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In this work we study a fully discrete mixed scheme, based on continuous finite elements in space and a linear semi-implicit first-order integration in time, approximating an Ericksen–Leslie nematic liquid crystal model by means of a Ginzburg–Landau penalized problem. Conditional stability of this scheme is proved via a discrete version of the energy law satisfied by the continuous problem, and conditional convergence towards generalized Young measure-valued solutions to the Ericksen–Leslie problem is showed when the discrete parameters (in time and space) and the penalty parameter go to zero at the same time. Finally, we will show some numerical experiences for a phenomenon of annihilation of singularities. Ministerio de Educación y Ciencia

En esta charla analizamos la aproximación numérica con elementos finitos en espacio y diferencias finitas en tiempo de un modelo de cristales líquidos nemáticos (de tipo Eriksen-Leslie) y de un modelo penalizado de tipo Ginzburg-Landau. Después de describir los principales antecedentes del tema, se propone un esquema lineal totalmente acoplado y condicionalmente estable. La convergente (respecto de los parámetros de discretización y del parámetro de penalización) hacia una solución débil del problema de Eriksen-Leslie queda como problema abierto.

En esta comunicación proponemos y analizamos un esquema numérico totalmente discreto con elementos finitos en espacio y diferencias finitas en tiempo para aproximar un modelo de cristales líquidos nemáticos (de tipo Eriksen-Leslie) por medio de un modelo penalizado de tipo Ginzburg-Landau. Se muestra la estabilidad y convergencia de dicho esquema hacia una solución débil del problema continuo, respecto de los parámetros de discretización y del parámetro de penalización.

In this article, our aims is to review some of the results that are currently available concerning the existence, uniqueness and regularity of reproductive and time periodic solutions of the Navier-Stokes equations and some variants. By the way, we present some open problems.

En esta Tesis nos centramos en el análisis numérico del método de descomposición de la viscosidad y del método de proyección incremental, aplicados a NS y EP posteriormente. Por otro lado, en cuanto al método de proyección no incremental (sin corrección de presión), ya ha sido profundamente estudiado para el caso de Navier Stokes por otros autores, en [7], [29] y [30], de dos maneras distintas: la primera usando una formulación mixta velocidad presión y haciendo uso de la condición inf-sup para los espacios discretos aproximantes y la segunda, utilizando la formulación de la presión segregada sin imponer la condición inf-sup, si bien, en ambos casos no se consiguen estimaciones Žoptimas para el error de la presión, debido a que aunque el método no necesite una presión inicial para conseguir estabilidad y orden óptimo en velocidad, las condiciones de contorno artificiales para la presión generan una capa límite, que justifica la pérdida de aproximación para la presión del método. La extensión del estudio realizado en la memoria para NS al caso de EP no es en absoluto directa, debido a las dificultades añadidas que nos encontramos en las EP, principalmente la pérdida de regularidad de la velocidad vertical y la integración global en vertical. De hecho, los resultados obtenidos para NS con el método de descomposición de la viscosidad no se pueden obtener para EP.