, c'est-à-dire d'un ensemble contenant S et dont le bord est de courbure bornée et de périmètre minimal. Nous montrons que si le rayon du plus petit disque contenant S est supérieur à 1, une telle enveloppe est unique. Nous montrons que le calcul d'une enveloppe convexe de courbure bornée se ramène à un problème d'optimisation convexe ou à la résolution d'un ensemble de systèmes algébriques. Nous proposons également un algorithme exact polynomial pour le calcul de trajectoires optimales en longueur lorsque le robot se déplace en présence d'obstacles dont les bords sont de courbure bornée et constitués de segments de droite et d'arcs de cercle. De tels obstacles peuvent être obtenu comme enveloppes convexes de courbure bornée d'obstacles polygonaux. L'algorithme calcule un graphe et recherche un plus court chemin dans ce graphe. Le calcul de ce graphe est effectué grâce à des techniques de géométrie algorithmique et par la résolution de systèmes algébriques dont nous montrons, à l'aide de résultants, qu'ils ont un nombre fini de solutions. Nous avons également étudié le problème de la planification de trajectoires pour des robots à pattes dont le corps est ponctuel et dont toutes les pattes sont attachées au même point. Les pattes du robot ont une longueur bornée et ne sont autorisées à se poser que dans certaines régions polygonales du plan. Nous présentons un algorithme quasi optimal pour le calcul de l'ensemble des positions du corps du robot en équilibre stable. Par une transformation judicieuse, nous nous ramenons au calcul de l'espace libre d'un robot de la forme d'un demi disque se déplaçant en présence d'obstacles.